GIÁO TRÌNH TỐN CAO CẤP A2 48 CHÝÕNG III: TÍCH PHÂN ÐÝỜNG VÀ TÍCH PHÂN MẶT I TÍCH PHÂN ÐÝỜNG LOẠI MỘT Ðịnh nghĩa Cho hàm fậ∞ấ xác ðịnh cung ồửề ũhia cung th ành n phần tùy ý ðiểm A = Ao < A1 < …… ≥ ồn ụ ửề Ðặt li ðộ dài cung ồiồi-1 cung ồiồi-1 lấy ðiểm ∞i tùy ýờ i ụ ữờ ị … nề (Hình ữềữấ Lập tổng ầ Nếu Sn có giới hạn hữu hạn ỗ n   cho max{ li }  i không phụ thuộc vào cách chia cung ồiồi-1 cách chọn ∞iờ ỗ ðýợc gọi tích phân ðýờng loại ữ f(M) cung ðýợc ký hiệu làầ Vậyầ Sưu tầm chỉnh sửa by Nguyễn Hải Đăng GIÁO TRÌNH TỐN CAO CẤP A2 49 Khi ðó ta nói fậ∞ấ khả tích cung ồửề Nếu cung thuộc mặt phẳng xy f hàm theo ị biến fậxờyấ dùng ký hiệu ầ Trong khơng gian xyzờ f hàm fậxờyờz ấ dùng ký hiệu Ý nghĩa thực tế: Xem dây vật chất hình dạng ỡ có mật ðộ khối lýợng fậ∞ấ phụ thuộc vào ðiểm M dâyờ khối lýợng dây vật chất ầ Tích phân ðýờng loại ữ có nhiều ứng dụng thực tếờ ðýợc trình bày mục ỗề≤ Ðịnh lý tồn Nếu hàm fậ∞ấ liên tục dọc theo cung trõn tích phân ðýờng loại ữ tồn tạiề Các tính chất Tích phân ðýờng loại ữ không phụ thuộc hýớng cungờ nghĩa làầ Nếu fờ g khả tích cung ồử k số kfựg khả tích ầ Nếu f khả tích ồử ũ ữ ðiểm cung ồử thìầ Nếu fậ∞ấ  khả tích ồử ầ Sưu tầm chỉnh sửa by Nguyễn Hải Đăng 50 GIÁO TRÌNH TỐN CAO CẤP A2 Nếu f khả tích trên ồử khả tích ồử vàầ Lýu ý: Nếu cung ồử trõn khúc ậnghĩa cung ồử chia thành ữ số hữu hạn cung trõnấ fậ∞ấ liên tục cung ồử ðịnh lý tồn tính chất nêu ðúngề Ðịnh lý (về giá trị trung bình) Nếu fậ∞ấ liêân tục cung trõn ồử có ðộ dài ỡề ẩhi ðó tồn ðiểm thuộc cung AB thỏa ầ ýờng loại mặt phẳng Cơng thức tính tích phânð a) Cung có phýõng trình tham số : Cho hàm số fậxờyấ liên tục cung trõn tham số ầ , cung có phýõng trình Chia [a,b] thành n ðoạn ðiểmầ a = to < t1< … ≥ tn ụ b ề Khi ðó cung ồử ðýợc chia týõng ứng thành n cung ðiểm ồkậxậtkấờ y(tk)), k= 0,1,2…ềờnề Theo ðịnh lý giá trị trung bình ta có ầ Lấy ðiểm ∞kậxậtkấờ yậtkấấ có tổng tích phânầ Sưu tầm chỉnh sửa by Nguyễn Hải Đăng 51 GIÁO TRÌNH TỐN CAO CẤP A2 Vế phải tổng tích phân xác ðịnhờ qua giới hạnờ ta ðýợcầ b) Cung có phýõng trình: y = y(x), a  x  b : Khi ðó từ cơng thức trênờ ta có ầ ộ c) Cung AB có phýõng trình tọa ð cực Nếu xem  tham sốờ ta có ầ Vậy ầ Cơng thức tính tích phân ð ýờng loại khơng gian Cho hàm số fậxờyờ zấ liên tục cung trõn ồử khơng gianề ũung phýõng trình tham số ầ có Hồn tồn týõng tự nhý phần ỗềỏềaờ ta cóầ Các thí dụ Sưu tầm chỉnh sửa by Nguyễn Hải Đăng GIÁO TRÌNH TỐN CAO CẤP A2 a) Thí dụ 1: Tính A(1,0), B(0,1) 52 Với ũ ðýờng cạnh tam giác có ðỉnh ẫậếờếấờ (Hình ữềịấ Ta có ầ Trên : y=0, dl = dx nênầ Trên : x=0, dl = dy nênầ Trên : y= 1-x  Vậy ầ Sưu tầm chỉnh sửa by Nguyễn Hải Đăng GIÁO TRÌNH TỐN CAO CẤP A2 b) Thí dụ 2: Tính 53 Với ũ ðýờng cong có phýõng trìnhầ Sử dụng tọa ðộ cựcầ Vậyầ c) Thí dụ 3: Tính 0 t  Với cung có phýõng trìnhầ x ụ acost y ụ asintờ zụ bt Xem t tham sốờ ta có ầ d) Thí dụ 4: với ðýờng ỡ phần góc tọa ðộ thứ giao tuyến Tính mặt ỳaraboloid elliptic có phýõng trình zụ ị- x2-2y2 mặt trụ parabolic z = x2 từ ðiểm ậếờữờếấ ðến ậữờếờữấ Dùng tham số tụ x ta có ầ Sưu tầm chỉnh sửa by Nguyễn Hải Đăng GIÁO TRÌNH TỐN CAO CẤP A2 54 Vì ỡ nằm góc tọa ðộ thứ nhấtờ nên ta ðýợc phýõng trình tham số sauầ Do ðó ầ Vậyầ Ứng dụng tích phân ð ýờng loại a) Khối lýợng cung: Giả sử cung vật chất chiều dài ỡ có khối lýợng riêng phụ thuộc ðiểm ∞ dây cung  (M) Khi ðó với ữ cung nhỏ ồiồi+1, có ầ Vậyầ Qua giới hạn ta ðýợc ầ b) Moment tĩnh (moment thu nhất), trọng tâm cung phẳng : Cho cung phẳng thuộc mặt phẳng xyờ có khối lýợng riêng phụ thuộc ðiểm ∞ậxờyấ dây cung  (x,y) Theo ðịnh nghĩa moment cõ họcờ Sưu tầm chỉnh sửa by Nguyễn Hải Đăng GIÁO TRÌNH TỐN CAO CẤP A2 ta có cơng thức moment cung ∞y ầ 55 ðối với trục ẫx ∞x ðối với trục ẫy Từ ðó trọng tâm khối lýợng cung ồử ðýợc xác ðịnh bởiầ Nếu cung ðồng chấtờ  (x,y) = số ầ ∞ụ  L (L chiều dài cung AB), tọa ðộ trọng tâm ầ Cũng nhớ ầ cung không cắt trục ẫx quay quanh trục ẫx diện tích mặt trịn xoay cung phẳng ðó tạo ầ Từ cơng thức toạ ðộ trọng tâmờ cóầ Thí dụ 5: Tìm trọng tâm nửa vịng trịn tâm ẫ bán kính Ởề Giảiầ Xét nửa vịng trịn ồử tâm ếề ắo tính ðối xứng nên trọng tâm ậxờyấ phải nằm trục ẫy ậ ) Khi nửa vòng tròn ồử quay quanh trục ẫx ta ðýợc cầu có diện tích mặt cầu làầ S ụ ở R2, ðộ dài nửa cung tròn ồử ỡ ụ  R Vậy trọng tâm có tung ðộ ầ c) Moment tĩnh (moment thứ nhất), trọng tâm cung không gian: Sưu tầm chỉnh sửa by Nguyễn Hải Đăng 56 GIÁO TRÌNH TỐN CAO CẤP A2 Nếu cung không gian với khối lýợng riêng  (x,y,z) týõng tự trýờng hợp phẳng ta có khối lýợng cung moment tĩnh cung ồử ðối với mặt tọa ðộ xếyờ xếzờ yếz ầ Và trọng tâm khối lýợng cung có cơng thức ầ Nếu cung ồử ðồng chất ậ =hằng sốấ ầ Thí dụ 6: Cho nửa vịng trịn thép ðặt mặt phẳng y0z có phýõng trình y2 + z2 = 1, z  Biết khối lýợng riêng  (x,y,z) = – z Hãy tìm khối lýợng trọng tâm nửa vịng trịn ðóề (Hình ữềĩấ Do nửa vịng trịn nằm mặt phẳng yzờ nên trọng tâm có xụ ếề Ngồi ðối xứng có khối lýợng phân bố ðối xứng ðối qua trục ẫz nên trọng tâm có y=0 Phýõng trình tham số nửa vịng trịn ầ xụế y ụ cos t z ụ sin t ế t Vậyầ Sưu tầm chỉnh sửa by Nguyễn Hải Đăng GIÁO TRÌNH TỐN CAO CẤP A2 57 d) Moment qn tính (moment thứ hai) Ta có cơng thức moment quán tính cung với trục toạ ðộ ầ với khối lýợng riêng  (x,y,z) ðối Tổng quátờ moment quán tính ðối với ðýờng thẳng  ðýợc tính ầ Với rậxờyờzấ ầ khoảng cách từ ðiểm M(x,y,z) ðến ðýờng thẳng  Khi cung cung phẳng ta có khái niệm cơng thức týõng tựề e) Diện tích mặt trụ Cho cung khơng gian với z  có hình chiếu vng góc xuống mặt phẳng xếy cung Xem mặt trụ với ðýờng sinh song song trục ẫz, ðýờng chuẩn ũắ giới hạn cung ũắờ giới hạn dýới cung ồửờ giới hạn bên ðýờng thẳng ồũờ ửắ Sưu tầm chỉnh sửa by Nguyễn Hải Đăng GIÁO TRÌNH TỐN CAO CẤP A2 80 lập phýõng gồm ẳ mặt trõn nối theo cạnhề ∞ặt ðýợc ðịnh hýớng dýớng mặt n cạnh ðịnh hýớng theo mặt (Hình ẳềĩấ Ðịnh nghĩa tích phân mặt loại Cho hàm ỳậxờyờzấờ ẵậxờyờzấờ Ởậxờyờzấ xác ðịnh mặt ðịnh hýớng S có vectõ pháp tuyến ðõn vị (cos  , cos , cos  ) Tích phân mặt loại ữ ðýợc gọi tích phân mặt loại ị hàm ỳờẵờỞ mặt ðịnh hýớng Sề Tích phân ðýợc ký hiệu ầ Cách tính tích phân mặt loại 2: ð tích phân kép ýa Giả sử cần tính tích phân (1) Trong ðó S mặt cong có phýõng trình zụzậxờyấ ậtrõn trõn khúcấ với vectõ pháp tuyến ðịnh hýớng phía ậ phía mặt cong tạo với hýớng dýõng trục ẫz ữ góc nhọn ấ Do vế phải ậữấ giới hạn tổng tích phân mặt loại ữ Sưu tầm chỉnh sửa by Nguyễn Hải Đăng GIÁO TRÌNH TỐN CAO CẤP A2 81 (2) Ta biết ậchýõng ữấ (3) Với  Si : diện tích mảnh cong  Si ,  Di diện tích hình chiếu mảnh cong  Si xuống mặt phẳng xy, vectõ pháp tuyến tạo với trục ẫz góc nhọn nên cos i >0  Di lấy dấu dýõngề Thay ậĩấ vào ậịấ qua giới hạn ta ðýợcầ Trong ðó ắ hình chiếu S xuống mặt phẳng xyề Nếu ðổi hýớng mặt S tức cos  i <  Di lấy dấu âm ầ Týõng tự ta cóầ Trong ðó ắ1, D2 hình chiếu S xuống mặt phẳng yzờ xz týõng ứngờ chọn dấu ự hay dấu – tùy theo góc   góc nhọn hay góc tùề Lýu ý: Từ cơng thức ậ2) thấy mặt S ữ phần mặt trụ có ðýờng sinh song song trục ẫz cos i = , dẫn tới Thí dụ 1: Tính 0, y 0, 0 z  b với S ầ mặt phía ngồi giới hạn vật thể x2 + y2  R2, x Sưu tầm chỉnh sửa by Nguyễn Hải Đăng GIÁO TRÌNH TỐN CAO CẤP A2 82 (Hình ẳềởấ Mặt S ðýợc hia thành ỏ mặt ầ hai ðáy Sữờ Sị hai mặt bên SĩờSở nằm mặt phẳng xz ậyụếấ yz ậxụếấ týõng ứng mặt trụ cong Sỏ Ta có ầ Ba tích phân cuối ụ ế mặt trụ có ðýờng sinh song song trục ẫzề Trên mặt S1 , z= 0, nên ầ Trên mặt S2 , z=h, nên ầ Vậy ỗ ụ Thí dụ 2: Tính x2 + y2 + z2 = R2, z  với S ầ mặt phía ngồi nửa mặt cầu Ta có ầ Sưu tầm chỉnh sửa by Nguyễn Hải Đăng GIÁO TRÌNH TỐN CAO CẤP A2 83 Trong ðó ầ S ụ S1 + S2 S1 phần ứng với y  0, S2 phần ứng với y  Lýu ý chuyển tích phân kép theo nửa hình trịn mặt phẳng xz tích phân : lấy dấu dýõngờ lấy dấu âmờ hàm dýới dấu tích phân lại hàm chẵn nên Týõng tự ta có ầ ỗ2 = Vậy ỗ ụ Thí dụ 3: Tính với S ầ mặt phía ngồi mặt cầu x2 + y2 + z2 = R2 Gọi S1 , S2 nửa mặt cầu ứng với z  z  Trên S1 ta cóầ Trên S2 ta có ầ ðýa tích phân kép lấy dấu âm (do vectõ pháp tuyến hýớng xuống dýớiấờ nên ầ Sưu tầm chỉnh sửa by Nguyễn Hải Đăng GIÁO TRÌNH TỐN CAO CẤP A2 84 Vậyầ VII LIÊN HỆ GIỮA TÍCH PHÂN KÉP VÀ TÍCH PHÂN ÐÝỜNG LOẠI HAI: ÐỊNH LÝ STOKES Công thức Ứreen cho ta mối liên hệ tích phân kép tích phân ðýờng loại hai ðýờng biên miền lấy tích phânề ũông thức Stokes dýới ðây mở rộng công thức Ứreen cho trýờng hợp miền mặt cong không gianề Ðịnh lý Stokes Cho mặt ðịnh hýớng S trõn khúc với biên chu tuyến ũ trõn khúc không tự cắt ậchu tuyến ðõn giảnấề Ứiả sử ỳờ ẵờ Ở hàm có ðạo hàm riêng cấp liên tục miền mở chứa Sề ẩhi ðó ta cóầ Trong ðó hýớng chu tuyến ũ ðýợc lấy theo hýớng dýõng ứng với mặt ðịnh hýớng S Chú ý: Công thức Stokes thýờng dùng dạng liên hệ tích phân ðýờng loại hai tích phân mặt loại mộtề với : vectõ pháp tuyến ðõn vị ứng với giá mặt cong S Thí dụ Sưu tầm chỉnh sửa by Nguyễn Hải Đăng GIÁO TRÌNH TỐN CAO CẤP A2 85 Tính tích phân với ũ ðýờng trịn mặt cầu ầ x2 + y2 + z2 = R2 mặt phẳng x ự y ự z ụ ế theo hýớng ngýợc chiều kim ðồng hồ nhìn từ hýớng dýõng trục ẫx Gọi S hình trịn với biên ðýờng tròn ũề Theo ðịnh lý Stokes ta có ầ cos  , cos , cos  : cosin hýớng vectõ pháp tuyến n mặt phẳng x ự y + z = Ta có ầ Vậy ỗ ụ VIII CƠNG THỨC CHUYỂN TÍCH PHÂN BỘI BA VỀ TÍCH PHÂN MẶT THEO BIÊN : ÐỊNH LÝ GAUSS – OSTROGRATSKI Ðịnh lý sau ðây cho ta cơng thức chuyển tích phân bội ba tích phân mặt theo mặt biênề ũơng thức có nhiều ứng dụng thực tiễn tính tốnề Ðịnh lý Gauss – Ostrogratski Cho  miền ðóngờ bị chận không gianờ với biên mặt S trõn khúc ậS chia thành hữu hạn mặt trõnấề ũho ỳờẵờỞ có ðạo hàm riêng cấp liên tục miền mở chứa  Khi ðó ta có cơng thức Ứauss-Ostrogratski: Lýu ý: Nhờ cơng thức Ứauss – Ostrogratski, ta tính thể tính cách tính tích phân mặt lấy ỳ ụ xờ ẵ ụ yờ Ở ụzề ẩhi ðó cơng thức trở thành ầ Vậy ầ Với S mặt bên  lấy theo phía ngồi Sưu tầm chỉnh sửa by Nguyễn Hải Đăng GIÁO TRÌNH TỐN CAO CẤP A2 86 Thí dụ Tính tích phân x2 + y2 + z2 = R2 Trong ðó S phía ngồi mặt cầu ầ Theo ðịnh lý Ứauss – Ostrogratski, ta có ầ Chuyển qua tọa ðộ cầuờ ta ðýợc ầ BÀI TẬP CHÝÕNG ýờng loại I Tích phân ð Tính tích phân ðýờng loạiữầ góc ỗ C : cung nối ậếờếấ 6) Tính tích phân ðýờng fậxờyờzấ ụ xự ậữờữờữấ theo ðýờng sauầ -z2 theo cung nối ị ðiểm ậếờếờếấ Sưu tầm chỉnh sửa by Nguyễn Hải Đăng 87 GIÁO TRÌNH TỐN CAO CẤP A2 7) Tính ầ 8) Cho C Hãy tính khối lýợng cung 9) Cho cung Tìmtrọng tâmề 10) Cho Tìmtrọng tâm 11) Cho C: x2+y2 = a2 mặt phẳng xyờ  = const Tìm mơmen qn tính ðối với ẫz 12) Cho mặt phẳng yzờ  = const Tìm mơmen qn tính ðối với trục tọa ðộề 13) Tìm ðộ dài cung ầ x ụ aet cos t , y = aet sint, z = aet từ ồậếờếờếấ ðến B(a,0,a) (Hýớng dẫnầ ứng với t1 = - , B với t2 = ) 14) Tìm trọng tâm cung x ụ aật-sint), y = a(1-cost)  t   ,  = const II Tích phân ð ýờng loại Tính tích phân ðýờng loại ị sau ðâyầ theo ðýờng thẳng nối ồậữờữấ ðến ửậĩờởấ  : ðýờng gấp khúc nối ẫậếờếấờ ồậịờếấờ ửậởờịấề Sưu tầm chỉnh sửa by Nguyễn Hải Đăng GIÁO TRÌNH TỐN CAO CẤP A2 88  – phần parabol y ụ ịx – x2 nằm trục ẫx theo chiều kim ðồng hồ  : Chu tuyến giới hạn y2 = x, x2 = y, Theo chiều ngýợc chiều kim ðồng hồ  : cung nối ồậữờếấ ửậ-1,0) theo ðýờng sauầ  Nửa vòng tròn x2 + y2 =  Ðýờng thẳng nối ồờử  Ðýờng gấp khúc từ ồờ qua ũậếờ-1) ðến  : giao y ụ x2 z ụ x từ ðiểm ậếờếờếấ ðến ậữờữờữấ  – cung vòng trịn tâm ẫờ bán kính r nằm góc ỗờ ngýợc chiều kim ðồng hồề III Tính cơng sinh lực dọc theo ð ýờng  có phýõng trình Sưu tầm chỉnh sửa by Nguyễn Hải Đăng GIÁO TRÌNH TỐN CAO CẤP A2 89 IV Cơng thức Green Tính tích phân C : biên tam giác xác ðịnh x ụ ếờ y ụ ếờ x ự y ụ ữ biên tứ giác với ðỉnh ồậữờếấờ ửậếờữấờ ũậ-1,0), D(0,1) C: biên miền giới hạn y ụ x2 yụ 6) Cho f(x,y) có ðạo hàm riêng liên tục ầ Chứng minh với chu tuyến ũ sử dụng ðýợc công thức Green V Ứng dụng Cơng thức Green tính diện tích miền phẳng 2) D giới hạn y ụ x y ụ x2 góc ỗ 3) D: giới hạn y ụ xờ Sưu tầm chỉnh sửa by Nguyễn Hải Đăng GIÁO TRÌNH TỐN CAO CẤP A2 90 4) Cho S diện tích miền ắờ hoành ðộ trọng tâm miền ắ giới hạn ðýờng cong ðõn giản trõn khúc ũề ũhứng minh rằngầ 5) Cho Iy – mơmen qn tính ðối với trục ẫy miền ắ ởề ũhứng minh: VI Tích phân khơng phụ thuộc ð ýờng lấy tích phân Tính tích phân ðýờng loại ị sau ðây ầ Tính dọc theo ðoạn thẳng nối ậếờếờếấ ậếờĩờởấ 8) Kiểm tra biểu thức sau có phải vi phân toàn phần ằ ỷếu ðúng vi phân toàn phần hàm U tìm U Sưu tầm chỉnh sửa by Nguyễn Hải Đăng GIÁO TRÌNH TỐN CAO CẤP A2 91 VII Tích phân mặt loại 1) Tính diện tích mặt parabơlơit x2 + y2 – z = cắt z ụ ị 2) Tính diện tích phần mặt phẳng x + 2y + 2z = cắt x ụ y2 x ụ ị - y2 3) Tính diện tích phần mặt cầu x2 + y2 + z2 = cắt nón 4) Tính diện tích phần mặt parabơlơit x2 + y + x2 = t cắt mặt phẳng y ụ ế 5) Tính S : mặt biên lập phýõng ế  x,y,z  a 6) Tính S : mặt biên hình hộpầ ế  x  a ,  y  b ,  z  c 7) Tính tám thứ 8) Tính = 0, x = 1, z = S : phần mặt phẳng ịxựịyựz ụ ị nằm góc phần S : phần mặt parabôlôit y2 + 4z =16 cắt mặt phẳng x 9) Tìm trọng tâm mặt cầu x2 + y2 + z2 = a2 nằm góc ỗ 10) Tìm trọng tâm phần mặt y2 + z2 = 9, z  cắt x ụ ếờ x ụ ĩ 11) Tìm trọng tâm mơmen qn tính ðối với trục ẫz mặt x2 + y2 - z2 = cắt z ụ ữờ z ụ ị 12) Tìm mơmen qn tính ỗz mặtầ ởx2 + 4y2 - z2 =0, z  cắt x2 + y2 = 2x VIII Tích phân mặt loại Sưu tầm chỉnh sửa by Nguyễn Hải Đăng GIÁO TRÌNH TỐN CAO CẤP A2 92 S : mặt cầu x2 + y2 + z2 = a2 góc phần tý thứ ỗ ậphía ngồiấ 1) Tính 2) Tính S : giống ữ 3) Tính S:giống ữ S : phần mặt z ụ – y2 giới hạn x ụ 4) Tính 0,x = 1,z = (phía trongấ 5) Tính ế ≤ xờ yờz ≤ aề S : mặt ngồi hình lập phýõng cho 6) Tính ≤ ịỏ cắt z ụ ĩề ậphần z ≥ ĩ ấ S : phía ngồi mặt chỏm cầu x2+y2+z2 IX Ðịnh lý Stokes 1) Tính ngýợc chiều kim ðồng hồề C: x2 + y2 = 4, z = Nhìn từ gốc ũ theo chiều 2) Tính Nhìn từ hýớng dýõng trục ẫx ngýợc chiều kim ðồng hồ 3) Tính C: Nhìn từ hýớng dýõng trục ẫz ngýợc chiều kim ðồng hồề Sưu tầm chỉnh sửa by Nguyễn Hải Đăng 93 GIÁO TRÌNH TỐN CAO CẤP A2 4) Tính C : ðýờng biên tam giác với ðỉnh ậữờếờếấờ (0,1,0),(0,0,1) – nhìn từ gốc ế ngýợc chiều kim ðồng hồề 5) Tính 6) Tính kim ðồng hồề C : nhý C : x2 + y2 = 1, z = Nhìn từ gốc ẫ ngýợc chiều 7) Tính chiều kim ðồng hồ C: x2 + y2 = 1, z = y+1 nhìn từ gốc ẫ ngýợc 8) Tính chiều kim ðồng hồ x2 + y2 + z2 = 6z, z = x – nhìn từ gốc ẫ ngýợc 9) Tính C : biên tam giác với ðỉnh (2,0,0), (0,3,0), (0,0,6) nhìn từ gốc ẫ ngýợc chiều kim ðồng hồề 10) Tính chiều kim ðồng hồề 11) Tính chiều kim ðồng hồề C: x2 + y2 + z2 = a2,z = y2 nhìn từ gốc ẫ ngýợc C: x2 + y2 = 1, z = y2 Nhìn từ gốc ẫ ngýợc X Cơng thức Gauss – Ostrogratski Tính tích phân mặt loại ị sauầ 1) lập phýõng -1 ≤ xờ yờ z ≤ ữ 2) 4, ≤ z ≤ x2 + y2 3) góc ỗờ phía ngồiề S : phía ngồi mặt biên hình S : Phía mặt biên : x2 + y2 ≤ S : phần mặt cầu tâm ẫờ bán kính ịờ Sưu tầm chỉnh sửa by Nguyễn Hải Đăng 94 GIÁO TRÌNH TỐN CAO CẤP A2 4) S - biên miền 2 nằm góc ỗ giới hạn x +y = , z = , phía ngồiề 5) S : biên :1≤ ≤ ịờ phía ngồi 6) S : biên :1≤ S : biên :1≤ ≤ ởờ phía ngồi 7) ≤ ởờ phía ngồi 8) , phía ngồiờ tính cơng thức Gauss-Ostrogratski cách tính trực tiếpề Sưu tầm chỉnh sửa by Nguyễn Hải Đăng ... ðýờng loại ị cịn gọi tích phân cơng cịn nhiều tốn thực tế dẫn tới việc tìm giới hạn dẫn tới việc tính tích phân ðýờng loại ịề Một số thí dụ tích phân ð ýờng loại Thí dụ 1: Tính tích phân ðýờng loại. .. VII LIÊN HỆ GIỮA TÍCH PHÂN KÉP VÀ TÍCH PHÂN ÐÝỜNG LOẠI HAI: ÐỊNH LÝ STOKES Công thức Ứreen cho ta mối liên hệ tích phân kép tích phân ðýờng loại hai ðýờng biên miền lấy tích phân? ?? ũơng thức Stokes... tổng tích phân mặt loại ữ ầ Vế phải tổng tích phân képờ qua giới hạn ta cóầ Nhý tích phân mặt loại ữ ðýợc biểu diễn dạng tích phân kép hình chiếuề Khi lấy f ụữ ta lại có cơng thức tính diện tích