Một số kinh nghiệm giải bài toán bất đẳng thức A. PHN M U Bt ng thc l mt trong nhng dng toỏn hay v khú i vi hc sinh trong quỏ trỡnh hc tp cng nh trong cỏc k thi, trc ht l k thi i hc m hu ht hc sinh THPT u phi vt qua. Ngoi ra bt ng thc cng l mt dng thng gp trong cỏc k thi hc sinh gii toỏn cỏc cp: Tnh, Quc gia, Olympic khu vc v Olympic quc t. giỳp cỏc em cú thờm mt s kinh nghim trong quỏ trỡnh hc tp nhm nm vng cỏc phng phỏp chng minh bt ng thc ng thi s dng linh hot hn trong vic gii cỏc bi toỏn v bt ng thc, tụi quyt nh vit ti ny nhm chia s cựng ng nghip, hc sinh v c gi mt s phng phỏp, kinh nghim gii bi toỏn bt ng thc. ti gm 2 phn c bn: Phn I: Mt s phng phỏp chng minh bt ng thc. Phn II: Bt ng thc lng giỏc trong tam giỏc. Do khuụn kh ca ti, mi phn tụi xin min nhc li cỏc kin thc c bn v bt ng thc vỡ nhng kin thc ny c trỡnh by chi tit trong sỏch giỏo khoa trung hc ph thụng, m ch tp trung vo cỏc phng phỏp bin i ng thi nờu mt s vớ d minh ha. Đinh Thị Lu Trờng THPT Chuyên Quảng Bình 1 Một số kinh nghiệm giải bài toán bất đẳng thức B. NI DUNG Phn I: MT S PHNG PHP CHNG MINH BT NG THC 1) Dựng cỏc phộp bin i thớch hp 2) Tam thc bc 2 3) Phng phỏp o hm, cc tr hm s 4) Quy np 5) Lng giỏc húa 6) Phng phỏp hỡnh hc 7) Cỏc BT thụng dng 8) Mt s phng phỏp khỏc I. S dng cỏc phộp bin i. Vớ d 1: CM vi a,b,c l 3 s dng thỡ Gii: Vỡ a,b,c l 3 s dng nờn ta cú Cng v theo v ta c Mt khỏc ta cú Cng v theo v ta c Vớ d 2: CM ta luụn cú Gii: Do ú (pcm) Vớ d 3: CMR Gii: Ta cú Cho k=1, 2, n ri cng cỏc ng thc theo v ta cú Đinh Thị Lu Trờng THPT Chuyên Quảng Bình 21 < + + + + + < ac c cb b ba a cba c ac c cba b cb b cba a ba a ++ > +++ > +++ > + ac c cb b ba a + + + + + <1 cba cb ac c cba ba cb b cba ca ba a ++ + < +++ + < +++ + < + 2< + + + + + ac c cb b ba a Rx 3 2 258 >+ xxxx Rxx x x x xxx xxxxxx >+ + = ++++=++ 0 3 1 3 1 3 1 2 3 2 3 1 3 1 3 1 . 2 3 .2 4 3 42 .2 3 2 2 2 4 22 48258 3 2 258 >+ xxxx Nn nn < + +++ 1 )1( 1 3.2 1 2.1 1 )( 1 11 )1( 1 * Nk kkkk + = + 2 Một số kinh nghiệm giải bài toán bất đẳng thức Vy ta cú pcm. II. Phng phỏp Tam thc bc 2. Vớ d 1: CMR Gii: TX: Gi thỡ (*) (*) cú nghim x thỡ Vy Du t bờn trỏi xy ra Du t bờn phi xy ra III. Phng phỏp hm s, dựng o hm. Vớ d 1 : CMR thỡ Gii : Xột hm s ng bin Mt khỏc f(0)=0. Vy f(x)>0 vi mi x>0 hay vi mi x>0 thỡ Vớ d 2: CMR nu 0<b<a thỡ Gii: Xột hm s f(x)=lnx liờn tc v cú o hm trờn . Theo nh lớ Lagrange tn ti x 0 vi b<x 0 <a sao cho Đinh Thị Lu Trờng THPT Chuyên Quảng Bình 1 1 1 1 1 11 3 1 2 1 2 1 1 )1( 1 3.2 1 2.1 1 < + = + +++= + +++ nnnnn 11 5913 423 25 11 5913 2 2 + ++ + xx x Rx 423 25 2 2 ++ + = xx x P 0242)53( 2 =++ PPxxP 11 5913 11 5913 0102611 0)53)(24(0 2 2' + + P PP PPP 11 5913 423 25 11 5913 2 2 + ++ + xx x 121 )5913(13 = x 121 )5913(13 + = x 0>x xx <sin ( ) sin '( ) 1 cos 0 f x x x f x x = = )(xf xx <sin b ba b a a ba << ln ( ) +,0 x xf 1 )(' = ab afbf xf = )()( )(' 0 3 Một số kinh nghiệm giải bài toán bất đẳng thức Vỡ b<x 0 <a nờn suy ra pcm. Vớ d 3: Cho a,b,c,d l 4 s dng bt kỡ. CM Gii: Khụng mt tớnh TQ gi s Xột hm s f(x) l mt hm s liờn tc v cú o hm trờn R Vỡ f(a)=f(b)=f(c)=f(d)=0 v f(x) l mt hm bc 3 nờn tn ti sao cho sao cho Vy Trong khai trin ta cú Theo BT Cauchy IV. Phng phỏp quy np. Phng phỏp ny c ỏp dng khi BT ph thuc 1 tham s , vi cỏc bc chng minh nh sau: + Bc 1. C/m BT ỳng vi n=n 0 + Bc 2. Gi s BT ỳng vi n=k ta cn chng minh BT ỳng vi n = k+1. + Bc 3. Kt lun BT ỳng vi mi . Vớ d 1 : C/m ta cú : Gii: + Khi n=2 ta cú ỳng. + Gi s BT ỳng vi n=k tc l Ta cn chng minh (*) cng ỳng vi n=k+1. Tht vy Ta cn chng minh Đinh Thị Lu Trờng THPT Chuyên Quảng Bình b a x ba ba ba x ln lnln1 00 = = bxa 111 0 << 64 3 cdbdbcadacabbcdacdabdabc +++++ +++ dcba ))()()(()( dxcxbxaxxfy == 321 ,, yyy dycybya 321 0)(')(')(' 321 === yfyfyf ))()((4)(' 321 yxyxyxxf = )(2)(4 )(4 133221 321 cdbdbcadacabyyyyyy bcdabdacdabcyyy +++++=++ +++= 3 2 321 133221 )( 3 yyy yyyyyy ++ 64 3 cdbdbcadacabbcdacdabdabc +++++ +++ Nn )( 0 nk Nn * ,2 Nnn (*) 13 1 2 12 6 5 . 4 3 . 2 1 + < n n n < 7 1 8 3 (*) 13 1 2 12 6 5 . 4 3 . 2 1 + < k k k )2( k 1 3 5 2 1 1 1 3 2 1 2 1 1 2 1 . . . . . 2 4 6 2 2 4 2 2 2 2 2 3 1 3 1 k k k k k k k k k k + + < < + + + + 4 Một số kinh nghiệm giải bài toán bất đẳng thức n õy ta thy (*) ỳng vi n=k+1. Vy theo gi thit quy np (*) ỳng vi Vớ d 2: Cho x>0 CMR vi ta cú Gii: +Vi n=1 ta cú Vy Vy BT ỳng vi n=1. + Gi s BT ỳng vi n=k tc l Ta c/m BT cng ỳng vi n=k+1 tc l : Tht vy theo gi thit quy np ta cú: Nh vy ta cú Do ú ta cú: +Vy theo nguyờn lớ quy np ta cú BT ỳng vi V. S dng phng phỏp lng giỏc húa. s dng phng phỏp lng giỏc húa, trc ht hc sinh phi nm vng cỏc tớnh cht, cụng thc v cỏc phộp bin i lng giỏc. Trờn c s ú, trong mt s bi toỏn nu t cỏc giỏ tr n thớch hp qua cỏc hm s lng giỏc thỡ rt thun tin. Vớ d 1: CMR ta cú: Đinh Thị Lu Trờng THPT Chuyên Quảng Bình 1420419 )484)(13()43)(144( )22.(1343).12( 43 1 1)1(3 1 22 12 . 13 1 22 >+<+ +++<+++ ++<++ + = ++ < + + + kkk kkkkkk kkkk kk k k k 2 n 1n ! !3!2 1 32 n xxx xe n x +++++> ( ] xye y ,01 011 00 >+>>> xxexedydye xx xx x 0)1( > xk ! !3!2 1 32 k xxx xe k x +++++> )!1( !3!2 1 132 + +++++> + k xxx xe k x 0 ! !3!2 1 32 >+++++> x k xxx xe k x ( ] xy k yyy ye k y ,0 ! !3!2 1 32 +++++> 2 0 0 2 3 1 (1 ) 2! ! 1 2! 3! ( 1)! x x k y k x y y e dy y dy k x x x e x k + > + + + + > + + + + + 2 3 1 1 2! 3! ( 1)! k x x x x e x k + > + + + + + + 1 n yx, 5 Một số kinh nghiệm giải bài toán bất đẳng thức Gii: t Ta cú: *) Mt s bi tp: 1. CMR thỡ 2. Cho 4 s thc a, b, c, d thừa món CMR VI. Phng phỏp hỡnh hc. a) S dng cỏc BT v vect 1. Du = xy ra cựng chiu 2. Vớ d 1: Cho a, b, c l 3 s thc bt kỡ CM Gii: t thỡ Ta cú suy ra pcm. Vớ d 2: CM thỡ Gii: t thỡ Li ỏp dng suy ra pcm. Vớ d 3: CM thỡ Chỳ ý: Phng phỏp vect c ỏp dng trong cỏc trng hp ta cú th biu din cỏc thnh phn ca bt thnh di cỏc vect tuy nhiờn nú ch ỏp dng thng thi khi khụng cú s rng Đinh Thị Lu Trờng THPT Chuyên Quảng Bình 4 1 1()1( )1)(( 4 1 2 )222 2222 ++ yx yxyx << == 2 , 2 tgytgx dpcmA b tgtg tgtgtgtg yx yxyx A += ++= = ++ = ++ = 4 1 )22sin()22sin( 2 1 )cos()cos()sin()sin( )sinsincos)(coscossincos(sin )1()1( ).1)(( 1()1( )1)(( 22222222 2222 2222 )222 2222 2 Ryx , 2 1 )1)(1( )1)(( 2 1 22 ++ + yx xyyx =+ =+ 1 1 22 22 dc ba 11 + bdac vuvu ++ vu, vuvuvuvu 222222 2)()( cacbacba +++++ );();( cbavcbau +== )2;2( cavu =+ vuvu ++ Ryx , 5101224964 2222 ++++++ yxyxxyx )23;1()2;3( yxvyxu =+= )3;4(=+ vu vuvu ++ cba ,, 444 )( cbacbaabc ++++ 6 Một số kinh nghiệm giải bài toán bất đẳng thức buc no ca cỏc biờn cũn nu cú s rng buc thỡ ta thng dựng phng phỏp ta . b) Phng phỏp ta : Vớ d 4: Cho a,b thừa món a 2b + 2 = 0. CMR Gii: Chn A(3; 5) B(5; 7) M(a; b) vỡ thừa món a 2b + 2 = 0 nờn nm trờn ng thng x- 2y + 2=0 . Ly A i xng A qua ta cú A (5; 1) Ta cú MA+MB=MA +MBA B Hay Du = xy ra c) Cỏc phng phỏp khỏc: Vớ d 5: Cho 0<x, y, z<1. CM Gii: Dng tam giỏc u cnh 1 nh hỡnh v Ta cú Vớ d 6: Cho a, b, c dng. CM Gii: Dng hỡnh nh hỡnh v sao cho: OA=a ; OB=b ; OC=c p dng nh lớ hm s cosin trong tam giỏc ta cú: Vy tc l Du ng thc xy ra Đinh Thị Lu Trờng THPT Chuyên Quảng Bình 6)7()5()5()3( 2222 +++ baba )()( 6)7()5()5()3( 2222 +++ baba 2 7 5 = ba 1)1()1(()1( <++ xzzyyx [ ] 1)1()1()1( 1.1.60sin. 2 1 )1()1()1(60sin 2 1 00 <++ <++ <++ xzzyyx xzzyyx SSSS ABCBNMCPNAMP 222222 3232 cacacbcbbaba ++++ 00 3045 == BOCAOB 2 2 2 2 2 3 AB a ab b BC b bc c = + = + 0 0 0 0 0 0 cos cos(45 30 ) cos45 cos30 sin45 sin30 1 3 1 1 1 3 1 1 . . . 2 3 2 2 2 2 2 2 2 AOC = + = = = = 22 32 cacaAC += 222222 3232 cacacbcbbaba ++++ 7 x y M A A B A C P N A z c b a A O B C Một số kinh nghiệm giải bài toán bất đẳng thức *) Mt s bi tp 1. Cho a, b, c, d l 4 s thc thừa món CM: 2. CMR ta cú 3. Cho x, y thừa C/m 4. Cho x, y, z dng thừa món xyz(x+y+z)=1 Tỡm MIN (x+y)(x+z) VII. S dng cỏc BT quen thuc. 1. Bt ng thc Cauchy a. Cho 2 s khụng õm x, y ta cú . Du = Dng khỏc Du = b. Tng quỏt cho n s khụng õm ta cú Vớ d 1 : Cho a, b, c l 3 s dng tựy ý CMR ta cú Gii : p dng BT Cauchy cho cỏc cp s dng ta cú : Cng v theo v ta cú ta cú pcm. Du = xy ra khi v ch khi x=0. Đinh Thị Lu Trờng THPT Chuyên Quảng Bình 0 2 1 2 3 sin75 4 4 2 AOB BOC AOC ab bc ac S S S ac b a c + + = + = = + +=++ +=++ )(1236 )(21 22 22 dcdc baba 6226 )12()()()12( ++ dbca x 31)13(21)13(2122 222 +++++++ xxxxxx ++ + 042 02 082 xy yx yx 20 5 16 22 + yx xy yx + 2 yx = baba + + 411 ba = n aaa , ,, 21 n n n aaa n aaa 21 21 +++ Rx xxx xxx cba b ca a bc c ab ++ + + x xxx x xxx x xxx a bc abca c ab b ca c ab cabc b ca a bc b ca bcab a bc c ab 2 . 2 2 . 2 2 . 2 = + = + = + 8 Một số kinh nghiệm giải bài toán bất đẳng thức Vớ d 2 : Vi a, b, c dng CM Gii : ỏp dng BT Cauchy cho cỏc cp s dng ta cú : Cng v theo v ta cú : Mt khỏc ta cú Thay vo (1) suy ra pcm. Du = xy ra khi v ch khi a=b=c. c. Mt s dng toỏn c bn s dng BT Cauchy tng quỏt c/m. 1) Cho n s thc dng thừa món cho trc) CMR Vi l cỏc s nguyờn dng tựy ý. Gii: ỏp dng BT Cauchy cho s ta cú: Li ỏp dng cho m s dng ta cú T (1) v (2) ta cú () Tng t cho cỏc phõn thc cũn li cui cựng cng cỏc bt dng nh (*) li v theo v ta cú *) Mt s bi tp Đinh Thị Lu Trờng THPT Chuyên Quảng Bình cabcab a c c b b a ++++ 333 2 33 2 33 2 33 2.2 2.2 2.2 cca a c ca a c bbc c b bc c b aab b a ab b a =+ =+ =+ )1()(2 222 333 cbacabcab a c c b b a +++++++ [ ] cabcabcba accbbabcacabcba ++++ ++=++ 222 222222 0)()()( 2 1 n aaa , ,, 21 0( 1 11 21 >=+++ kk aaa n 1 1 2 2 2 1 3 2 1 1 1 2 1 1 2 1 1 1 n n n n n n n m a m a m a m a m a m a k m a m a m a m m m + + + + + + + + + + + + + + + n mmm , ,, 21 n mmmm +++= 21 )1( 21 212211 m m n mm nn n aaamamamam +++ )2( 21 21 2 2 1 1 m m n mm n n n aaa m a m a m a m +++ nn amamam +++ 2211 2 2 2 1 1 m a m a m a m n n +++ (*) 1 1 2 2 1 1 2 2211 ++++ +++ n n nn a m a m a m m amamam nnnnnn mm k km m amamamamamam ++ = +++ ++ +++ ).( 1 1 1 1 2 12112211 9 Một số kinh nghiệm giải bài toán bất đẳng thức 1. Cho 3 s dng a, b, c. CMR 2. CMR Tng quỏt 3. Cho . Tỡm MIN 2. S dng BT Bunhiacopxki(BCS) Vi 2 b s v bt kỡ ta cú ng thc xy ra Vi quy c a i =0 thỡ b i =0 Chng minh: +Nu =0 suy ra BT luụn luụn ỳng +Nu >0. Xột tam thc Vớ d 1: Cho 2 s thc x, y thừa món . CMR Gii: Theo BT BCS ta cú Du = xy ra Vớ d 2: a) Cho n s thc v n s dng CMR b) CMR Gii: a) p dng BT BCS cho 2 b s dng v Ta cú Đinh Thị Lu Trờng THPT Chuyên Quảng Bình accbbacba + + + + + ++ 222111 3 abc cba a c c b b a ++ ++ n n n kkk aaa aaa a a a a a a 21 21 2 1 2 1 2 1 +++ ++ + + > 1 0, ba ba ab abS 1 += ( ) n aaa , ,, 21 ( ) n bbb , ,, 21 ( ) ) )( ( 22 2 2 1 22 2 2 1 2 2211 nnnn bbbaaabababa +++++++++ n n b a b a b a === 2 2 1 1 22 2 2 1 n aaa +++ 22 2 2 1 n aaa +++ ) )( () ( 00)( ) () (2) ()( )( )()()( 22 2 2 1 22 2 2 1 2 2211 ' 22 2 2 12211 222 2 2 1 22 22 2 11 nnnn nnnn nn bbbaaabababa Rxxf bbbxbababaxaaaxf bxabxabxaxf +++++++++ ++++++++++= +++= 23 =+ yx 3 8 32 22 + yx ( ) 3 8 32321 2 1 3.12. 2 1 2222 2 ++ + + yxyxyx = = = 33 4 3 2 1 3 2 1 2 y x yx ( ) n aaa , ,, 21 ( ) n bbb , ,, 21 ( ) n n n n bbb aaa b a b a b a +++ +++ +++ 21 2 21 2 2 2 2 1 2 1 0,1 21 1 22 2 2 2 2 > + + + + + ba ab ba b ab a n n b a b a b a ; ;; 2 2 1 1 ( ) n bbb ; ;; 21 ( ) ) ( ) ( ) ( 21 2 21 2 2 2 2 1 2 1 21 2 2 2 2 1 2 1 2 21 n n n n n n n n bbb aaa b a b a b a bbb b a b a b a aaa +++ +++ +++ +++ ++++++ 10 [...]...Một số kinh nghiệm giải bài toán bất đẳng thức b) p dng kt qu a) ta cú a2 b2 1 (a + b + 1) 2 + 2 + 2 =1 b 2 + 2a a + 2b 1 + 2ab b + 2a + a 2 + 2b + 2ab + 1 pcm Vớ d 3: Cho ab+bc+ca=1 a, b, c l 3 s dng a b c + + (a + b + c)... m +1 1 (1) 1 + 2 ữ m 1 2 m +1 2 1 1 + < 1 (1) m 1 Gii: 2 2 m +1 1 1 > 1 + ữ 1 + 2 ữ m 1 m 1 >1+ 2 1 + m 1 (m 1) 2 Đinh Thị Lu Trờng THPT Chuyên Quảng Bình 11 Một số kinh nghiệm giải bài toán bất đẳng thức 2 m +1 2 1+ C 1 2 m +1 1 1 1 2 m +1 + C22m+1 2 ữ + + C2 m+1 2 ữ 2 m 1 m 1 m 1 > 1+ 2 1 + m 1 (m 1) 2 Mt khỏc ta cú: 4m 2 1 > 3m 2 3 2m + 1 m(2m + 1) m(2m + 1)(2m ... Vớ d 2: Tỡm Min Gii: Xột cỏc trng hp: F ( x) = x 20011 + x 2002 xR x 2002 + Lỳc ú F ( x) = 2 x 4003 F ( x) 1 ' =' x = 2002 Đinh Thị Lu Trờng THPT Chuyên Quảng Bình 12 Một số kinh nghiệm giải bài toán bất đẳng thức x ( 2001,2002) F ( x) = 1 x 2001 F ( x) = 4003 2 x 1 + ' =' x = 2001 F ( x) = 1 x [ 2001,2002] Vy Min A = x( y + z ) + z ( x + y ) + Vớ d 3: Tỡm Min trong ú x, y, z l cỏc... 3 4 Vi mt s mi quan h nh trờn ta cú nhiu bt Vỡ vy trong c/m cn s dng khộo lộo quan h ú Phn II: BT NG THC LNG GIC TRONG TAM GIC Đinh Thị Lu Trờng THPT Chuyên Quảng Bình 13 (3) Một số kinh nghiệm giải bài toán bất đẳng thức I S liờn quan gia cỏc bt ng thc trong tam giỏc: Trong quỏ trỡnh chng minh cỏc BT trong tam giỏc, bng cỏc phộp bin i tng ng ta cú th tỡm c mi quan h mt thit t nhng bt ng thc cú v... (4) sin A sin B sin C cos cos cos 2 2 2 Suy ra pcm A B C 8 sin sin sin 1 Tip tc bin i (1) : 2 2 2 3 cos A + cos B + cos C 2 2 Đinh Thị Lu Trờng THPT Chuyên Quảng Bình 14 Một số kinh nghiệm giải bài toán bất đẳng thức a+b+c 1 2 abc R (5) l mt BT mi ha hb + hb hc + hc ha 1 1 1 1 1 liờn quan n cỏc + + 2 bc ca ab R 2 4S 2 R ng cao Ta bin i (1) 4S 2 ha hb + hb hc + hc ha 2 (5) 1 8 2p 8(a +... quan h tng ng hoc h qu d nh v CM cỏc BT ta thng i t mt h thc hoc mt BT quen thuc ri bin i v cỏc BT mi, t ú suy ra cỏch CM BT ú khi gp Đinh Thị Lu Trờng THPT Chuyên Quảng Bình 15 Một số kinh nghiệm giải bài toán bất đẳng thức Vớ d 2: Ta cú 2 h thc trong tam giỏc (1) tgA + tgB + tgC = tgAtgBtgC A B B C C A tg 2 tg 2 + tg 2 tg 2 + tg 2 tg 2 = 1 (2) T (1) ta cú th suy ra cỏc BT tgA + tgB + tgC 3 3 (3)... = 3 cos 2 + 1 + sin 2 2 = 2 + cos 2 6 2 3 3 32 Vớ d 2 : CM BT (2) c CM n gin nh sau : cos A + cos B + cos C 3 2 ( 2) Đinh Thị Lu Trờng THPT Chuyên Quảng Bình 16 Một số kinh nghiệm giải bài toán bất đẳng thức A+ B AB C cos A + cos B + cos C = 2cos 1 B cos C + 1 2 2sin 2 3 = C C 2sin C cos A 2 C C 2sin 1 sin ữ+ 1 sin sin 1 sin ữ + 1 = 2 + 2 +1 ữ 2 2 2 22 2 2 2 2 A sin B sin C... nhm nõng cao hiu qu trong ging dy v hc tp Tụi rt mong nhn c ý kin úng gúp ca c gi D TI LIU THAM KHO 1 B sỏch giỏo khoa hp nht nm 2000 Đinh Thị Lu Trờng THPT Chuyên Quảng Bình 17 Một số kinh nghiệm giải bài toán bất đẳng thức 2 B sỏch giỏo khoa-Ban khoa hc t nhiờn-B sỏch th nht-NXBGD 2003 3 Phng phỏp tỡm GTLN v GTNN ca Phan Huy Khi 4 Ti liu bi dng giỏo viờn THPT chuyờn Bt ng thc v cỏc vn liờn quan ca... 4 8 CM A B C A+ B A B A+ B sin + sin + sin = 2 sin cos + 1 2 sin 2 2 2 2 2 4 4 4 A+ B A+ B 1 3 3 2 A+ B 2 sin + 1 2 sin = 2 sin + 4 4 4 2 2 2 C KT LUN cos A cos B cos C = Ta cú Trờn õy l mt s kinh nghim ỳc rỳt trong quỏ trỡnh ging dy hn 30 nm qua, c bit l trong quỏ trỡnh bi dng hc sinh gii T nhng vn trỡnh by trờn õy cú th rỳt ra kt lun rng: vic nghiờn cu gii cỏc bi toỏn v bt ng thc i vi hc . CBA 16 Một số kinh nghiệm giải bài toán bất đẳng thức Vớ d 3: CM BT (3) c cm d dng t (1), nhng ta cng cú th cm (3) nh sau Vớ d 4: CM BT Ta cú Vớ d 5 : CM Ta cú C. KT LUN Trờn õy l mt s kinh nghim. sinh gii toỏn cỏc cp: Tnh, Quc gia, Olympic khu vc v Olympic quc t. giỳp cỏc em cú thờm mt s kinh nghim trong quỏ trỡnh hc tp nhm nm vng cỏc phng phỏp chng minh bt ng thc ng thi s dng linh. toỏn v bt ng thc, tụi quyt nh vit ti ny nhm chia s cựng ng nghip, hc sinh v c gi mt s phng phỏp, kinh nghim gii bi toỏn bt ng thc. ti gm 2 phn c bn: Phn I: Mt s phng phỏp chng minh bt ng thc.