*GIẢI PHƯƠNG TRÌNH, BẤT PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỶ BẰNG KĨ THUẬT NHÂN LIÊN HỢP. Ta đã biết: ( ) ( ) 44444 344444 21321 B nnnn A nn babbaababa 1221 −−−− ++++−=− Khi đó: A và B gọi là 2 biểu thức liên hợp của nhau. Ví dụ: a+b và a-b là 2 biểu thức liên hợp của nhau vì: 22 ))(( bababa −=−+ 33 ba − và 3 2 3 3 2 baba ++ là 2 biểu thức liên hợp của nhau vì: ( ) ( ) babababa −=++− 3 2 3 3 2 33 . Ta thấy các biểu thức liên hợp của thường xuất phát từ các Hằng đẳng thức đáng nhớ, do vậy ta nên ghi nhớ các tính chất quan trọng sau: ( ) ( ) →−=−+→−=−+ babababababa 22 ))(( ba ba ba + − =− ( ) →++−=− 2233 )( babababa 3 2 3 3 2 33 baba ba ba ++ − =− ( ) →++−=− 2244 ))(( babababa ( )( ) baba ba ba ++ − =− 44 44 Luôn nhớ: bababa bababa bababa ,,0 ,,0 ,,0 3 2 3 3 2 22 22 ∀>+±→      ∀>+− ∀>++ Ta thường áp dụng các tính chất trên vào việc đưa phương trình vô tỷ cho trước thành phương trình tích đơn giản hơn. Ví dụ 1: Giải phương trình: (*)3344212 222 ++=−−+++ xxxxxx Nhận xét: ta thử liên hợp 2 biểu thức có căn. (*) ( ) 04423312 222 =−−+++−++⇔ xxxxxx ( ) ( ) ( ) 0222 3312 22 0442 3312 3312 2 22 2 2 22 22 =−−+ +++++ −− ⇔=−−+ +++++ ++−++ ⇔ xx xxxx xx xx xxxx xxxx ( ) 3102202 3312 1 22 2 22 2 ±=⇔=−−⇒=         + +++++ −−⇔ xxx xxxx xx (vì biểu thức còn lại luôn dương). Vậy phương trình có 2 nghiệm: 31±=x . Ví dụ 2: Giải phương trình: (*)123212 2 +=−−+− xxxx Đk: 2/1 ≥ x Như ví dụ 1, ta thử liên hợp 2 biểu thức có chứa căn: ( ) 0232112(*) 2 =−−++−−⇔ xxxx ( ) 012 112 1 20)12)(2( 112 2 =       ++ ++− −⇔=+−+ ++− − ⇔ x xx xxx xx x Suy ra: x=2. (Vì x>0 nên biểu thức còn lại luôn dương). Ví dụ 3: Giải phương trình: ( ) ( ) 244273213 2 −=++++−+ xxxxx Đk: 3/1 − ≥ x , PT đã cho tương đương với: ( ) ( ) ( )( )      = = = ⇔ =−+−+−⇔ =+−+−+++−⇔ =         − +++ +++ −⇔ −=+++ +++ − 2 1 2/1 022213)12( 0221324)4)(13()12( 02 213 4)4)(13( )12( )12(24273 213 12 2 x x x xxx xxxxx xx xx x xxx xx x So điều kiện, kết luận phương trình đã cho có 3 nghiệm. Ví dụ 4: Giải phương trình: 42118162 22 +=−+++ xxxx Đk:      ≥− ≥++ 01 018162 2 2 x xx , phương trình đã cho tương đương với:     ++++=− = ⇔ =         − ++++ − −⇔ ++−+=− )2(181624212 1 01 1816242 12 1 )1(18162421 22 2 2 2 2 22 xxxx x xxx x x xxxx Cộng (1) và (2) theo vế ta được phương trình: 7 32573 073647 2 8413 2 2 − =⇔    =++ −≥ ⇔+=− x xx x xx So điều kiện, kết luận phương trình đã cho có 3 nghiệm:       − −= 7 32573 ;1;1S Ví dụ 5: Giải bất phương trình: 32532 −≤−−− xxx Đk: 2 ≥ x . BPT đã cho tương đương với: 2 3 0 532 1 1)32(32 532 23 ≥⇔≥       −+− +−⇔−≤ −+− − ⇔ x xx xx xx x Kết hợp với điều kiện đã cho ta có nghiệm của BPT là: );2[ +∞ = S Ví dụ 6: Giải phương trình: ( ) )1(1143 3 234 xxx +−=− VP là một hằng đẳng thức quen thuộc: ( ) ( ) 22234 121143 xxxxx ++++−=− ( ) 11 12 )43( 2 222 22 ++ +++− =−⇔ x xxx xxx 0 11 12 43 2 22 22 =         ++ +++ +−⇔ x xx xxx Nhận thấy: ( ) ( ) 0 116 2511 3 2 3 11 12 43 2 2 2 2 2 2 22 2 > ++ ++−+ +       −= ++ +++ +− x xx x x xx xx Vậy phương trình có 1 nghiệm duy nhất: x=0. Bài tập rèn luyện: Giải các phương trình và bất phương trình sau: 123223432)1 2222 ++++=+++++ xxxxxxx ( ) 3 223 2 2211)2 ++=++++ xxxxx 33 1452)316(22)3 −=−−++ xxxx 2 1 12 1 )4 2 +−>+− x x x x ( ) ( ) 3107125)5 2 =++++−+ xxxx Những ví dụ trên áp dụng cho các phương trình đơn giản mà người làm dễ phát hiện, đó cũng là bước đầu tiên trong phương pháp này, tức là ta nên liên hợp 2 biểu thức chứa căn nếu xuất hiện nhân tử chung thì bài toán được giải quyết, ngược lại nếu không xuất hiện nhân tử chung thì ta có thể tiếp tục 1 trong 2 hướng sau: ***Phương pháp hệ số bất định: Ví dụ 1: Giải phương trình: (*)0272532 2 =++++++ xxxx Đk: 2/3 − ≥ x Rõ ràng khi liên hợp 2 biểu thức chứa căn ta không thấy xuất hiện nhân tử chung. Ta sẽ giải phương trình (*) như sau: ( ) ( ) 057225132 2 =+++−++−+ xxxx ( ) 1052 25 1 132 2 1 0)52)(1( 25 1 132 22 −=⇒=       ++ ++ + ++ +⇔ =+++ ++ + + ++ + ⇔ xx xx x xx x x x x (vì 2/3 − ≥ x nên 2x+5>0). Vậy phương trình có 1 nghiệm: x= -1. Nhận xét: ví dụ trên đặt ra 1 câu hỏi tại sao lại liên hợp căn thức 32 +x và 1? Tại sao lại liên hợp căn thức 5+x và 2? Quy tắc: nếu phương trình có nghiệm hữu tỷ thì khi dùng lượng liên hợp trước hết ta sẽ nhẩm nghiệm hữu tỷ đó (dùng máy tính), giả sử là a, sau đó lần lượt thế giá trị a vào các căn thức, giá trị nhận được chính là lượng liêp hợp với các căn thức đó. Phương pháp này gọi là Hệ số bất định. Ta thử giải lại ví dụ trên: (*)0272532 2 =++++++ xxxx -Bước 1: nhẩm được nghiệm: x= -1 -Bước 2: thay x=-1 vào căn thức 32 +x ta được giá trị bằng 1, nên 32 +x và 1 là 2 biểu thức liên hợp của nhau, tương tự thay x=-1 vào căn thức 5+x ta được giá trị bằng 2, vậy 5+x và 2 là hai biểu thức liên hợp của nhau. Do đó ta mới có bước: ( ) ( ) 057225132 2 =+++−++−+ xxxx rồi giải tương tự như trên. Thử xét ví dụ 2: Ví dụ 2: Giải phương trình: (*)03543 2 3 =++−−−− xxxx Đk: 4 ≤ x Nhẩm được nghiệm: x= -5, lưu ý dấu "-" trước căn thức thứ 2. Vẫn làm như vd trên: ( ) ( ) 06 34 1 432)3( 1 )5( 0)6)(5( 34 5 432)3( 5 0)6)(5( 34 94 432)3( 83 0303423(*) 3 3 2 3 3 2 3 3 2 2 3 =         −+ +− + +−+− +⇔ =−++ +− + + +−+− + ⇔ =−++ +− −− − +−+− +− ⇔ =++−−−−+−⇔ x x xx x xx x x xx x xx x x xx x xxxx Vì 64 < ≤ x nên 6-x>0. Vậy phương trình có 1 nghiệm x=-5. Bài tập rèn luyện: Giải các phương trình và bất phương trình sau: 51103325)1 2 =−++ xx 3 4 361)2 +=−+ xx 02361)3 23 3 2 =−−+++− xxxxx ***Phương pháp gọi số hạng vắng: Ví dụ 1: Giải phương trình: (*)1343212 222 −=−−+−−+−− xxxxxxx Đk: 3 ≥ x Phương trình này có nghiệm nhưng là nghiệm vô tỷ, không nhẩm được, do đó phương pháp hệ số bất định không khả thi, ta sẽ làm như sau: ( ) 02301 132 1 )1(12 1 23 023 132 )1(32 )1(12 )1(12 023132)1(12(*) 2 22 2 2 2 2 2 22 222 =−−⇒=         + −+−− + ++−− −−⇔ =−−+ −+−− −−−− + ++−− +−−− ⇔ =−−+−−−−++−−−⇔ xx xxxxxx xx xx xxx xxx xxx xxx xxxxxxxx Giải phương trình này, so điều kiện, kết luận phương trình có 1 nghiệm: 2 173+ =x Nhận xét: bài toán này vẫn giải bằng phép nhân biểu thức liên hợp nhưng biểu thức liên hợp không là hằng số mà là biểu thức chứa x. Những biểu thức như vậy được gọi là "số hạng vắng". Ví dụ 2: Giải phương trình: (*))1(3112125 22 +=−+++++ xxxxx Đk: 1 ≥ x 20 11 1 )1(12)12(125 )2( 0 11 2 )1(12 )1(12 )12(125 )12(125 011)1(12)12(125(*) 22 2 22 2 22 22 =⇔=         +− + +++ + ++++ −⇔ = +− − + +++ +−+ + ++++ +−++ ⇔ =−−++−+++−++⇔ x x xx x xxx x x x x xx xx xxx xxx xxxxxx Vậy phương trình đã cho có 1 nghiệm x=2. Ví dụ 3: Giải phương trình: ( ) (*)18 93 2 2 += +− x x x Đk: 0;9 ≠ − ≥ xx ( ) 9096189318 93 )9(9 (*) 2 2 2 −=⇔=+⇔+=++⇔+=       ++ +− ⇔ xxxxx x x x So điều kiện, ta kết luận phương trình đã cho có 1 nghiệm: x= -9. Như vậy: khi gặp một phương trình vô tỷ, ta có thể giải bằng phép nhân liên hợp, trước hết ta thử nhẩm nghiệm của phương trình, nếu được nghiệm hữu tỷ ta áp dụng phương pháp hệ số bất định, nếu phương trình có nghiệm vô tỷ thì ta nên thử liên hợp các biểu thức chứa căn với nhau trước, nếu vẫn không được thì chuyển qua phương pháp gọi số hạng vắng hoặc giải bằng phương pháp khác. Ví dụ 4: Giải bất phương trình: ( ) (*)1512 2 −≤−−−− xxxxx Đk: 5/10 ≤ ≤ x ( ) ( ) 223223016 0 )1(2 1 51 2 16 )1(2 124 51 16 .2 )1(2512(*) 2 2 2 2 2 2 2 +≤≤−⇔≤+−⇒ ≤         −+ + −+− +−⇔ −+ −+− ≤ −+− +− ⇔ −−≤−−−⇔ xxx xx xxx xx xx xxx xxx xx xxxxx Kết hợp với điều kiện ban đầu, suy ra bất phương trình đã cho có nghiệm: 2230 −≤≤ x Ví dụ 5: Giải phương trình: 027412.94 2 3 =−+−− xxx ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) 2 5 05252 212 52 94941 12522 025421219412 3 2 3 2 3 =⇒=+−+ +− − + −+−+ −− ⇔ =−+−−+−−−⇔ xxx x x xx xx xxxxPT Bài tập rèn luyện: Giải các phương trình và bất phương trình sau: 1) 7134129 =++++++++ xxxxx 2) 09730296 2 3 =++++++ xxxx 3) ( ) 08312122 22 =+++−−+−++ xxxxxx 4) 0162 49 129 2 2 2 =−++ +++ +++ xx xx xx 5) )3(333743132822719 222 +=++++++++ xxxxxxx 6) 32 1 2 12 2 3 2 2 +−> + −+ ++− xx x xx xx 7) ( ) ( ) 14132322 22 +++−>++++ xxxxxxx 8) ( ) ( ) xxxxxxxx 343413113 22 −+≥−−−+−+ HẾT.