1 BÀI GIẢNG HỌC PHẦN SỐ HỌC (DÀNH CHO SINH VIÊN HỆ ĐẠI HỌC TIỂU HỌC) 2 Chơng 1 Tập hợp Số Tự Nhiên Đ.1. Phép toán hai ngôi trên một tập hợp . 1.1.Phép toán hai ngôi : Cho tập hợp X . Mỗi ánh xạ : XXXt ì : ; ),(),( yxtyx đợc gọi là một phép toán hai ngôi .Ta gọi t(x,y) là kết quả của phép toán t thực hiện trên hai phần tử x và y . Quy ớc nếu t là phép toán trong X và x,y X , viết x * y hoặc x y , thay cho t(x,y) . 1.2. Những tính chất thờng gặp của phép toán : Giả sử * là phép toán xác định trong X . a) Phép toán * có tính chất giao hoán nếu x* y = y* x , với mọi x,y X . b) Phép toán * có tính chất kết hợp nếu (x* y) z = x*(y*z) , với mọi x,y z X . Cho * là phép toán xác định trong X , A là một bộ phận của X . Ta nói A ổn định đối với phép toán * nếu x* y A, với mọi x,y A ( ta gọi * là phép toán cảm sinh trong A hay thu hẹp trong A ). 1.3. Những phần tử đặc biệt : Giả sử * là phép toán xác định trong X . a) Phần tử trung lập : - e X gọi là phần tử trung lập trái của * : e*x = x - e X gọi là phần tử trung lập phải của * : x*e = x - e X gọi là phần tử trung lập của * , nếu e*x = x*e = x , với mọi xX Mỗi phép toán có không quá một phần tử trung lập . b) Phần tử đối xứng : Cho X , phép toán * , phần tử trung lập e - x X gọi là phần tử đối xứng trái của x nếu : x *x = e - x X gọi là phần tử đối xứng phải của x nếu : x*x = e - x X gọi là phần tử đối xứng ( phần tử nghịch đảo , phần tử đối ) của x nếu x * x = x *x , với mọi xX . Đối với phép cộng ( + ) ký hiệu phần tử đối xứng của a là -a . Đối với phép nhân (.) ký hiệu phần tử đối xứng của a là a -1 (phần tử nghịch đảo ). 3 c) Phần tử chính qui : Cho X , phép toán * , - x X gọi là chính qui bên trái nếu : x*y = x* z thì y = z . - x X gọi là chính qui bên phải nếu : y*x = z* x thì y = z . - x X gọi là chính qui nếu x là chính qui bên trái và chính qui bên phải . 1.4. Bộ phận ổn định phép toán cảm sinh . -A X , A là ổn định đối với phép toán * trong X , nếu với mọi x , yA thì x*y A và * là phép toán cảm sinh trong A . Đ.2. Một số cấu trúc cơ bản 2.1. Nửa nhóm : Giả sử * là phép toán xác định trong X . Ta nói X cùng với * là một nửa nhóm , nếu phép toán * có tính chất kết hợp . Nửa nhóm X có phần tử trung lập gọi là vị nhóm . Cho X là một nửa nhóm . Nếu A ổn định đối với phép toán * trong X thì ta gọi (A,* ) là một nửa nhóm con của X . 2.2. Nhóm , nhóm con Tập G cùng với phép toán * là một nhóm , nếu thoả mãn : (i) (x*y)*z = x*(y*z) , với mọi x,y z G . (ii) Tồn tại phần tử trung lập e G . (iii) Với mọi x G , tồn tại phần tử đối xứng x G , sao cho x*x = x*x =e . Hơn nữa nếu G có tính chất giao hoán thì G là nhóm giao hoán aben . Nếu G là một tập hợp hữu hạn , có n phần tử , ta nói G là nhóm hữu hạn cấp n . Ngợc lại G là nhóm cấp vô hạn . Bộ phận ổn định A của nhóm G là nhóm con ( của nhóm G ), nếu A với phép toán cảm sinh là một nhóm . Định lý : A là một bộ phận khác rỗng của nhóm G . Khi đó các phát biểu sau là tơng đơng : (i) A là một nhóm con của G . 4 (ii) A ổn định đối phép toán trong G và mỗi phần tử a A đều có phần tử nghịch đảo a trong A . 2.3. Vành Định nghĩa :Tập R cùng với hai phép toán ( ta thờng ký hiệu là + và . ) là một vành , nếu thoả mãn : (i) (R, + ) là một nhóm aben . (ii) ( R , . ) là một nửa nhóm . (iii) Giữa phép cộng và phép nhân có tính chất phân phối : a. (b + c ) = ab + ac và ( b+ c ) a = ba + ca ; với mọi a,b,c R . Hơn nữa nếu phép nhân có tính chất giao hoán thì R là vành giao hoán . Phép nhân có phần tử đơn vị thì R là vành có đơn vị . 2.4. Trờng : Định nghĩa : Cho ( T , + ,. ) là một vành . Ta nói T là một trờng , nếu (T \ { } 0 , . ) là một nhóm aben . Định lý 3.1 Giả sử ( R , + , . ) là một vành , khi đó với mọi a,b,c R , luôn có : (i) a. (b - c ) = ab - ac và ( b- c ) a = ba - ca . (ii) a.0 = 0 . (iii) a(-b) = (-a ).b = - ab ; (- a ).( - b ) = ab . Định lý 3.2. Cho R là một vành và a,b ,c R. Khi đó các phát biểu sau là tơng đơng : (i) Nếu ab = 0 thì a =0 hoặc b =0 . (ii) Nếu a 0 và b 0 thì ab 0 . (iii) Giả sử c 0 . Nếu ac = bc thì a = b ; nếu ca = cb thì a =b . (iv) ab = 0 và a 0 thì b = 0 . Cho R là một vành . Bộ phận A của R là vành con của vành R , nếu A cùng với hai phép toán cảm sinh trong A cũng là một vành . Định lý 3.3. Giả sử A là một bộ phận khác rỗng của vành R . Khi đó các mệnh đề sau là tơng đơng : (i) (A) là vành con của vành R . (ii) Với mọi a, b A , a+b A , ab A và - a A . 5 (iii) Với mọi a,b A , a-b A và ab A . Cho T là một trờng . Bộ phận A của T là trờng con của trờng T , nếu A cùng với hai phép toán cảm sinh trong A cũng là một trờng . Đ3. tập hợp Số Tự Nhiên 3.1 Tập hợp hợp tơng đơng, bản số. 3.1.1 Tập tơng đơng Định nghĩa: Cho X,Y là hai tập hợp. Ta nói tập hợp X tơng đơng với tập hợp Y , ký hiệu là X Y khi và chỉ khi có một song ánh từ X lên Y. Hai tập hợp tơng đơng còn đợc gọi là hai tập hợp có cùng lực lợng. Ví dụ1 h : Z 2Z , với f( z) = 2z , 2Z là tập số nguyên chẵn. Ta chứng minh đợc h là song ánh.Theo định nghĩa Z tơng đơng với tập 2Z. Ví dụ 2: Tập A có 4 đĩa , tập B gồm 4 chén B A vì có song ánh f : B A Ví dụ 3: X = {1, 2, 3, 4} , Y = { a, b, c, d} f là song ánh khi có f: 1 2 3 4 a b c d 3.1.2 Bản số của một tập hợp Quan hệ cùng lực lợng giữa các tập hợp có các tính chất sau đây: Định lý: Với các tập A, B, C tùy ý ta có: A A (tính chất phản xạ) Nếu A B thì B A (tính chất đó xứng) Nếu A B và B C thì A C (tính chất bắc cầu) Chứng minh: - Ta đã biết ánh xạ đồng nhất 1 A : A A là một song ánh. Điều đó chứng tỏ, theo định nghĩa A A - Nếu A B thì có song ánh f : A B . Ta đã biết nếu f là song ánh thì f có ánh xạ ngợc f -1 : B A cũng là một song . Song ánh f -1 chứng tỏ B A. 6 - Nếu A B thì có song ánh f : A B , nếu B C thì có song ánh g : B C . Tích g.f của hai song ánh f, g cũng là một song ánh từ A lên C . Song ánh này chứng tỏ A C. Ta nhận thấy quan hệ có cùng lực lợng giữa các tập hợp có cả ba tính chất của một quan hệ tơng đơng. Nh vậy ta có thể phân lớp các tập hợp : các tập hợp có cùng lực lợng có cùng một lớp. Vì thế ta có thể dùng mỗi lớp để xác định thuộc tính đặc trng về lực lợng của một tập hợp. Thuộc tính đặc trng xác định mỗi lớp gọi là bản số của tập hợp. Các tập hợp có cùng bản số khi và chỉ khi chúng có cùng lực lợng(bản số còn đợc gọi là lực lợng). Bản số của tập hợp A ký hiệu là Card(A). Ta có thể viết Card(A) = Card(B) A B Nh vậy ta có thể hiểu bản số nh là một tính chất đặc trng phản ánh mặt số lợng của tập hợp (đối với các tập hợp hữu hạn, khái niệm về bản số chính là khái niệm về số lợng thông thờng) 3.2 Khái niệm tập hữu hạn, tập vô hạn - Định nghĩa: Một đơn ánh từ tập X đến tập X , với X khác trống đợc gọi là đơn ánh thực sự nếu nó không là toàn ánh.( Đơn ánh thực sự) Ví dụ : g : Z Z z 2z +1. ( Mọi số nguyên chẵn đều không có tạo ảnh) . - Định nghĩa: một đơn ánh từ X vào Y gọi là đơn ánh thực sự nếu nó không là toàn ánh. - Định nghĩa: Một tập gọi là vô hạn nếu nó tơng đơng ( có cùng lực lợng ) với một bộ phận thực sự của nó. Tập hợp không phải là vô hạn thì gọi là tập hữu hạn. Từ định nghĩa suy ra: Tập X đợc gọi là tập hữu hạn nếu không có một đơn ánh thực sự nào từ X đến X. Một tập hợp đợc gọi là vô hạn nếu nó không phải là tập hữu hạn. Ví dụ: là tập hữu hạn, {a} tập hữu hạn. 3.3 Định nghĩa số tự nhiên - Định nghĩa: Bản số của một tập hữu hạn đợc gọi là một số tự nhiên. 7 Tập hợp các số tự nhiên ký hiệu là N Nh vậy nếu x là một số tự nhiên thì tồn tại một tập hợp hữu hạn X sao cho Card(X) = x Ví dụ: Card ({a } ) = 1 Ta gọi là số 1. Card ( ) = 0. Rõ ràng 1 0 Nếu X là tập hữu hạn có n phần tử thì car (X) = n . Thừa nhận N = {0, 1, 2, 3, 4, 5, , n, } 3.4 Quan hệ thứ tự trên tập hợp số tự nhiên - Cho X = {1, 2, 3, 4}; U = {m, n, p}.Tập U X 1 X nếu tồn tại đơn ánh thực sự f từ U đến X. Hay f(U) X và U f(U) . - Định lý Căng to: Nếu X và Y là hai tập hợp bất kỳ thì: 1- Hoặc X Y 1 Y , hoặc Y X 1 X 2- Nếu X Y 1 Y và Y X 1 X thì X Y -Phát biểu dạng tơng đơng: Nếu X,Y là hai tập hợp bất kỳ thì : 1- Trong các ánh xạ từ X đến Y và từ Y đến X bao giờ cũng có một đơn ánh. 2- Nếu có một đơn ánh từ X đến Y và từ Y đến X thì sẽ có một song ánh từ X đến Y. Dựa vào địng lý Căngto ta sẽ xây dựng quan hệ thứ tự trên tập hợp số tự nhiên N nh sau : - Định nghĩa: Giả sử x và y là hai số tự nhiên và hai tập X, Y hữu hạn, sao cho x= Card(X), y = Card(Y). Ta nói x nhỏ hơn hay bằng y ký hiệu là x y X Y 1 Y Nếu x y và x y ta viết x < y và đọc là x nhỏ hơn thực sự y Khi x y ta còn viết y x và đọc là y lớn hơn hoặc bằng x - Định lý : Quan hệ " " vừa định nghĩa là một quan hệ thứ tự toàn phần trên N. 8 Chứng minh: 1) Quan hệ " " là quan hệ thứ tự bộ phận, thỏa mãn: -Tính chất phản xạ : Giả sử x= card(x) , x X , luôn có X X x x. -Tính chất phản xứng: Giả sửb x= card(x), y = card(Y) , nếu có đồng thời x y và y x , tức có X Y 1 Y và Y X 1 X , tức X Y . Do đó x = y. -Tính bắc cầu: Nếu có x= card(X), y = card(Y), z = card(Z) , mà x y, y z . Vì x y nên tồn tại đơn ánh f : X Y. Vì y z nên tồn tại đơn ánh g : Y T gf: X T cũng là đơn ánh. Vậy X T 1 T hay x z - Ta chứng minh quan hệ thứ tự trong N là quan hệ thứ tự toàn phần: Giả sử x, y N , x= cardX, y = cardY. Theo Căngto hoặc X Y 1 Y x y, hoặc Y X 1 X y x 3.5 Số liền sau: x, y N sao cho x= card(X) , y = card(Y) và X Y Định nghĩa: Gọi y là số liền sau của số x Card ( Y\ X) = 1. Ta cũng nói x là số liền trớc của y. ( hai sốliền nhau). Số liền sau của số tự nhiên x thờng ký hiệu là x ' Rõ ràng tập hợp X \Y là tập đơn tử. Do đó bản số của nó là 1. Ta có x < x' hay x' = x + 1. Số 1 là liền sau của số 0. Hay 0' = 1, , n' = n + 1, n N. - Tính chất của số liền sau : + Mọi số tự nhiên x có một số liền sau. Giả sử x = card(X). Xét tập {X} là tập đơn tử mà phần tử là tập X. Rõ ràng {X} không phải là phần tử của X. Lúc đó Y = X {X} cũng là một tập hợp hữu hạn và ta có Card(Y-X) = 1. Vậy số tự nhiên y = Card(Y) là số liền sau của x. +Ngời ta còn chứng minh đợc tính duy nhất của số liền sau: Mỗi số tự nhiên có và chỉ có một số liền sau. + Số 0 không là số liền sau. Nói khác đi số 0 không có số liền trớc. + Mọi số tự nhiên x 0 đều là số liền sau của một số tự nhiên (nói khác đi mọi số tự nhiên x 0 đều có số liền trớc). 9 Giả sử x là số tự hiên khác 0 và card(X) = x. Thế thì X và do đó tồn tại a X. Khi đó Y = X - {a} X và card(X-Y) = card({a}) = 1. Vậy x là số tự nhiên liền sau của y = Card(Y) + Giữa hai số tự nhiên x và x' không có số tự nhiên nà khác. Thật vậy giả sử có số tự nhiên y sao cho x < y < x ' . Khi đó tồn tại các tập hợp hữu hạn X, Y, X' sao cho x = Card(X) , y = Card(Y) , x' = Card(X') trong đó X Y X' . Theo định nghĩa số liền sau Card(X- X ' ) = 1 hay X- X ' là một tập hợp đơn tử. Nhng do Y- X X'-X nên ta phải có hoặc Y-X = hoặc Y-X = X'-X. Điều đó có nghĩa ta có hoặc Y=X hoặc Y = X' . Điều này mâu thuẫn với giả sử của số tự nhiên y. Vậy không thể có số tự nhiên y ở giữa hai số x và x ' . Tính chất trên còn có thể phát biểu dạng khác: x và y là hai số tự nhiên nếu x < y thì x' y (x' là số liền sau của x) Với khái niệm số liền sau và các tính chất nêu trên, ta có dãy các số tự nhiên quen thuộc: 0, 0' = 1, 1' = 2 , 2' = 3, , n' = n + 1, - Một số tính chất cơ bản khác Định lý1: ( Tiên đề qui nạp). Nếu M là bộ phận của tập hợp các số tự nhiên thỏa mãn hai điều kiện: 1) 0 M 2) Nếu x M thì x' M (x' là số liền sau của x). Khi đó M = N. Định lý 2: Mọi bộ phận khác rỗng các số tự nhiên đều có số nhỏ nhất. Chứng minh: Giả sử M N , M . Ta chứng minh M có số nhỏ nhất. Nghĩa là tồn tại số m M , mà m x với x M . Xét M' = { n N\ n x , x M } . Hiển nhiên 0 M' và nếu x M thì x' M , do x< x' .Chứng tỏ M' N.Do M' N nên có m M' mà m' M' vì nếu không nh vậy thi M' = N ( Định lý 1) . Điều nay trái giả thiết M' N. Ta chứng minh m M. Thật vậy , nếu m thì từ m x, x M ( Do m M') ta phải có m <x, x M. Từ m < x , x M ta lại có m' x , x M . (Theo tính hất 4 của số liền sau) điều này chứng tỏ m' M', mâu thuẫn với giả thiết về m. Vậy m M , nghĩa m là số nhỏ nhất của tập M. 3.6 Hệ tiên đề về số tự nhiên ( Hệ tiên đề Pêanô - Nhà toán học ý 1858- 1932) 10 Tập N mà các phần tử gọi là số tự nhiên với quan hệ liền sau sẽ đợc gọi là tập hợp số tự nhiên nếu nó thỏa mãn 4 tien đề sau: 1) Có số tự nhiên đợc ký hiệu bằng 0. 2) Mỗi số tự nhiên đều có và chỉ có một số liền sau. 3) Số 0 không đứng liền sau bất kỳ số nào. 4) Nếu một bộ phận A của tập hợp số tự nhiên N có tính chất: - Chứa số 0. - Nếu x A thì số liền sau x' xủa x cũng thuộc A. Khi đó A trùng với N. Với 4 tiên đề trên có thể thiết lập đợc tất cả các tính chất của N. nh lý : Hệ tiên đề Peano là không mâu thuẫn, đầy đủ và độc lập. Bài tập thực hành Bài1 : Chứng minh rằng tập hợp các số Tự nhiên là tập vô hạn. Thật vậy nếu tập N vô hạn thì tồn tại song ánh f: N 2N , 2N= {2n\ n N} n 2n n 1 ,n 2 N , giả sử n 1 n 2 2n 1 2n 2 hay f(n 1 ) f(n 2 ) , f là đơn ánh. Mỗi Nn 2 , N n n = 2 sao f(n) = f( 2 n ) = 2. 2 n = n, f là song ánh Tập 2N ~ N, 2N N, N vô hạn. Bài 2: Chứng minh tính chất giao hoán của phép nhân; Tính chất kết hợp của phép cộng và phép nhân trên tập hợp các số tự nhiên. - Tính chất giao hoán của phép nhân : Nba , , ab = ba. Thật vậy , Gỉa sử Nba , , khi dó tồn tại hai tập hợp hữu hạn A,B sao cho a = card(A) , b = card(B) . Ta có : a.b = card(A ì B) , b.a = card(B ì A) . Ta chứng minh (A ì B) ~ (B ì A). Thật vậy : xét ánh xạ f: (A ì B) (B ì A) (a,b) (b,a) Rõ ràng f là song ánh Giả sử ( a 1 , b 1 ) , (a 2 ,b 2 ) (A ì B) và ( a 1 , b 1 ) (a 2 ,b 2 ) Khi đó f((a 1 , b 1 )) = ( b 1 , a 1 ), f((a 2 , b 2 )) = ( b 2 , a 2 ), vì 21 21 bb aa f((a 1 , b 1 )) f((a 2 , b 2 )) [...]... hiện các phép chia có d của số a cho số b trong các trờng hợp sau: a) a = - 75 , b = 4 ; b) a = -59, b = -7 ; c) a = 87, b = - 13 Bài 3 Chứng minh rằng với n Z, ta có: a) n2 - n 2 b) n3- n 3 c) n5 - n 5 Bài 4 Khi chia số 217 cho số tự nhiên x , ta đợc thơng hụt là 10 Tìm số chia và số d Bài 5 Khi chia số 315 cho số tự nhiên x , ta đợc thơng hụt là 10 Tìm số chia và số d Đ 2 Ước chung lớn nhất... cho b đợc q, d r Số q gọi là số thơng hụt, số r gọi là số d Việc tìm số thơng hụt q và số d r gọi là thực hiện phép chia có d của a cho b Trờng hợp số d r = 0, ta có a = b.q, nghĩa là a chia hết cho b Vậy phép chia hết là một trờng hợp riêng của phép chia có d 1.4 Bài tập Hớng dẫn nghiên cứu : 31 Bài 1: Cho a, b, c Z Chứng minh rằng : a) Nếu a bc thì a b và a c b) Nếu a c thì (a+b) c b c Bài. .. chia hết: Cho số tự nhiên a, b và b 0 Nếu có một số tự nhiên q sao cho a = bq thì ta nói có phép chia a cho b, a chia hết cho b ký hiệu là a b, khi đó a gọi là bội của b, b là ớc của a Khi a b ta còn nói b chia hết a Ký hiệu b\ a - Từ định nghĩa suy ra: Số 0 là bội của mọi số tự nhiên khác 0 Mọi số tự nhiên đều chia hết cho 1 Quan hệ "\" là quan hệ thứ tự bộ phận trong N* Thật vậy: Quan hệ chia hết... nhiều số tự nhiên với nhau ta cộng hai số với nhau, cứ nh vậy cho đến hết - phép nhân: Số tự nhiên d = card ( A ì B) gọi là tích của hai số tự nhiên a và b Ký hiệu là: a.b = d ( hoặc a ì b ) Qui tắc cho phép xác định tích hai số tự nhiên gọi là phép nhân các số tự nhiên Từ định nghĩa : Nhân nhiều số tự nhiên với nhau ta nhân hai số với nhau, cứ nh vậy cho đến hết Khi đó a, b còn gọi là các thừa số và... c2k) - ( c1+ c3+ + c2k+1) Ví dụ: Không chia , cho biết số 9873215 có chia hết cho 11 không? Ta có tổng chữ số hàng chẵn là: 5 + 2+ 7+ 9 = 23 Tổng chữ số hàng lẻ là: 1+ 3+ 8 = 12 Hiệu là 23 - 12 = 11 là bội của 11 Vậy số 9873215 11 5.5 Dấu hiệu chia hết cho 8 hoặc 125 Định lý: Một số chia hết cho 8 hoặc 125 số tạo bởi ba chữ số cuối cùng của nó chia hết cho 8 hoặc 125 Chứng minh: Ta có a = cn cn 1... y và z < 0 thì xz yz 6.3 Số kề sau : 1) Định lý : Với mọi x , không tồn tại số nguyên nào nằm giữa x và x + 1 Nghĩa là không tồn tại y , sao cho x < y < x + 1 2 )Số liền sau : Số nguyên x +1 đợc gọi là số liền sau của số nguyên x 6.4 Bộ phận bị chặn : 1) Giả sử M là một bộ phận của tập hợp các số nguyên +) M gọi là bị chặn trên , nếu tồn tại số nguyên m , sao cho : x m , với mọi x M 26... hết cho 2 và 5 : Định lý: Một số chia hết cho 2 hoặc 5 chữ số hàng đơn vị của nó chia hết cho 2 hoặc 5 Chứng minh: Giả sử a = cn cn 1 c1c0 = cn10n + cn-110n-1 + +10c1 + c0 = 10(cn10n-1+ cn-110n-2+ + c1) + c0 = 10q + c0 Vì 10 2 và 10 5 nếu c0 2 hoặc c0 5 thì a 2 hoặc a 5 6.2.Dấu hiệu chia hết 4 và 25 : Định lý: Một số chia hết cho 4 hoặc 25 số tạo bởi hai chữ số cuối cùng của nó chia hết cho. .. đếm thập phân - cách ghi số : Bổ đề 1: Với 2 số tự nhiên a, b > 0 luôn tồn tại số tự nhiên n sao cho n.b > a Bổ đề 2: Với a,b , b>0 , tồn tại duy nhất hai số tự nhiên q,r sao cho a = bq + r , 0 r . - Nếu A B th có song ánh f : A B . Ta đã biết nếu f là song ánh th f có ánh xạ ngợc f -1 : B A cũng là một song . Song ánh f -1 chứng tỏ B A. 6 - Nếu A B th có song ánh f :. song ánh f : A B , nếu B C th có song ánh g : B C . Tích g.f của hai song ánh f, g cũng là một song ánh từ A lên C . Song ánh này chứng tỏ A C. Ta nhận th y quan hệ có cùng lực lợng. định lý trên đợc gọi lần lợt là th ng ( th ng hụt) và d trong phép chia a cho b. Nếu r = 0 th a = bq.Ta có phép chia hết. Nếu r 0 th a = bq + r , q th ng hụt (th ng gần đúng), r là số d. -