ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN HOÀNG THẾ TUẤN SỰ TỒN TẠI NGHIỆM CỦA MỘT HỆ PHẢN ỨNG CÁC CHẤT XÚC TÁC - ỨC CHẾ Chuyên ngành: Toán giải tích Mã số : 60.46.01 LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Người hướng dẫn: TS. Lê Huy Chuẩn Hà Nội - 2011 Mục lục 1 Kiến thức chuẩn bị 1 1.1 Không gian các hàm nhận giá trị trong một không gian Banach . . . . 1 1.1.1 Không gian các hàm khả vi liên tục . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1.1.2 Không gian các hàm liên tục Holder . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.1.3 Không gian các hàm liên tục Holder có trọng . . . . . . . . . . . 3 1.1.4 Không gian các hàm giải tích . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.2 Toán tử tuyến tính . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.2.1 Hạn chế của toán tử tuyến tính . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.2.2 Tập giải thức, tập phổ và Tích phân Dunford . . . . . . . . . . 5 1.2.3 Nửa nhóm liên tục mạnh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.2.4 Nửa nhóm giải tích . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.3 Nội suy không gian Banach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.4 Không gian và các toán tử liên hợp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.4.1 Không gian đối ngẫu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.4.2 Không gian liên hợp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.4.3 Toán tử liên hợp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 1.5 Ngoại suy không gian Banach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 1.6 Toán tử tuyến tính liên kết với dạng tựa tuyến tính . . . . . . . . . . . 12 1.6.1 Dạng tựa tuyến tính và toán tử liên kết . . . . . . . . . . . . . . 12 1.6.2 Dạng liên hợp và toán tử liên hợp . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 1.7 Không gian Sobolev-Lebesgue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 1.7.1 Biên của miền . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 1.7.2 Không gian Sobolev với cấp nguyên . . . . . . . . . . . . . . . . 15 1.7.3 Không gian Sobolev-Lebesgue trong R n . . . . . . . . . . . . . . 15 1.7.4 Không gian Sobolev-Lebesgue trong R n + hoặc trong một miền bị chặn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 1.7.5 Các định lí nhúng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 i 1.7.6 Vết . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 1.7.7 Không gian ˚ H s p (Ω) và H −s p (Ω) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 1.7.8 Không gian tích . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 2 Toán tử quạt, hàm mũ và toán tử lũy thừa 20 2.1 Toán tử quạt và vài tính chất cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 2.1.1 Định nghĩa toán tử quạt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 2.1.2 Toán tử quạt liên kết với một dạng tựa tuyến tính . . . . . . . . 21 2.1.3 Toán tử quạt trong không gian L 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 2.1.4 Tính chất chuyển trong L 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 2.2 Hàm mũ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 2.2.1 Nửa nhóm giải tích sinh bởi một toán tử quạt . . . . . . . . . . 26 2.2.2 Bài toán Cauchy đối với phương trình tiến hóa tuyến tính . . . 29 2.3 Toán tử lũy thừa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 2.3.1 Toán tử lũy thừa và nửa nhóm giải tích . . . . . . . . . . . . . . 31 2.3.2 Miền của một toán tử elliptic lũy thừa trong L 2 . . . . . . . . . 32 2.3.3 Nghiệm của phương trình tiến hóa nửa tuyến tính . . . . . . . . 33 3 Sự tồn tại nghiệm của một hệ phản ứng các chất Xúc tác-Ức chế 36 3.1 Đặt bài toán . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 3.2 Nghiệm địa phương . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 3.3 Nghiệm địa phương không âm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 3.4 Nghiệm toàn cục . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 3.4.1 Uớc lượng dưới . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 3.4.2 Đánh giá tiên nghiệm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 3.4.3 Nghiệm toàn cục . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 3.4.4 Ước lượng toàn cục. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 Tài liệu tham khảo 48 ii Lời mở đầu Một trong những cách tiếp cận hệ thống để nghiên cứu các phương trình, hệ phương trình vi phân với biến thời gian là lý thuyết nửa nhóm. Lý thuyết này dựa trên những kết quả về nửa nhóm giải tích được phát triển vào những năm 50 của thế kỉ trước. Điểm nổi bật trong cách tiếp cận này là cho công thức tổng quát biểu diễn nghiệm. Chẳng hạn, nửa nhóm giải tích e −tA sinh bởi toán tử tuyến tính −A là một nghiệm cơ bản của Bài toán Cauchy đối với phương trình tiến hóa tuyến tính ô-tô-nôm, dU dt + AU = F (t), 0 < t ≤ T; U(0) = U 0 và nghiệm tổng quát của nó được cho bởi công thức U(t) = e −tA U 0 +  t 0 e −(t−s)A F (s)ds. Không chỉ vậy, mỗi nghiệm của Bài toán Cauchy đối với phương trình tiến hóa nửa tuyến tính, dU dt +AU = F (U), 0 < t ≤ T ; U(0) = U 0 cũng là một nghiệm của phương trình tích phân U(t) = e −tA U 0 +  t 0 e −(t−s)A F (U(s))ds. Những công thức nghiệm như thế cung cấp cho ta nhiều thông tin quan trọng về các nghiệm như tính duy nhất, tính chính quy tối đại, tính trơn v.v. Đặc biệt đối với các bài toán phi tuyến, ta có thể suy ra tính liên tục Lipchitz hoặc thậm trí đạo hàm Frechet của nghiệm theo giá trị ban đầu. Từ đó xây dựng được hệ động lực xác định bởi Bài toán Cauchy; nghiên cứu được dáng điệu tiệm cận của nghiệm; chỉ ra sự tồn tại của tập hút; nghiên cứu được tính ổn định hoặc không ổn định của nghiệm dừng; xây dựng được đa tạp trơn ổn định hoặc không ổn định v.v. thậm trí bằng phương pháp giải gần đúng ta có thể thu được lời giải số của nghiệm. Luận văn này sử dụng lý thuyết nửa nhóm giải tích để chứng minh tính tồn tại nghiệm của một hệ phản ứng các chất Xúc tác-Ức chế. Chúng tôi chia luận văn ra làm ba chương. Chương 1 nói về một số không gian hàm nhận giá trị trong một không gian Banach, những nét khái quát nhất về các không gian Sobolev, về toán tử tuyến tính, không gian liên hợp và toán tử liên hợp. Chúng tôi cũng giới thiệu ở đây khái niệm và một số tính chất nội suy, ngoại suy của một không gian Banach. Chương 2 giành để nói về toán tử quạt, hàm mũ và toán tử lũy thừa. Chúng tôi đề cập đến ở đây khái niệm toán tử quạt liên kết với một dạng tựa tuyến tính và nghiên cứu tính chất chuyển của toán tử này trong L 2 . Ngoài ra sự tồn tại nghiệm của Bài toán Cauchy đối với phương trình tiến hóa tuyến tính, nửa tuyến tính cũng được phát biểu. Chương 3 trình bày những kết quả nghiên cứu mới về sự tồn tại nghiệm toàn cục của một hệ phản ứng các chất Xúc tác-Ức chế. Bằng cách sử dụng lý thuyết nửa nhóm giải tích, chúng tôi đã chứng minh được sự tồn tại nghiệm toàn cục của hệ phản ứng iv các chất Xúc tác-Ức chế trong một trường hợp riêng. Do thời gian và năng lực có hạn, một số điểm trình bày trong luận văn có thể còn thiếu xót. Tác giả mong muốn nhận được sự góp ý của các thầy, các cô cũng như của các bạn đồng nghiệp. Hà nội, tháng 04 năm 2011 Hoàng Thế Tuấn v Chương 1 Kiến thức chuẩn bị 1.1 Không gian các hàm nhận giá trị trong một không gian Banach Cho X là một không gian Banach với chuẩn ||. ||. Ta sẽ giới thiệu một số không gian các hàm nhận giá trị trong X, xác định trên một khoảng của R hoặc một miền của C. Không gian các hàm bị chặn đều Cho [a, b] là một đoạn trong R. Xét không gian các hàm bị chặn đều trên [a, b], kí hiệu là B([a, b]; X). Trên B([a, b]; X) ta đưa vào chuẩn supremum F  = sup a≤t≤b F (t). Với chuẩn này B([a, b]; X) là một không gian Banach. 1.1.1 Không gian các hàm khả vi liên tục Cho [a, b] là một đoạn trong R và m = 0, 1, 2, là số nguyên không âm. Kí hiệu C m ([a, b]; X) là không gian các hàm khả vi liên tục đến cấp m trên [a, b]. Khi m = 0, C 0 ([a, b]; X) là không gian các hàm liên tục và thường được kí hiệu một cách đơn giản là C([a, b]; X). Trên C m ([a, b]; X) ta sử dụng chuẩn sau F  C m = m  i=0 max a≤t≤b ||F (i) (t)||. Với chuẩn này C m ([a, b]; X) là một không gian Banach (xem [1, Tr. 10]). Sau đây là hai kết quả cơ bản. 1 Định lý 1.1.1. Cho A là một toán tử tuyến tính đóng trong X. Nếu F ∈ C([a, b]; X) và AF ∈ C([a, b]; X), thì A  b a F (t)dt =  b a AF (t)dt. Chứng minh. Xét một phân hoạch đoạn [a, b] bởi các điểm mốc a = t 0 < t 1 < < t N = b và lấy tổng N  n=1 (t n − t n−1 )F (τ n ) với t n−1 ≤ τ n ≤ t n . Rõ ràng A( N  n=1 (t n − t n−1 )F (τ n )) = N  n=1 (t n − t n−1 )AF (τ n ). Cho N → ∞ với điều kiện max 1≤n≤N (t n − t n−1 ) → 0, ta được  b a F (t)dt ∈ D(A) và A  b a F (t)dt =  b a AF (t)dt. Định lý 1.1.2. Cho a ∈ C([0, T ], R) và f ∈ C([0, T ], R). Nếu u ∈ C([0, T ], R) ∩ C 1 ((0, T ], R) và thỏa mãn bất đẳng thức vi phân du dt + a(t)u ≤ f (t), 0 < t ≤ T, (1.1) thì u(t) ≤ e −  t 0 a(τ)dτ u(0) +  t 0 e −  t s a(τ)dτ f(s)ds, 0 < t ≤ T. Nói riêng, nếu a(t) ≡ δ > 0 và f (t) ≡ f > 0 thì u(t) ≤ e −δt u(0) + fδ −1 , 0 < t ≤ T. Chứng minh. Với mỗi t cố định, ta có d ds  u(s)e −  t s a(τ)dτ  = [u  (s) + a(s)u(s)]e −  t s a(τ)dτ ≤ f (s)e −  t s a(τ)dτ . Lấy tích phân hai vế của bất đẳng thức này theo s trên đoạn [0, t], ta thu được u(t) − u(0)e −  t s a(τ)dτ ≤  t 0 f(s)e −  t s a(τ)dτ ds. Từ (1.1) chúng ta có u(t) ≤ e −  t 0 a(τ)dτ u(0) +  t 0 e −  t s a(τ)dτ f(s)ds, 0 < t ≤ T. Nói riêng, nếu a(t) ≡ δ > 0 thì u(t) ≤ e −δt u(0) +  t 0 e −δ(t−s) f(s)ds, 0 < t ≤ T. Thêm vào đó, nếu f(t) ≡ f > 0 thì u(t) ≤ e −δt u(0) + fδ −1 , 0 < t ≤ T. 2 1.1.2 Không gian các hàm liên tục Holder Với m = 0, 1, 2, và một số mũ σ ∈ (0, 1), kí hiệu C m+σ ([a, b]; X) là không gian các hàm khả vi liên tục m lần, có đạo hàm cấp m liên tục Holder trên [a, b] với số mũ σ. Trên C m+σ ([a, b]; X) ta đưa vào chuẩn F  C m+σ = F  C m + sup a≤s<t≤b F (m) (t) − F (m) (s) |t − s| σ . Với chuẩn này, C m+σ ([a, b]; X) là một không gian Banach (xem [3, Tr. 241]). Khi σ = 1, gọi C m,1 ([a, b]; X) là tập tất cả các hàm khả vi liên tục tới cấp m, có đạo hàm cấp m liên tục Lipchitz trên [a, b]. Trên lớp hàm này ta đưa vào chuẩn sau F  C m,1 = F  C m + sup a≤t<s≤b F (m) (t) − F (m) (s) |t − s| . Tương tự như trong trường hợp trên, với chuẩn vừa chỉ ra C m,1 ([a, b]; X) là một không gian Banach (xem [1, Tr. 10]). 1.1.3 Không gian các hàm liên tục Holder có trọng Cho hai số mũ 0 < σ < β ≤ 1, kí hiệu F β, σ ((a, b]; X) là không gian các hàm liên tục trên (a, b] (tương ứng trên [a, b]) khi 0 < β < 1 (tương ứng khi β = 1) với các tính chất sau 1. Khi β < 1, (t − a) 1−β F (t) có giới hạn khi t → a; 2. F liên tục Holder với số mũ σ và với trọng (s −a) 1−β+σ , tức là: sup a≤s<t≤b (s −a) 1−β+σ F (t) − F (s) (t − s) σ = sup a≤t≤b sup a≤s<t (s −a) 1−β+σ F (t) − F (s) (t − s) σ < ∞; 3. Khi t → a, ω F (t) = sup a≤s<t (s − a) 1−β+σ ||F (t) − F (s)|| (t − s) σ → 0. Trên F β, σ ((a, b]; X) ta đưa vào chuẩn F  F β, σ = sup a≤t≤b (t − a) 1−β F (t) + sup a≤s<t≤b (s − a) 1−β+σ F (t) − F (s) (t − s) σ . Khi đó F β,σ ((a, b]; X) trở thành một không gian Banach (xem [14, Tr. 5]). 3 1.1.4 Không gian các hàm giải tích Cho D là một miền trong mặt phẳng phức C. Một hàm f(λ) xác định trên D, nhận giá trị trong X được gọi là giải tích trong D nếu f khai triển được thành chuỗi Taylor tại mọi điểm trong D. Tất cả các tính chất của các hàm giải tích phức thông thường đều có thể được mở rộng cho hàm giải tích nhận giá trị trong X. Chẳng hạn ta có công thức Tích phân Cauchy f(λ) = 1 2πi  C f(µ) µ − λ dµ đúng cho mọi đường cong Jordan C trơn, hoặc trơn từng khúc bao quanh λ trong D. 1.2 Toán tử tuyến tính Toán tử tuyến tính bị chặn Cho X, Y là các không gian Banach với các chuẩn tương ứng là ||. || X , ||. || Y . Không gian các toán tử tuyến tính từ X vào Y được kí hiệu bởi L(X, Y ). Không gian L(X, Y ) được trang bị chuẩn A L(X,Y ) = sup U X ≤1 AU Y . Với chuẩn này, L(X, Y ) là một không gian Banach. Khi X = Y, L(X, Y ) được viết gọn là L(X). Kết quả sau đây được gọi là Định lý bị chặn đều. Định lý 1.2.1 ([15], Tr. 69). Giả sử X và Y là các không gian Banach. Cho {A α } α∈I là một họ các toán tử bị chặn từ X vào Y với tập chỉ số I. Nếu sup α∈I A α U Y < ∞ với mọi U ∈ X, thì sup α∈I A α  L(X, Y ) < ∞. Dễ thấy rằng với mỗi U ∈ X, phiếm hàm p U (.) xác định bởi p U (A) = AU Y , A ∈ L(X, Y ) là một nửa chuẩn trên L(X, Y ). Rõ ràng họ các nửa chuẩn p U (.), U ∈ X thỏa mãn tính chất tách, tức là p U (A) = 0 với mọi p U kéo theo A = 0. Cho trước một số tự nhiên n khác 0, xét n phần tử bất kì trong X mà ta kí hiệu là U 1 , , U n và một bộ n số thực dương nhỏ tùy ý  1 , ,  n . Ta định nghĩa một lân cận của toán tử 0 trong L(X, Y ) là tập U có dạng U = {A ∈ L(X, Y ) : p U i (A) <  i , i = 1, , n}. Trường hợp A ∈ L(X, Y ) là toán tử bất kì, lân cận của A là tập có dạng A + U. Trên L(X, Y ) ta định nghĩa một tô-pô như sau. Một tập được gọi là mở trong L(X, Y ) khi và chỉ khi nó chứa lân cận của mọi điểm nằm trong nó. Với tô-pô này, L(X, Y ) trở thành một không gian tô-pô tuyến tính, lồi địa phương (xem [15, Tr. 26]). Không gian 4 tô-pô này được kí hiệu là L s (X, Y ). Đây là tô-pô mạnh trên L(X, Y ). Trong khi đó, tô-pô xác định bởi chuẩn toán tử được gọi là tô-pô đều trên L(X, Y ). Chú ý, theo Định lý 1.2.1 vừa phát biểu L s (X, Y ) là không gian đủ. Xét một dãy {A n } trong L(X, Y ). Ta nói rằng {A n } hội tụ mạnh tới một toán tử bị chặn A nếu A n hội tụ tới A theo tô-pô mạnh, tức là A n U → AU trong Y với mọi U ∈ X. Một cách tương tự, xét hàm A(ω) xác định trên tập Ω ⊂ R d (d là một số nguyên dương) và nhận giá trị trong L(X, Y ). Ta nói A(ω) liên tục mạnh tại ω 0 ∈ Ω nếu A(ω) liên tục tại ω 0 theo tô-pô mạnh, nói cách khác A(ω) liên tục mạnh tại ω 0 khi chỉ khi A(ω)U → A(ω 0 )U trong Y khi ω → ω 0 với mọi U ∈ X. 1.2.1 Hạn chế của toán tử tuyến tính Cho X là một không gian Banach và cho A là một toán tử tuyến tính từ X vào chính nó. Miền xác định của A sẽ được kí hiệu là D(A) còn miền giá trị của nó được kí hiệu bởi R(A). Cho Y là một không gian con của X. Toán tử A |Y xác định trên D(A |Y ) = {U ∈ D(A) ∩ Y : AU ∈ Y } bằng công thức A |Y U = AU được gọi là Hạn chế của A trong Y . Dễ dàng kiểm tra rằng A |Y là một toán tử tuyến tính từ Y vào Y . Khi D(A) ⊂ Y, D(A |Y ) = {U ∈ D(A) : AU ∈ Y }. 1.2.2 Tập giải thức, tập phổ và Tích phân Dunford Cho A là một toán tử tuyến tính đóng, xác định trù mật trong không gian Banach X. Tập ρ(A) chứa các số phức λ sao cho (λ − A) có toán tử ngược (λ − A) −1 ∈ L(X) được gọi là tập giải thức của A. Ta biết rằng ρ(A) là tập mở trong C còn (λ −A) −1 là một hàm giải tích xác định trên ρ(A), nhận giá trị trong L(X) (xem [2, Tr. 158]). Vì vậy với mỗi λ 0 ∈ ρ(A) ta có (λ − A) −1 = ∞  n=0 (−1) n (λ − λ 0 ) n (λ 0 − A) −(n+1) , |λ − λ 0 | < (λ 0 − A) −1  −1 . (1.2) Phần bù của ρ(A) trong C, kí hiệu là σ(A), được gọi là phổ của A. Chú ý phổ của A độc lập với cách chọn chuẩn trên X (xem [14, Tr. 10]). Ngoài ra, dễ thấy rằng (λ − A) −1 − (µ − A) −1 = −(λ − µ)(λ − A) −1 (µ − A) −1 , λ, µ ∈ ρ(A). (1.3) Giả sử A là một toán tử tuyến tính bị chặn trong X và σ(A) là phổ của nó. Lấy f(λ) là một hàm giải tích trong miền đơn liên D chứa σ(A) và đặt f(A) = 1 2πi  C f(λ) (λ − A) −1 dλ, 5 [...]... Sobolev-Lebesgue trong Rn hoặc trong một + miền bị chặn Giả sử Ω là Rn hoặc là một miền bị chặn trong Rn với biên Lipschitz Với 1 < p < ∞ + s s và s ≥ 0, Hp (Ω) được định nghĩa là tập tất cả các hạn chế u của các hàm trong Hp (Rn ) s trên Ω, tức là một hàm u ∈ Lp (Ω) nằm trong Hp (Ω) nếu và chỉ nếu tồn tại một hàm s s s U ∈ Hp (Rn ) sao cho U|Ω = u hầu khắp nơi trong Ω Với u ∈ Hp (Ω), chuẩn trong Hp của. .. ω ) Làm theo cách này chúng ta thấy 1 − M sin(ω − ω ) rằng các Điều kiện (2.1), (2.2) cũng đúng đối với các góc ω nhỏ hơn ω Một cách tự Chẳng hạn có thể lấy Mω = nhiên ta đi xét infimum của tập tất cả các góc ω như vậy và gọi giá trị này là góc của A, kí hiệu là ωA 2.1.2 Toán tử quạt liên kết với một dạng tựa tuyến tính Cho Z ⊂ X ⊂ Z ∗ là một Bộ ba các không gian với các chuẩn tương ứng và ∗ , |.|... (B|X )∗ của B|X đối với cặp liên hợp {X, X} Khẳng định còn lại suy ra trực tiếp từ (1) trong Định lý 1.4.3 1.7 Không gian Sobolev-Lebesgue 1.7.1 Biên của miền Cho Ω là một tập mở trong Rn Ta nói rằng Ω có biên ∂Ω liên tục (tương ứng Lipschitz, thuộc lớp Cm (m = 1, 2, 3, )) nếu với mọi x ∈ ∂Ω, tồn tại một lân cận V của x trong Rn và một hệ tọa độ trực giao mới (y1 , , yn ) sao cho 1 V là một hình... và các Hạn chế của nó là các biểu diễn của Toán tử vi phân ˚ (2.13) tương ứng trong H−1 (Ω), L2 (Ω) và H 1 (Ω) Nếu Ω là một miền bị chặn với biên ˚ Lipchitz thì D(A) = H 1 (Ω), tức là nếu u ∈ D(A) thì γu = 0 trên ∂Ω (2.14) Định lý 2.1.2 ([14], Tr 60) Cho Ω là một miền trong Rn Giả sử (2.10), (2.11) và ˚ (2.12) được thỏa mãn Khi đó toán tử A liên kết với Dạng (2.9) trên Z = H 1 (Ω) và các Hạn chế của. .. Vì X là một không gian Banach, ta có thể xét không gian đối ngẫu X của X Khi đó toán tử ι từ X vào X xác định bởi F ∈ X, Φ ∈ X (ι F )(Φ) = Φ(F ), là một ánh xạ tuyến tính bảo toàn chuẩn từ X vào X Khi ι là toàn ánh, tức là ι(X) = X , X được gọi là không gian Banach phản xạ Kết quả sau đây là một hệ quả của Định lý Hahn-Banach mở rộng Nó được sử dụng để xây dựng không gian liên hợp của X Chứng minh... Banach Xét hai không gian Hilbert Z và X với các tích trong ((., )), (., ) và các chuẩn tương ứng , | | Giả sử rằng Z được nhúng trù mật, liên tục vào X Kết quả trong [14, Tr 23] chỉ ra sự tồn tại duy nhất của một không gian Banach, kí hiệu là Z ∗ , thỏa mãn các điều kiện sau 1 Z ⊂ X ⊂ Z ∗ với các phép nhúng trù mật và liên tục; 2 {Z, Z ∗ } tạo thành một cặp liên hợp với tích đối ngẫu , ; 3 Tích... Xét một dạng tựa tuyến tính liên tục và bức a(U, V ) trên Z × Z, tức là |a(U, V )| ≤ M U Re a(U, U ) ≥ δ U 2 , U, V ∈ Z (2.6) U ∈Z V , (2.7) với các hằng số M > δ > 0 Gọi A là toán tử tuyến tính liên kết với dạng tựa tuyến tính này và A|X , A|Z là các Hạn chế của nó tương ứng trên các không gian X và Z Như đã biết (xem Mục 1.6), A, A|X và A|Z là các toán tử tuyến tính đóng, xác định trù mật tương ứng. .. (t)}t≥0 là một nửa nhóm liên tục mạnh các toán tử bị chặn trên không gian Banach X Toán tử A định nghĩa bởi Ax = lim+ h→0 T (h)x − x h được gọi là toán tử sinh của nửa nhóm {T (t)}t≥0 Miền xác định D(A) của A là tập tất cả các x ∈ X sao cho giới hạn trong vế phải của đẳng thức vừa nêu tồn tại Sau đây ta phát biểu một định lý quan trọng trong lý thuyết toán tử tuyến tính Định lý 1.2.2 (Lumer-Phillips)... tử elliptic mạnh được mong đợi thỏa mãn tính chất sau: A(D)u ∈ L2 (Ω) kéo theo u ∈ H 2 (Ω) Tính chất này được gọi là tính chất chuyển Tuy nhiên các toán tử được giới thiệu trong mục trước không thỏa mãn tính chất này vì các hàm hệ số aij (x) đơn thuần chỉ là các hàm đo được Để có được tính chất chuyển, chúng ta phải giả sử thêm một vài điều, chẳng hạn, Ω là một miền bị chặn trong Rn với biên thuộc lớp... biểu Định lý Lax-Milgram Chứng minh chi tiết định lý này có trong [15, Tr 92] 12 Định lý 1.6.1 Cho a(U, V ) là một dạng liên tục và bức trên Z Khi đó với bất kì Ψ ∈ Z , tồn tại duy nhất phần tử V ∈ Z sao cho Ψ(U ) = a(U, V ) với mọi U ∈ Z Sử dụng Định lý Lax-Milgram ta chứng minh được rằng toán tử liên kết A là một đẳng cấu từ Z tới Z ∗ Định lý 1.6.2 ([14], Tr 26) Cho a(U, V ) là một dạng tựa tuyến . về sự tồn tại nghiệm toàn cục của một hệ phản ứng các chất Xúc tác- Ức chế. Bằng cách sử dụng lý thuyết nửa nhóm giải tích, chúng tôi đã chứng minh được sự tồn tại nghiệm toàn cục của hệ phản ứng iv các. có thể thu được lời giải số của nghiệm. Luận văn này sử dụng lý thuyết nửa nhóm giải tích để chứng minh tính tồn tại nghiệm của một hệ phản ứng các chất Xúc tác- Ức chế. Chúng tôi chia luận văn. TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN HOÀNG THẾ TUẤN SỰ TỒN TẠI NGHIỆM CỦA MỘT HỆ PHẢN ỨNG CÁC CHẤT XÚC TÁC - ỨC CHẾ Chuyên ngành: Toán giải tích Mã số : 60.46.01 LUẬN VĂN