TS. LÝ TRƯỜNG THÀNH PHAÂN TÍCH ÖÙNG SUAÁT NHÀ XUẤT BẢN KHOA HỌC TỰ NHIÊN VÀ CÔNG NGHỆ HÀ NỘI - 2010 NHÀ XUẤT BẢN KHOA HỌC TỰ NHIÊN VÀ CÔNG NGHỆ 18 Hoàng Quốc Việt, Cầu giấy, Hà Nội ĐT: QLTH. 04.2149041; PH. 04.2149040; Phòng Biên tập. 04.2149034 Fax: 04.7910147 - Email: nxb@vap.ac.vn;www.vap.ac.vn PHÂN TÍCH ỨNG SUẤT Chịu trách nhiệm xuất bản: GS. TSKH NGUYỄN KHOA SƠN Biên tập: TRẦN PHƯƠNG ĐÔNG Trình bày bìa: THUỲ AN Kỹ thuật vi tính: QUANG HUY Sửa bản in: TRẦN PHƯƠNG ĐÔNG In 2030 cuốn, khổ A4 tại Công ty In Khuyến học Giấy phép xuất bản số: 295-2010/CXB/026-02/KHTNCN In xong và nộp lưu chiểu Quý III năm 2010 MỤC LỤC MỞ ĐẦU 6 CHƯƠNG I 7 NHỮNG PHƯƠNG TRÌNH CƠ BẢN CỦA BÀI TOÁN ĐÀN HỒI TUYẾN TÍNH ĐẲNG HƯỚNG 7 1.1 Lý thuyết ứng suất 7 1.1.1 Khái niệm về ứng suất và ký hiệu 7 1.1.2 Phương trình vi phân cân bằng Navier 7 1.1.3 Ứng suất trên mặt nghiêng - Điều kiện biên về lực 9 1.1.4 Nguyên lý Saint Venant 11 1.1.5 Trạng thái ứng suất tại một điểm 11 1.2 Lý thuyết về biến dạng 13 1.2.1 Khái niệm về chuyển vị, biến dạng và ký hiệu 13 1.2.2 Biến dạng 13 1.2.3 Điều kiện tương thích của biến dạng - phương trình Saint Venant 15 1.2.4 Trạng thái biến dạng tại một điểm 16 1.3 Quan hệ giữa ứng suất và biến dạng. định luật Hooke 16 1.4 Các phương pháp giải các bài toán đàn hồi 18 1.4.1 Cách giải theo ứng suất - hệ phương trình Beltrami - Michell 18 1.4.2 Cách giải theo chuyển vị - hệ phương trình Lame’ 19 1.5 Các nguyên lý về công và năng lượng 21 1.5.1 Các nguyên lý công khả dĩ 21 1.5.2 Thế năng biến dạng 22 1.5.3 Các nguyên lý cực tiểu thế năng 23 CHƯƠNG 2 25 BÀI TOÁN PHẲNG TRONG HỆ TOẠ ĐỘ VUÔNG GÓC 25 2.1 Các loại bài toán phẳng 25 2.1.1 Bài toán ứng suất phẳng 25 2.1.2 Bài toán biến dạng phẳng 25 2.2 Các phương trình cơ bản của bài toán đàn hồi phẳng trong hệ toạ độ vuông góc 26 2.2.1 Các phương trình cân bằng tĩnh học 26 2.2.2 Các phương trình hình học 27 2.2.3 Các phương trình vật lý (định luật Hooke) 27 2.3 Giải bài toán phẳng theo ứng suất 28 2.4 Các bài toán tiêu biểu giải theo hàm ứng suất Airy 30 2.4.1 Bài toán dầm công sôn chịu lực tập trung ở đầu tự do 31 2.4.2 Đập hay tường chắn có mặt cắt tam giác (lêi gi¶i cña LÐvy) 32 2.4.3 Bài toán đập hay tường chắn mặt cắt chữ nhật 34 2.4.4 Bài toán dầm tường - Lời giải của Filon và Ribiere 37 BÀI TẬP 39 CHƯƠNG 3 41 BÀI TOÁN PHẲNG TRONG HỆ TOẠ ĐỘ CỰC 41 3.1 Hệ toạ độ cực và các ký hiệu 41 3.1.1 Toạ độ cực và phép biến đổi toạ độ 41 3.1.2 Các ký hiệu của bài toán phẳng trong tọa độ cực 42 3.2 Các phương trình cơ bản 43 3.2.1 Phương trình vi phân cân bằng 43 3.2.2 Các phương trình hình học 43 3.2.3 Các phương trình vật lý 45 3.3 Cách giải bài toán phẳng theo ứng suất trong hệ toạ độ cực 46 3.4 Bài toán phẳng ứng suất không phụ thuộc vào góc cực 47 3.4.1 Lời giải tổng quát bài toán ứng suất không phụ thuộc góc cực 47 3.4.2 Thanh cong chịu uốn (Galovin 1881). 50 3.5 Các bài toán ống dày (bài toán Lamé 1852) 51 3.5.1 Ống dày chịu áp lực đều 51 3.5.2 Ống dày có độ dôi 52 3.5.3 Ống dày trong môi trường đàn hồi 52 3.6 Ứng suất cục bộ quanh lỗ khoét tròn nhỏ 54 3.6.1 Lỗ khoét tròn nhỏ trong tấm chữ nhật chịu kéo đều theo một phương có cường độ p 54 3.6.2 Ứng suất quanh lỗ khoét tròn nhỏ trong bài toán phẳng 56 3.7 Nêm phẳng 56 3.7.1 Nêm chịu lực P và m ô men M ở đỉnh 56 3.7.2 Các trường hợp đặc biệt 58 3.7.3 Nêm chịu áp lực đều ở một mặt bên (hình 3-18). 60 3.8 Bài toán nêm phẳng hình thang 61 3.9 Lát phẳng nửa vô hạn 61 3.9.1 Lát phẳng chịu lực P có phương bất kỳ 61 3.9.2 Lát phẳng chịu lực P vuông góc với mặt phân cách 62 BÀI TẬP 64 CHƯƠNG 4 66 GIẢI BÀI TOÁN LÝ THUYẾT ĐÀN HỒI BẰNG PHƯƠNG PHÁP SỐ 66 4.1 Những khái niệm mở đầu 66 4.1.1 Rời rạc hóa sơ đồ tính. Véc tơ chuyển vị nút, véc tơ ngoại lực nút, véc tơ phản lực liên kết nút 67 4.1.2 Quan hệ giữa véc tơ phản lực liên kết nút và véc tơ chuyển vị nút. Ma trận độ cứng của một phần tử 69 4.1.3 Phương trình cơ bản của phương pháp phần tử hữu hạn theo mô hình chuyển vị 70 4.2 Các quan hệ cơ bản trong một phần tử hữu hạn, ma trận độ cứng phần tử e k][ 71 4.2.1 Hàm chuyển vị và hàm dạng 71 4.2.2 Véc tơ biến dạng và véc tơ ứng suất tại một điểm trong phần tử 72 4.2.3 Nguyên lý công khả dĩ của Lagrange áp dụng cho hệ đàn hồi 73 4.2.4 Thế năng toàn phần Φ e của một phần tử. Ma trận cứng phần tử e k][ , và véc tơ lực nút qui đổi { } e q P 73 4.3 Ma trận độ cứng của phần tử tam giác trong bài toán phẳng 76 4.4 Ma trận cứng và véc tơ lực nút của phần tử thanh chịu kéo nén 79 4.4.1 Biểu thức thế năng toàn phần Φ e , các ma trận [∂] và [D] 80 4.4.2 Giả thiết các hàm chuyển vị {u}, [M], lập các ma trận [A], [N], [B] 80 4.4.3 Lập ma trận độ cứng phần tử e k][ 80 4.4.4 Xác định véc tơ lực nút phần tử e q P ][ do tải trọng tác dụng trong thanh gây nên. 81 4.5 Ma trận độ cứng và véc tơ lực nút của phần tử thanh chịu uốn phẳng 82 4.5.1 Biểu thức thế năng toàn phần Φ e , các ma trận [∂], [D] 82 4.5.2 Giả thiết các hàm chuyển vị {u}, [M], lập các ma trận [A], [N], [B] 83 4.5.3 Lập ma trận độ cứng phần tử e k][ 84 4.5.4 Xác định véc tơ lực nút phần tử e q P ][ do tải trọng tác dụng trong thanh gây nên. 84 4.6 Ma trận độ cứng của phần tử thanh chịu lực phức tạp 85 4.6.1 Phần tử thanh đồng thời chịu uốn phẳng và kéo nén 85 4.6.2 Phần tử thanh không gian 88 4.7 Lập ma trận độ cứng và véc tơ lực nút của phần tử trong hệ tọa độ chung của kết cấu. Ma trận biến đổi tọa độ 89 4.8 Phương pháp số mã lập ma trận cứng [ ] K và véc tơ lực nút { } F của toàn kết cấu 93 4.9 Cách xử lý điều kiện biên 96 4.10 Cách đánh số mã nút để hạn chế bề rộng băng của ma trận [ ] K 97 4.11 Xác đỊnh nội lực của phần tử thanh 98 4.12 Các ví dụ áp dụng 103 BÀI TẬP 121 PHỤ LỤC 122 TÀI LIỆU THAM KHẢO 124 MỞ ĐẦU Phân tích ứng suất là một môn khoa học thuộc ngành cơ học vật rắn biến dạng. Nó nghiên cứu trạng thái ứng suất, biến dạng của vật thể cân bằng dưới tác dụng của các tác động bên ngoài, khi mà vật liệu của vật thể chưa vượt quá giới hạn đàn hồi. Tuy có sự giống nhau về mục đích với môn Sức bền vật liệu và môn Cơ học kết cấu nhưng đối tượng nghiên cứu thì khác nhau. Nếu như m ôn Sức bền vật liệu và môn Cơ học kết cấu lấy đối tượng nghiên cứu chỉ là các vật thể dạng thanh, thì đối tượng nghiên cứu của môn Phân tích ứng suất là các vật thể dạng thanh, dạng tấm, vỏ và dạng khối, tức là liên quan tới việc giải bài toán 1, 2 hoặc 3 chiều. Môn Phân tích ứng suất cũng khác với m ôn Sức bền vật liệu và Cơ học kết cấu về tính chặt chẽ của nghiệm. Lời giải của Sức bền vật liệu và Cơ học kết cấu thì chủ yếu là gần đúng vì không thỏa mãn hết các điều kiện biên của bài toán. Khi nghiên cứu các bài toán siêu tĩnh, môn Sức bền vật liệu và Cơ học kết cấu phải đưa bổ sung thêm các điều kiện tùy thuộc vào hình dạng và liên kết của vật thể để lập thêm các phương trình bổ sung, thì môn Phân tích ứng suất chỉ cần sử dụng các giả thiết có liên quan tới tính chất của vật thể giống như trong các môn Sức bền vật liệu và môn Cơ học kết cấu, đó là các giả thiết: - Vật liệu liên tục, đồng chất và đẳng hướng. - Vật liệu đàn hồi tuyến tính và tuân theo định luật Hooke. - Biến dạng của vật là bé. Hai giả thiết sau làm cho các phương trình mô tả trạng thái chịu lực của vật thể là các phương trình tuyến tính và do đó có thể áp dụng nguyên lý chồng chất nghiệm (nguyên lý cộng tác dụng của lực). Môn Phân tích ứng suất không những giải được các bài toán đã giải được trong môn Sức bền vật liệu và Cơ học kết cấu mà còn giải được cả những bài toán mà môn Sức bền vật liệu và Cơ học kết cấu không giải được như: Các bài toán về ứng suất cục bộ, bài toán về ứng suất tập trung, bài toán tiếp xúc v.v Nó cũng cho khả năng đánh giá độ chính xác và giới hạn áp dụng nghiệm bài toán giải theo các phương trình của môn Sức bền vật liệu và Cơ học kết cấu. Trong tài liệu này trình bày môn Phân tích ứng suất trên cơ sở kết hợp hai môn học là Lý thuyết đàn hồi ứng dụng và Phương pháp phần tử hữu hạn để giải một số bài toán thường gặp trong xây dựng công trình, đặc biệt là trong xây dựng các công trình Thuỷ lợi . Tác giả xin chân thành cám ơn các bạn đồng nghiệp trong Bộ môn Sức bền vật liệu-Cơ học kết cấu Trường Đại học Thủy lợi đã cung cấp tài liệu và đóng góp các ý kiến quý báu để hoàn thành cuốn sách này. Do lần đầu biên soạn nên không tránh khỏi các khiếm khuyết, tác giả mong nhận được các ý kiến đóng góp của các bạn đọc để lần xuất bản sau được tốt hơn. Các ý kiến đóng góp xin gửi về Bộ môn Sức bền vật liệu-Cơ học kết cấu Trường Đại học T hủy lợi. TÁC GIẢ CHƯƠNG I NHỮNG PHƯƠNG TRÌNH CƠ BẢN CỦA BÀI TOÁN ĐÀN HỒI TUYẾN TÍNH ĐẲNG HƯỚNG 1.1 Lý thuyết ứng suất 1.1.1 Khái niệm về ứng suất và ký hiệu Xét một vật thể đàn hồi chịu tác dụng của hệ lực cân bằng đặt trong hệ trục tọa độ xyz như trên hình 1-1a. Tách ra quanh điểm A trong vật một phân tố hình hộp bởi các mặt phẳng song song với các mặt toạ độ. Trên các mặt của phân tố có 9 thành phần ứng suất như trên hình 1-1b. Trong các thành phần này có 3 thành phần ứng suất pháp là zyx σ σ σ ,, và 6 thành phần ứng suất tiếp là yxxy τ τ , , zyyz τ τ , , zxxz τ τ , . Các mặt cắt được gọi tên bằng pháp tuyến ngoài của nó, chẳng hạn ta gọi mặt x tức là mặt có pháp tuyến ngoài có phương song song với trục x. Trong ký hiệu ứng suất pháp, chỉ số biểu thị tên của mặt cắt có ứng suất pháp, cũng là chỉ phương của ứng suất đó; còn trong ký hiệu ứng suất tiếp, chỉ số thứ nhất biểu thị mặt có ứng suất tiếp, chỉ số thứ 2 biểu thị phương của ứng suất. Ví dụ x σ là ứng suất pháp trên mặt x, còn xy τ là ứng suất tiếp trên mặt x có phương song song với trục y. Dấu của các ứng suất được quy ước như sau: Nếu pháp tuyến ngoài của mặt cắt hướng theo chiều dương của trục toạ độ, thì các ứng suất có dấu dương khi chúng cùng hướng theo chiều dương của hệ trục tọa độ, còn trên các mặt có pháp tuyến ngoài ngược chiều với chiều hệ trục tọa độ, thì các ứng suất có dấu dương khi chúng có hướng ngược với chiều của hệ trục tọa độ, các ứng suất vẽ trên hình 1-1 đều có dấu dương. Các ứng suất không những thay đổi theo từng điểm trong vật (phụ thuộc toạ độ của điểm) mà còn phụ thuộc vào phương của mặt cắt đi qua điểm đó (phụ thuộc góc nghiêng của mặt cắt đi qua điểm đó). Nếu ký hiệu chung các ứng suất là S thì ta có thể viết: S = S(x, y, z, n) , với n là các côsin chỉ phương của mặt cắt đi qua điểm đó. 1.1.2 Phương trình vi phân cân bằng Navier Khảo sát một phân tố dxdydz tách ra từ một vật thể cân bằng. Ngoài các ứng suất tác dụng trên các mặt của phân tố, trong phân tố còn có các lực thể tích với các thành phần hình chiếu của nó lên các trục toạ độ là X, Y, Z tác dụng lên phân tố nữa. A x y z Hình 1-1 a) b) x y z σ x σ y σ z τ zx τ xz τ xy τ yx τ yz τ zy dy dx dz Nếu như trên mặt có tọa độ là x ta có các thành phần ứng suất là: ),,(),,(),,( zyxzyxzyx xzxyx τ τ σ thì trên mặt có tọa độ là (x+dx) có các thành phần ứng suất là: ),,(),,(),,( zydxxzydxxzydxx xzxyx + + + τ τ σ Dùng khai triển Taylor và bỏ qua các vô cùng bé bậc cao ta được: dx x zyxdzyxzydxx x xxxx ∂ ∂ +=+=+ σ σσσσ ),,(),,(),,( Làm hoàn toàn tương tự đối với các thành phần ứng suất khác được các thành phần ứng suất trên các mặt của phân tố cho trên hình 1-2. Phân tố cân bằng dưới tác dụng của các thành phần ứng suất trên các mặt và các thành phần lực thể tích nên nó thoả mãn các phương trình cân bằng tĩnh học: ∑ = 0x ∑ = 0 x M ∑ = 0y ∑ = 0 y M (1-1) ∑ = 0z ∑ = 0 z M Bắt đầu với nhóm thứ nhất của (1-1), chẳng hạn với phương trình ∑ = 0x : +− ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ ++− ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ + dzdxdzdxdy y dydzdydzdx x yx yx yxx x x τ τ τσ σ σ + 0=+− ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ + Xdxdydzdxdydxdydz z zx zx zx τ τ τ x y z σ x σ y σ z τ zx τ xz τ xy τ yx τ yz τ zy dx x x x ∂ σ∂ +σ dz z z z ∂ σ∂ +σ dy y yx yx ∂ τ∂ +τ dy y yz yz ∂ τ∂ +τ dz z zx zx ∂ τ∂ +τ dz z zy zy ∂ τ∂ +τ dx x xy xy ∂ τ∂ +τ dx x xz xz ∂ τ∂ +τ Hình 1-2 dy dx dz dy y y y ∂ ∂ + σ σ Các phương trình hình chiếu theo phương y và phương z làm tương tự. Sau khi rút gọn ta được: 0=+ ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ X zyx zx yx x τ τ σ 0=+ ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ Y zyx zyyxy τ σ τ (1-2) 0=+ ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ Z zyx z yz xz σ τ τ hoặc viết dưới dạng ma trận: CS + P = 0 (1-3) Trong đó: C là ma trận các toán tử vi phân: C = [ ] zyx ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ S là ma trận ứng suất: S = ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ zyzxz zyyxy zxyxx σττ τστ ττσ P là véc tơ lực thể tích: P = {} T ZYX (1-2 ), (1-3) là các phương trình cân bằng hay là hệ phương trình vi phân cân bằng Navier. Nhóm thứ 2 của (1-1) là các phương trình cân bằng mômen đối với các trục. Chẳng hạn phương trình đầu tiên là: ∑ = 0 x M được: 0= ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ +− ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ + dxdydzdy y dxdydzdz z zy zy yz yz τ τ τ τ Hay zyyz τ τ = Làm tương tự ta được: yxxy τ τ = zxxz τ τ = (1- 4) (1-4) biểu diễn luật đối ứng của ứng suất tiếp. 1.1.3 Ứng suất trên mặt nghiêng - Điều kiện biên về lực Ở trên ta đã xét phân tố hình hộp tách ra từ một vật thể cân bằng và các phương trình cân bằng (1-2) hoàn toàn thoả mãn đối với các phân tố này. Tuy nhiên, nếu ta chia vật thể bằng các mặt phẳng song song với các mặt phẳng toạ độ cách nhau những khoảng vô cùng nhỏ thì sẽ chia vật thể thành vô số các phân tố hình hộp và một số các phân tố tứ diện. Các phân tố tứ diện này ngoài các mặt song song với các mặt toạ độ chịu tác dụng của các thành phần ứng suất , còn có mặt nghiêng với các mặt toạ độ, trên đó có các lực bề mặt tác dụng như trên hình 1-3. Ta xét một tứ diện tách ra từ vật thể trên hình 1-3. Tứ diện này có các mặt x, y, z và mặt nghiêng v cho trên hình 1-4. Giả sử lực bề mặt toàn phần trên mặt v có các thành phần hình chiếu lên các trục toạ độ là X V , Y V , Z V . Pháp tuyến ngoài v của mặt nghiêng hợp với các trục x, y, z các góc α, β, γ. Đặt: l = cosα = cos(v,x) m = cos β = cos(v,y) n = cosγ = cos(v,z) l, m, n được gọi là các cosin chỉ phương của pháp tuyến v. Ký hiệu diện tích của mặt ABC là dF, thì diện tích của các mặt BOC, AOC, AOB lần lượt là dF.l, dF.m, dF.n . Phân tố tứ diện có thể tích rất nhỏ nên ta có thể bỏ qua thành phần lực thể tích. Phân tố này ở trạng thái cân bằng nên ta có: ∑ = 0x → yx 0 vx zx XdF dFl dFm dFn σ ττ − −−= ∑ = 0y → 0 = − − − ndFmdFdFdFY zyyxyv τ σ τ l ∑ = 0z → 0 = − − − ndFmdFdFdFZ zyzxzv σ τ τ l Rút gọn ta được: nmX zxyxxv τ τ σ + + = l nmY zyyxyv τ σ τ + + = l (1-5) nmZ zyzxzv σ τ τ + + = l hoặc viết dưới dạng ma trận: LSP v .= (1-5’) Trong đó: v P là vectơ ứng suất toàn phần trên mặt nghiêng: {} T vvvv ZYXP = 222 vvvv ZYXP ++= L là vectơ cosin chỉ phương: { } T nmL l= Ph¸p tuyÕn v x y z Hình 1-3 Lùc bÒ mÆt P Hình 1-4 x y z σ y τ yx τ yz σ x τ xz τ xy σ z τ zx τ zy τ v Z v X v Y v σ v P v v A O C B [...]... c bn ca bi toỏn n hi phng trong h to vuụng gúc Trong chng 1 chỳng ta ch-ơng 1 chúng ta đã thiết lập đ-ợc các ph-ơng trình cơ bản cho bài toán không gian, chúng đ-ợc viết trong hệ ta độ vuụng gúc Oxyz Phần này ta hệ thống các ph-ơng trình ó thit lp chng 1 ỏp dng cho bài toán phẳng trong mặt phẳng toạ độ xy Chúng ta nhóm các ph-ơng trình thành ba nhóm lớn 2.2.1 Cỏc phng trỡnh cõn bng tnh hc a) Cỏc phng . Trong ký hiệu ứng suất pháp, chỉ số biểu thị tên của mặt cắt có ứng suất pháp, cũng là chỉ phương của ứng suất đó; còn trong ký hiệu ứng suất tiếp, chỉ số thứ nhất biểu thị mặt có ứng suất tiếp,. tượng nghiên cứu của môn Phân tích ứng suất là các vật thể dạng thanh, dạng tấm, vỏ và dạng khối, tức là liên quan tới việc giải bài toán 1, 2 hoặc 3 chiều. Môn Phân tích ứng suất cũng khác với. lý 45 3.3 Cách giải bài toán phẳng theo ứng suất trong hệ toạ độ cực 46 3.4 Bài toán phẳng ứng suất không phụ thuộc vào góc cực 47 3.4.1 Lời giải tổng quát bài toán ứng suất không phụ thuộc