Bài Mặt cong Đồ họa kỹ thuật I- Biểu diễn mặt cong Trên đồ thức, để biểu diễn mặt cong ta cho yếu tố đủ để xác định mặt cong Ví dụ: - Hình nón ta cho đồ thức đỉnh vòng tròn đáy nón (hay đường chuẩn nón) - Hình trụ ta cho đồ thức đáy trụ phương đường sinh S1 l1 O1 O1 O2 O2 S2 l2 Hình 6.1 Biểu diễn mặt cong Để dễ dàng hình dung mặt cong giải bái toán mặt cong ta vẽ đường bao ngoài, (các đường biên), đồng thời xét tương quan thấy khuất cho mặt cong S1 II- Điểm thuộc mặt cong Ví dụ 1: Cho điểm M, N, P, Q thuộc mặt nón Biết M1, N1, P1, Q2, tìm hình chiếu cịn lại P1 điểm (Hình 6.2) Giải: - Tìm M2: Vẽ đường sinh SE, SE’ chứa M - Tìm N1: Gắn N vào đường sinh SJ - Tim P2: Vẽ đường tròn song song đáy chứa M1 N1 Q1 O1 J1 E1≡E’1 điểm P - Tìm Q1: Vẽ đường sinh SI chứa Q I1 Q’1 I2 E’2 M’2 Chú ý cịn điểm Q’1 đáy nón P’2 Q2 K2 J2 N2 Hình 6.2 Điểm thuộc mặt nón Tìm M2 , N2, P2, Q1 K1 S2 ≡ O2 M2 E2 P2 Ví dụ 2: Cho điểm M, N, P, Q thuộc mặt trụ Biết M1, N1, P2, Q2, tìm hình chiếu cịn lại điểm đó.(Hình 6.3) Giải: N1 - Tìm M2: qua M1 vẽ đường sinh a1 Chân đường sinh: E1, E’1 J1 Trên hình chiếu có E2, E’2 E1≡E’1 Q1 T1 T2 P1 G1 E’2 G2 M’2 J2 - Tìm Q1: Qua O2 vẽ đường thẳng O2T2 Từ T vẽ đường sinh l1 ⇒ Q1 ∈ l1 Chú ý: Nếu hình chiếu đáy trụ hình trịn, ta gắn điểm vào đường tròn song song đáy trụ l1 k1 H2 - Tìm N2: Gắn N vào đường sinh s O2T2 ⊥ l2 P’1 M1 O1 M2 ∈ a2, M’2 ∈ a’2 - Tìm P1: Ngược lại cách tìm M2 k’1 H1 Qua E2, E’2 vẽ đường sinh a2, a’2 N1 ∈ s1, N2 ∈ s2 a1 s1 N2 P2 O2 Q2 l2 k2 a’2 E2 s2 T’2 M2 Hình 6.3 Điểm thuộc mặt trụ Tìm M2 , N2, P1, Q1 a2 Ví dụ 3: Cho điểm M, N, P thuộc mặt cầu Biết M1, N1, P1, tìm hình chiếu cịn lại N1 E1 (u1) M1 điểm (Hình 6.4) Giải: - Tìm M2: Qua M vẽ đường tròn mặt cầu P1 (v1) O1 cho đường tròn thuộc mặt phẳng song song với П2 - Tìm N2 , P2: Xét đường tròn (u) (v) mặt cầu: N1 ∈ (u1) ⇒ N2 ∈ (u2) M’2 P1 ∈ (v1) ⇒ P2 ∈ (v2) P’2 * Nếu biếu M2, N2, P2, tìm M1, N1, P1 ta làm tương tự (v2) (u2) N2 O2 E2 M2 Hình 6.4 Điểm thuộc mặt cầu Tìm M2 , N2, P2 ? P2 III- Giao tuyến mặt phẳng với mặt cong 1- Một số định nghĩa - Bậc đường cong phẳng số giao điểm tối đa đường cong với đường thẳng - Bậc đường cong ghềnh không gian số giao điểm tối đa đường cong với mặt phẳng - Bậc mặt cong số giao điểm tối đa mặt cong với đường thẳng - Giao tuyến mặt bậc hai với mặt phẳng đường bậc hai - Giao mặt cong bậc m với mặt cong bậc n đường cong có bậc m.n S1 2- Ví dụ Ví dụ 1: Tìm giao tuyến mặt phẳng α(α1) với mặt nón trịn xoay trường hợp: a) Trường hợp mặt phẳng (α) cắt tất đường sinh nón, giao tuyến elíp (E) (Hình 6.5) - (α) cắt mặt nón theo đường elíp (E) có hình chiếu đứng đoạn A1B1 B1 J1 C1≡D1≡ I1 A1 X1 α1 K1 (E1) - A2B2 trục dài elíp hình chiếu - Lấy I1 trung điểm A1B1 ⇒ I2 trung điểm A2B2 I2 tâm đối xứng elíp hình (E2) C2 chiếu - C1 ≡ D1, Tìm C2D2 (bài tốn điểm thuộc mặt nón) C2 D2 trục ngắn elíp (E) A2 J2 I2 B2 K2 S2 - Để thuận lợi ta tìm thêm điểm trung gian khác Chú ý: S2 tiêu điểm elíp Hình 6.5 Mặt phẳng (α) cắt nón theo elíp X2 D2 X’2 S1 b) Trường hợp mặt phẳng (α) song song với đường sinh SM, giao tuyến parabol (P) (Hình 6.6) Giải: - (α) cắt nón theo parabol (P) có hình chiếu đứng đoạn A1B1 α1 B1 I1 J1 - Tìm hình chiếu bằng: tốn điểm thuộc mặt nón M1 B2 đỉnh parabol (P) A1 - Để vẽ parabol, ta tìm điểm trung gian, ví dụ điểm I A2 I2 M2 S2 B2 J2 (P) Hình 6.6 Mặt phẳng (α) cắt nón theo parabol A’2 I’2 S1 c) Trường hợp mặt phẳng (α) song song với hai đường sinh SM SP, giao tuyến hypecbol (H) (Hình 6.7) Giải: - (α) cắt nón theo hypecbol (H) có hình chiếu đứng đoạn A1B1 α1 B1 J1 I1 A1 - Tìm hình chiếu bằng: tốn điểm thuộc mặt nón B2 đỉnh hypecbol (H) M1 ≡ P1 - Để vẽ hypecbol, ta tìm điểm trung gian, ví dụ điểm I M2 A2 I2 J2 S2 B2 (H) I’2 Hình 6.7 Mặt phẳng (α) cắt nón theo hypecbol P2 A’2 Ví dụ 2: Tìm giao tuyến mặt phẳng α(mα, nα) với mặt trụ 21 chiếu cho hình 6.8 (Trụ chiếu trụ có trục hay đường sinh vng góc với mặt phẳng hình chiếu П2) Giải: Giao tuyến (α) với trụ đường elíp Vì mặt trụ mặt trụ chiếu nên biết trước hình chiếu giao tuyến + Tìm điểm giới hạn thấy khuất U, V + Tìm điểm thấp cao A, B + Tìm CD: đường kính liên hợp với AB B1 X1 B C mα mα x O U Y1 11 X2 D1 C2 22 d2 B2 O2 V2 f2 nα 12 A2 D2 Y2 O2 α A1 U2 D A V1 h1 O1 U1 d V d1 C1 Π1 nα Hình 6.9 Giao (α ) với trụ chiếu đứng không gian f1 Π2 h2 Hình 6.8 Tìm giao tuyến α(mα10 α) ,n với mặt trụ chiếu Ví dụ 2: Vẽ giao đường thẳng chiếu l với mặt nón cho hình 6.10 l1 T1 K1 H1 Giải: - Vì l đường thẳng chiếu , biết hình chiếu I2 ≡ K2≡ l2 - Tìm I1, K1: Bài tốn điểm thuộc mặt nón S1 O1 G1 I1 T’1 S2 l2 ≡I2≡K2 H2 ≡ G2 O2 Hình 6.10 Ví dụ 2: Vẽ giao đường thẳng chiếu bắng l với mặt nón 12 Ví dụ 3: Vẽ giao đường mặt f với mặt cầu (S) cho hình 6.11 Giải: - Trong tốn này, chưa biết hình chiếu giao điểm, ta phải dùng phương pháp mặt phẳng phụ trợ - Lấy mặt phẳng φ(φ2) chứa đường f(f1, f2), f1 (C1) 11 K1 (S1) O1 I1 φ(φ2) cắt mặt cầu (S) theo giao tuyến phụ đường tròn (C): (C2) ≡ (φ2) - Tìm (C1) - Ta có: I1, K1 ≡ (C1)∩ f1 (S2) I2, K2 ∈ f2 Hình 6.11 Ví dụ 1: Vẽ giao đường mặt f với mặt cầu (S) O2 I2 (C2) K2 f ≡ φ2 12 13 * Chú ý: Để tìm giao điểm đường thẳng với mặt cong trường hợp tổng quát chưa biết hình chiếu giao điểm ta dùng phương pháp mặt phẳng phụ trợ Mặt phẳng phụ trợ phải cắt mặt cong theo giao tuyến cho hình chiếu giao tuyến phải đường thẳng đường tròn Muốn vậy: + Với mặt nón, mặt phẳng phụ qua đường thẳng đỉnh nón + Với mặt trụ, mặt phẳng phụ qua đường thẳng song song với trục +Với mặt cầu ta sử dụng mặt phẳng phụ qua đường thẳng tâm cầu xoay quanh đường đường mặt, thay mặt phẳng hình chiếu 14 * Tìm giao đường thẳng với mặt nón trường hợp tổng quát (Hình 6.12) α a) S l S b) α T l T I I K F J F R K J Hình 6.12 Tìm giao đường thẳng với mặt nón trường hợp tổng quát phương pháp mặt phẳng phụ trợ - Lập mặt phẳng phụ trợ α(S, l) Kéo dài đường thẳng l cắt mặt phẳng đáy nón J Trên l lấy điểm T tùy ý, kéo dài ST cắt mặt phẳng đáy nón F JF cắt đáy nón hai điểm 1, Nối S1, S2 cắt l I K I, K giao điểm cần tìm * Trường hợp giao điểm đường thẳng l với mặt phẳng đáy nón xa, ta lấy thêm điểm R đường thẳng l (Hình 6.12.b) 15 S1 Ví dụ 4: Tìm giao đường h(h1, h2) với mặt nón cho đồ thức ( Hình 6.13) Giải: - Ta chưa biết hình chiếu giao điểm đường thẳng h(h1, h2) với mặt nón I1 (C1) J1 K1 h1 ≡ α1 - Dùng mặt phẳng phụ trợ α(α1) chứa h : (α1) ≡ h1 (α) cắt mặt nón theo đường tròn C(C1,C2) (C1) ≡ h1≡ (α 1) - Tìm (C2) - Ta có: I2, K2 ≡ (C2)∩ h2 I1, K1 ∈ h1 I2 (C2) J2 S2 K2 Hình 6.13 Tìm giao đường h với mặt nón h2 16 S1 Ví dụ 5: Tìm giao điểm đường thẳng l(l1, l2) với mặt nón (Hình 6.14) Giải: - Nhận xét: + Đáy nón elíp có hình chiếu đường trịn, + l song song với đáy nón - Dùng mặt phẳng phụ trợ α(α1) chứa l : J1 I1 O’1 K1 O1 (C 1) ≡l ≡ (α ) (α1) ≡ l1 (α) cắt mặt nón theo đường trịn C(C1,C2) (C1) ≡ l1≡ (α 1) l2 - Tìm (C2) - Ta có: I2, K2 ≡ (C2)∩ l2 I1, K1 ∈ l1 Hình 6.14 Tìm giao đường thẳng l với mặt nón K2 O2 J2 O’2 I2 (C2) S2 17 * Tìm giao đường thẳng với mặt trụ trường hợp tổng quát (Hình 6.15) a) α l b) T α l T K I I R K O O F J F J Hình 6.15 Tìm giao đường thẳng với mặt trụ trường hợp tổng quát - Lập mặt phẳng phụ trợ α qua l song song với trục trụ Kéo dài đường thẳng l cắt mặt phẳng đáy trụ J Trên l lấy điểm T tùy ý, qua T kẻ đường thẳng song song với trục trụ, cắt mặt phẳng đáy trụ F - JF cắt đáy nón hai điểm 1, Qua điểm 1, kẻ hai đường thẳng song song với trục trụ cắt l I K * Trường hợp giao điểm đường thẳng l với mặt phẳng đáy trụ xa, ta lấy thêm điểm R đường thẳng l (Hình 6.15.b) 18 S1 V- Giao đa diện với mặt cong Mỗi mặt đa diện cắt mặt cong bậc theo đường bậc 2.Vì vậy, giao đa diện với mặt cong tổ hợp A1 ≡A’1 đường bậc 11 B1 ≡B’1 21 Ví dụ 1: Tìm giao tuyến lăng trụ chiếu đứng với hình nón trịn xoay cho hình 6.16 41 Giải: - Vì lăng trụ cho lăng trụ chiếu đứng, biết hình chiếu đứng giao tuyến đoạn 1-2-3-4 A2 - Tìm hình chiếu giao tuyến : tốn điểm thuộc mặt nón Bổ xung thêm điểm 5-6 để vẽ giao tuyến xác - Nhận xét: + Mặt (AA’B’B) song song với đáy hình nón, mặt phẳng cắt mặt nón theo cung tròn 1-2 + Mặt (BB’C’C) song song với đường sinh hình nón, mặt phẳng cắt mặt nón theo cung parabol: 2-5-3 + Mặt (AA’C’C) cắt tất đường sinh hình nón, mặt phẳng cắt mặt nón theo cung elip 3-6-4 Hình 6.16 Tìm giao tuyến lăng trụ chiếu đứng với nón trịn xoay 51 61 C1 ≡C’1 ≡31 C2 B2 32 52 62 22 42 S2 12 2’2 6’2 3’2 5’2 19 A’2 C’2 B’2 S1 Ví dụ 2: Tìm giao tuyến đa diện với trụ chiếu đứng (Hình 6.17) Giải: - Vì mặt trụ cho mặt trụ chiếu đứng, hình chiếu đứng giao tuyến biết, cung elíp 1-2-3-4 - Có mặt (SAB) (SAC) cắt trụ - Tìm hình chiếu bằng: Giải tốn điểm thuộc đa diện 11 21 41 31 A1 B1≡ C1 C2 Chú ý: Điểm giới hạn thấy khuất ; 2’ 22 32 A2 42 3’2 Hình 6.17 Tìm giao tuyến đa diện với trụ chiếu đứng S2 12 2’2 20 B2 S1 VI- Giao hai mặt cong Ví dụ 1: Tìm giao trụ chiếu đứng với nón trịn xoay (Hình ) Giải: - Giao trụ chiếu đứng nón trịn xoay đường cong ghềnh bậc - Vì trụ chiếu đứng nên ta biết trước hình chiếu đứng giao tuyến - Tìm hình chiếu giao tuyến, xét điểm sau: + Điểm 1,4 thuộc đường sinh biên nón cắt trụ + Điểm điểm xét giới hạn thấy khuất + Điểm điểm đường sinh thấp - Để vẽ đường cong ghềnh xác tìm thêm điểm X, Y Hình 6.18 Tìm giao trụ chiếu đứng với nón trịn xoay 11 X1 21 41 Y1 31 Y2 32 22 X2 42 12 S2 X’2 2’2 3’2 Y’2 21 Ví dụ 2: Tìm giao tuyến mặt trụ chiếu đứng với mặt cầu (Hình ) Giải: - Giao trụ chiếu đứng mặt cầu đường cong ghềnh bậc - Vì trụ chiếu đứng nên ta biết trước hình chiếu đứng giao tuyến - Tìm hình chiếu giao tuyến, xét điểm sau: + Điểm 2,6 điểm xét giới hạn thấy khuất + Điểm điểm đường sinh thấp trụ + Điểm điểm thuộc đường sinh cao trụ + Điểm điểm tiếp xúc trụ với cầu 71 51 61 21 31 32 22 62 52 72 5’2 6’2 Hình 6.19 Tìm giao mặt trụ chiếu đứng với mặt cầu 2’2 3’2 22 Chú ý: Hai mặt cong tiếp xúc điểm chúng cắt theo đường cong ghềnh bậc 4, điểm tiếp xúc hai mặt cong đường cong ghềnh bậc tự cắt Hình 6.20 Giao mặt trụ tiếp xúc với mặt cầu 23 S1 Định lý 1: Nếu hai mặt cong bậc hai cắt theo đường bâc hai chúng cắt theo đường bậc hai thứ hai 11 21 31 32 22 S2 12 Hình 6.21 Minh họa định lý 2’2 3’2 24 S1 Định lý 2: Nếu hai mặt cong bậc hai tiếp xúc với hai điểm chúng cắt theo hai đường cong bậc hai qua hai điểm tiếp xúc 51 81 71 61 21 31 32 52 62 22 S2 Hình 6.22 Minh họa định lý 6’2 72 82 2’2 5’2 3’2 25 Định lý 3: Nếu hai mặt cong ngoại tiếp hay nội tiếp mặt cong thứ ba chúng cắt theo hai đường bậc hai qua giao điểm đường cong tiếp xúc Ví dụ: - Cho mặt trụ mặt nón ngoại tiếp mặt cầu - Trụ nón tiếp xúc với mặt cầu theo hai đường trịn Hai đường tròn tiếp xúc cắt hai điểm A, B - Trụ nón cắt theo hai đường bậc hai hai elíp qua A B Hình 6.23 Minh họa định lý A≡B 26 ... đường cong với mặt phẳng - Bậc mặt cong số giao điểm tối đa mặt cong với đường thẳng - Giao tuyến mặt bậc hai với mặt phẳng đường bậc hai - Giao mặt cong bậc m với mặt cong bậc n đường cong có... Biểu diễn mặt cong Để dễ dàng hình dung mặt cong giải bái toán mặt cong ta vẽ đường bao ngoài, (các đường biên), đồng thời xét tương quan thấy khuất cho mặt cong S1 II- Điểm thuộc mặt cong Ví dụ... Biểu diễn mặt cong Trên đồ thức, để biểu diễn mặt cong ta cho yếu tố đủ để xác định mặt cong Ví dụ: - Hình nón ta cho đồ thức đỉnh vịng trịn đáy nón (hay đường chuẩn nón) - Hình trụ ta cho đồ thức