TS. NGUYỄN ĐỨC HẬU GIẢI TÍCH HÀM MỘT BIẾN SỐ (Dùng cho sinh viên Trường Đại học Thủy lợi) The width of the interval is , so the width of each of the strips is These strips divide the interval [a, b] into subintervals where and . The right-hand endpoints of the subintervals are Let’s approximate the th strip by a rectangle with width and height , which is the value of at the right-hand endpoint (see Figure 11). Then the area of the th rectangle is . What we think of intuitively as the area of is approximated by the sum of the areas of these rectangles, which is Figure 12 shows this approximation for , 4, 8, and 12. Notice that this approximation appears to become better and better as the number of strips increases, that is, as . Therefore, we define the area of the region in the following way. Definition The area of the region that lies under the graph of the continuous function is the limit of the sum of the areas of approximating rectangles: A ෇ lim n l ϱ R n ෇ lim n l ϱ ͓ f ͑x 1 ͒ ⌬x ϩ f ͑x 2 ͒ ⌬x ϩиииϩf ͑x n ͒ ⌬x͔ f SA 2 SAn l ϱ n ෇ 2 FIGURE 11 0 y x ab ⁄¤‹ x i-1 x i Îx f(x i ) R n ෇ f ͑x 1 ͒ ⌬x ϩ f ͑x 2 ͒ ⌬x ϩиииϩf ͑x n ͒ ⌬x Sf ͑x i ͒ ⌬xi f f ͑x i ͒⌬xS i i x 3 ෇ a ϩ 3 ⌬x, x 2 ෇ a ϩ 2 ⌬x,x 1 ෇ a ϩ⌬x, x n ෇ bx 0 ෇ a ͓x 0 , x 1 ͔, ͓x 1 , x 2 ͔, ͓x 2 , x 3 ͔, , ͓x nϪ1 , x n ͔ n ⌬x ෇ b Ϫ a n nb Ϫ a͓a, b͔ 350 ■ CHAPTER 5 INTEGRALS FIGURE 12 0 y xab 0 y xab 0 y xab⁄¤‹ 0 y xab⁄ (a) n=2 (b) n=4 (c) n=8 (d) n=12 Hà nội 2013 Mục lục Chương 1. GIỚI HẠN VÀ TÍNH LIÊN TỤC CỦA HÀM SỐ 4 1.1. Hàm số một biến số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.2. Giới hạn của dãy số thực . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.3. Giới hạn của hàm số thực . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 1.4. Hàm số liên tục . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 1.5. Bài tập chương 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 Chương 2. PHÉP TÍNH VI PHÂN CỦA HÀM MỘT BIẾN SỐ 26 2.1. Tiếp tuyến và vận tốc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 2.2. Đạo hàm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 2.3. Vi phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 2.4. Đạo hàm và vi phân cấp cao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 2.5. Các định lí về hàm khả vi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 2.6. Quy tắc Lô-pi-tan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 2.7. Khảo sát hàm số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 2.8. Đường cong cho bởi phương trình tham số . . . . . . . . . . . . . . . 45 2.9. Đường cong trong tọa độ cực . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 Chương 3. TÍCH PHÂN 54 3.1. Tích phân bất định . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54 3.2. Các phương pháp tính tích phân bất định . . . . . . . . . . . . . . . 55 3.3. Tích phân bất định của một vài lớp hàm . . . . . . . . . . . . . . . . 62 3.4. Tích phân xác định . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73 3.5. Tích phân suy rộng với cận vô hạn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80 3.6. Tích phân suy rộng của hàm không bị chặn . . . . . . . . . . . . . . 84 3.7. Một số ứng dụng của tích phân xác định . . . . . . . . . . . . . . . . 88 3.7.1. Tính diện tích hình phẳng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88 3.7.2. Tính độ dài cung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92 3.7.3. Tính thể tích . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95 2 3.7.4. Tính diện tích của mặt tròn xoay . . . . . . . . . . . . . . . . 98 Chương 4. CHUỖI 101 4.1. Chuỗi số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101 4.2. Chuỗi số dương . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103 4.3. Chuỗi số đan dấu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107 4.4. Chuỗi số có dấu bất kì . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108 4.5. Chuỗi hàm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110 4.6. Chuỗi lũy thừa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112 4.7. Chuỗi Taylor và chuỗi Maclaurin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116 4.8. Chuỗi Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121 TS. NGUYỄN ĐỨC HẬU http://nguyenduchau.wordpress.com Lời nói đầu Bài giảng này được dành cho sinh viên của Trường Đại học Thủy lợi khi học môn Toán 1 (Giải tích hàm một biến số). TS. NGUYỄN ĐỨC HẬU http://nguyenduchau.wordpress.com Chương 1 GIỚI HẠN VÀ TÍNH LIÊN TỤC CỦA HÀM SỐ 1.1. Hàm số một biến số Định nghĩa 1.1 Cho A ⊂ R. Hàm số f xác định trên A là một quy tắc sao cho nó tác động vào một phần tử x bất kì của A sẽ tạo thành một và chỉ một phần tử y của R. Kí hiệu f : A → R, x → y = f(x). A được gọi là tập nguồn hay tập xác định của hàm số f. Tập hợp f(A) = {y ∈ R |∃x ∈ A : y = f (x)} được gọi là tập ảnh hay tập giá trị của hàm số f. A function is a rule that assigns to each element in a set exactly one element, called , in a set . We usually consider functions for which the sets and are sets of real numbers. The set is called the domain of the function. The number is the value of at and is read “ of .” The range of is the set of all possible values of as varies throughout the domain. A symbol that represents an arbitrary number in the domain of a function is called an independent variable. A symbol that represents a number in the range of is called a dependent variable. In Example A, for instance, r is the independent variable and A is the dependent variable. It’s helpful to think of a function as a machine (see Figure 2). If is in the domain of the function then when enters the machine, it’s accepted as an input and the machine produces an output according to the rule of the function. Thus, we can think of the domain as the set of all possible inputs and the range as the set of all pos- sible outputs. The preprogrammed functions in a calculator are good examples of a function as a machine. For example, the square root key on your calculator is such a function. You press the key labeled ( or ) and enter the input x . If , then is not in the domain of this function; that is, is not an acceptable input, and the calculator will indicate an error. If , then an approximation to will appear in the display. Thus, the key on your calculator is not quite the same as the exact mathematical function defined by . Another way to picture a function is by an arrow diagram as in Figure 3. Each arrow connects an element of to an element of . The arrow indicates that is associated with is associated with , and so on. The most common method for visualizing a function is its graph. If is a function with domain , then its graph is the set of ordered pairs (Notice that these are input-output pairs.) In other words, the graph of consists of all points in the coordinate plane such that and is in the domain of . The graph of a function gives us a useful picture of the behavior or “life history” of a function. Since the -coordinate of any point on the graph is , we can read the value of from the graph as being the height of the graph above the point (see Figure 4). The graph of also allows us to picture the domain of on the -axis and its range on the -axis as in Figure 5. FIGURE 4 { x, ƒ } ƒ f(1) f(2) x y 0 12 x FIGURE 5 0 x y ϭ ƒ(x) domain range y yx ffx f ͑x͒ y ෇ f ͑x͒͑x, y͒y f fxy ෇ f ͑x͒͑x, y͒ f ͕͑x, f ͑x͒͒ Խ x ʦ A͖ A f af ͑a͒x, f ͑x͒BA f ͑x͒ ෇ s x f s x s x x ജ 0 x xx Ͻ 0 s x s f ͑x͒ xf, x f f xf ͑x͒fxf x f f ͑x͒A BA Bf͑x͒ Axf 12 ■ CHAPTER 1 FUNCTIONS AND MODELS FIGURE 2 Machine diagram for a function ƒ x (input) ƒ (output) f f A B ƒ f(a) a x FIGURE 3 Arrow diagram for ƒ Đồ thị của hàm số f : A → R là tập hợp tất cả các điểm (x, f(x)), ∀x ∈ A ở trong mặt phẳng toạ độ xOy. A function is a rule that assigns to each element in a set exactly one element, called , in a set . We usually consider functions for which the sets and are sets of real numbers. The set is called the domain of the function. The number is the value of at and is read “ of .” The range of is the set of all possible values of as varies throughout the domain. A symbol that represents an arbitrary number in the domain of a function is called an independent variable. A symbol that represents a number in the range of is called a dependent variable. In Example A, for instance, r is the independent variable and A is the dependent variable. It’s helpful to think of a function as a machine (see Figure 2). If is in the domain of the function then when enters the machine, it’s accepted as an input and the machine produces an output according to the rule of the function. Thus, we can think of the domain as the set of all possible inputs and the range as the set of all pos- sible outputs. The preprogrammed functions in a calculator are good examples of a function as a machine. For example, the square root key on your calculator is such a function. You press the key labeled ( or ) and enter the input x . If , then is not in the domain of this function; that is, is not an acceptable input, and the calculator will indicate an error. If , then an approximation to will appear in the display. Thus, the key on your calculator is not quite the same as the exact mathematical function defined by . Another way to picture a function is by an arrow diagram as in Figure 3. Each arrow connects an element of to an element of . The arrow indicates that is associated with is associated with , and so on. The most common method for visualizing a function is its graph. If is a function with domain , then its graph is the set of ordered pairs (Notice that these are input-output pairs.) In other words, the graph of consists of all points in the coordinate plane such that and is in the domain of . The graph of a function gives us a useful picture of the behavior or “life history” of a function. Since the -coordinate of any point on the graph is , we can read the value of from the graph as being the height of the graph above the point (see Figure 4). The graph of also allows us to picture the domain of on the -axis and its range on the -axis as in Figure 5. FIGURE 4 { x, ƒ } ƒ f(1) f(2) x y 0 12 x FIGURE 5 0 x y ϭ ƒ(x) domain range y yx ffx f ͑x͒ y ෇ f ͑x͒͑x, y͒y f fxy ෇ f ͑x͒͑x, y͒ f ͕͑x, f ͑x͒͒ Խ x ʦ A͖ A f af ͑a͒x, f ͑x͒BA f ͑x͒ ෇ s x f s x s x x ജ 0 x xx Ͻ 0 s x s f ͑x͒ xf, x f f xf ͑x͒fxf x f f ͑x͒A BA Bf͑ x͒ Axf 12 ■ CHAPTER 1 FUNCTIONS AND MODELS FIGURE 2 Machine diagram for a function ƒ x (input) ƒ (output) f f A B ƒ f(a) a x FIGURE 3 Arrow diagram for ƒ Hàm số chẵn, lẻ. Cho hàm số f xác định trên A, A là miền đối xứng qua gốc O. • Hàm số f gọi là chẵn nếu f(x) = f(−x), ∀x ∈ A (Hình 1.1). Chẳng hạn hàm f(x) = x 2 là hàm số chẵn. • Hàm số f gọi là lẻ nếu f(x) = −f(−x), ∀x ∈ A (Hình 1.1). Chẳng hạn hàm f(x) = x 3 là hàm số lẻ. Hàm số đơn điệu. • Hàm số f(x) được gọi là tăng trên A nếu ∀x 1 , x 2 : x 1 < x 2 ⇒ f(x 1 ) < f(x 2 ). • Hàm số f(x) được gọi là giảm trên A nếu ∀x 1 , x 2 : x 1 < x 2 ⇒ f(x 1 ) > f(x 2 ). • Hàm số f(x) được gọi là không tăng trên A nếu ∀x 1 , x 2 : x 1 < x 2 ⇒ f(x 1 ) ≥ f(x 2 ). TS. NGUYỄN ĐỨC HẬU http://nguyenduchau.wordpress.com 1.1. Hàm số một biến số 5 We also see that the graph of coincides with the -axis for . Putting this information together, we have the following three-piece formula for : EXAMPLE 10 In Example C at the beginning of this section we considered the cost of mailing a first-class letter with weight . In effect, this is a piecewise defined function because, from the table of values, we have The graph is shown in Figure 22. You can see why functions similar to this one are called step functions—they jump from one value to the next. Such functions will be studied in Chapter 2. Symmetry If a function satisfies for every number in its domain, then is called an even function. For instance, the function is even because The geometric significance of an even function is that its graph is symmetric with respect to the -axis (see Figure 23). This means that if we have plotted the graph of for , we obtain the entire graph simply by reflecting about the -axis. If satisfies for every number in its domain, then is called an odd function. For example, the function is odd because The graph of an odd function is symmetric about the origin (see Figure 24). If we already have the graph of for , we can obtain the entire graph by rotating through about the origin. EXAMPLE 11 Determine whether each of the following functions is even, odd, or neither even nor odd. (a) (b) (c) SOLUTION (a) Therefore, is an odd function. (b) So is even.t t͑Ϫx͒ ෇ 1 Ϫ ͑Ϫx͒ 4 ෇ 1 Ϫ x 4 ෇ t͑x͒ f ෇ Ϫf ͑x͒ ෇ Ϫx 5 Ϫ x ෇ Ϫ͑x 5 ϩ x͒ f ͑Ϫx͒ ෇ ͑Ϫx͒ 5 ϩ ͑Ϫx͒ ෇ ͑Ϫ1͒ 5 x 5 ϩ ͑Ϫx͒ h͑x͒ ෇ 2x Ϫ x 2 t͑x͒ ෇ 1 Ϫ x 4 f ͑x͒ ෇ x 5 ϩ x 180Њ x ജ 0f f ͑ Ϫ x͒ ෇ ͑ Ϫ x͒ 3 ෇ Ϫ x 3 ෇ Ϫ f ͑x͒ f ͑x͒ ෇ x 3 fxf ͑ Ϫ x͒ ෇ Ϫ f ͑x͒f yx ജ 0f y f ͑ Ϫ x͒ ෇ ͑ Ϫ x͒ 2 ෇ x 2 ෇ f͑x͒ f ͑x͒ ෇ x 2 fxf ͑ Ϫ x͒ ෇ f͑x͒f 0.34 0.56 0.78 1.00 if 0 Ͻ w ഛ 1 if 1 Ͻ w ഛ 2 if 2 Ͻ w ഛ 3 if 3 Ͻ w ഛ 4 C͑w͒ ෇ wC͑w͒ f ͑x͒ ෇ ͭ x 2 Ϫ x 0 if 0 ഛ x ഛ 1 if 1 Ͻ x ഛ 2 if x Ͼ 2 f x Ͼ 2xf 20 ■ CHAPTER 1 FUNCTIONS AND MODELS FIGURE 22 C 1 1 0 2 3 4 5 w x 0 y x _x f(_x) ƒ FIGURE 23 An even function x 0 y x _x ƒ FIGURE 24 An odd function We also see that the graph of coincides with the -axis for . Putting this information together, we have the following three-piece formula for : EXAMPLE 10 In Example C at the beginning of this section we considered the cost of mailing a first-class letter with weight . In effect, this is a piecewise defined function because, from the table of values, we have The graph is shown in Figure 22. You can see why functions similar to this one are called step functions—they jump from one value to the next. Such functions will be studied in Chapter 2. Symmetry If a function satisfies for every number in its domain, then is called an even function. For instance, the function is even because The geometric significance of an even function is that its graph is symmetric with respect to the -axis (see Figure 23). This means that if we have plotted the graph of for , we obtain the entire graph simply by reflecting about the -axis. If satisfies for every number in its domain, then is called an odd function. For example, the function is odd because The graph of an odd function is symmetric about the origin (see Figure 24). If we already have the graph of for , we can obtain the entire graph by rotating through about the origin. EXAMPLE 11 Determine whether each of the following functions is even, odd, or neither even nor odd. (a) (b) (c) SOLUTION (a) Therefore, is an odd function. (b) So is even.t t͑Ϫx͒ ෇ 1 Ϫ ͑Ϫx͒ 4 ෇ 1 Ϫ x 4 ෇ t͑x͒ f ෇ Ϫf ͑x͒ ෇ Ϫx 5 Ϫ x ෇ Ϫ͑x 5 ϩ x͒ f ͑Ϫx͒ ෇ ͑Ϫx͒ 5 ϩ ͑Ϫx͒ ෇ ͑Ϫ1͒ 5 x 5 ϩ ͑Ϫx͒ h͑x͒ ෇ 2x Ϫ x 2 t͑x͒ ෇ 1 Ϫ x 4 f ͑x͒ ෇ x 5 ϩ x 180Њ x ജ 0f f ͑ Ϫ x͒ ෇ ͑ Ϫ x͒ 3 ෇ Ϫ x 3 ෇ Ϫ f ͑x͒ f ͑x͒ ෇ x 3 fxf ͑ Ϫ x͒ ෇ Ϫ f ͑x͒f yx ജ 0f y f ͑ Ϫ x͒ ෇ ͑ Ϫ x͒ 2 ෇ x 2 ෇ f ͑x͒ f ͑x͒ ෇ x 2 fxf ͑ Ϫ x͒ ෇ f͑x͒f 0.34 0.56 0.78 1.00 if 0 Ͻ w ഛ 1 if 1 Ͻ w ഛ 2 if 2 Ͻ w ഛ 3 if 3 Ͻ w ഛ 4 C͑w͒ ෇ wC͑w͒ f ͑x͒ ෇ ͭ x 2 Ϫ x 0 if 0 ഛ x ഛ 1 if 1 Ͻ x ഛ 2 if x Ͼ 2 f x Ͼ 2xf 20 ■ CHAPTER 1 FUNCTIONS AND MODELS FIGURE 22 C 1 1 0 2 3 4 5 w x 0 y x _x f(_x) ƒ FIGURE 23 An even function x 0 y x _x ƒ FIGURE 24 An odd function Hình 1.1: Đồ thị hàm số chẵn (phải) và hàm số lẻ (trái). • Hàm số f(x) được gọi là không giảm trên A nếu ∀x 1 , x 2 : x 1 < x 2 ⇒ f(x 1 ) ≤ f(x 2 ). • Hàm số không tăng hay không giảm trên A được gọi là hàm đơn điệu trên A. Trên hình 1.2, hàm số tăng từ A lên B và giảm từ B xuống C và lại tăng từ C lên D. Hàm f tăng trên các đoạn [a, b], [c, d] và giảm trên đoạn [b, c]. (c) Since and , we conclude that is neither even nor odd. The graphs of the functions in Example 11 are shown in Figure 25. Notice that the graph of h is symmetric neither about the y-axis nor about the origin. Increasing and Decreasing Functions The graph shown in Figure 26 rises from to , falls from to , and rises again from to . The function is said to be increasing on the interval , decreasing on , and increasing again on . Notice that if and are any two numbers between and with , then . We use this as the defining prop- erty of an increasing function. A function is called increasing on an interval if It is called decreasing on if In the definition of an increasing function it is important to realize that the inequal- ity must be satisfied for every pair of numbers and in with . You can see from Figure 27 that the function is decreasing on the inter- val and increasing on the interval .͓0, ϱ͒͑Ϫϱ,0͔ f ͑x͒ ෇ x 2 x 1 Ͻ x 2 Ix 2 x 1 f ͑x 1 ͒ Ͻ f ͑x 2 ͒ whenever x 1 Ͻ x 2 in If͑x 1 ͒ Ͼ f ͑x 2 ͒ I whenever x 1 Ͻ x 2 in If͑x 1 ͒ Ͻ f ͑x 2 ͒ If A B C D y=ƒ f(x¡) f(x™) a y 0 x x¡ x™ b c d FIGURE 26 f ͑x 1 ͒ Ͻ f ͑x 2 ͒x 1 Ͻ x 2 ba x 2 x 1 ͓c, d͔͓b, c͔ ͓a, b͔fDC CBBA 1 1 x y h 1 1 y x g 1 _1 1 y x f _1 (a) (b) (c) FIGURE 25 hh͑ Ϫ x͒  Ϫ h͑x͒h͑ Ϫ x͒  h͑x͒ h͑ Ϫ x͒ ෇ 2͑ Ϫ x͒ Ϫ ͑ Ϫ x͒ 2 ෇ Ϫ 2x Ϫ x 2 SECTION 1.1 FOUR WAYS TO REPRESENT A FUNCTION ◆ 21 0 y x y=≈ FIGURE 27 Hình 1.2: Hàm số đơn điệu Hàm bị chặn. Cho hàm số f(x) xác định trên A. • Hàm f(x) được gọi là bị chặn trên nếu tồn tại M sao cho f(x) ≤ M, ∀x ∈ A. • Hàm f(x) được gọi là bị chặn dưới nếu tồn tại M sao cho f(x) ≥ M , ∀x ∈ A. • Hàm f(x) được gọi là bị chặn (giới nội) nếu tồn tại M sao cho |f(x)| ≤ M, ∀x ∈ A. Hàm số tuần hoàn. Cho hàm số f(x) xác định trên A. Nếu tồn tại số T dương sao cho f(x + T ) = f(x), ∀x ∈ A thì f(x) được gọi là hàm số tuần hoàn. Số T nhỏ nhất trong các số thoả mãn điều kiện trên gọi là chu kì của hàm số f(x). Chú ý 1.1 (a) Các hàm số sin x, cos x là các hàm số tuần hoàn với chu kì là 2π. (b) Các hàm số tan x, cot x là các hàm số tuần hoàn với chu kì là π. (c) Nếu f(x) tuần hoàn với chu kì T thì hàm f(ax) cũng là hàm số tuần hoàn với chu kì là T |a| . (d) Tổng hiệu các hàm số tuần hoàn với cùng một chu kì T cũng là hàm tuần hoàn với chu kì T . Trường hợp các số hạng tuần hoàn nhưng khác chu kì, thì hàm TS. NGUYỄN ĐỨC HẬU http://nguyenduchau.wordpress.com 1.1. Hàm số một biến số 6 tổng là hàm số tuần hoàn với chu kì là bội chung nhỏ nhất của các chu kì của các hàm số hạng. Ví dụ 1.1 (1) Hàm số y = a cos(αx) + b sin(αx), α > 0 là hàm số tuần hoàn với chu kì là 2π α . (2) Hàm số y = cos x + 1 2 cos(2x) + 1 3 cos(3x) là hàm số tuần hoàn với chu kì là 2π? Hàm số hợp. Có nhiều cách khác nhau để tổ hợp hai hàm số thành một hàm số mới. Giả sử cho hai hàm số y = f(u) = √ u và u = g(x) = x 2 + 1. Do y được biểu diễn theo u và u lại được biểu diễn theo biến x nên ta có thể biểu diễn y theo x y = f(u) = f(g(x)) = f(x 2 + 1) =  x 2 + 1 Quá trình trên tạo ra một hàm số mới y = h(x) = f(g(x)) = √ x 2 + 1 gọi là hàm hợp của f và g được kí hiệu bởi f ◦g đọc là ’f o tròn g’. The procedure is called composition because the new function is composed of the two given functions and . In general, given any two functions and , we start with a number x in the domain of and find its image . If this number is in the domain of , then we can cal- culate the value of . The result is a new function obtained by substituting into . It is called the composition (or composite) of and and is denoted by (“f circle t”). Definition Given two functions and , the composite function (also called the composition of and ) is defined by The domain of is the set of all in the domain of such that is in the domain of . In other words, is defined whenever both and are defined. The best way to picture is by a machine diagram (Figure 13) or an arrow diagram (Figure 14). EXAMPLE 7 If and , find the composite functions and . SOLUTION We have | NOTE ● You can see from Example 7 that, in general, . Remember, the notation means that the function is applied first and then is applied second. In Example 7, is the function that first subtracts 3 and then squares; is the function that first squares and then subtracts 3. EXAMPLE 8 If and , find each function and its domain. (a) (b) (c) (d) SOLUTION (a) The domain of is .෇ ͕x Խ x ഛ 2͖ ෇ ͑Ϫϱ, 2͔͕x Խ 2 Ϫ x ജ 0͖f ؠ t ͑ f ؠ t͒͑x͒ ෇ f͑t͑x͒͒ ෇ f ( s 2 Ϫ x ) ෇ s s 2 Ϫ x ෇ s 4 2 Ϫ x t ؠ tf ؠ ft ؠ ff ؠ t t͑x͒ ෇ s 2 Ϫ xf͑x͒ ෇ s x t ؠ ff ؠ t ftf ؠ t f ؠ t  t ؠ f ͑t ؠ f ͒͑x͒ ෇ t͑ f͑x͒͒ ෇ t͑x 2 ͒ ෇ x 2 Ϫ 3 ͑ f ؠ t͒͑x͒ ෇ f ͑t͑x͒͒ ෇ f ͑x Ϫ 3͒ ෇ ͑x Ϫ 3͒ 2 t ؠ f f ؠ tt͑x͒ ෇ x Ϫ 3f͑x͒ ෇ x 2 FIGURE 14 Arrow diagram for f•g f { © } x© f g f • g f { © } (output) x (input) g g(x) f FIGURE 13 The f•g machine is composed of the g machine (first) and then the f machine. f ؠ t f ͑t͑x͒͒t͑x͒͑ f ؠ t͒͑x͒f t͑x͒txf ؠ t ͑ f ؠ t͒͑x͒ ෇ f͑t͑x͒͒ tf f ؠ ttf f ؠ t tfft h͑x͒ ෇ f ͑t͑x͒͒f ͑t͑x͒͒ ft͑x͒t͑x͒t tf tf 44 ■ CHAPTER 1 FUNCTIONS AND MODELS Hình 1.3: Hàm hợp Hàm ngược. Cho hàm số f(x) là một song ánh (1 − 1) từ A lên B = f (A) ⊂ R (1 − 1 nghĩa là f(x 1 ) = f(x 2 ), ∀x 1 = x 2 ). Khi đó với mỗi y ∈ B ta có quy tắc kí hiệu là f −1 xác định được duy nhất một x ∈ A sao cho f (x) = y. Quy tắc f −1 đó được gọi là hàm ngược của hàm số f. Vậy y = f(x) ⇔ x = f −1 (y). Chú ý rằng nếu điểm (a, b) là một điểm thuộc đồ thị của hàm f thì (b, a) thuộc đồ thị của f −1 . if , the point is on the graph of if and only if the point is on the graph of . But we get the point from by reflecting about the line . (See Figure 8.) Therefore, as illustrated by Figure 9: The graph of is obtained by reflecting the graph of about the line . EXAMPLE 5 Sketch the graphs of and its inverse function using the same coordinate axes. SOLUTION First we sketch the curve (the top half of the parabola , or ) and then we reflect about the line to get the graph of . (See Figure 10.) As a check on our graph, notice that the expression for is . So the graph of is the right half of the parabola and this seems reasonable from Figure 10. Logarithmic Functions If and , the exponential function is either increasing or decreasing and so it is one-to-one by the Horizontal Line Test. It therefore has an inverse function , which is called the logarithmic function with base a and is denoted by . If we use the formulation of an inverse function given by (3), then we have Thus, if , then is the exponent to which the base must be raised to give . For example, because . The cancellation equations (4), when applied to and , become a log a x ෇ x for every x Ͼ 0 log a ͑a x ͒ ෇ x for every x ʦ ޒ 7 f Ϫ1 ͑x͒ ෇ log a xf ͑x͒ ෇ a x 10 Ϫ3 ෇ 0.001log 10 0.001 ෇ Ϫ3x alog a xx Ͼ 0 a y ෇ x&?log a x ෇ y 6 f ͑y͒ ෇ x&?f Ϫ1 ͑x͒ ෇ y log a f Ϫ1 f ͑x͒ ෇ a x a  1a Ͼ 0 y ෇ Ϫx 2 Ϫ 1 f Ϫ1 f Ϫ1 ͑x͒ ෇ Ϫx 2 Ϫ 1, x ജ 0f Ϫ1 f Ϫ1 y ෇ xx ෇ Ϫy 2 Ϫ 1y 2 ෇ Ϫ1 Ϫ x y ෇ s Ϫ1 Ϫ x f ͑x͒ ෇ s Ϫ1 Ϫ x y ෇ xff Ϫ1 FIGURE 8 0 y x (b,a) (a,b) y=x FIGURE 9 0 y x f–! y=x f y ෇ x ͑a, b͒͑b, a͒f Ϫ1 ͑b, a͒f͑a, b͒f Ϫ1 ͑b͒ ෇ a 68 ■ CHAPTER 1 FUNCTIONS AND MODELS 0 y x y=x y=ƒ (0,_1) y=f–!(x) (_1,0) FIGURE 10 Ví dụ 1.2 Tìm hàm ngược của các hàm số (a) f(x) = x 3 + 2 (b) f(x) = √ −1 − x Giải. TS. NGUYỄN ĐỨC HẬU http://nguyenduchau.wordpress.com 1.1. Hàm số một biến số 7 if , the point is on the graph of if and only if the point is on the graph of . But we get the point from by reflecting about the line . (See Figure 8.) Therefore, as illustrated by Figure 9: The graph of is obtained by reflecting the graph of about the line . EXAMPLE 5 Sketch the graphs of and its inverse function using the same coordinate axes. SOLUTION First we sketch the curve (the top half of the parabola , or ) and then we reflect about the line to get the graph of . (See Figure 10.) As a check on our graph, notice that the expression for is . So the graph of is the right half of the parabola and this seems reasonable from Figure 10. Logarithmic Functions If and , the exponential function is either increasing or decreasing and so it is one-to-one by the Horizontal Line Test. It therefore has an inverse function , which is called the logarithmic function with base a and is denoted by . If we use the formulation of an inverse function given by (3), then we have Thus, if , then is the exponent to which the base must be raised to give . For example, because . The cancellation equations (4), when applied to and , become a log a x ෇ x for every x Ͼ 0 log a ͑a x ͒ ෇ x for every x ʦ ޒ 7 f Ϫ1 ͑x͒ ෇ log a xf ͑x͒ ෇ a x 10 Ϫ3 ෇ 0.001log 10 0.001 ෇ Ϫ3x alog a xx Ͼ 0 a y ෇ x&?log a x ෇ y 6 f ͑y͒ ෇ x&?f Ϫ1 ͑x͒ ෇ y log a f Ϫ1 f ͑x͒ ෇ a x a  1a Ͼ 0 y ෇ Ϫx 2 Ϫ 1 f Ϫ1 f Ϫ1 ͑x͒ ෇ Ϫx 2 Ϫ 1, x ജ 0f Ϫ1 f Ϫ1 y ෇ xx ෇ Ϫy 2 Ϫ 1y 2 ෇ Ϫ1 Ϫ x y ෇ s Ϫ1 Ϫ x f ͑x͒ ෇ s Ϫ1 Ϫ x y ෇ xff Ϫ1 FIGURE 8 0 y x (b,a) (a,b) y=x FIGURE 9 0 y x f–! y=x f y ෇ x ͑a, b͒͑b, a͒f Ϫ1 ͑b, a͒f͑a, b͒f Ϫ1 ͑b͒ ෇ a 68 ■ CHAPTER 1 FUNCTIONS AND MODELS 0 y x y=x y=ƒ (0,_1) y=f–!(x) (_1,0) FIGURE 10 (a) Giải phương trình y = x 3 + 2 theo biến x ta được x 3 = y −2 hay x = 3  y −2 Cuối cùng đổi chỗ của x với y ta được y = 3 √ x − 2 Vậy hàm ngược cần tìm là f −1 (x) = 3 √ x − 2. if , the point is on the graph of if and only if the point is on the graph of . But we get the point from by reflecting about the line . (See Figure 8.) Therefore, as illustrated by Figure 9: The graph of is obtained by reflecting the graph of about the line . EXAMPLE 5 Sketch the graphs of and its inverse function using the same coordinate axes. SOLUTION First we sketch the curve (the top half of the parabola , or ) and then we reflect about the line to get the graph of . (See Figure 10.) As a check on our graph, notice that the expression for is . So the graph of is the right half of the parabola and this seems reasonable from Figure 10. Logarithmic Functions If and , the exponential function is either increasing or decreasing and so it is one-to-one by the Horizontal Line Test. It therefore has an inverse function , which is called the logarithmic function with base a and is denoted by . If we use the formulation of an inverse function given by (3), then we have Thus, if , then is the exponent to which the base must be raised to give . For example, because . The cancellation equations (4), when applied to and , become a log a x ෇ x for every x Ͼ 0 log a ͑a x ͒ ෇ x for every x ʦ ޒ 7 f Ϫ1 ͑x͒ ෇ log a xf ͑x͒ ෇ a x 10 Ϫ3 ෇ 0.001log 10 0.001 ෇ Ϫ3x alog a xx Ͼ 0 a y ෇ x&?log a x ෇ y 6 f ͑y͒ ෇ x&?f Ϫ1 ͑x͒ ෇ y log a f Ϫ1 f ͑x͒ ෇ a x a  1a Ͼ 0 y ෇ Ϫx 2 Ϫ 1 f Ϫ1 f Ϫ1 ͑x͒ ෇ Ϫx 2 Ϫ 1, x ജ 0f Ϫ1 f Ϫ1 y ෇ xx ෇ Ϫy 2 Ϫ 1y 2 ෇ Ϫ1 Ϫ x y ෇ s Ϫ1 Ϫ x f ͑x͒ ෇ s Ϫ1 Ϫ x y ෇ xff Ϫ1 FIGURE 8 0 y x (b,a) (a,b) y=x FIGURE 9 0 y x f–! y=x f y ෇ x ͑a, b͒͑b, a͒f Ϫ1 ͑b, a͒f͑a, b͒f Ϫ1 ͑b͒ ෇ a 68 ■ CHAPTER 1 FUNCTIONS AND MODELS 0 y x y=x y=ƒ (0,_1) y=f–!(x) (_1,0) FIGURE 10 (b) Như hình vẽ đường cong y = √ −1 − x là một nửa trên của parabol y 2 = −1 −x hay x = −y 2 − 1. Lấy đối xứng qua đường y = x ta được đồ thị của hàm f −1 . Nó được biểu diễn bởi f −1 (x) = −x 2 − 1, x ≥ 0. Vậy đồ thị của f −1 là một nửa bên trái của parabol y = −x 2 − 1. Các hàm số sơ cấp cơ bản. Các hàm số sau được gọi là hàm số sơ cấp cơ bản 1. Hàm luỹ thừa x α . 2. Hàm mũ a x . 3. Hàm số logarit log a x. 4. Các hàm số lượng giác sin x, cos x, tan x, cot x. 5. Các hàm lượng giác ngược arcsin x, arccos x, arctan x, arccotx. Hàm sơ cấp. Hàm sơ cấp là các hàm được tạo thành bởi một số hữu hạn các phép tính đại số và phép hợp đối với các hàm số sơ cấp cơ bản. Ví dụ 1.3 (a) Các hàm số y = cos 5x, y = x 4 +tan 3x −ln(x+2), y = e x + tan 6x log 3 x − 3 , là các hàm số sơ cấp. (b) Các hàm số y = |x|, y = sgnx, y =  0 khi x < 0 1 − e − x 2 khi x ≥ 0 không phải là các hàm số sơ cấp. Hàm ẩn. Cho biểu thức F(x, y) = 0, (x, y) ∈ X × Y . Nếu ứng với x ∈ X ta xác định được y ∈ Y thì ta nói biểu thức F(x, y) = 0 xác định cho ta hàm ẩn y đối với x. Ví dụ 1.4 (a) Biểu thức x 2 + 2x − y = 0 xác định hàm ẩn (biểu diễn dưới dạng tường minh y theo x là y = x 2 + 2x). (b) Biểu thức e xy + y = 0 xác định hàm ẩn nhưng không thể biểu diễn dưới dạng tường minh y theo x. (c) Biểu thức x 2 + y 2 + 1 = 0 không xác định hàm ẩn. TS. NGUYỄN ĐỨC HẬU http://nguyenduchau.wordpress.com 1.1. Hàm số một biến số 8 Hàm số theo tham số. Cho x = f(t), y = g(t) là các hàm số cùng xác định trên T. Khi đó với mỗi x = f(t 0 ) sẽ cho ta y = g(t 0 ) tại t 0 xác định cho ta một hàm số y theo đối số x gọi là hàm cho theo tham số x = f (t), y = g(t). Với mỗi giá trị t xác định một điểm (x, y) trên mặt phẳng xOy. Khi t thay đổi điểm (x, y) = (f(t), g(t)) chạy trên một đường cong C gọi là đường cong tham số. (e) reflecting about the line (f) reflecting about the x-axis and then about the line (g) reflecting about the y-axis and then about the line (h) shifting 3 units to the left and then reflecting about the line 60. (a) If we shift a curve to the left, what happens to its reflec- tion about the line ? In view of this geometric principle, find an expression for the inverse of , where is a one-to-one function. (b) Find an expression for the inverse of , where .c  0 h͑x͒ ෇ f ͑cx͒ ft͑x͒ ෇ f ͑x ϩ c͒ y ෇ x y ෇ x y ෇ x y ෇ x y ෇ x(The maximum charge capacity is and t is measured in seconds.) (a) Find the inverse of this function and explain its meaning. (b) How long does it take to recharge the capacitor to 90% of capacity if a ෇ 2? Starting with the graph of , find the equation of the graph that results from (a) shifting 3 units upward (b) shifting 3 units to the left (c) reflecting about the x-axis (d) reflecting about the y-axis y ෇ ln x 59. Q 0 SECTION 1.7 PARAMETRIC CURVES ◆ 75 Parametric Curves ●●●●●●●●●●●●●●●● Imagine that a particle moves along the curve C shown in Figure 1. It is impossible to describe C by an equation of the form because C fails the Vertical Line Test. But the x- and y-coordinates of the particle are functions of time and so we can write and . Such a pair of equations is often a convenient way of describ- ing a curve and gives rise to the following definition. Suppose that and are both given as functions of a third variable (called a parameter) by the equations (called parametric equations). Each value of determines a point , which we can plot in a coordinate plane. As varies, the point varies and traces out a curve , which we call a parametric curve. The parameter t does not nec- essarily represent time and, in fact, we could use a letter other than t for the parame- ter. But in many applications of parametric curves, t does denote time and therefore we can interpret as the position of a particle at time t. EXAMPLE 1 Sketch and identify the curve defined by the parametric equations SOLUTION Each value of gives a point on the curve, as shown in the table. For instance, if , then , and so the corresponding point is . In Figure 2 we plot the points determined by several values of the parameter and we join them to produce a curve. FIGURE 2 0 y x 8 t=0 t=1 t=2 t=3 t=4 t=_1 t=_2 (0,1) ͑x, y͒ ͑0, 1͒y ෇ 1x ෇ 0t ෇ 0 t y ෇ t ϩ 1x ෇ t 2 Ϫ 2t ͑x, y͒ ෇ ͑ f͑t͒, t͑t͒͒ C ͑x, y͒ ෇ ͑ f͑t͒, t͑t͒͒t ͑x, y͒t y ෇ t͑t͒x ෇ f ͑t͒ tyx y ෇ t͑t͒x ෇ f ͑t͒ y ෇ f ͑x͒ 1.7 txy Ϫ28Ϫ1 Ϫ 1 30 001 1 Ϫ12 203 334 485 y x C 0 (x,y)= { f(t), g(t) } FIGURE 1 Ví dụ 1.5 (a) Hàm số y = f(x) xác định trên X có thể viết dưới dạng tham số x = t, y = f(t), t ∈ X. (b) Hàm ẩn x 2 a 2 + y 2 b 2 = 1 có thể viết dưới dạng tham số  x = a cos t y = b sin t , 0 ≤ t ≤ 2π Các hàm số hyperbolic. 1. Hàm sine hyperbolic sinh x = e x − e −x 2 . 2. Hàm cosine hyperbolic cosh x = e x + e −x 2 . 3. Hàm tang hyperbolic tanh x = sinh x cosh x . 4. Hàm cotang hyperbolic coth x = cosh x sinh x . 5. Các hệ thức cosh 2 x − sinh 2 x = 1 1 − tanh 2 x = 1 cosh 2 x , 1 − coth 2 x = 1 sinh 2 x sinh(x + y) = sinh x cosh y + sinh y cosh x sinh(x − y) = sinh x cosh y −sinh y cosh x cosh(x + y) = cosh x cosh y + sinh y sinh x cosh(x − y) = cosh x cosh y −sinh y sinh x Các hàm số khác. sec x = 1 cos x , csc x = 1 sin x TS. NGUYỄN ĐỨC HẬU http://nguyenduchau.wordpress.com 1.2. Giới hạn của dãy số thực 9 1.2. Giới hạn của dãy số thực Định nghĩa 1.2 Dãy số. Cho hàm số f : N → R, n → f(n) = a n . Dãy các số thực a 1 , a 2 , được gọi là dãy số, a n gọi là số hạng tổng quát của dãy số. Kí hiệu dãy số là {a n }. Dãy bị chặn. 1. Dãy {a n } gọi là bị chặn trên nếu tồn tại M sao cho a n ≤ M, ∀n ∈ N. 2. Dãy {a n } gọi là bị chặn dưới nếu tồn tại M sao cho a n ≥ M, ∀n ∈ N. 3. Dãy {a n } gọi là bị chặn (giới nội) nếu nó vừa bị chặn trên vừa bị chặn dưới hay là tồn tại M sao cho |a n | ≤ M, ∀n ∈ N. Dãy đơn điệu. Dãy {a n } gọi là đơn điệu tăng (tương ứng đơn điệu giảm) nếu a 1 ≤ a 2 ≤ ≤ a n ≤ (tương ứng a 1 ≥ a 2 ≥ ≥ a n ≥ ). Nếu không xảy ra dấu bằng thì ta nói dãy là tăng giảm thực sự. Định nghĩa 1.3 Giới hạn hữu hạn của dãy số. Cho dãy số {a n }. Số thực a được gọi là giới hạn của dãy số a n khi nếu như ∀ε > 0 bất kì cho trước thì ∃N 0 sao cho |a n −a| < ε, ∀n ≥ N 0 . Kí hiệu là lim n→+∞ a n = a hoặc a n → a khi n → +∞. Hay còn nói {a n } là dãy hội tụ đến a, trong trường hợp trái lại {a n } gọi là dãy phân kì. Viết gọn lại lim n→+∞ a n = a ⇔ ∀ε > 0, ∃N 0 : ∀n ≥ N 0 ⇒ |a n − a| < ε. Chú ý 1.2 Nếu lim n→+∞ a n = 0 thì dãy {a n } được gọi là dãy vô cùng bé. Định nghĩa 1.4 Dãy dần đến vô cùng. lim n→+∞ a n = ∞ ⇔ ∀M > 0, ∃N 0 : ∀n ≥ N 0 ⇒ |a n | > M Các tính chất. 1. Giới hạn của dãy số nếu có là duy nhất. 2. Nếu a n → a, b n → b khi n → +∞ (a, b hữu hạn) thì a n ±b n → a±b, a n b n → ab, a n b n → a b , b = 0. 3. Cho hai dãy hội tụ {a n }, {b n } • Nếu tồn tại N 0 ∈ N : a n = b n , ∀n ≥ N 0 thì lim n→+∞ a n = lim n→+∞ b n . • Nếu tồn tại N 0 ∈ N : a n ≥ b n , ∀n ≥ N 0 thì lim n→+∞ a n ≥ lim n→+∞ b n . • Nếu tồn tại N 0 ∈ N : a n ≤ b n , ∀n ≥ N 0 thì lim n→+∞ a n ≤ lim n→+∞ b n . TS. NGUYỄN ĐỨC HẬU http://nguyenduchau.wordpress.com [...]... > 1 +∞, 0 < a < 1 x→0+ x→−∞ x→+∞ sin x = 1, x→0 x a >1 0 1 , 0, 0 < a < 1 lim ax = x→+∞ lim ax = x→−∞ lim loga x = +∞, a > 1 , −∞, 0 < a < 1 lim arctan x = π , 2 x→+∞ x→+∞ lim arccotx = π an xn + an 1 xn 1 + + a0 bằng x→∞ bm xm + bm 1 xm 1 + + b0 bằng ∞ nếu n > m x→∞ nếu m = n, bằng 0 nếu n < m và lim x 1 x an bm sin x =0 x→∞ x 7 lim 1+ π 2 x→−∞... x = 0) Bài 10 Tìm hai số dương mà tích của chúng bằng 16 và tổng của chúng đạt giá trị nhỏ nhất HD: Gọi hai số đó là x và y (x, y > 0) Ta có xy = 16 Tổng S = x + y = x + 16 và x 2 16 16 S = 1 − x2 = x x2 = 0 khi x = ±4 S đạt giá trị nhỏ nhất (với y > 0) khi y = 4 và khi đó x = 4 TS NGUYỄN ĐỨC HẬU http://nguyenduchau.wordpress.com 1. 5 Bài tập chương 1 25 Bài 11 Giả sử hình chữ nhật có diện tích là... lim Từ đó suy ra lim x→0 1 + tan x 1 + sin x 1 sin3 x = √ e Định lý 1. 3 Cho ba hàm số f (x), g(x), h(x) thoả mãn f (x) ≤ g(x) ≤ h(x), ∀x ∈ (a, b) Điểm x0 ∈ [a, b] Khi đó nếu lim f (x) = lim h(x) = L thì lim g(x) = L x→x0 x→x0 Ví dụ 1. 13 Chứng minh rằng lim x2 sin x→0 x→x0 1 = 0 x N SECTION 2.3 CALCULATING LIMITS USING THE LIMIT LAWS Giải Ta có đánh giá 11 7 y y=≈ 1 1 ≤ sin ≤ 1 x 1 y=≈ sin x Watch an animation... cùng một quá trình nào đó Nếu f1 (x) ∼ f2 (x) và g1 (x) ∼ g2 (x) thì lim f2 (x) f1 (x) = lim g1 (x) g2 (x) Ví dụ 1. 17 Tính giới hạn ln (1 + 2x) x→0 sin 5x lim Giải Do ln (1 + 2x) ∼ 2x, sin 5x ∼ 5x (x → 0) nên ta có ln (1 + 2x) 2x 2 = lim = x→0 x→0 5x sin 5x 5 lim Chú ý 1. 6 Cho f (x) và g(x) là hai VCB trong cùng một quá trình nào đó Nếu f (x) = o(g(x)) thì f (x) + g(x) ∼ g(x) Quy tắc 2 Cho f (x) = f1 (x)+f2 . lim x→0 (1 + x) 1 x = e 9. lim x→0 log a (1 + x) x = 1 ln a , lim x→0 ln (1 + x) x = 1 10. lim x→0 a x − 1 x = ln a, lim x→0 e x − 1 x = 1 11. lim x→0 (1 + x) α − 1 x = α, lim x→0 n √ 1 + x − 1 x = 1 n Ví. ͑x 2 ͒x 1 Ͻ x 2 ba x 2 x 1 ͓c, d͔͓b, c͔ ͓a, b͔fDC CBBA 1 1 x y h 1 1 y x g 1 _1 1 y x f _1 (a) (b) (c) FIGURE 25 hh͑ Ϫ x͒  Ϫ h͑x͒h͑ Ϫ x͒  h͑x͒ h͑ Ϫ x͒ ෇ 2͑ Ϫ x͒ Ϫ ͑ Ϫ x͒ 2 ෇ Ϫ 2x Ϫ x 2 SECTION 1. 1. học môn Toán 1 (Giải tích hàm một biến số). TS. NGUYỄN ĐỨC HẬU http://nguyenduchau.wordpress.com Chương 1 GIỚI HẠN VÀ TÍNH LIÊN TỤC CỦA HÀM SỐ 1. 1. Hàm số một biến số Định nghĩa 1. 1 Cho A ⊂ R.