Khóa học Toán Cơ bản và Nâng cao 11 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95 Tham gia khóa Toán Cơ bản và Nâng cao 11 tại MOON.VN để có sự chuẩn bị tốt nhất cho kì thi THPT quốc gia! III. HAI ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC Hai đường thẳng a, b được gọi là vuông góc với nhau nếu ( )  o a; b 90 a b. = ←→ ⊥   Chú ý: Các phương pháp chứng minh a ⊥ b:  Ch ứ ng minh ( )  o a; b 90 =  Ch ứ ng minh hai véc t ơ ch ỉ ph ươ ng c ủ a hai đườ ng th ẳ ng vuông góc v ớ i nhau, u.v 0. =    Chứng minh hai đường thẳng có quan hệ theo định lý Pitago, trung tuyến tam giác cân, đều Ví dụ 1. Cho tứ diện ABCD trong đó    = = = = = = o o o AB AC AD a, BAC 60 , BAD 60 , CAD 90 . G ọ i I và J l ầ n l ượ t là trung đ i ể m c ủ a AB và CD. a) Ch ứ ng minh r ằ ng IJ vuông góc v ớ i c ả hai đườ ng AB và CD. b) Tính độ dài IJ. Hướng dẫn giải: a) Từ giả thiết ta dễ dàng suy ra tam giác ABC, ABD đều, ∆ACD vuông cân tại A. Từ đó BC BD a,CD a 2 = = = →∆BCD vuông cân t ạ i B.  Chứng minh IJ vuông góc với AB Do các ∆ACD, ∆BCD vuông cân t ạ i A, B nên 1 AJ CD 2 AJ BJ IJ AB. 1 BJ CD 2  =   → = ⇔ ⊥   =    Chứng minh IJ vuông góc với CD Do các ∆ACD, ∆BCD đề u nên CI = DI → IJ ⊥CD. b) Áp d ụ ng đị nh lý Pitago cho ∆AIJ vuông t ạ i I ta đượ c 2 2 2 2 a 2 a a IJ AJ AI 2 4 2   = − = − =       V ậ y IJ = a/2. Ví d ụ 2. Cho hình chóp tam giác S.ABC có SA = SB = SC và    = = ASB BSC CSA. Ch ứ ng minh r ằ ng SA ⊥ ⊥⊥ ⊥ BC, SB ⊥ ⊥⊥ ⊥ AC, SC ⊥ ⊥⊥ ⊥ AB. Hướng dẫn giải:  Ch ứ ng minh: SA ⊥ BC. Xét ( ) SA.BC SA. SC SB SA.SC SA.SB = − = −          Mà ( )  ( )     SA.SC SA.SC.cos SA;SC SA.SB SA.SB.cos SA;SB SA.SC SA.SB SA.SC SA.SB 0 SA.BC 0 SA BC SA SB SC ASB BSC CSA = = → = ⇔ − = ←→ = ⇔ ⊥ = = = =                   Chứng minh tương tự ta cũng được SB ⊥ AC, SC ⊥ AB Ví d ụ 3. Cho t ứ di ệ n đề u ABCD , c ạ nh b ằ ng a . G ọ i O là tâm đườ ng tròn ngo ạ i ti ế p ∆ ∆∆ ∆BCD . a) Ch ứ ng minh AO vuông góc v ớ i CD . b) G ọ i M là trung đ i ể m c ủ a CD . Tính góc gi ữ a    BC và AM .    AC và BM . Hướng dẫn giải: 02. HAI ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC – P2 Thầy Đặng Việt Hùng [ĐVH] Khóa học Toán Cơ bản và Nâng cao 11 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95 Tham gia khóa Toán Cơ bản và Nâng cao 11 tại MOON.VN để có sự chuẩn bị tốt nhất cho kì thi THPT quốc gia! a) Sử dụng phương pháp dùng tích vô hướng Gọi M là trung điểm của CD. Ta có ( ) AO.CD AM MO .CD AM.CD MO.CD = + = +          Do ABCD là tứ diện đều nên AM ⊥ CD và O là tâm đáy (hay O là giao điểm của ba đường cao). Khi đó AM CD AM.CD 0 AO.CD 0 AO CD. MO CD MO.CD 0  ⊥ =   ⇔ → = ⇔ ⊥   ⊥ =          b) Xác đị nh góc gi ữ a BC và AM; AC và BM  Xác định góc giữa BC và AM: G ọ i I là trung đ i ể m c ủ a BD → MI // BC. T ừ đ ó ( )  ( )    AMI BC;AM MI;AM 180 AMI  = =   −  Áp d ụ ng đị nh lý hàm s ố cosin trong ∆AMI ta đượ c  ( ) 2 2 2 AM MI AI cosAMI , 1 . 2.AM.MI + − = Các ∆ABD, ∆ACD đề u, có c ạ nh a nên a 3 AI AM . 2 = = MI là đườ ng trung bình nên MI = a/2. T ừ đ ó ( )   ( )  2 2 2 a 3a 3a 1 1 1 4 4 4 1 cosAMI AMI arccos BC;AM arccos . a a 3 2 3 2 3 2 3 2. . 2 2 + −     ⇔ = = → = ⇔ =          Xác định góc giữa BC và AM: G ọ i J là trung đ i ể m c ủ a AD → MJ // AC. Khi đ ó ( )  ( )    BMJ AC;BM MJ;BM 180 BMJ  = =   −  Các tam giác ABD, BCD là các tam giác đề u c ạ nh a, nên các trung tuy ế n t ươ ng ứ ng a 3 BJ BM 2 = = Do đ ó,   1 AIM BJM AMI BMJ arccos . 2 3   ∆ = ∆ → = =     V ậ y ( )  1 AC;BM arccos . 2 3   =     Ví dụ 4. Cho hình lập phương ABCD.A ′ ′′ ′ B ′ ′′ ′ C ′ ′′ ′ D ′ ′′ ′ cạnh a. Đặt ′ = = = AB a,AD b,AA c.       a) Tính góc gi ữ a các đườ ng th ẳ ng: ( )  ( )  ( )  ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ AB,B C ; AC,B C ; A C ,B C . b) G ọ i O là tâm c ủ a hình vuông ABCD và I là m ộ t đ i ể m sao cho ′ ′ = + + + + OI OA OA OB OB      ′ ′ + + + + OC OC OD OD .     Tính khoảng cách từ O đến I theo a. c) Phân tích hai véc tơ ′ AC , BD   theo ba véc tơ a, b, c.    Từ đó, chứng tỏ rằng AC′ ′′ ′ và BD vuông góc với nhau. d) Trên cạnh DC và BB′ ′′ ′ lấy hai điểm tương ứng M, N sao cho DM = BN = x (với 0 < x < a). Chứng minh rằng AC′ ′′ ′ vuông góc với MN. Hướng dẫn giải: Nhận xét: Để làm t ố t các bài toán liên quan đế n hình l ậ p ph ươ ng ta c ầ n nh ớ m ộ t s ố tính ch ấ t c ơ b ả n c ủ a hình l ậ p ph ươ ng:  T ấ t c ả các đườ ng chéo ở các m ặ t c ủ a hình l ậ p ph ươ ng đề u b ằ ng nhau và b ằ ng a 2 (n ế u hình l ậ p ph ươ ng c ạ nh a).  Các đ o ạ n th ẳ ng t ạ o b ở i các kích th ướ c c ủ a hình l ậ p ph ươ ng luôn vuông góc v ớ i nhau (dài, r ộ ng, cao). Khóa học Toán Cơ bản và Nâng cao 11 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95 Tham gia khóa Toán Cơ bản và Nâng cao 11 tại MOON.VN để có sự chuẩn bị tốt nhất cho kì thi THPT quốc gia! a) Tính góc giữa: ( )  ( )  ( )  ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ AB,B C ; AC,B C ; A C ,B C .  Tính ( )  AB,B C ′ ′ : ( )  ( )  o Do B C //BC AB,B C AB,BC 90 . ′ ′ ′ ′ → = =  Tính ( )  AC,B C ′ ′ : ( )  ( )    o ACB Do B C //BC AC,B C AC,BC 180 ACB  ′ ′ ′ ′ → = =   −  ABCD là hình vuông nên ∆ ABC là tam giác vuông cân t ạ i B  ( )  o o ACB 45 AC,B C 45 . ′ ′ → = ⇔ =  Tính ( )  A C ,B C ′ ′ ′ : ( )  ( )    o ACB Do A C //AC A C ,B C AC,B C 180 ACB  ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ → = =  ′  −  Xét trong tam giác ACB ′ có AC = B ′ C = AB ′ (do đề u là các đườ ng chéo ở các m ặ t hình vuông c ủ a hình l ậ p ph ươ ng). Do đ ó ∆ ACB ′ đề u  ( )  o o ACB 60 A C ,B C 60 . ′ ′ ′ ′ → = ⇔ = b) Tính độ dài OI theo a. V ớ i O là tâm c ủ a hình vuông ABCD thì OA OC 0 OA OC OB OD 0 OB OD 0  + =  → + + + =  + =              Khi đ ó OI OA OB OC OD ′ ′ ′ ′ = + + +      G ọ i O ′ là tâm c ủ a đ áy A ′ B ′ C ′ D ′ , theo quy t ắ c trung tuy ế n ta có OA OC 2OO OI 4OO OB OD 2OO  ′ ′ ′ + =  ′ → =  ′ ′ ′ + =           Kho ả ng cách t ừ O đế n I chính là độ dài véc t ơ OI, t ừ đ ó ta đượ c OI = 4OO ′ = 4a. c) Phân tích hai véc t ơ ′ AC , BD   theo ba véc t ơ a, b, c.    Theo tính ch ấ t c ủ a hình l ậ p ph ươ ng ta d ễ dàng có a.b 0 a.c 0 b.c 0  =   =   =          Phân tích: AC AB BC CC a b c BD BA AD b a ′ ′ = + + = + + = + = −              Ch ứ ng minh AC ′ vuông góc v ớ i BD. Xét ( ) ( )     2 2 2 2 2 2 0 0 0 0 AC .BD a b c . b a a.b b c.b a a.b c.a b a AD AB 0 AC.BD AC B D. ′ ′ ′ = + + − = + + − − − = − = − = ⇔ ⇔ ⊥                      d) Ch ứ ng minh r ằ ng AC ′ ′′ ′ vuông góc v ớ i MN. Ta có phân tích: MN MC CB BN AC AB BC CC = + + ′ ′ = + +         ( ) ( ) 0 0 0 0 MN.AC MC CB BN . AB BC CC MC.AB MC.BC MC.CC CB.AB CB.BC CB.CC BN.AB     ′ ′ ′ ′ → = + + + + = + + + + + +         +                           0 0 BN.BC BN.CC MC.AB CB.BC BN.CC   ′ ′ + + = + +                  Mà ( ) ( ) o o 2 2 o MC.AB MC.AB.cos0 a x a CB.BC CB.BC.cos180 a MN.AC a x a a ax 0 MN AC . BN.CC BN.CC .cos0 ax = = − ′ ′ = = − → = − − + = ⇔ ⊥ ′ ′ = =         Khóa học Toán Cơ bản và Nâng cao 11 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95 Tham gia khóa Toán Cơ bản và Nâng cao 11 tại MOON.VN để có sự chuẩn bị tốt nhất cho kì thi THPT quốc gia! BÀI TẬP LUYỆN TẬP Bài 1. [ĐVH]: Cho hình lập phương ABCD.A′B′C′D′. Gọi M, N lần lượt là các điểm thuộc A′B và B′C sao cho 1 1 ; 2 2 ′ ′ = =     BM MA CN NB . Chứng minh rằng: a) MN ⊥A′B. b) MN ⊥B′C. Bài 2. [ĐVH]: Cho hình lập phương ABCD.A′B′C′D′. Xác định góc giữa các cặp vectơ: a) ( ) , . ′ ′   AB A C b) ( ) , . ′ ′   AB A D c) ( ) , . ′   AC BD Bài 3. [ĐVH]: Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A′B′C′D′. Chứng minh rằng: a) AD ⊥ A′B′. b) AD ⊥ D′C. Bài 4. [ĐVH]: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và B. Biết AB = BC = a; AD = 2a. Hình chiếu của S xuống (ABCD) là điểm H thuộc AC sao cho CH = 3AH; 3. =SH a Tính góc gi ữ a a) (SC; AB) b) (SA; BD) Đ /s: ( ) ( ) 66 10 ) cos ; ) cos ; 22 50 = =a SC AB b SA BD Bài 5. [ĐVH]: Cho hình chóp S.ABCD có đ áy là hình ch ữ nh ậ t, AB = a; AD = 2a. Hình chi ế u vuông góc c ủ a S xu ố ng m ặ t ph ẳ ng (ABCD) là đ i ể m H thu ộ c AB sao cho AB = 3AH. Bi ế t 2 . = SAB S a Tính góc gi ữ a a) (SA; BD) b) (SC; BM), v ớ i M là trung đ i ể m c ủ a AD. Đ /s: ( )  ( ) 0 38 ) ; 86 ) cos ; 19 ≈ =a SA BD b SC BM . d ụ ng đị nh lý Pitago cho ∆AIJ vuông t ạ i I ta đượ c 2 2 2 2 a 2 a a IJ AJ AI 2 4 2   = − = − =       V ậ y IJ = a /2. Ví d ụ 2. Cho hình chóp tam giác S.ABC có SA = SB = SC và    =.  ( ) 2 2 2 AM MI AI cosAMI , 1 . 2. AM.MI + − = Các ∆ABD, ∆ACD đề u, có c ạ nh a nên a 3 AI AM . 2 = = MI là đườ ng trung bình nên MI = a /2. T ừ đ ó ( )   ( )  2 2 2 a 3a 3a 1. đ ó ( )   ( )  2 2 2 a 3a 3a 1 1 1 4 4 4 1 cosAMI AMI arccos BC;AM arccos . a a 3 2 3 2 3 2 3 2. . 2 2 + −     ⇔ = = → = ⇔ =          Xác định góc giữa BC và AM: G ọ i