Đang tải... (xem toàn văn)
Kì thi đại học sắp tới, để giúp các bạn học sinh ôn thi tốt, chúng tôi xin giới thiệu đến các bạn một số dạng chuyên đề tích phân môn toán thường gặp trong đề thi đại học : Bài viết này tổng hợp các chuyên đề TÍCH PHÂN luyện thi đại học (đủ dạng, bài tập , các phương pháp giúp các e đạt được kết quả cao trong kì thi sắp tới , xin cảm ơn
Khóa học LTĐH mơn Tốn – Thầy Đặng Việt Hùng (0985.074.831) – Facebook: LyHung95 Trang CỔNG LUYỆN THI ĐẠI HC TRC TUYN ĐặNG VIệT HùNG BI GING TRNG TM TÍCH PHÂN Tham gia gói học trực tuyến Pro S – Pro Adv mơn Tốn để đạt kết cao kỳ thi THPT quốc gia Khóa học LTĐH mơn Tốn – Thầy Đặng Việt Hùng (0985.074.831) – Facebook: LyHung95 Trang 01 ĐẠI CƯƠNG VỀ NGUYÊN HÀM I NHẮC LẠI KHÁI NIỆM VỀ VI PHÂN CỦA HÀM SỐ Vi phân hàm số y = f(x) kí hiệu dy cho cơng thức dy = df ( x ) = y ' dx = f '( x )dx Ví dụ: d(x2 – 2x + 2) = (x2 – 2x + 2)′dx = (2x – 2)dx d(sinx + 2cosx) = (sinx + 2cosx)′dx = (cosx – 2sinx)dx Chú ý: Từ công thức vi phân ta dễ dàng thu số kết sau d ( x ) = 2dx ⇒ dx = d ( x ) d ( 3x ) = 3dx ⇒ dx = d ( 3x ) x2 1 xdx = d = d x = d x ± a = − d a − x 2 ( ) ( ) ( ) x3 1 x dx = d = d x3 = d x3 ± a = − d a − x3 3 dx d ( ax + b ) dx = = d ( ln ax + b ) → = d ( ln x ) ax + b a ax + b a x 1 sin ( ax + b ) dx = sin ( ax + b ) d ( ax + b ) = − d ( cos ( ax + b ) ) sin xdx = − d ( cos2 x ) → a a 1 cos ( ax + b ) dx = cos ( ax + b ) d ( ax + b ) = d ( sin ( ax + b ) ) cos xdx = d ( sin x ) → a a 1 eax +b dx = e ax +b d ( ax + b ) = d e ax +b e2 x dx = d e x → a a dx d ( ax + b ) dx = = d tan ( ax + b ) → = d ( tan x ) 2 cos ( ax + b ) a cos ( ax + b ) a cos x ( ) ( ) ( dx sin ( ax + b ) = ( ) ) ( ) d ( ax + b ) dx = − d cot ( ax + b ) → = − d ( cot x ) a sin ( ax + b ) a sin x II KHÁI NIỆM VỀ NGUYÊN HÀM Cho hàm số f(x) liên tục khoảng (a; b) Hàm F(x) gọi nguyên hàm hàm số f(x) F’(x) = f(x) viết ∫ f ( x)dx Từ ta có : ∫ f ( x)dx = F ( x) Nhận xét: Với C số ta ln có (F(x) + C)’ = F’(x) nên tổng quát hóa ta viết ∫ f ( x)dx = F ( x) + C , F(x) + C gọi họ nguyên hàm hàm số f(x) Với giá trị cụ thể C ta nguyên hàm hàm số cho Ví dụ: Hàm số f(x) = 2x có nguyên hàm F(x) = x2 + C, (x2 + C)’ = 2x Hàm số f(x) = sinx có nguyên hàm F(x) = –cosx + C, (–cosx + C)’ = sinx III CÁC TÍNH CHẤT CƠ BẢN CỦA NGUYÊN HÀM Cho hàm số f(x) g(x) liên tục tồn nguyên hàm tương ứng F(x) G(x), ta có tính chất sau: a) Tính chất 1: ( ∫ f ( x)dx )′ = f ( x) Chứng minh: Tham gia gói học trực tuyến Pro S – Pro Adv mơn Tốn để đạt kết cao kỳ thi THPT quốc gia Khóa học LTĐH mơn Toán – Thầy Đặng Việt Hùng (0985.074.831) – Facebook: LyHung95 Do F(x) nguyên hàm hàm số f(x) nên hiển nhiên ta có Trang ( ∫ f ( x)dx )′ = ( F ( x) )′ = f ( x) ⇒ đpcm ( ∫ [ f ( x) + g ( x)] dx ) = ∫ f ( x)dx + ∫ g ( x)dx b) Tính chất 2: Chứng minh: Theo tính chất ta có, ( ∫ f ( x)dx + ∫ g ( x)dx )′ = ( ∫ f ( x)dx )′ + ( ∫ g ( x)dx )′ = f ( x) + g ( x) Theo định nghĩa ngun hàm vế phải nguyên hàm f(x) + g(x) ( ∫ [ f ( x) + g ( x)] dx ) = ∫ f ( x)dx + ∫ g ( x)dx c) Tính chất 3: ( ∫ k f ( x)dx ) = k ∫ f ( x)dx, ∀k ≠ Từ ta có Chứng minh: ( ) ′ → Tương tự tính chất 2, ta xét k ∫ f ( x)dx = k f ( x) ∫ k f ( x)dx = k ∫ f ( x)dx ⇒ đpcm ∫ f ( x)dx = ∫ f (t )dt = ∫ f (u )du d) Tính chất 4: Tính chất gọi tính bất biến nguyên hàm, tức nguyên hàm hàm số phụ thuộc vào hàm, mà không phụ thuộc vào biến IV CÁC CƠNG THỨC NGUN HÀM Cơng thức 1: ∫ dx = x + C Chứng minh: Thật vậy, ( x + C )′ = ⇒ ∫ dx = x + C Chú ý: Mở rộng với hàm số hợp u = u ( x) , ta ∫ du = u + C Công thức 2: ∫ x n dx = x n +1 +C n +1 Chứng minh: x n +1 ′ x n +1 Thật vậy, + C = x n ⇒ ∫ x n dx = +C n +1 n +1 Chú ý: + Mở rộng với hàm số hợp u = u ( x) , ta ∫ u n du = u n +1 +C n +1 dx dx du + Với n = − ⇒ ∫ = 2∫ = x + C ← ∫ → =2 u +C x x u dx du → + Với n = −2 ⇒ ∫ = − + C ← ∫ = − + C x x u u Ví dụ: x3 a) ∫ x dx = + C x5 b) ∫ ( x + x ) dx = ∫ x dx + ∫ xdx = + x + C c) ∫ − x − x2 x3 x2 x x2 x2 dx = ∫ dx − ∫ xdx = ∫ x dx − = − + C = 33 x − + C x x 2 ( x + 1) + C u n du → d) I = ∫ ( x + 1) dx = ∫ ( x + 1) d ( x + 1) I = 5 Tham gia gói học trực tuyến Pro S – Pro Adv mơn Tốn để đạt kết cao kỳ thi THPT quốc gia Khóa học LTĐH mơn Tốn – Thầy Đặng Việt Hùng (0985.074.831) – Facebook: LyHung95 e) I = ∫ (1 − 3x ) f) I = ∫ Trang (1 − 3x ) 2010 u n du → ∫ (1 − 3x ) d (1 − 3x ) I = − 2011 + C du d ( x + 1) u 1 = ∫ I = − → +C =− +C 2 ( x + 1) 2x + ( x + 1) 2011 2010 dx ( x + 1) dx = − g) I = ∫ x + 5dx = Công thức 3: ∫ 3 1 ∫ x + 5d ( x + ) ⇒ I = ( x + ) + C = ( x + ) + C dx = ln x + C x Chứng minh: dx Thật vậy, ( ln x + C )′ = ⇒ ∫ = ln x + C x x Chú ý: + Mở rộng với hàm số hợp u = u ( x) , ta du ∫u = ln u + C dx ∫ 2x + k = ln x + k + C d ( ax + b ) dx + ∫ = ∫ = ln ax + b + C → ax + b a ax + b a dx = − ln k − x + C ∫ k − x Ví dụ: 1 dx x a) ∫ x3 + + dx = ∫ x3 dx + ∫ dx + ∫ = + x + ln x + C x x x x du dx d ( 3x + ) u = ∫ I = ln 3x + + C → 3x + 3x + 2x + x + 3 dx d ( x + 1) c) ∫ dx = ∫ x + = x2 + ∫ = x + ln x + + C dx = ∫ xdx + 3∫ 2x + 2x + 2x + 2x + b) I = ∫ Công thức 4: ∫ sinxdx = − cos x + C Chứng minh: Thật vậy, ( − cos x + C )′ = sin x ⇒ ∫ sinxdx = − cos x + C Chú ý: + Mở rộng với hàm số hợp u = u ( x) , ta ∫ sinudu = − cos u + C + ∫ sin ( ax + b ) dx = 1 sin ( ax + b ) d ( ax + b ) = − cos ( ax + b ) + C ∫ sin xdx = − cos x + C → a∫ a Ví dụ: dx d ( x − 1) = ∫ x dx − cos x + ∫ = a) ∫ x x + s inx + dx = ∫ x xdx + ∫ sinxdx + ∫ 2x −1 2x −1 2x −1 2x = − cos x + ln x − + C dx d ( x − 3) b) ∫ sin x + = ∫ sin xd ( x ) + ∫ = − cos2 x + ln x − + C dx = ∫ sin xdx +3∫ 4x − 4x − 4x − x c) ∫ sin + sinx + sin x dx 1 x x Ta có d = dx ⇒ dx = 2d ; d ( x ) = 2dx ⇒ dx = d ( x ) ; d ( 3x ) = 3dx ⇒ dx = d ( 3x ) 2 2 T : x x x x 1 ∫ sin + sinx + sin 3x dx = ∫ sin dx + ∫ sin xdx + ∫ sin 3xdx = 2∫ sin d + ∫ sin xd ( x ) + ∫ sin 3xd ( 3x ) Tham gia gói học trực tuyến Pro S – Pro Adv mơn Tốn để đạt kết cao kỳ thi THPT quốc gia Khóa học LTĐH mơn Tốn – Thầy Đặng Việt Hùng (0985.074.831) – Facebook: LyHung95 Trang x 1 = −2cos − cos2 x − cos3x + C 2 Công thức 5: ∫ cos xdx = sin x + C Chứng minh: Thật vậy, ( sin x + C )′ = cos x ⇒ ∫ cos xdx = sin x + C Chú ý: + Mở rộng với hàm số hợp u = u ( x) , ta ∫ cosudu = sin u + C + ∫ cos ( ax + b ) dx = 1 → ∫ cos ( ax + b ) d ( ax + b ) = a sin ( ax + b ) + C ∫ cos xdx = sin x + C a Ví dụ: 4x − a) ∫ cos x − sin x + dx = ∫ cos xdx − ∫ sin xdx + ∫ − dx = sinx + cos x + x − 5ln x + + C x +1 x +1 x2 b) ∫ ( cos x + sin x − x ) dx = ∫ cos xdx + ∫ sin xdx − ∫ xdx = sin x − cos x − + C 2 − cos x 1 1 1 c) ∫ sin xdx = ∫ dx = ∫ − cos x dx = x − ∫ cos xd ( x ) = x − sin x + C 2 4 2 Công thức 6: ∫ dx = tan x + C cos x Chứng minh: Thật vậy, ( tan x + C )′ = dx ⇒∫ = tan x + C cos x cos x Chú ý: + Mở rộng với hàm số hợp u = u ( x) , ta + dx d ( ax + b ) du ∫ cos u = tan u + C dx = tan x + C 2x → ∫ cos ( ax + b ) = a ∫ cos ( ax + b ) = a tan ( ax + b ) + C ∫ cos 2 Ví dụ: dx a) ∫ + cos x − sin x dx = ∫ + ∫ cos xdx − ∫ sin xdx = tan x + sin x + cos x + C 2 cos x cos x dx dx d ( x − 1) d (5 − 4x) b) I = ∫ + cos ( x − 1) − x dx = ∫ cos ( x − 1) + ∫ − x = ∫ cos ( x − 1) − ∫ − x du 1 tan ( x − 1) − ln − x + C 2 du dx d (3 − 2x ) cos u c) I = ∫ =− ∫ I = − tan ( − x ) + C → 2 cos ( − x ) cos ( − x ) cos u = → Công thức 7: ∫ dx = − cot x + C sin x Chứng minh: Thật vậy, ( − cot x + C )′ = dx ⇒ ∫ = − cot x + C sin x sin x Chú ý: + Mở rộng với hàm số hợp u = u ( x) , ta + dx d ( ax + b ) du ∫ sin u = − cot u + C dx = − cot x + C 2x → ∫ sin ( ax + b ) = a ∫ sin ( ax + b ) = − a cot ( ax + b ) + C ∫ sin 2 Ví dụ: Tham gia gói học trực tuyến Pro S – Pro Adv mơn Tốn để đạt kết cao kỳ thi THPT quốc gia Khóa học LTĐH mơn Tốn – Thầy Đặng Việt Hùng (0985.074.831) – Facebook: LyHung95 Trang dx x a) ∫ cos x − + x5 dx = ∫ cos xdx − ∫ + ∫ x dx = sin x + cot x + + C sin x sin x du dx d (1 − x ) 1 sin u =− ∫ I = − − cot (1 − x ) + C = cot (1 − 3x ) + C → b) I = ∫ sin (1 − 3x ) sin (1 − x ) 3 c) I = ∫ dx x sin 2 x d du I = −2 cot x + C sin u = 2∫ → x 2 sin 2 Công thức 8: ∫ e x dx = e x + C Chứng minh: Thật vậy, ( e x + C )′ = e x ⇒ ∫ e x dx = e x + C Chú ý: + Mở rộng với hàm số hợp u = u ( x) , ta ∫ eu du = eu + C ax + b e d ( ax + b ) = e ax + b a∫ a + ∫ e ax + b dx = x+k x+ k +C ∫ e dx = e + C → e k − x dx = − e k − x + C ∫ Ví dụ: dx 1 d ( 3x ) −2 x +1 a) ∫ e −2 x +1 − + dx − ∫ + ∫ dx = − ∫ e −2 x +1d ( −2 x + 1) − ∫ + 4.2 x dx = ∫ e sin 3x sin x sin x x x 1 = − e −2 x +1 + cot 3x + x + C b) ∫ ( 4e x+2 + cos (1 − 3x ) ) dx = ∫ e3 x + dx + ∫ cos (1 − x ) dx = 3x+2 ∫ e d ( 3x + 2) − ∫ cos (1 − 3x ) d (1 − 3x ) = e3 x + − sin (1 − x ) + C 3 Công thức 9: ∫ a x dx = ax +C ln a Chứng minh: ax ′ a x ln a ax Thật vậy, +C = = a x ⇒ ∫ a x dx = +C ln a ln a ln a Chú ý: + Mở rộng với hàm số hợp u = u ( x) , ta ∫ a u du = a u + C + ∫ a kx + m dx = kx + m kx + m ∫ a d ( kx + m ) = k a + C k Ví dụ: 3x 23 x 32 x a u du d ( 3x ) + ∫ 32 x d ( x ) I = → + +C 3∫ 3ln 2ln 3 21− x x + − e x + ) dx = ∫ 21− x dx − ∫ 3e x + dx = − ∫ 21− x d (1 − x ) − ∫ e x + d ( x + 3) = − + e +C 2ln a) I = ∫ ( 23 x + 32 x ) dx = ∫ 23 x dx + ∫ 32 x dx = b) ∫ (2 1− x BÀI TẬP LUYỆN TẬP: 1) I1 = I3 = ∫( ∫(x 5 ) 2) I = − 3 x dx x ∫ + x dx ) 3) x − x3 + x3 dx Tham gia gói học trực tuyến Pro S – Pro Adv mơn Tốn để đạt kết cao kỳ thi THPT quốc gia Khóa học LTĐH mơn Tốn – Thầy Đặng Việt Hùng (0985.074.831) – Facebook: LyHung95 x 4) I = − x + dx x x ∫ 7) I = ∫ ( ) x −1 8) I = ∫ ( x − 1) dx dx x + x3 − x + dx x2 ( x − 24 x 13) I13 = ∫ x − dx x 16) I16 = ∫ )( x − x ) dx 11) I11 = ∫ 9) I = ∫ x2 − x x − x dx x ∫ ∫ ∫ ∫ dx cos x 29) I 29 = ∫ tan x dx 32) I 32 = ∫ dx − cos x 35) I 35 = ∫ sin x − dx − 5x x4 + dx x2 (x 27) I 27 = ∫ dx cos ( x − 1) 2 + 4) dx x2 12) I12 = ∫ − dx x x 14) I14 = ∫ x + dx x 17) I17 = dx (2 x − 3)5 x x π 19) I19 = sin + dx 20) I 20 = sin x + sin dx 3 2 7 π x +1 x 22) I 22 = sin 3x + − sin dx 23) I 23 = ∫ cos dx 4 26) I 26 = ∫ 6) I = ∫ x 10) I10 = ∫ 5) I = ∫ x + dx x Trang ( x − 3x 15) I15 = ∫ 18) I18 = ∫ ( x − 3) ) x x +1 dx dx x 21) I 21 = ∫ sin + x dx x 24) I 24 = ∫ sin dx 28) I 28 = ∫ ( tan x + x ) dx dx sin ( x + 3) 30) I 30 = ∫ cot x dx 31) I 31 = ∫ 33) I 33 = ∫ x + + cot x dx x x+2 36) I 36 = ∫ dx x−3 34) I 34 = ∫ x + dx 3x + 2x −1 37) I 37 = ∫ dx 4x + x + x + 11 dx x+3 2x2 − x + dx x −1 38) I 38 = ∫ x dx − 5x 39) I 39 = ∫ 41) I 41 = ∫ 3x + x + x + dx x+2 42) I 42 = ∫ 43) I 43 = ∫ 44) I 44 = e−2x +3dx x3 + x − dx 2x + 45) I 45 = ∫ cos(1 − x) + e3 x −1 dx 47) I 47 = ∫ e− x + dx sin (3 x + 1) e− x 48) I 48 = ∫ e x + dx cos x 49) I 49 = ∫ ( 21− x − e x + ) dx ∫ 50) I 50 = ∫ dx 2x 51) I 51 = ∫ 2x dx 7x 40) I 40 = ∫ x2 + 6x + dx 2x + 46) I 46 = ∫ x.e − x +1dx ∫ 52) I 52 = 32 x +1 dx Tham gia gói học trực tuyến Pro S – Pro Adv mơn Tốn để đạt kết cao kỳ thi THPT quốc gia Khóa học LTĐH mơn Tốn – Thầy Đặng Việt Hùng (0985.074.831) – Facebook: LyHung95 Trang 02 PHƯƠNG PHÁP VI PHÂN TÌM NGUYÊN HÀM CÁC BIỂU THỨC VI PHÂN QUAN TRỌNG 1 1 xdx = d ( x ) = d ( x ± a ) = − d ( a − x ) 2 dx = −d ( cot x ) = −d ( cot x ± a ) = d ( a − cot x ) sin x 1 x dx = d ( x ) = d ( x ± a ) = − d ( a − x3 ) 3 dx =d x sin x dx = −d (cos x) = −d (cos x ± a ) = d (a − cos x) e x dx = d ( e x ) = d ( e x ± a ) = −d ( a − e x ) cos x dx = d (sin x) = d (sin x ± a ) = −d (a − sin x) dx = d ( tan x ) = d ( tan x ± a ) = −d ( a − tan x ) cos x ( x) = d( 10 dx = ( ) ( ) 1 d ( ax + b ) = − d ( b − ax ) a a ∫ ( ) ( dx = d ( ln x ) = d ( ln x ± a ) = −d ( a − ln x ) x Ví dụ Tìm ngun hàm hàm số sau: x a) I1 = dx b) I = x(1 + x )10 dx 1+ x Hướng dẫn giải: x 1 2 xdx = d = d x = d x ± a a) Sử dụng công thức vi phân du u = d ( ln u ) ∫ ) x ± a = −d a − x ( c) I = ∫ x dx x3 + ) ) 2 du x d x d x +1 ∫ u = ∫ d (ln u ) =ln u +C dx = = ←→ I1 = ln x + + C Ta có I1 = 2 2 1+ x 2 1+ x 1+ x x2 1 2 xdx = d = d x = d x ± a b) Sử dụng công thức vi phân u n +1 n u du = d n +1 ∫ ∫ ∫ ( ( ) ∫ ( Ta có I = x + x ) 10 dx = ∫ (1 + x ) d ( x 10 ) +1 ( (1 + x ) = ) 11 22 x3 x dx = d = d x ± a 3 c) Sử dụng công thức vi phân du 2 u = d u ( ) + C ) ( ) 3 d ( x + 1) d ( x + 1) x3 + Ta có I = ∫ = ∫ = ∫ = + C x3 + x3 + x3 + Ví dụ Tìm ngun hàm hàm số sau: dx a) I = ∫ x − x dx b) I = ∫ 2x −1 Hướng dẫn giải: x dx c) I = ∫ − x dx Tham gia gói học trực tuyến Pro S – Pro Adv mơn Tốn để đạt kết cao kỳ thi THPT quốc gia Khóa học LTĐH mơn Tốn – Thầy Đặng Việt Hùng (0985.074.831) – Facebook: LyHung95 x2 1 2 xdx = d = d x = − d a − x 2 a) Sử dụng công thức vi phân u n +1 n u du = d n +1 ( ) ( Trang ) (1 − x ) 1 1 Ta có I = ∫ x − x dx = ∫ (1 − x ) d ( x ) = − ∫ (1 − x ) d (1 − x ) = − 2 1 dx = a d ( ax + b ) = − a d ( b − ax ) b) Sử dụng công thức vi phân du = d u 2 u + C ( ) du d ( x − 1) u = d ( u ) dx d ( x − 1) = ∫ =∫ ← I = x − + C → 2x −1 2x − 2x −1 1 dx = a d ( ax + b ) = − a d ( b − ax ) c) Sử dụng công thức vi phân n +1 u n du = d u n +1 Ta có I = ∫ (5 − 2x) 1 (5 − 2x )2 ⇒ I = ∫ − x dx = ∫ − x d ( x ) = − ∫ ( − x ) d ( − x ) = − +C = − + C 2 3 Ví dụ Tìm ngun hàm hàm số sau: x3 ln x dx a) I = dx b) I = ∫ c) I = ∫ dx (3 − x)5 x x −5 ∫ Hướng dẫn giải: x 1 4 x dx = d = d x ± a = − d a − x 4 a) Sử dụng công thức vi phân u − n +1 du =d un −n + x4 d 5 x4 − 5 x4 − 5 − 2x d x4 − = ⇒ I7 = dx = = x −5 +C = 5 4 x −5 x −5 ( ∫ ∫( ∫ ) ( ) ( ( ) ) ( ) ) + C ( − x ) + C dx b) Ta có I = ∫ = − ∫ (3 − 2x ) d (3 − 2x) = − (3 − x) 12 dx ln x ln x = d ( ln x ) ta I = ∫ dx = ∫ ln x d ( ln x ) = + C x x Ví dụ Tìm nguyên hàm hàm số sau: dx cos x a) I10 = ∫ b) I11 = dx c) I12 = cos x sin x dx 2010 x ( − 2x) c) Sử dụng công thức vi phân ∫ ∫ Hướng dẫn giải: a) Ta có I10 = ∫ ( − 2x ) 3 (4 − 2x) −2010 = − ∫ ( − 2x ) d (4 − 2x) = − 2 −2009 −2009 dx 2010 cos u du = d ( sin u ) b) Sử dụng công thức vi phân dx =d x 2 x +C = 4018 ( − x ) 2009 + C ( ) Ta có I11 = ∫ cos x cos x dx = dx = cos x d x x ∫ ∫ ( x ) = 2sin x + C Tham gia gói học trực tuyến Pro S – Pro Adv mơn Tốn để đạt kết cao kỳ thi THPT quốc gia Khóa học LTĐH mơn Tốn – Thầy Đặng Việt Hùng (0985.074.831) – Facebook: LyHung95 Trang 10 cos u du = d ( sin u ) c) Sử dụng công thức vi phân sin x dx = −d ( cos x ) Ta có I12 = ∫ cos x sin x dx = − ( cos x ) d ( cos x ) = − ∫ ( cos x ) =− cos3 x + C Ví dụ Tìm nguyên hàm hàm số sau: sin x dx cos5 x Hướng dẫn giải: sin u du = −d ( cos u ) a) Sử dụng công thức vi phân cos x dx = d ( sin x ) a) I13 = ∫ Ta có I = b) I14 = ∫ sin x cos x dx ∫ sin x cos x dx = u du = d u c) I15 = ∫ sin x cos x dx → ∫ ( sinx ) d (sin x ) ← I13 = ( sinx ) +C = 3 sin x +C ( cos x ) + C = + C sin x d (cos x) dx = − ∫ =− 5 cos x cos x −4 cos x cos x dx = d ( sin x ) c) Sử dụng công thức vi phân n u n +1 u du = d n +1 −4 b) Ta có I14 = ∫ u5 u du = d Khi ta I15 = ∫ sin x cos x dx = ∫ sin x d ( sin x ) ← I15 = → 4 sin x + C Ví dụ Tìm ngun hàm hàm số sau: a) I16 = ∫ tanx dx b) I17 = ∫ sin x cos x dx Hướng dẫn giải: sin x dx = −d (cos x) a) Sử dụng công thức du ∫ u = ln u + C d ( cos x ) sin xdx = −∫ = − ln cos x + C Ta có I16 = ∫ tan x dx = ∫ cos x cos x 1 b) Ta có I17 = sin x cos x dx = sin x cos x d ( x ) = 4 ∫ ∫ ∫ c) I18 = ∫ sin x dx + 3cos x sin x d ( sin x ) ( sin x ) sin x = +C = + C d ( cos x ) sin x dx d ( 3cos x + 1) c) Ta có I18 = ∫ = −∫ =− ∫ = − ln + 3cos x + C + 3cos x + 3cos x + 3cos x Ví dụ Tìm ngun hàm hàm số sau: 2cos x dx cos x dx a) I19 = ∫ b) I 20 = ∫ c) I 21 = ∫ tan x.ln ( cos x ) dx 4sin x − ( − 5sin x ) Hướng dẫn giải: cos xdx = d (sin x) a) Sử dụng công thức vi phân du 1 u2 = d − u d ( sin x ) 2cos x dx d ( − 5sin x ) ⇒ I19 = ∫ =∫ =− ∫ = + C 2 ( − 5sin x ) ( − 5sin x ) ( − 5sin x ) ( − 5sin x ) cos xdx = d (sin x) b) Sử dụng công thức vi phân du 2 u = d u ( ) Tham gia gói học trực tuyến Pro S – Pro Adv mơn Tốn để đạt kết cao kỳ thi THPT quốc gia Khóa học LTĐH mơn Tốn – Thầy Đặng Việt Hùng (0985.074.831) – Facebook: LyHung95 Trang 56 sin x dx sin x dx d ( 5cos x − ) = −2 ∫ = ∫ = ln 5cos x − + C 5cos x − 5cos x − − cos x + 2 Ví dụ Tính nguyên hàm sau: 2sin x dx sin x dx a) I1 = ∫ b) I = ∫ 2010 4 sin x + cos x ( sin x + cos x ) Khi I = ∫ c) I = ∫ sin x + 2cos x dx sin x + cos x d) I = sin x cos x dx x + cos6 x ∫ sin Hướng dẫn giải: Bình luận: Ngồi cách giải truyền thống cho loại nguyên hàm cách lấy vi phân trực tiếp cho biểu thức mẫu số, thầy giới thiệu cách làm thiên biến đối lượng giác kết hợp với vi phân a) Ta có 1 − cos x 2sin x dx 4sin x dx sin x + cos x = − sin 2 x = − = + cos x I1 = ∫ → =∫ = 2 4 3 + cos x + cos x 4 d (cos x) d (3 + cos x) = −∫ = −2 ∫ = −2 + cos x + C I1 = −2 + cos x + C → + cos x + cos x d ( cos x ) sin x dx b) Tương tự, thay sin x + cos x = + cos x I = ∫ → =− ∫ = 2010 2010 4 3 3 + cos x + cos x 4 4 3 d cos x + 1 4 = −∫ = +C = + C 2010 2009 2009 3 3 2009 ( sin x + cos x ) 2009 + cos x + cos x 4 4 sin x + 2cos x sin x + 2cos x 2sin x + 4cos x 2sin x 4cos x c) I = ∫ dx = ∫ dx = ∫ dx = ∫ dx + ∫ dx 4 2 sin x + cos x − sin x − sin x − sin 2 x − sin 2 x d (cos x) 2sin x 2sin x 2sin x ∫ − sin 2 x dx = ∫ − (1 − cos 2 x ) dx = ∫ + cos2 x dx = − ∫ + cos 2 x = arctan ( cos x ) + C1 ( ) ( )( ) ) t+ − t− −2 −1 4cos x d (sin x) dt dx = 2∫ = 2∫ = 2 ∫ − sin 2 x ∫ t − t + dt = ∫ t − − t + dt = − sin x 2−t 2 = ( −1 t − −1 sin x − ln + C2 = ln + C2 t+ 2 sin x + Từ ta I = arctan ( cos2 x ) + C1 + −1 sin x − sin x − ln + C2 = arctan ( cos2 x ) − ln + C sin x + 2 sin x + sin x sin x cos x = sin x 2sin x −d (cos x) d) Ta có I = → dx = dx = 3 − 3sin x − + 3cos 2 x 6 sin x + cos x = − sin x − sin x Đặt ∫ t = cos x → I = ∫ −dt =− + 3t ∫ dt ( ) 3t +1 =− ∫ ∫ ( 3t ) = − arctan 3t + C = − ( ) ∫ 3t + ( ) d arctan ( ) cos x + C x → dx ← + tan x dx → Dạng Nguyên hàm dùng biến đổi vi phân d tan ← 2 2 2 x cos Tham gia gói học trực tuyến Pro S – Pro Adv mơn Tốn để đạt kết cao kỳ thi THPT quốc gia Khóa học LTĐH mơn Tốn – Thầy Đặng Việt Hùng (0985.074.831) – Facebook: LyHung95 Trang 57 Cách giải: Xét nguyên hàm I1 = dx ∫ A sin x + B cos x + C Để tính nguyên hàm ta xét hai trường hợp: Nếu C = ± A2 + B A sin x + B cos x + C = A sin x + B cos x ± A2 + B = A2 + B cos ( x + φ ) ± A2 + B → Ở đây, ta biết phép biến đổi lượng giác A sin x + B cos x = A2 + B cos ( x + α ) A2 + B cos ( x + β ) A +B Khi I1 = ∫ dx A2 + B cos ( x + α ) ± A2 + B = A2 + B ∫ dx = cos ( x + α ) ± −1 A2 + B ∫ ∫ dx x+α 2cos dx x+α 2sin dx 1 x 2dt = 1 + tan dx dx = → cos x 2 1+ t2 2t sin x = 1+ t2 1− t2 cos x = 1+ t2 dt = Nếu C ≠ ± A2 + B ta đặt t = tan x → Thay vào ta tính I1 nguyên hàm theo ẩn t Chú ý: Một số cơng thức tính nhanh: π π sin x + cos x = sin x + = cos x − 4 4 π π sin x + cos x = sin x + = cos x − 6 3 π π sin x − cos x = sin x − = −2 cos x + 3 6 Ví dụ Tính nguyên hàm sau: dx a) I1 = ∫ sin x + cos x + dx c) I = ∫ 3sin x + cos x + a) I1 = ∫ b) I = ∫ dx sin x − cos x − dx d) I = sin x − cos x − Hướng dẫn giải: ∫ dx sin x + cos x + π Ta có 12 + 12 = sin x + cos x = → sin x + cos x = cos x − 4 x π d − dx dx dx 1 x π 2 8 I1 = ∫ = = ∫ ∫ x π = ∫ x π = tan − + C π π + cos x − 2cos cos x − + − cos − 4 4 2 8 2 8 x π tan − + C 2 8 Bình luận: Vậy I1 = Tham gia gói học trực tuyến Pro S – Pro Adv mơn Tốn để đạt kết cao kỳ thi THPT quốc gia Khóa học LTĐH mơn Tốn – Thầy Đặng Việt Hùng (0985.074.831) – Facebook: LyHung95 Trang 58 Trong nguyên hàm trên, biểu thức sinx + cosx ta thống chuyển hàm cos để sử dụng công thức lượng a dx dx giác + cos a = cos → = a + cos a cos 2 π b) Ta có sin x − cos x = sin x − cos x = −2cos x + x π d + 1 dx dx dx 6 x π I2 = ∫ =∫ =− ∫ =− ∫ = − tan + + C π π 2 x π sin x − cos x − 2 6 −2cos x + − + cos x + cos + 3 3 2 6 x dx 1 x 2dt c) Đặt t = tan ⇒ dt = = 1 + tan dx dx = → x 2 2 cos 2 1+ t2 2t 1− t2 Ta có sin x = ; cos x = 1+ t2 1+ t2 Khi 2dt 2dt 2dt d(6t + 2) 1 x + t2 I3 = ∫ =∫ =∫ = ∫ = ln 6t + + C = ln tan + + C 2 6t 1− t 6t + − t + + t 6t + 6t + 3 + +1 + t2 + t2 x dx 1 x 2dt d) Đặt t = tan ⇒ dt = = 1 + tan dx dx = → 2 cos x 2 1+ t2 2t 1− t2 ; cos x = Ta có sin x = 1+ t2 1+ t2 2dt dx 2dt dt x 1+ t2 Khi I = = = = = ln t + C = ln tan + C 2 sin x − cos x − t 2t 1− t 2t − + t − − t − −1 2 1+ t 1+ t A sin x + B cos x + C Xét nguyên hàm I = dx A′ sin x + B ′ cos x + C ′ Với dạng nguyên hàm ta sử dụng phương pháp đồng với nguyên hàm hàm phân thức hữu tỉ m ( A′ cos x − B′ sin x ) + n ( A′ sin x + B′ cos x + C ′ ) + p A sin x + B cos x + C = xét việc phân tích: A′ sin x + B′ cos x + C ′ A′ sin x + B′ cos x + C ′ ′ + nA′ A = −mB m Đồng theo hệ số sinx cosx ta B = mA′ + nB′ n → C = nC ′ + p p ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ m ( A′ cos x − B′ sin x ) dx A sin x + B cos x + C dx dx = + n dx + p = ′ sin x + B′ cos x + C ′ ′ sin x + B′ cos x + C ′ ′ sin x + B ′ cos x + C ′ A A A dx = m ln A′ sin x + B′ cos x + C ′ + nx + p A′ sin x + B′ cos x + C ′ Ví dụ Tính nguyên hàm sau: sin x + 3cos x − 7sin x − 5cos x a) I1 = ∫ b) I = ∫ dx dx sin x + cos x + ( 3sin x + 4cos x ) Từ ta I = ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ Hướng dẫn giải: 1 = − A + B A =1 sin x + 3cos x − A(cos x − sin x) + B (sin x + cos x + 2) + C a) Ta có phân tích = 3 = A + B ⇔ B = → sin x + cos x + sin x + cos x + −1 = B + C C = −5 (cos x − sin x) + 2(sin x + cos x + 2) − (cos x − sin x)dx dx Từ I1 = ∫ dx = ∫ + ∫ dx − 5∫ = sin x + cos x + sin x + cos x + sin x + cos x + Tham gia gói học trực tuyến Pro S – Pro Adv mơn Tốn để đạt kết cao kỳ thi THPT quốc gia Khóa học LTĐH mơn Tốn – Thầy Đặng Việt Hùng (0985.074.831) – Facebook: LyHung95 Trang 59 d (sin x + cos x + 2) + x − J = ln sin x + cos x + + x − J sin x + cos x + dx 1 x 2dt dt = = + tan dx dx = → x 2 cos 2 1+ t2 dx x 2t Xét J = ∫ Đặt t = tan → sin x = sin x + cos x + 2 1+ t2 1− t2 cos x = 1+ t2 =∫ 2dt 2d ( t + 1) dx 2dt 2dt 1+ t2 =∫ =∫ =∫ =∫ = Khi J = ∫ 2 2 2t 1− t sin x + cos x + 2t + − t + + 2t t + 2t + ( t + 1) + + +2 1+ t2 1+ t2 x x tan + tan + t +1 = arctan → + C1 I1 = ln sin x + cos x + + x − arctan + C + C = arctan 2 ( ) b) Ta có phân tích 43 A = − 25 7 = −4 A + 3B = → ⇔ 2 ( 3sin x + 4cos x ) ( 3sin x + 4cos x ) −5 = A + B B = 25 43 − ( 3cos x − 4sin x ) + ( 3sin x + 4cos x ) 7sin x − 5cos x 25 Từ ta có I = ∫ dx = ∫ 25 dx = 2 ( 3sin x + 4cos x ) ( 3sin x + 4cos x ) A ( 3cos x − 4sin x ) + B ( 3sin x + 4cos x ) sin x − 5cos x =− = 43 ( 3cos x − 4sin x ) dx dx 43 d ( 3sin x + 4cos x ) dx ∫ ( 3sin x + 4cos x )2 dx + 25 ∫ 3sin x + 4cos x = − 25 ∫ ( 3sin x + 4cos x )2 + 25 ∫ 3sin x + 4cos x = 25 43 J + 25 ( 3sin x + cos x ) 25 dx 1 x 2dt = 1 + tan dx dx = → cos x 2 1+ t2 2t sin x = 1+ t2 1− t2 cos x = 1+ t2 dt = Xét J = ∫ dx x Đặt t = tan → 3sin x + cos x 2dt dt dt (2t − 1) − 2(t + 2) 1+ t2 = = =− dt = 2 (2t − 1)(t + 2) (2t − 1)(t + 2) 6t 4(1 − t ) 2t + 3t − − 1+ t2 1+ t2 x tan − 1 dt 1 2t − 1 = − ln t + + = − ln t + + ln 2t − + C1 = ln + C = ln + C1 x 5 2t − 5 t+2 tan + 2 x tan − 43 + ln + C Vậy I = x 25 ( 3sin x + 4cos x ) 125 tan + 2 dx J= = 3sin x + 4cos x ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ Tham gia gói học trực tuyến Pro S – Pro Adv mơn Tốn để đạt kết cao kỳ thi THPT quốc gia Khóa học LTĐH mơn Toán – Thầy Đặng Việt Hùng (0985.074.831) – Facebook: LyHung95 BÀI TẬP LUYỆN TẬP: sin x dx 1) I1 = ∫ 3sin x + cos x 4) I = ∫ dx cos x − sin x − sin x + 3cos x − 7) I = ∫ dx sin x + cos x + sin x dx 10) I10 = ∫ sin x + cos x 2) I = ∫ cos x sin xdx a sin x + b cos x dx 5) I = ∫ cos x − sin x + dx 8) I8 = 3sin x + cos x sin x dx 11) I11 = ∫ cos ( sin x + cos x ) ∫ 2 2 3) I = ∫ 6) I = ∫ Trang 60 sin x − cos x dx sin x + cos x + dx cos x + sin x + sin x − cos x + 9) I = ∫ dx sin x + 2cos x + sin x dx 12) I12 = ∫ tan ( sin x + cos x ) Tham gia gói học trực tuyến Pro S – Pro Adv mơn Tốn để đạt kết cao kỳ thi THPT quốc gia Khóa học LTĐH mơn Tốn – Thầy Đặng Việt Hùng (0985.074.831) – Facebook: LyHung95 Trang 61 09 CÁC TÍNH TỐN CƠ BẢN VỀ TÍCH PHÂN Ví dụ Tính tích phân sau: 1) ∫(x ) + x dx 2) ∫(x + ) 3) ∫ x + dx x 1 x + dx 4) ∫ ( ) x −1 x3 dx Hướng dẫn giải: 1) ∫( ) 2) 4 x4 x4 44 14 989 − + = x + x dx = + x = + x = + 1 4 12 ∫(x + x2 x + dx = + ( x ) + x 2 ) x2 = + x x + x 2 = 24 − = 24 3) 9 −1 2 4 4 4 116 2 ∫ x + x dx = ∫ x +x dx = x + x = x + x = + − + = 1 4) ∫ ( ) x −1 x3 dx = ∫ 4 − x − x +1 1 −3 + dx = ∫ − x + x −3 dx = − + x − x −2 dx = ∫ − x x x x x x 1 1 4 11 = − + − = − + − − −1 + − =− + = x 43 2.4 96 96 13 2.1 x x Ví dụ Tính tích phân sau: π ∫ 1) sin π x dx 2) π dx cos x ∫ 3) π tan x dx π cos x ∫ 4) tan x dx cos x ∫ Hướng dẫn giải: π π x 1 1) sin dx = (1 − cos x ) dx = ( x − s inx ) 20 ∫ ∫ π dx 2) = ( tan x ) cos x ∫ π = tan 1 π π π = − sin − ( − s in ) = − 2 4 π − tan = π π π 4 π tan x dx tan x 3) ∫ = ∫ tan x.d ( tan x ) = 2 π cos x π π π π = − =1 2 π 2 tan x tan x tan x dx tan x ( tan x + 1) dx =∫ = ∫ ( tan x + tan x ) d (tan x) = + 4) ∫ cos x cos x 0 π = 35 33 14 + = 5 Ví dụ Tính tích phân sau: e x2 − x + 1) dx x −1 ∫ 2) ∫ ln x dx x e 1 3) ∫ x + + + x dx x x 1 Hướng dẫn giải: Tham gia gói học trực tuyến Pro S – Pro Adv mơn Tốn để đạt kết cao kỳ thi THPT quốc gia Khóa học LTĐH mơn Tốn – Thầy Đặng Việt Hùng (0985.074.831) – Facebook: LyHung95 Trang 62 1) 4 x ( x − 1) + x − + x2 − x + dx = dx = x + + dx = x + x + 6ln x − x −1 x −1 x −1 2 ∫ ∫ e ln x dx = x ∫ 2) e ∫ ln x ln x.d (ln x) = ( ∫ e ) = 20 + 6ln − = 14 + 6ln 1 −0= 8.3 24 = e e x2 1 x3 e2 e3 1 e3 e 3) ∫ x + + + x dx = + ln x − + = + − + − − + = + − − x x x 31 e 2 3 e 1 BÀI TẬP LUYỆN TẬP: 1) ∫ dx x 2) ∫ π x π 3) sin + dx 2 3 ∫ π π ∫ 4) sin 2 x dx 5) π π ∫ ( cos x − sin x ) dx 6) dx ∫ 2x + − e2 14) ∫ xe dx ∫ ln x dx x ln 2 ln x2 sin π 17) ∫ e dx cos x π dx x 2 x −1 11) ∫ dx 4x + − 1 13) ∫ x + dx 3x + 0 π ∫ 8) ∫ 0 dx 7) ∫ π sin x 16) π 10) x − 2x + dx 2− x x x dx 9) cot x dx ∫ sin x π 12) ∫ 4x + dx 3− x ln 15) ∫e 2x dx 18) ∫ x − 33 x2 1 dx Tham gia gói học trực tuyến Pro S – Pro Adv mơn Tốn để đạt kết cao kỳ thi THPT quốc gia Khóa học LTĐH mơn Toán – Thầy Đặng Việt Hùng (0985.074.831) – Facebook: LyHung95 Trang 63 10 PHƯƠNG PHÁP VI PHÂN TÍNH TÍCH PHÂN Ví dụ Tính tích phân sau: 1) ∫ x x + dx 2) ∫x ∫ ( ) x +2 19 dx = x dx ∫ ) ( ) x2 + = 19 ∫ ) ( ) ( ( d ( x2 + 8) 3 = ( x + 8) 2 x2 + ) 19 (x = d x + = x3 + x +2 ) ( 2 x2 + d x2 + = x2 + dx x3 + Hướng dẫn giải: ∫ 19 3x ∫ 3) ∫ ( 3x ∫ x + dx = 20 x ( ∫ 4) 4) ∫ 0 3) ) + dx 1 x + dx = x + d x3 + = x3 + 30 3 2) 2 1) ∫ (x x ) ) +1 (x = +4 ) 5 x2 + 54 = = 2 x dx = 128 − 32 =2 −2 = 33 ( x + 8) 19 = 27 15 −3= 4 Ví dụ Tính tích phân sau: π 1) π sin x dx x ∫ cos π ∫ 2) sin x cos x dx 3) π π ∫ sin x cos4 x dx 4) tan x dx x ∫ cos Hướng dẫn giải: π π π sin x tan x tan x dx = dx = tan x.d ( tan x ) = 1) cos3 x cos x 0 ∫ ∫ ∫ π π sin x 2) sin x cos x dx = sin x d ( sin x ) = π π ∫ ∫ 3) π = 1 3 = − = − 5 160 π 14 sin x cos4 x dx = ∫ sin x d ( sin x ) = sin x 40 ∫ π 4) π π π ∫ π = ( sin x ) π =0 π 2 tan x dx = ∫ tan x ( tan x + 1) d ( tan x ) = tan x + tan cos x 7 x π = 20 21 Ví dụ Tính tích phân sau: ln 1) ∫ e x π x 2) dx e e 2tan x dx cos x ∫ 3) dx ∫ x ( 3ln x + 2) e 4) ∫ 1 + ln x dx x Hướng dẫn giải: ln 1) ∫ e x x ln dx = ∫ e x x ln dx = ∫ d (e x ) = 2e ln x = − 2e Tham gia gói học trực tuyến Pro S – Pro Adv mơn Tốn để đạt kết cao kỳ thi THPT quốc gia Khóa học LTĐH mơn Tốn – Thầy Đặng Việt Hùng (0985.074.831) – Facebook: LyHung95 π π π e 2tan x tan x dx = e tan x d (tan x) = e d (2 tan x) = e tan x 20 cos x 0 2) ∫ ∫ ∫ 3) d ( 3ln x + ) dx ∫ x ( 3ln x + ) = ∫ 3ln x + = ln 3ln x + 1 e e = + ln x dx = ∫ + ln x d (1 + ln x ) = (1 + ln x ) x e 4) e e ∫ π = ( Trang 64 ) e −1 ln − ln = ln 3 e = (1 + ln x ) e = −2 BÀI TẬP LUYỆN TẬP: 1) ∫ x x + dx 2) ∫ ∫ (x 5) x+2 ∫ − x dx + 4) ∫ 6) 8) ∫ − x2 3x 9) + x3 ∫3 π π 11) dx π cos x dx x π 10) ∫ x x + dx 3x + dx x dx π 1 dx 2x + 22 −2 5x dx ∫ dx −1 7) 3) 0 4) ∫ x 1− x dx ∫ 12) ∫ cos x sin x dx 13) ∫ sin x cos x dx 14) ∫ π π cot x 16) ∫ dx π sin x 17) ∫ π cos x dx 4sin x − ∫ x.e x +1 e ∫ e 28) 15) dx ∫ e 2ln x + dx x + ln x dx 2x 18) 23) π e π 21) x 24) dx cos xdx ∫ ( 2sin x + 1) ∫ (e sinx + cos x ) cos x dx + ln x ∫ x dx e 27) 29) sin x dx ∫ + 3cos x π 26) ∫ cos x + 4sin x dx π 2 tan x ∫ cos 3cos x dx ∫ (1 − 5sin x ) π ln x 20) ∫ dx x π tan x ∫ cos x dx π cot x dx sin x e 25) ∫ π 4 π 22) sin x cos3 x dx π 19) π π 30) ∫ 6cos x + 1sin x dx π Tham gia gói học trực tuyến Pro S – Pro Adv mơn Tốn để đạt kết cao kỳ thi THPT quốc gia Khóa học LTĐH mơn Tốn – Thầy Đặng Việt Hùng (0985.074.831) – Facebook: LyHung95 Trang 65 11 CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN I ĐẶT ẨN PHỤ LƯỢNG GIÁC dx = a cos tdt x = a sin t a − x → 2 2 a − x = a − a sin t = a cos t adt dx = a + x x = a tan t cos t → 2 a + x a + x = a + a tan t = a cos t −a cos dt a dx = sin t x= sin t x − a → a2 x2 − a2 = − a = a cot t sin t Chú ý: Sau đặt ẩn phụ ta phải đổi cận theo ẩn phụ vừa đặt Ví dụ 1: Tính tích phân sau I1 = ∫ − x dx I = ∫ + 3x dx x2 I = 2 ∫ x2 − x2 dx dx + x2 I = ∫ I = ∫ x2 − dx x3 Hướng dẫn giải: dx = cos tdt Đặt x = sin t ⇒ 2 − x = − sin t = cos t x = ⇒ t = → Đổi cận : π cos t = cos t x = ⇒ t = π π ⇒ I1 = ∫ − x dx = ∫ π π 16 π 1 6 − sin t cos tdt = ∫ cos tdt = ∫ (1 + cos 2t )dt = x + sin 2t = + 20 2 0 12 0 3dt dx = cos t Đặt x = tan t ⇒ + x = + tan t = cos t π x = ⇒ t = Đổi cận : cos t = cos t → x = ⇒ t = π π I2 = ∫ π 4 + 3x + tan t dx = 3∫ dt = 3∫ 2 x2 π 3tan t cos t π π π dt cos tdt = 3∫ = 3∫ = 2 2 sin t π cos t sin t π cos t sin t cos t.cos t 6 cos t π π 6 dt π d (sin t ) 1 1 = 3∫ = 3∫ + d (sin t ) = 3∫ + + d (sin t ) = 2 sin t 2(1 + sin t ) sin t π (1 − sin t ).sin t π − sin t π 2(1 − sin t ) Tham gia gói học trực tuyến Pro S – Pro Adv mơn Toán để đạt kết cao kỳ thi THPT quốc gia Khóa học LTĐH mơn Tốn – Thầy Đặng Việt Hùng (0985.074.831) – Facebook: LyHung95 π π π π 6 π d (sin t ) d (sin t ) d (sin t ) + sin t = ∫ + ∫ + 3∫ = ln 2 π − sin t π + sin t − sin t π sin t π − sin t π Trang 66 3 2+ = ln − ln + − 2− 2 dx = cos tdt Đặt x = sin t ⇒ 2 − x = − sin t = cos t x = ⇒ t = → Đổi cận : π cos t = cos t ⇒t = x = π π π π π π sin t cos t 1 4 π =∫ I3 = ∫ dt = ∫ dt = ∫ sin tdt = ∫ (1 − cos 2t )dt = t − sin 2t = − 2 cos t 20 2 0 1− x − sin t 0 3dt dx = cos t = (1 + tan t ) dt Đặt x = 3tan t ⇒ 9 + x = (1 + tan t ) x dx sin t cos t π x = ⇒ t = dx (1 + tan t )dt π Đổi cận : → = 3∫ = t = π I = ∫ + x2 + tan t 12 0 x = ⇒ t = 2cos tdt dx = − sin t ⇒ Đặt x = sin t x − = cos t = cot t sin t π π x = ⇒ t = Đổi cận : cot t = cot t → x = ⇒ t = π 3 I5 = π π π π x −4 2cos t.2cos t 1 1 2 π dx = − ∫ dt = ∫ cos tdt = ∫ (1 + cos 2t ) dt = t + sin 2t = − π 2π 4π 4 24 16 x π sin t sin t 3 sin t ∫ II ĐẶT ẨN PHỤ t = f(x) Trong biểu thức f(x)dx có chứa đặt t Trong biểu thức f(x)dx có chứa biểu thức lũy thừa bậc cao đặt biểu thức t Trong biểu thức f(x)dx có chứa hàm mũ với biểu thức mũ hàm số đặt biểu thức mũ t Ví dụ 2: Tính tích phân sau: x dx I1 = ∫ + x2 e I = ∫ 1 + 3ln x ln x dx x I = ∫ x( x − 4) 20 dx I = ∫ x15 + 3x8 dx e3 I = ∫ ln x dx x ln x + I = − ∫ −2 x2 + x x2 + dx Hướng dẫn giải: xdx = 3t dt Đặt + x = t ⇔ + x = t ⇒ x = t −1 Đổi cận : 7 2 3t 3t x3 dx x xdx (t − 1)t 141 x = ⇒ t = I1 = ∫ → =∫ = ∫ dt = ∫ (t − t )dt = − = 3 21 t 21 20 x = ⇒ t = 1+ x 1+ x 10 0 Tham gia gói học trực tuyến Pro S – Pro Adv mơn Tốn để đạt kết cao kỳ thi THPT quốc gia Khóa học LTĐH mơn Tốn – Thầy Đặng Việt Hùng (0985.074.831) – Facebook: LyHung95 Trang 67 dx = dt Đặt x − = t ⇒ x = t + 1 t 22 4t 21 x = ⇒ t = 109 Đổi cận : I = ∫ x( x − 4) 20 dx = ∫ (t + 4)t 20 dt = ∫ t 21dt + ∫ t 20 dt = → + = x = ⇒ t = 22 21 462 0 tdt 7 24 x dx = 2tdt ⇒ x dx = 12 Đặt + x8 = t ⇔ + x8 = t ⇒ x8 = t − x = ⇒ t = Đổi cận : x = ⇒ t = 2 I = ∫ x15 + x8 dx = ∫ x8 + 3x8 x dx = → 2 (t − 1) 1 t5 t3 29 t.tdt = ∫ (t − t )dt = − = ∫ 12 36 36 270 + 3ln x ln x dx = ∫ + 3ln x ln xd (ln x) x e e I = ∫ 3d (ln x) = 2tdt Đặt + 3ln x = t ⇔ + 3ln x = t ⇒ t2 −1 ln x = 2 e 2 2t 2t x = ⇒ t = t2 −1 2 116 I = ∫ + 3ln x ln xd (ln x) = ∫ t → − Đổi cận : tdt = ∫ (t − t )dt = = 3 91 x = ⇒ t = 45 27 135 1 e3 I = ∫ ln x x ln x + e3 ln x dx = ∫ ln x + 1 d (ln x) d (ln x) = 2tdt Đặt + ln x = t ⇔ + ln x = t ⇒ ln x = t − Đổi cận : e 2 x = ⇒ t = t 2t ln x (t − 1) 2t 76 I = ∫ → d (ln x) = ∫ dt = ∫ (t − 2t + 1)dt = − +t = t ln x + 5 15 x = e ⇒ t = 1 xdx = tdt x2 + = t ⇔ x2 + = t ⇒ 2 x = t −1 − x = −2 ⇒ t = x2 + Đổi cận : I = ∫ → dx = x = − ⇒ t = −2 x x + Đặt = ∫ dt + dt ∫ t −1 − dt t − ∫ t + = t + ln t + 5 t2 ∫ t − dt = t −1 + ∫ t − dt = 3 ∫ 1 + t dt −1 1 −1 −1 = − + ln − ln 2 +1 +1 III SỬ DỤNG VI PHÂN Ví dụ 3: Tính tích phân sau: 1 ∫ I1 = (1 + x)(1 + x + x )3 dx I = ∫ I = I = x ( x + 4) dx ∫ π 3x x +2 e I = dx ∫ 1 + ln x dx x e cos xdx ∫ ( 2sin x + 1) I = + ln x dx x ∫ Hướng dẫn giải: ∫ I1 = (1 + x)(1 + x + x )3 dx = ( 1 (1 + x + x )3 d (1 + x + x ) = + 3x + x 30 12 ∫ ) 41 = 200 Tham gia gói học trực tuyến Pro S – Pro Adv mơn Tốn để đạt kết cao kỳ thi THPT quốc gia Khóa học LTĐH mơn Tốn – Thầy Đặng Việt Hùng (0985.074.831) – Facebook: LyHung95 I = 3x ∫ x3 + e I = dx = ∫ + ln x dx = x ∫ d ( x3 + 2) x3 + ∫ = ( x3 + − 2) + ln xd (1 + ln x) = ( ∫ ( I = π ∫ cos xdx ∫ ( 2sin x + 1) ) = 2( − 2) ) 2 (1 + ln x ) = 2 − 3 1 I = x ( x + 4) dx = ( x + 4)3 d ( x + 4) = x + 20 ( x3 + e e ∫ d ( x + 2) = Trang 68 π d ( sinx + 1) = =− (2sin x + 1) 4(2sin x + 1) ∫ π ) = = ( ) 2 − 32 16 e e e e + ln x ln x I = dx = (1 + ln x)d (ln x) = d (ln x) + ln xd (ln x) = ln x + = x 1 1 e ∫ ∫ ∫ ∫ IV TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN Thứ tự ưu tiên đặt u : Hàm loga → Hàm đa thức→ Hàm lượng giác = Hàm mũ Ví dụ 4: Tính tích phân sau: e ln x I = ∫ dx ( x + 1) I1 = ∫ e sin xdx x e I = ∫ x ln xdx e 1 I = ∫ x ln(1 + x )dx I = ∫ x e x dx 0 Hướng dẫn giải: 1 e = u e dx = du Đặt ⇒ ⇒ I1 = ∫ e x sin xdx = − ( e x cos x ) + ∫ cos x.e x dx = − ( e x cos x ) + J 0 sin xdx = dv − cos x = v 0 1 cos xdx = dv v = sinx Đặt ⇒ ⇒ J = ∫ cos xe x dx = ( e x sin x ) − ∫ sin xe x dx = e x sin x − I1 ' x x u = e du = e dx 0 1 − e(sin1 − cos1) ⇒ I1 = ( e x sin x ) − ( e x cos x ) = − e(sin1 − cos1) ⇒ I1 = 0 dx ln x = u e e e = du ln x ln x dx x Đặt dx ⇒ ⇒ I2 = ∫ dx = − +∫ x + 1 x( x + 1) ( x + 1) ( x + 1) = dv v = − e e e x +1 x ln x x +1 e e e e e e e e e =− x e dx dx ln x x −∫ =− + ln = −1 + = x +1 x +1 1 x ( x + 1) +∫ dx e e du = 2ln x e e e ln x = u x2 dx x 2 x 2 Đặt ⇒ ⇒ I = ∫ x ln xdx = ln x − ∫ x ln x = ln x − ∫ x ln xdx x 1 1 xdx = dv v = x dx e e e e du = x x2 x2 u = ln x x2 Xét J = ∫ x ln xdx Đặt ⇒ ⇒ J = ln x − ∫ xdx = ln x − 1 xdx = dv v = x 1 e x2 x2 x2 e2 − I = ln x − ln x + = → 1 Tham gia gói học trực tuyến Pro S – Pro Adv mơn Tốn để đạt kết cao kỳ thi THPT quốc gia Khóa học LTĐH mơn Tốn – Thầy Đặng Việt Hùng (0985.074.831) – Facebook: LyHung95 Trang 69 xdx du = + x ln(1 + x ) = u Đặt ⇒ xdx = dv v = x 1 1 x2 x dx x x ⇒ I = ∫ x ln(1 + x )dx = ln(1 + x ) − ∫ = ln(1 + x ) − ∫ x − dx = x +1 0 1+ x 0 0 1 1 1 x2 x2 x2 xdx x 1 = ln(1 + x ) − + ∫ = ln(1 + x ) − + ln ( x + 1) = ln − 0 0 x +1 0 0 2 1 1 x2 = u du = xdx Đặt x ⇒ ⇒ I = ∫ x e x dx = ( x e x ) − ∫ xe x dx = ( x e x ) − J x 0 e dx = dv v = e 0 1 1 x = u du = dx x Xét J = ∫ xe x dx Đặt x ⇒ ⇒ ∫ xe dx = ( xe x ) − ∫ e x dx = ( xe x − e x ) x 0 e dx = dv v = e 0 Vậy I = ( x e x ) − J = ( x e x ) − ( xe x − e x ) = e − 1 1 0 Tham gia gói học trực tuyến Pro S – Pro Adv mơn Tốn để đạt kết cao kỳ thi THPT quốc gia Khóa học LTĐH mơn Tốn – Thầy Đặng Việt Hùng (0985.074.831) – Facebook: LyHung95 Trang 70 MỤC LỤC ĐẠI CƯƠNG VỀ NGUYÊN HÀM 01 PHƯƠNG PHÁP VI PHÂN TÌM NGUYÊN HÀM 07 PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIÊN SỐ TÌM NGUYÊN HÀM 13 PHƯƠNG PHÁP TỪNG PHẦN TÌM NGUYÊN HÀM 20 NGUYÊN HÀM CỦA HÀM PHÂN THỨC HỮU TỈ 23 KĨ THUẬT ĐỒNG NHẤT TÌM NGUYÊN HÀM 35 NGUYÊN HÀM CỦA HÀM VÔ TỈ 40 NGUYÊN HÀM CỦA HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC 46 TÍCH PHÂN CƠ BẢN 60 10 PHƯƠNG PHÁP VI PHÂN TÍNH TÍCH PHÂN .62 11 CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN .64 MỤC LỤC 69 Tham gia gói học trực tuyến Pro S – Pro Adv mơn Tốn để đạt kết cao kỳ thi THPT quốc gia ... F(x) + C gọi họ nguyên hàm hàm số f(x) Với giá trị cụ thể C ta nguyên hàm hàm số cho Ví dụ: Hàm số f(x) = 2x có nguyên hàm F(x) = x2 + C, (x2 + C)’ = 2x Hàm số f(x) = sinx có nguyên hàm F(x) = –cosx... Tính chất gọi tính bất biến nguyên hàm, tức nguyên hàm hàm số phụ thuộc vào hàm, mà khơng phụ thuộc vào biến IV CÁC CƠNG THỨC NGUN HÀM Công thức 1: ∫ dx = x + C Chứng minh: Thật vậy, ( x + C... PHẦN TÌM NGUYÊN HÀM CƠ SỞ PHƯƠNG PHÁP: Công thức nguyên hàm phần I = ∫ P ( x).Q ( x)dx = ∫ udv = uv − ∫ vdu Độ ưu tiên lựa chọn đặt u: Hàm logarith, lnx → hàm đa thức → hàm lượng giác = hàm mũ