Phương trình và bất phương trình mũ 181 PHƯƠNG TRÌNH VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ I. PHƯƠNG TRÌNH MŨ 1. Phương trình mũ cơ bản: ( ) ( ) ( ) ( ) 0 1 f x g x a a a f x g x < ≠   = ⇔  =   ; ( ) [ ] ( ) ( ) [ ] ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 0 f x g x A x A x A x A x f x g x  =  = ⇔  >     =     2. Phương trình mũ đưa về cùng một cơ số: 2.1. Phương trình mũ đưa về cùng 1 cơ số là hằng số: Bài mẫu. GPT: ( ) 2 2 2 2 1 1 2 5 3 2 5 3 x x x x+ − − − = − (1) (1) ⇔ ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 3 2 5 5 2 2 1 5 3 3 3 3 5 9 3 3 x x x x x − = − ⇔ = ⇔ = ⇔ = ± Bài tập. 10 5 10 15 16 0,125.8 x x x x + + − − = ; 1 2 2 1 3 18 .2 .3 x x x x − − + = ; 17 3 5 7 1 243 2187 9 x x x x + − + − = ⋅ ; 1 1 2 2 3 3 2 x x x x − − + − = − ; 3 2 2 3 7 9.5 5 9.7 x x x x + = + ; ( ) 1 1 5 1 5 1 4 2 2 x x x x + +   ⋅ =   ; 3 1 2 1 2 2 9 2 2 3 x x x x + + − − = − ; ( ) ( ) 3 1 1 3 10 3 10 3 x x x x − + − + + = − ; ( ) 2 1 2 .3 3 x x x + + = ; 2 1 1 1 1 3.4 9 6.4 9 3 2 x x x x + + + + ⋅ = − ⋅ ; 1 2 2 1 2 2 2 3 3 3 x x x x x x − − − − + + = + − ; 2.2. Phương trình mũ đưa về cùng 1 cơ số là hàm số: Bài mẫu. GPT: 2 3 x x x x − = (1) (1) ⇔ ( ) 1 2 3 2 2 1 1 1 2 0 1 2 3 0 6 2 4 2 3 x x x x x x x x x x x x x x − =  = =     = ⇔ ⇔ ⇔ =  >     = − >    =    = −     Bài tập. ( ) 2 4 2 5 4 1 x x x − − + = ; ( ) 2 5 6 4 1 x x x − + + = ; ( ) 3 2 x x x x = ( ) ( ) 5 1 1 2 2 2 2 1 1 x x x x + − = + + ; ( ) 2 9 3 2 2 2 2 2 2 x x x x x − − + = − + ; ( ) 2 4 2 2 1 1 x x x x x − − + = − + ; ( ) 1 cos 2 cos 2 2 2 2 x x x x x + + = + ; www.VNMATH.com Chương VI. Phương trình và bất phương trình đại số – Trần Phương 182 3. Phương pháp đặt ẩn phụ đưa về phương trình bậc 2, bậc 3: Bài mẫu. GPT: 2 2 2 2 6 9 3 5 2 6 9 3 4.15 3.5 x x x x x x + − + − + − + = ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 3 5 3 5 2 3 5 3 5 3 5 3 5 3 3 4.15 15 5 3 9 4.15 15 25 x x x x x x x x x x x x + − + − + − + − + − + − ⋅ + = ⋅ ⇔ ⋅ + = ⋅ ( ) ( ) ( ) 2 2 2 3 5 3 5 3 5 2 9 3 3 3 4 15 0 3 4 15 0; 0 25 5 5 x x x x x x u u u + − + − + − ⇔ + − = ⇔ + − = = > ( )( ) ( ) ( ) 2 3 5 1 2 1 5 3 3 3 5 3 0 3 4 0 3 5 5 4 x x x u u u x x x + − − =  ⇔ − + = ⇔ = ⇔ = ⇔ + − = ⇔   = −  Bài tập. 2 1 3 9 4 x x+ + + = ; 3 7 4 2 17 0 x x+ + + − = ; 2 2 1 1 5 5 24 x x+ − − = ; 3 5 5 20 0 x x− − − = ; 1 4 4 3.2 x x x x + + − = ; 1 1 1 49 35 25 x x x − = ; 3 1 125 50 2 x x x + + = ; 2 2 2 2.49 9.14 7.4 0 x x x − + = ; 1 1 1 2 1 2 25 3.10 2 0 x x x + + + − = ; 2 2 2 1 2 4 5.2 x x x x + − − + − − ; 2 2 5 1 5 4 12.2 8 0 x x x x− − − − − − + = ; 1 1 1 2 3.2 8.2 4 0 x x x − − + − + = ; 3 3 2 8 2 20 0 x x x + + − = ; 2 4 2 2 3 45.6 9.2 0 x x x+ + + − = ; 2 3 1 2 1 4 2 2 .9 2.6 4 .3 0 x x x x x− − − − + = ; 8 18 2.27 x x x + = ; ( ) 3 5 2 1 6 12 6 x x − − = − ; 1 1 1 2.4 6 9 x x x + = ; 2 4 9 7 x x = + ; 2 2 2 3.2 32 0 x x+ − + = ; ( ) 3 3 5 9.5 27 5 5 64 x x x x− − + + + = ; ( ) 3 3 1 2 6.2 2 12.2 1 x x x x− − − − + = ; ( ) ( ) 2 3 2 3 4 x x + + − = ; ( ) ( ) 4 15 4 15 62 x x + + − = ; ( ) ( )( ) ( ) 2 3 7 4 3 2 3 4 2 3 x x + + + − = + ; ( ) ( ) 7 4 3 3 2 3 2 0 x x + − − + = ; ( ) ( ) 3 5 21 7 5 21 2 x x x + − + + = ; ( ) ( ) 3 3 5 16 3 5 2 x x x + + + − = ; ( ) ( ) 3 5 3 5 7.2 x x x + + − = ; ( ) ( ) 1 3 5 1 5 1 2 x x x + + − − = ; 1 5 1 3 5 6 7 14 98 x x x −     − + + =         ; ( ) ( ) cos cos 7 4 3 7 4 4 x x x + + − = ; ( ) ( ) 2 2 2 1 5 1 2 3 5 1 x x x x x x − − + − + + = − ; ( ) 2 2 3.25 3 10 .5 3 0 x x x x − − + − + − = ; ( ) 9 2 2 3 2 5 0 x x x x + − + − = ; ( ) ( ) 2 3 2 2 1 2 0 x x x x − − + − = ; ( ) ( ) 2 2 2 4 4 1 .2 16 0 x x x x − − + + + − = ; 3 8 .2 2 0 x x x x − − + − = ; GBL: ( ) ( ) 3 7 3 5 7 3 5 2 x x x m + + + − = ; ( ) ( ) tg tg 5 2 6 5 2 6 x x m + + − = ; ( ) ( ) tg tg 3 2 2 3 2 2 x x m + + − = ; www.VNMATH.com Phương trình và bất phương trình mũ 183 4. Đặt thừa số chung đưa về phương trình tích: Bài mẫu. GPT: 1 2 3 6 2 x x x+ + = + (1) Đặt 2 3 x x a b  =    =  thì (1) ⇔ ( )( ) 3 0 1 2 2 1 2 0 log 2 2 x a a b ab a b x b = =   + = + ⇔ − − = ⇔ ⇔     = =   Bài tập. 15 3.5 3 3 x x x − + = ; 1 2 3 2 3.2 6 2 x x x + + = + ; 1 2 3 6 2 x x x+ + = + ; 2 1 2 4 .3 3 2. .3 2 6 x x x x x x x + + + = + + ; 2 2 2 2 5 2 4 8 3 6 13 5 2 2 1 2 x x x x x x − + − + − + + = + ; ( ) 2 2 3 3 1 1 2 2 2 2 x x x x− + − − + = + ; 4 3 2 5 7 3 3 9 3 x x x − − − + = + ; 2 2 2 3 2 1 1 2 5 5 5 5 x x x x x − + − + − + = + ; 2 2 1 .2 6 12 6 .2 2 x x x x x x x + + + = + + ; 3 1 3 .3 27 .3 9 x x x x x x + + = + ; 2 1 3 2 2 3 4 1 .2 2 .2 2 x x x x x x + − + − + − + = + ; ( ) 2 2 1 2 4 7 7 7 7 x x x x + − + − + = + 5. Phương pháp lôgarit hoá: Dạng 1: ( ) ( ) ( ) log log log u x u x a a a a m a m u x m = ⇔ = ⇔ = (0 < a ≠ 1) Dạng 2: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) log log .log u x v x u x v x a a a a b a b u x v x b = ⇔ = ⇔ = (0 < a , b ≠ 1) Bài mẫu. GPT: 1 5 .8 500 x x x − = (1) (1) ⇔ ( ) 3 1 3 2 5 .2 5 2 x x x − = ⋅ ⇔ 3 3 5 .2 1 x x x − − = ⇔ ( ) 3 3 2 2 log 5 .2 log 1 x x x − − = ( ) ( ) ( ) 2 2 3 1 3 log 5 0 3 log 5 0 x x x x x − ⇔ − + = ⇔ − + = ⇔ 5 3 log 2 x x= ∨ = − Bài tập. 2 4 3 3 25.125 x x − = ; ( ) 2 3 2 8 36.3 x x x + + = ; 2 2 2 .3 1,5 x x x− = ; 2 4 .6 2.9 x x x = ; 1 3 .8 36 x x x+ = ; 3 2 1 5 .2 4 x x x − + = ; 4 tg 2 4 1600 x x = ; 4 tg 100 x x = ; ( ) 2 25 5 log 5 1 log 7 7 x x − = 6. Phương trình mũ đơn điệu Dạng 1: ( ) ( ) ( ) ( ) 1 2 u x u x u x u x n a a a b+ + + = với 0 , 1 k a b < ≠ ; { } 1 2 Max , , , n a a a b < Dạng 2: ( ) ( ) ( ) ( ) 1 2 u x u x u x u x n a a a b+ + + = với 0 , 1 k a b < ≠ ; { } 1 2 Min , , , n a a a b > Bài 1. Giải phương trình: 2 3 1 2 x x + = (1) (1) ⇔ ( ) ( ) ( ) 3 1 3 1 2 1 2 2 x x x x x f x   + = ⇔ = + =     . Do ( ) 3 1 ; 2 2 x x y y   = =     giảm nên ( ) f x giảm, khi đó ( ) ( ) ( ) 1 2 2 f x f x f x = ⇔ = ⇔ = . www.VNMATH.com Chương VI. Phương trình và bất phương trình đại số – Trần Phương 184 Bài 2. Giải phương trình: ( ) ( ) ( ) 4 15 4 15 2 2 x x x + + − = (1) (1) ⇔ ( ) 4 15 4 15 1 2 2 2 2 x x f x     + − = + =         . Ta có 4 15 4 15 1;0 1 2 2 2 2 + − > < < nên 4 15 2 2 x y   + =     tăng và 4 15 2 2 x y   − =     giảm. Xét 2 khả năng sau: Nếu 0 x ≥ thì ( ) 0 4 15 4 15 4 15 0 1 2 2 2 2 2 2 x x f x       + − + = + > + =             Nếu 0 x ≤ thì ( ) 0 4 15 4 15 4 15 0 1 2 2 2 2 2 2 x x f x       + − − = + > + =             Vậy phương trình đã cho vô nghiệm. Bài 3. Giải phương trình: 2 2 sin cos 2009 2009 cos 2 x x x − = (1) (1) ⇔ 2 2 2 2 sin cos 2 2 sin 2 cos 2 2009 2009 cos sin 2009 sin 2009 cos x x x x x x x x − = − ⇔ + = + Đặt ( ) 2009 u f u u = + ⇒ ( ) f u tăng nên (1) ⇔ ( ) ( ) 2 2 sin cos f x f x = 2 2 2 2 cos sin cos sin 0 cos 2 0 ; 4 2 x x x x x x k k π π = ⇔ − = ⇔ = ⇔ = + ∈  Bài tập dành cho bạn đọc tự giải. 2 4 9 7 x x = + ; 2 3 4 5 x x − = ; 3 4 5 14 8 x x x x + + + = ; 2 2 8 3 2 39 x x x − − = ; ( ) 1 2 3 6 0,7 x x x x + + + = ; 15.2 4.7 23,5.10 6.5 4.3 x x x x x + = − − ; 2 2 5 29 x x x + = ; ( ) ( ) 2 3 2 3 4 x x x − + + = ; ( ) ( ) ( ) 6 4 2 17 12 2 34 24 2 1 x x x − + − + − = ; 3 2 1 1 1 5 4 3 2 2 5 7 17 2 3 6 x x x x x x x x x x + + + = + + − + − + ; ( ) ( ) ( ) 3 2 3 2 5 x x x − + + = ; 2 2 log 3 log 5 x x x+ = ; ( ) ( ) ( ) 6 4 2 17 12 2 34 24 2 1 x x x − + − + − = ; 2 2 log 3 log 7 2 x x x + = − ; ( ) ( ) 2 3 2 2 1 2 0 x x x x − − + − = ; ( ) ( ) .2 3 2 2 1 x x x x x = − + − ; 3 8 .2 2 0 x x x − − + = ; ( ) ( ) 2 2 2 4 4 1 2 16 0 x x x x − − + + + − = ; ( ) 2 2 3.25 3 10 5 3 0 x x x x − − + − + − = 1 2 4 1 x x x + − = − ; 2 1 2 2 1 1 2 2 3 5 2 3 5 x x x x x x − + + + + + = + + ; 1 2 2 x x = ; www.VNMATH.com Phương trình và bất phương trình mũ 185 ( ) 2 2 1 1 1 0 2 2 x x a a a a a     + − − = >         ; ( ) 9 2 2 3 2 5 0 x x x x + − + − = ; 2 3 5 10 x x x x + + = ; ( ) 5 3 3 12 14 x x x x + + = ; ( ) ( ) 3 2 2 2 1 3 x x + = − + ; ( ) ( ) ( ) 2 3 4 15 2 3 5 x x x − + − = − ; 2 2 2 2 log (2 ) log 6 log 4 4 2.3 x x x− = ; ( ) ( ) 2 2 2 3 3 5 7 3 5 2 x x x + + + − = ; ( ) 2 2 2 2 2 log 15 2 x x x x − + + = + − ; 2 2 3 3 2 4 x x x x + = + ; ( ) ( ) ( ) 2 2 cos2 sin cos cos2 2 2 2 2 2 2 2 1 2 x x x x   + − + + − = +     ; 3 3 sin 2 tg cotg 2 x x x+ = ; sin cos x x π = ; ( ) 1 2 1 1 2 2 x x x − = + + − ; 1 2 2 x x = ; 2 2 2 1 1 2 1 1 e e 2 x x x x x − − − = − ; ( ) 2 2 1 2 2 1 x x x x − − − = − ; 2 2 2 2 2 4 2 2 5 5 2 x mx x mx m x mx m + + + + + − = + + 7. Phương trình mũ và phương pháp đánh giá: 7.1. Sử dụng bất đẳng thức Côsi: Bài mẫu. 2 2 2 2 1 8 7 8 9 8 7 8 9 2 x x x x x x x x x x x +     − + + − − + − + − − − =     Sử dụng bất đẳng thức Côsi ta có ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 8 7 8 9 8 7 8 9 x x VT x x x x x x x x = − + + − − + − + − − − ≥ ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 8 7 8 9 8 7 8 9 x x x x x x x x x x− + + − − − + − − − ( ) ( ) 2 2 1 2 2 2 8 7 8 9 2 16 2.2 2 x x x x x x x x +   = − + − − − = = =   Phương trình đã cho có nghiệm ⇔ Dấu bằng xảy ra trong bất đẳng thức ( )( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 8 7 8 9 8 7 8 9 8 7 8 9 8 7 8 9 4 x x x x x x x x x x x x x x x x  − + + − − = − + − − −  ⇔   − + + − − − + − − − =  2 2 2 8 7 4 1 8 9 0 9 8 9 0 x x x x x x x x  − + = = −   ⇔ ⇔ − − = ⇔   =   − − =  www.VNMATH.com Chương VI. Phương trình và bất phương trình đại số – Trần Phương 186 7.2. Sử dụng bất đẳng thức Bernoulli: Cho t > 0, khi đó: ( ) ( ) 1 1 0 1 1 1 0 1 t t t t α α  + − α ≥ ∀α ≤ ∨ α ≥    + − α ≤ ∀ ≤ α ≤  Bài 1. Giải phương trình: 3 2 3 2 x x x + = + Giải Sử dụng bất đẳng thức Bernoulli ta có: • Nếu 0 1 x ≤ ≤ thì ( ) ( ) 3 1 3 1 3 2 1 2 1 2 1 2 1 x x x x x x x x   + − ≤ ≤ +   ⇔   + − ≤ ≤ +     3 2 3 2 x x x ⇒ + ≤ + . Dấu bằng xảy ra 0; 1 x x ⇔ = = • Nếu 0 1 x x ≤   ≥  thì ( ) ( ) 3 1 3 1 3 2 1 2 1 2 1 2 1 x x x x x x x x   + − ≥ ≥ +   ⇔   + − ≥ ≥ +     3 2 3 2 x x x ⇒ + ≥ + . Dấu bằng xảy ra 0; 1 x x ⇔ = = Kết luận: Phương trình có đúng hai nghiệm 0; 1 x x = = Bài 3. Giải phương trình: 3 5 6 2 x x x + = + Giải • Nếu 0 1 x ≤ ≤ thì ( ) ( ) 5 1 5 1 5 4 1 3 1 3 1 3 2 1 x x x x x x x x   + − ≤ ≤ +   ⇔   + − ≤ ≤ +     5 3 6 2 x x x ⇒ + ≤ + . Dấu bằng xảy ra 0; 1 x x ⇔ = = • Nếu 0 1 x x ≤   ≥  thì ( ) ( ) 5 1 5 1 5 4 1 3 1 3 1 3 2 1 x x x x x x x x   + − ≥ ≥ +   ⇔   + − ≥ ≥ +     5 3 6 2 x x x ⇒ + ≥ + . Dấu bằng xảy ra 0; 1 x x ⇔ = = Kết luận: Phương trình có đúng hai nghiệm 0; 1 x x = = Bài tập. 4 5 6 12 3 x x x x + + = + ; 4 2 4 2 x x x + = + ; ( ) 2 2 27 6 4 1 9 x x x x= − + 8. Phương trình mũ sử dụng định lý Lagrange: Định lý Lagrange: Nếu f liên tục trên [ a , b ] và có đạo hàm trên ( a , b ) thì tồn tại x 0 ∈ ( a , b ) sao cho ( ) ( ) ( ) 0 f b f a f x b a − ′ = − Bài tập. 2 3.2 7 17 x x + − = ; 2004 2007 2005 2006 x x x x + = + ; 3 11 4 10 x x x x + = + ; 1 5 2.3 x x + = ; 2 2 2 2 12 2.7 x x x x x x − − − + = www.VNMATH.com Phương trình và bất phương trình mũ 187 II. BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ 1. Bất phương trình mũ cơ bản: Sử dụng: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) [ ] 0 1 0 1 1 0 x x a a a a a x x x x a x x α β >  > < <      > ⇔ ∨ ⇔    α > β α < β − α − β >       2. Bất phương trình mũ đưa về cùng một cơ số: Bài 1. Giải BPT: 1 1 1 1 4 32 4 x x x x − + − ≤ ⋅ ( ) ( ) 3 2 2 1 5 1 2 1 1 2 1 3 2 2 2 2 2 1 1 x x x x x x x x x x + − − − + − − + ≤ ⋅ = ⇔ ≤ + − ⇔ ( ) ( ) ( ) 9 ; 1 9 0 1 1 1 0 x x x x x x x ≤ − >  + ≥ ⇔  − +  − < ≤  Bài 2. Giải BPT: ( ) 2 2 4 2 1 1 x x x x − + + > (1) (1) ⇔ ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 4 2 1 1 2 1 0 1 0 1 0 1 2 1 0 0 4 2 1 1 2 1 0 0 x x x x x x x x x x x x x x x x x x    + + >  + >       >  − > − >        ⇔ ⇔   < −   + <  < + + <          − <  − <      Bài tập. 2 3 4 1 2 2 2 2 5 5 x x x x x + + + + + − − > − ; 1 1 2 2 3 3 x x x x + − + ≤ + ; ( ) ( ) 1 1 1 5 2 5 2 x x x − − + + ≤ − ; ( ) ( ) 1 1 2 1 2 1 x x x + − + ≥ − ; ( ) ( ) 3 1 1 3 10 3 10 3 x x x x − + − + + < − ; ( ) 2 1 2 1 3 3 x x x x − − − ≥ ; ( ) 2 2 3 2 2 1 1 x x x x + − ≤ − ; ( ) ( ) 3 2 2 2 1 5 1 1 x x x x x x x x + − − + − + > − + ; 2 2 7 3 1 1 x x x − + − < ; 2 2 2 2 1 3 3 2 5 x x x + + + ≤ ⋅ ; ( ) ( ) 72 1 1 3 1 3 3 x x > ; 2 3 3 log log 2 5 400 x x ⋅ < ; ( ) 2 5 6 3 1 x x x − + + > ; ( ) 6 2 8 16 1 x x x − − + < ; 2 lg 2 lg 5 3 3 2 x x+ + < − ; lg 3lg 1 1000 x x x x − + > ; 1 lg .lg 1 x x x < ; 2 lg 10 x x x ≥ ; 2 log 2 x x ≥ ; 1 8 6 9 x x − ≥ ⋅ ; ( ) ( ) 6 3 2 1 1 1 1 2 2 x x x − + − < ; 2 1 2 3 2 5 7 5 3 2 2 2 2 2 2 x x x x x x − − − − − − + − > + − ; www.VNMATH.com Chương VI. Phương trình và bất phương trình đại số – Trần Phương 188 3. Phương pháp đặt ẩn phụ đưa về phương trình bậc 2, bậc 3: Bài mẫu. Giải BPT: 2 2 2 2 49 9 14 7 4 0 x x x ⋅ − ⋅ + ⋅ ≥ (1) (1) ⇔ ( ) ( ) 2 2 2 2 2 7 1 1 49 7 2 2 9 7 0 2 9 7 0 4 2 0 0 1 x x u x x u u x x u   ≥ ≥  ≥    − + ≥ ⇔ − + ≥ ⇔ ⇔ ⇔    = ≤   ≤   Bài 2. Giải BPT: ( ) 1 1 1 1 5 1 2 2 2 2 1 3 2 2 x x x x − − − − − + < + − + (1) ( ) ( ) 1 1 1 1 5 2 2 1 2 1 2 1 3 2 2 x x x x − − − − ⇔ + < + − + . Đặt 1 1 2 1 1 2 0 2 1 1 x x u uv v u u v v − −  = + > − = −    ⇒   + >   = − > −   (1) ⇔ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 6 4 5 6 5 5 2 2 0 0 3 3 3 v u uv uv u v uv u v u v uv u v uv u v   − + − + −   + < ⇔ < ⇔ < + + + ( ) ( ) 2 2 6 2 4 5 6 5 24 0 0 0 0 1 uv uv uv uv uv uv v x uv uv   − + − − +   ⇔ < ⇔ < ⇔ < ⇔ < ⇔ < Bài tập. 2 2 2 2 1 2 1 2 25 9 34 15 x x x x x x − + − + − + ≥ ⋅ ; 2 10 3 2 5 1 3 2 5 4 5 5 x x x x − − − − + − − ⋅ < ; 2 2 2 1 2 6 2 4 2 52 4 x x x − − − + > + ; 1 2 1 2 3 2 12 0 x x x+ + − − < ; 2 1 4 7 5 2 3 5 12 5 4 x x x+ − ⋅ ≤ − ⋅ + ; 4 4 1 8 3 9 9 x x x x + + ⋅ + ≥ ; 2 4 4 3 8 3 9 9 0 x x x x+ + + − ⋅ − ⋅ > ; 1 2 2 1 0 2 1 x x x − − + ≤ − ; 9 3 2 3 9 x x x − + > − ; ( ) 13 5 2 13 12 13 5 x x x − ≤ + − + ; ( ) 2 5 4 5 3 5 3 x x x + − − ≤ + ; ( ) ( ) ( ) 26 15 3 2 7 4 3 2 2 3 1 x x x + + + − − < ; 4. Đặt thừa số chung đưa về phương trình tích: Bài mẫu. Giải BPT: ( ) 2 2 2 1 1 4 2 2 1 x x x x+ − + + ≥ + (1) (1) ⇔ 2 2 2 2 2 1 2 1 2 2 2 1 x x x x x+ − + + + ≥ + . Đặt 2 2 2 2 2 1 2 1 2 ; 2 2 x x x x x a b ab + − + + = = ⇒ = (1) ⇔ ( ) 1; 1 1 1 0 ( 1) 1 0 1; 1 0 a b x ab a b a b a b x ≥ ≤ ≥   + − − ≤ ⇔ − − ≤ ⇔ ⇔     ≤ ≥ ≤   www.VNMATH.com Phương trình và bất phương trình mũ 189 Bài tập. 2 1 2 4 3 3 2 3 2 6 x x x x x x x + + ⋅ + < ⋅ + + ; ( ) 2 2 1 2 4 8 2 4 2 2 2 x x x x x x x x + + − > + − + ⋅ − ; 2 2 2 2 5 3 2 2 3 2 5 3 4 3 x x x x x x x x x − − + > ⋅ − − + ⋅ ; ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 9 2 2 8 2 2 9 2 8 16 x x x x x x x x x x ⋅ + + ⋅ + ≤ + + ⋅ + + ; 5. Bất phương trình mũ đơn điệu Bài 1. Giải BPT: 1 1 2 3 6 1 x x x+ + + < − (1) (1) ⇔ ( ) f x = ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 1 2 3 1 2 6 3 2 x x x f+ + < = ⇔ 2 x > (do ( ) f x giảm) Bài 2. Giải BPT: ( ) ( ) 1 5 29 2 2 5 10 x x + > (1) Nếu 0 x < thì 1 x giảm trên ( ) ; 0 −∞ nên ( ) 1 2 5 x y = tăng trên ( ) ; 0 −∞ , khi đó: ( ) ( ) ( ) 1 5 2 2 5 x x f x = + tăng trên ( ) ; 0 −∞ và (1) ⇔ ( ) ( ) 29 1 1 0 10 f x f x > − = ⇔ − < < Nếu 0 x > thì 1 x giảm trên ( ) 0; +∞ nên ( ) 1 2 5 x y = tăng trên ( ) 0; +∞ , khi đó: ( ) ( ) ( ) 1 5 2 2 5 x x f x = + tăng trên ( ) 0; +∞ và (1) ⇔ ( ) ( ) 29 1 1 10 f x f x > = ⇔ > Bài 3. Tìm nghiệm 0 x > của BPT: 1 6 3 10 2 1 x x x + − > − (1) (1) ⇔ ( ) ( ) 1 1 1 10 10 2 6 2 6 6 3 6 3 3 2 1 2 1 2 1 2 1 x x x x x x x f x g x x x x x + + + − − − > ⇔ − = > ⇔ = > = − − − − Nếu 1 3 2 x < ≤ thì ( ) 1 2 6 0 3 2 1 x x f x x + − = ≤ < − nên (1) vô nghiệm. Nếu 1 0 2 x < < thì dễ thấy ( ) ( ) , f x g x tăng trên ( ) 1 0; 2 , khi đó ta có: ( ) ( ) ( ) ( ) 1 0 6 3 3 2 f x f g g x > = > = > ⇒ Nghiệm của (1) là 1 0 2 x < < Nếu 3 x > thì dễ thấy ( ) ( ) , f x g x tăng trên ( ) 3; +∞ , khi đó ta có: ( ) ( ) ( ) 2 6 5 1 1 81 3 2 1 2 1 x f x g g x x x − = = − < < = < − − ⇒ (1) vô nghiệm. www.VNMATH.com Chương VI. Phương trình và bất phương trình đại số – Trần Phương 190 Bài tập. 1 2 2 1 0 2 1 x x x − − + ≤ − ; 2 3 3 2 0 4 2 x x x − + − ≥ − ; 1 1 2 5 3 1 2 3 x x x x + + − ⋅ < − ; ( ) 2 3 2 8 1 3 3 2 x x x x − ⋅ > + − ; 2 2 2 2 1 2 4 2 3 2 2 8 12 x x x x x x x + + ⋅ + ⋅ > ⋅ + + ; ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 4 6 4 6 2 2 4 6 2 1 1 0 1 x x x x x x a a a a − + − + − + + − ≥ + < < ; 6. Bất phương trình mũ chứa tham số Bài 1. Tìm m để BPT sau có nghiệm: 2 2 2 sin cos sin 2 3 3 x x x m+ ≥ ⋅ (1) (1) ⇔ ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 sin sin sin 1 2 sin 6 2 1 3 3 3 9 9 x x x x m m − + ≥ ⇔ + ≥ Đặt [ ] 2 sin 0;1 u x= ∈ , ycbt ⇔ ( ) ( ) ( ) 6 1 3 9 9 u u f u m = + ≥ có nghiệm [ ] 0;1 u ∈ ⇔ [ ] ( ) ( ) 0;1 Max 0 4 u f u f m ∈ = = ≥ Bài 2. Tìm m để BPT sau đúng ∀ x ∈  : ( ) ( ) 2 4 1 2 1 0 x x m m m + ⋅ + − + − > (1) Đặt 2 0 x u = > , khi đó: (1) ⇔ ( ) ( ) 2 4 1 1 0 mu m u m + − + − > ⇔ ( ) 2 4 1 4 1 m u u u + + > + ⇔ ( ) 2 4 1 4 1 u f u m u u + = < + + . Ta có ( ) ( ) 2 2 2 4 2 0 4 1 u u f u u u − − ′ = < + + [ ) 0;u ∀ ∈ +∞ ⇒ ( ) f u giảm trên [ ) 0; +∞ ycbt ⇔ ( ) 2 4 1 , 0 4 1 u f u m u u u + = < ∀ > + + ⇔ ( ) ( ) 0 Max 0 1 u f u f m > = = ≤ Bài tập. Tìm m để BPT sau có nghiệm: 49 5 7 0 x x m − ⋅ + ≤ ; ( ) 4 2 3 0 x x m m − ⋅ + + ≤ ; Tìm m để bất phương trình sau đúng ∀ x > 0: ( ) ( ) 3 1 12 2 6 3 0 x x x m m + + − + < Tìm m để BPT sau đúng ∀ x ≤ 0: ( ) ( ) ( ) 1 2 2 1 3 5 3 5 0 x x x m m + ⋅ + + − + + < Tìm m để BPT sau đúng 1 2 x ∀ ≥ : ( ) 2 2 2 2 2 2 9 2 1 6 4 0 x x x x x x m m m − − − ⋅ − + + ⋅ ≤ www.VNMATH.com [...]...www.VNMATH.com Phương trình và b t phương trình mũ 191 . Phương trình và bất phương trình mũ 181 PHƯƠNG TRÌNH VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ I. PHƯƠNG TRÌNH MŨ 1. Phương trình mũ cơ bản: ( ) ( ) ( ) ( ) 0 1 f x. 2 2 12 2.7 x x x x x x − − − + = www.VNMATH.com Phương trình và bất phương trình mũ 187 II. BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ 1. Bất phương trình mũ cơ bản: Sử dụng: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ). 2 x x x x x + + = + ; www.VNMATH.com Chương VI. Phương trình và bất phương trình đại số – Trần Phương 182 3. Phương pháp đặt ẩn phụ đưa về phương trình bậc 2, bậc 3: Bài mẫu. GPT: 2 2 2 2