Trần Thị Yến - THCS Lý Tự Trọng, Pleiku 1 MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA ĐỊNH LÝ VI-ÉT TRONG TOÁN 9 I. ĐẶT VẤN ĐỀ Trong trường phổ thông việc hình thành và rèn luyện kó năng giải các bài tập toán có một vò trí quan trọng trong dạy học toán, qua việc giải các bài tập giúp học sinh củng cố, mở rộng các kiến thức đã được học và mở rộng tầm hiểu biết của mình. Với tình hình thực tế hiện nay nhiều học sinh chưa thích học bộ môn toán, các kó năng cơ bản còn yếu, nhất là kó năng giải bài tập, nguyên nhân dẫn đến tình trạng đó là:  Đối với học sinh: + Chưa nắm vững lý thuyết. + Chưa nắm vững phương pháp giải các dạng bài tập. + Chưa linh hoạt sáng tạo khi giải bài tập. + Thụ động, chưa tích cực trong học tập. + Chưa biết khai thác bài toán. + Chưa biết vận dụng những kiến thức đã học vào thực tế.  Đối với giáo viên: + Trong quá trình giảng dạy chưa chú ý rèn các kó năng cho học sinh nhất là kó năng giải toán. + Còn áp đặt kiến thức, áp đặt cách giải các bài tập cho học sinh, chưa gợi mở phát huy trí lực học sinh, nêu vấn đề cho học sinh suy nghó, chủ động tiếp thu các kiến thức. + Khi hướng dẫn học sinh giải các bài tập giáo viên chưa chú ý xây dựng phương pháp giải toán. + Các bài tập giáo viên cho học sinh giải chủ yếu là các bài tập đơn giản, ít được mở rộng nâng cao dẫn đến học sinh dễ bò nhàm chán. Nhằm giúp học sinh học toán tốt hơn, yêu thích môn toán hơn cũng như ngày càng nâng cao chất lượng giảng dạy của mình, mỗi giáo viên cần : + Nắm vững kiến thức + Vận dụng linh hoạt các phương pháp dạy học. + Đổi mới phương pháp dạy học, vận dụng nêu vấn đề, sử dụng nhiều những câu hỏi gợi mở dẫn dắt học sinh chủ động, tích cực tiếp thu kiến thức. + Chú ý rèn các kó năng cho học sinh nhất là kó năng giải bài tập, chú ý xây dựng các phương pháp giải toán cho học sinh. Trần Thị Yến - THCS Lý Tự Trọng, Pleiku 2 + Tìm tòi mở rộng các kiến thức, xây dựng hệ thống bài tập từ dễ đến khó giúp học sinh được củng cố và nâng cao các kiến thức, giúp học sinh hứng thú trong học tập và học môn toán tốt hơn. Với các mục tiêu trên trong đề tài này tôi trình bày một số phương pháp giải các dạng bài tập mà có sử dụng đònh lý đònh lý Vi – ét trong chương trình đại số lớp 9 đó là: Tính nhẩm nghiệm của phương trình bậc hai, tìm hai số khi biết tổng và tích của chúng, tính giá trò của một hệ thức giữa các nghiệm của phơng trình bậc hai, so sánh nghiệm của phương trình bậc hai với một số . . . Giúp học sinh nắm vững các dạng toán cơ bản về phương trình bậc hai và các ứng dụng của đònh lý Vi –ét, rèn luyện cho học sinh khả năng tính toán, khả năng suy luận, khả năng sáng tạo trong học toán và giải toán II. NỘI DUNG ĐỀ TÀI. Trong chương trình đại số lớp 9 đôi khi học sinh gặp khó khăn trong việc giải một số phương trình bậc hai hay tìm hai số thỏa mãn hệ thức cho trước, so sánh nghiệm của phương trình bậc hai . . . Có những bài toán tưởng chừng rất khó nhưng nó lại có những lời giải thật đơn giản, độc đáo khi áp dụng đònh lý Vi – ét và chỉ có áp dụng hệ thức Vi – ét mới có thể giải được. Để học sinh giải được các bài tập có sử dụng các ứng dụng của đònh lý Vi – ét, trước hết học sinh cần phải nắm vững nội dung của đònh lý Vi – ét. Đònh lý Vi – ét: Nếu phương trình bậc hai ax 2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) có hai nghiệm x 1 ; x 2 thì tổng và tích hai nghiệm đó là: 1 2 1 2 b S = x + x = a c P = x x = a         Đảo lại, nếu hai số x 1 ; x 2 có tổng x 1 + x 2 = S và tích x 1 x 2 = P thì x 1 ; x 2 là nghiệm của phương trình: X 2 – SX + P = 0 (*) Phương trình (*) chỉ có nghiệm khi S 2  4P. MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA ĐỊNH LÝ VI – ÉT 1)Tính nhẩm nghiệm của phương trình bậc hai Trần Thị Yến - THCS Lý Tự Trọng, Pleiku 3 Phương pháp: Vận dụng một trong ba điều sau Xét phương trình bậc hai: ax 2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) 1) Nếu: a + b + c = 0 thì phương trình có hai nghiệm x 1 = 1 ; x 2 = c a 2) Nếu: a – b – c = 0 thì phương trình có hai nghiệm x 1 =  1; x 2 =  c a 3) Nếu: x 1 + x 2 = m + n và x 1 .x 2 = m.n và a.c < 0 thì phương trình có hai nghiệm x 1 = m ; x 2 = n ( hoặc x 1 = n; x 2 = m). Bài 1: Dùng điều kiện a + b +c = 0 hoặc a – b + c = 0 để giải các phương trình sau: a) 35x 2 – 37x + 2 = 0 b) 7x 2 + 500x – 570 = 0 c) x 2 – 49x – 50 = 0 d) 4321x 2 + 21x – 4300 = 0 Giải: a) 35x 2 – 37x + 2 = 0 Phương trình trên có a + b + c = 35 – 37 + 2 = 0 Do đó phương trình có hai nghiệm: x 1 = 1 ; x 2 = 2 35 b) 7x 2 + 500x – 570 = 0 Phương trình trên có a + b + c = 7 + 500 – 507 = 0, Do đó phương trình có hai nghiệm x 1 = 1 ; x 2 = 7 507  =  72 3 7 c) x 2 – 49x – 50 = 0 Phương trình trên có a – b + c = 1 + 49 – 50 = 0 Do đó phương trình có hai nghiệm : x 1 =  1 ; x 2 = 50 d) 4321x 2 + 21x – 4300 = 0 Phương trình trên có a – b + c = 4321 – 21 + 4300 = 0, Do đó phương trình có hai nghiệm: x 1 =  1 ; x 2 = 4300 4321 Bài 2: Dùng hệ thức Vi – ét để tính nhẩm nghiệm của các phương trình sau: a) x 2 – 7x + 12 = 0 b) x 2 + 7x + 12 = 0 c) x 2 + ( 3 5  )x – 15 = 0 d) x 2 (3 – 2 7 )x – 6 7 = 0 Giải: a) x 2 – 7x + 12 = 0 Phương trình có: ∆ = b 2 – 4ac = 49 – 48 = 1 > 0 nên phương trình có hai nghiệm x 1 ; x 2 và ta có: 1 2 1 2 x + x = 7 = 3 + 4 x .x = 12 = 3.4      Trần Thị Yến - THCS Lý Tự Trọng, Pleiku 4 Vậy phương trình có hai nghiệm x 1 = 3 ; x 2 = 4 (hoặc x 1 = 4 ; x 2 = 3) b) x 2 + 7x + 12 = 0 Phương trình có: ∆ = b 2 – 4ac = 49 – 48 = 1 > 0 nên phương trình có hai nghiệm x 1 ; x 2 và ta có: 1 2 1 2 x + x = 7 = ( 3) + ( 4) x .x = 12 = ( 3).( 4)           Vậy phương trình có hai nghiệm x 1 =  3 ; x 2 =  4 (hoặc x 1 =  4 ; x 2 =  3). c) x 2 + ( 3 5  )x – 15 = 0 Phương trình có: a.c = – 15 < 0 nên phương trình có hai nghiệm x 1 ; x 2 và ta có: 1 2 1 2 3 5 x + x = ( 3 5) x .x = 15 = 3. 5             Vậy phương trình có hai nghiệm : x 1 = 3 ; x 2 = 5  d) x 2 + (3 – 2 7 )x – 6 7 = 0 Phương trình có: a.c = – 6 7 < 0 nên phương trình có hai nghiệm x 1 ; x 2 và ta có: 1 2 1 2 7 7 7 7 x + x = (3 2 ) 3 2 x .x = 6 = 3.2             Vậy phương trình có hai nghiệm : x 1 = 2 7 ; x 2 =  3. Bài 3: Giải phương trình sau bằng cách nhẩm nghiệm nhanh nhất: a) x 2 + (3m – 5 )x – 3m + 4 = 0 b) 3x 2 – (m – 2)x – m – 1 = 0 c) (m – 2)x 2 + (m – 3)x – 2m + 5 = 0 d) (m – 3)x 2 – (m + 1)x – 2m + 2 = 0 Giải: a) x 2 + (3m – 5 )x – 3m + 4 = 0 Phương trình trên có a + b + c = 1 + 3m – 5 – 3m + 4 = 0 nên phương trình có hai nghiệm là: x 1 = 1 ; x 2 =  3m + 4 b) 3x 2 – (m – 2)x – m – 1 = 0 Phương trình trên có a – b + c = 3 + m – 2 – m – 1 = 0 nên phương trình có hai nghiệm là: x 1 =  1 ; x 2 = m + 1 3 . c) (m – 2)x 2 + (m – 3)x – 2m + 5 = 0 (*) Với m – 2 = 0 hay m = 2 thì (*) trở thành  x + 1 = 0  x = 1 Với m – 2 ≠ 0 hay m ≠ 2 thì (*) có a + b + c = m – 2 + m – 3 – 2m + 5 = 0 nên phương trình có hai nghiệm là: x 1 = 1; x 2 = 2m 5 m 2    . d) (m – 3)x 2 – (m + 1)x – 2m + 2 = 0 (**) Với m – 3 = 0 hay m = 3 thì (**) trở thành  4x – 4 = 0  x =  1 Trần Thị Yến - THCS Lý Tự Trọng, Pleiku 5 Với m – 3 ≠ 0 hay m ≠ 0 thì (**) có a – b + c = m – 3 + m + 1 – 2m + 2 = 0 nên phương trình có hai nghiệm x 1 =  1; x 2 = 2m + 2 m 3  . 2) Biết một nghiệm của phương trình bậc hai tìm nghiệm còn lại của phương trình đó. Phương pháp giải : + Tính tổng S hoặc tích P hai nghiệm của phương trình. + Thế nghiệm đã biết vào S hoặc P tìm nghiệm còn lai. Bài 1: a) Chứng tỏ rằng phương trình 3x 2 + 2x – 21 = 0 (1) có một nghiệm là – 3. Hãy tìm nghiệm kia. b) Chứng tỏ rằng phương trình  4x 2 – 3x + 115 = 0 (2) có một nghiệm là 5. Tìm nghiệm kia. Giải: a)Ta có x 1 =  3 là một nghiệm của phương trình (1) vì 3.(  3) 2 + 2.(  3)  21= 0. Theo hệ thức Vi –ét ta có: x 1 x 2 = c a  – 3x 2 = 21 3  = 7. Suy ra x 2 =  7 3 b) x 1 = 5 là một nghiệm của phương trình (2) vì  4.5 2 + 3.5 + 115 = 0 Theo hệ thức Vi – ét ta có: x 1 x 2 = c a  5x 2 = 115 4  . Suy ra x 2 = 23 4  Bài 2: Dùng hệ thức Vi –ét để tìm nghiệm x 2 của phương trình rồi tìm giá trò của m trong mỗi trường hợp sau: a) Phương trình x 2 + mx – 35 = 0, biết nghiệm x 1 = 7. b) Phương trình x 2 – 13x + m = 0, biết nghiệm x 1 = 12,6. c) Phương trình 4x 2 + 3x – m 2 + 3m = 0, biết nghiệm x 1 =  2 Giải: a) Ta có x 1 = 7 là một nghiệm của phương trình x 2 + mx – 35 = 0, nên theo hệ thức Vi – ét ta được 7x 2 =  35. Suy ra x 2 =  5. Lại theo hệ thức Vi –ét ta cũng có: x 1 + x 2 =  m. Suy ra  m = 7 – 5  m =  2. b) Ta có x 1 = 12,5 là một nghiệm của phương trình x 2 – 13x + m = 0, nên theo hệ thức Vi –ét ta có x 1 + x 2 = 13 hay 12,5 + x 2 = 13. Suy ra x 2 = 0,5. Cũng theo hệ thức Vi – ét ta lại có: x 1 x 2 = m hay 12,5.0,5 = m  m = 6,25 Trần Thị Yến - THCS Lý Tự Trọng, Pleiku 6 c) Vì x 1 =  2 là một nghiệm của phương trình 4x 2 + 3x – m 2 + 3m = 0, nên theo hệ thức Vi – ét ta có:  2 + x 2 =  3 4 . Suy ra x 2 = 5 4 Lại theo hệ thức Vi – ét ta có  2 . 5 4 = 2 m + 3m 4  hay m 2 – 3m – 10 = 0 Giải phương trình m 2 – 3m – 10 = 0 ta được m 1 =  2 ; m 2 = 5 3) Lập phương trình bậc hai khi biết hai nghiệm x 1 ; x 2 , tìm hai số thỏa mãn điều kiện cho trước Phương pháp giải: + Lập tổng S = x 1 + x 2 và tích P = x 1 + x 2 . + Lập phương trình có dạng X 2 – SX + P = 0 hay (X – x 1 )(X – x 2 ) = 0 Bài 1: Lập phương trình bậc hai biết hai nghiệm là: a) 5 và  3 b) 2 và 1 – 2 Giải: a) Ta có S = 5 – 3 = 2 và P = 5.(  3) =  15 Vậy hai số 5 và  3 là nghiệm của phương trình: X 2 – 2X – 15 = 0 b) Ta có: S = 2 + 1 – 2 = 1 và S = 2 (1 – 2 ) = 2 – 2 Vậy hai số 2 và 1 – 2 là nghiệm của phương trình: X 2 – X + 2 – 2 = 0 Bài 2: Cho phương trình bậc hai ẩn x sau: x 2 – 5x + 4 = 0 (1) a) Chứng minh phương trình (1) có hai nghiệm x 1 ; x 2 . b) Không giải phương trình (1). Hãy lập một phương trình có hai nghiệm là X 1 = x 1 + 1 ; X 2 = x 2 + 1 Giải: a) Phương trình (1) có biệt số ∆ = 25 – 16 = 9 > 0, nên phương trình luôn có hai nghiệm x 1 ; x 2 . b) x 1 ; x 2 là hai nghiệm của phương trình (1) theo hệ thức Vi – ét ta có: x 1 + x 2 = 5 và x 1 x 2 = 4 Theo đề bài ta có: X 1 = x 1 + 1 ; X 2 = x 2 + 1, nên: S = X 1 + X 2 = x 1 + 1 + x 2 + 1 = x 1 + x 2 + 2 = 5 + 2 = 7 P = X 1 X 3 = ( x 1 + 1)(x 2 + 1) = x 1 x 2 + x 1 + x 2 + 1 = 4 + 5 + 1 = 10 Vậy hai số X 1 = x 1 + 1 và X 2 = x 2 + 1 là nghiệm của phương trình : X 2 – 7X + 10 = 0 Bài 3: Cho phươngtrình bậc hai ẩn x sau: x 2 – 3x – 5 = 0 (1) Trần Thị Yến - THCS Lý Tự Trọng, Pleiku 7 a)Chứng minh phương trình (1) có hai nghiệm x 1 ; x 2 . b)Không giải phương trình (1). Hãy lập một phương trình có hai nghiệm là X 1 = 1 1 x và X 2 = 2 1 x Giải: a) Phương trình (1) có biệt số ∆ = 9 + 20 = 29 > 0, nên phương trình luôn có hai nghiệm x 1 ; x 2 . b) x 1 ; x 2 là hai nghiệm của phương trình (1) theo hệ thức Vi – ét ta có: x 1 + x 2 = 3 và x 1 x 2 = – 5 Theo đề bài ta có: X 1 = 1 1 x và X 2 = 2 1 x nên: S = X 1 + X 2 = 1 2 1 2 1 2 x x 1 1 x x x x    =  3 5 và P = X 1 X 2 = 1 2 1 x x =  1 5 Do đó hai số X 1 = 1 1 x và X 2 = 2 1 x là nghiệm của phương trình: X 2 + 3 5 X – 1 5 = 0 hay: 5X 2 + X – 1 = 0 Bài 3: Gọi x 1 ; x 2 là hai nghiệm của phương trình x 2 – 7x + 3 = 0. a) Hãy lập phương trình bậc hai có hai nghiệm là 2x 1 – x 2 và 2x 2 – x 1 b) Hãy tính giá trò của biểu thức: A = 1 2 2 1 2x x + 2x x   Giải: a) Phương trình x 2 – 7x + 3 = 0 có ∆ = 49 – 12 = 37 > 0, nên phương trình luôn có hai nghiệm x 1 ; x 2 . Theo đònh lý Vi –ét ta có: x 1 + x 2 = 7 và x 1 x 2 = 3 Ta có S = (2x 1 – x 2 ) + (2x 2 – x 1 ) = x 1 + x 2 = 7 P = (2x 1 – x 2 )(2x 2 – x 1 ) = 4x 1 x 2 – 2x 1 2 – 2x 2 2 + x 1 x 2 = 5x 1 x 2 – 2(x 1 2 + x 2 2 ) = 5x 1 x 2 – 2[(x 1 + x 2 ) 2 – 2x 1 x 2 ] = 9x 1 x 2 – 2(x 1 + x 2 ) 2 = 9.3 – 2.7 2 =  71 Vậy (2x 1 – x 2 ) và (2x 2 – x 1 ) là nghiệm của phương trình X 2 – 7X – 71 = 0 (*) b) Phương trình X 2 – 7X – 71 = 0 có ∆ = 49 + 284 = 333 > 0   = 3 37 Phương trình (*) có hai nghiệm là: X 1;2 = 7 3 37 2  Suy ra: A = 1 2 2 1 2x x + 2x x   = 1 2 X X  = 7 3 37 7 3 7 2 2    = 7 3 37 3 37 7 2 2    = 3 37 Bài 4: Tìm hai số u và trong mỗi trường hợp sau: a) u + v =  5 , v.u =  24 b) u – v = 10 , uv = 24 Trần Thị Yến - THCS Lý Tự Trọng, Pleiku 8 c) u + v = 5 , u 2 + v 2 = 13 d) u 2 + v 2 = 29 , uv = 10 Giải: a) Vì u + v =  5 , v.u =  24 nên hai số u và v là nghiệm của phương trình: X 2 + 5X – 24 = 0 (1) Ta có ∆ = 25 + 96 = 121 suy ra phương trình (1) có hai nghiệm là: X 1 = 3 ; X 2 =  8 Vậy hai số cần tìm là : u = 3 và v =  8 ( hoặc u =  8 và v = 3) b) Đặt t =  v ta có u + t = 10 và ut =  24. Do đó hai số u và t là nghiệm của phương trình: X 2 – 10 X  24 = 0 (2) Ta có : ∆’ = 25 + 24 = 49, nên phương trình (2) có hai nghiệm là : X 1 = 12 ; X 2 =  2 Suy ra: u = 12 và t =  2 hoặc u =  2 và t = 12 Nếu u = 12 và t =  2 thì u = 12 và v = 2 Nếu u =  2 và t = 12 thì u =  2 và v =  12 c) Ta có (u + v) 2 = u 2 + v 2 + 2uv . Mà u + v = 5 và u 2 + v 2 = 13 Suy ra: 5 2 = 13 + 2uv  25 – 13 = 2uv  uv = 6 Vì u + v = 5 và uv = 6 nên hai số u và v là nghiệm của phương trình: X 2 – 5X + 6 = 0 (3) Ta có: ∆ = 25 – 24 = 1, nên phương trình (3) có hai nghiệm X 1 = 3 ; X 2 = 2 Vậy u = 3 và v = 2 hoặc u = 2 và v = 3. d) Ta có: (u + v) 2 = u 2 + v 2 + 2uv mà u 2 + v 2 = 29 , uv = 10, nên suy ra: (u + v) 2 = 29 + 2.10 = 49  u + v = 7 hoặc u + v =  7. * Với u + v = 7 và uv = 10 thì hai số u và v là nghiệm của phương trình: X 2 – 7X + 10 = 0 (4) Giải phương trình (4) ta được X 1 = 5 ; X 2 = 2. Khi đó u = 5 và v = 2 hoặc u = 2 và v = 5 * Với u + v =  7 và uv = 10, thì hai số u và v là nghiệm của phương trình: Y 2 + 7Y + 10 = 0 (5) Giải phương trình (5) ta được Y 1 =  5; Y 2 =  2. Khi đó u =  5 và v =  2 hoặc u =  2 và v =  5 Trần Thị Yến - THCS Lý Tự Trọng, Pleiku 9 4) Tính giá trò của một hệ thức giữa các nghiệm của phương trình bậc hai. Phương pháp giải: + Kiểm tra sự tồn tại nghiệm của phương trình bậc hai tính biệt số ∆ (hoặc ∆’, tích a.c) + Áp dụng đònh lý Vi – ét tính tổng và tích hai nghiệm của phương trình. + Sử dụng các biểu thức đối xứng giữa các nghiệm của phương trình bậc hai sau đây để biến đổi biểu thức: * x 1 2 + x 2 2 = (x 1 + x 2 ) 2 – 2x 1 x 2 = S 2 – 2P * (x 1 – x 2 ) 2 = (x 1 + x 2 ) 2 – 4x 1 x 2 = S 2 – 4P * x 1 3 + x 2 3 = (x 1 + x 2 ) 3 – 3x 1 x 2 (x 1 + x 2 ) = S 3 – 3SP. * x 1 4 + x 2 4 = (x 1 2 + x 2 2 ) 2 – 2x 1 2 x 2 2 = (S 2 – 2P) 2 – 2P 2 * 1 2 1 2 1 2 x x 1 1 S x x x x P     * 2 2 2 1 1 1 1 2 2 1 2 x x x +x S 2P + = = x x x x P  * (x 1 – a)(x 2 – a) = x 1 x 2 – a(x 1 + x 2 ) + a 2 = P – aS + a 2 * 1 2 2 1 2 1 2 x +x 2a 1 1 S 2a + = = x a x a (x a)(x a) P aS + a        Bài 1: Gọi x 1 ; x 2 là nghiệm của phương trình: x 2 – 3x – 7 = 0. Hãy tính giá trò của các biểu thức sau: A = x 1 2 + x 2 2 ; B = x 1 2 – x 2 2 ; C = 1 2 x x  ; D = (3x 1 + x 2 )(3x 2 + x 1 ) Giải: Phương trình x 2 – 3x – 7 = 0 có a.c =  7 < 0 nên phương trình có hai nghiệm phân biệt x 1 ; x 2 . Áp dụng dònh lý Vi – ét ta có: S = x 1 + x 2 = 3 và P = x 1 .x 2 =  7 Do đó: A = x 1 2 + x 2 2 = (x 1 + x 2 ) 2 – 2x 1 x 2 = S 2 – 2P = 3 2 + 2.7 = 9 + 14 = 23. Ta có: (x 1 – x 2 ) 2 = (x 1 + x 2 ) 2 – 4x 1 x 2 = S 2 – 4P = 9 + 28 = 37 Suy ra: x 1 – x 2 = 37 hoặc x 1 – x 2 =  37 Với x 1 – x 2 = 37 thì B = x 1 2 – x 2 2 = (x 1 + x 2 ) (x 1 – x 2 ) = 3 37 Với x 1 – x 2 =  37 thì B = x 1 2 – x 2 2 = (x 1 + x 2 ) (x 1 – x 2 ) =  3 37 . Do (x 1 – x 2 ) 2 = 37 nên C = 1 2 x x  = 37 Trần Thị Yến - THCS Lý Tự Trọng, Pleiku 10 D = (3x 1 + x 2 )(3x 2 + x 1 ) = 9x 1 x 2 + 3(x 1 2 + x 2 2 ) + x 1 x 2 = 10 x 1 x 2 + 3(x 1 2 + x 2 2 ) = 10P + 3(S 2 – 2P) = 3S 2 + 4P =  1 Bài 2: Nếu phương trình x 2 – 2x – 1 = 0 có hai nghiệm x 1 ; x 2 (x 1 < x 2 ). Hãy tính giá trò các đại lượng sau mà không được giải phương trình: 1) 1 2 x x + 2 1 x x 2) 1 2 2 1 x + 1 x + 1 + x x 3) 1 2 2 1 x x + x + 2 x + 2 4) 2 2 1 1 1 1 + x x 5) x 1 3 + x 2 3 6) 2 2 1 2 2 1 x x + x x Giải: Vì phương trình x 2 – 2x – 1 = 0 có a.c =  1 < 0, nên phương trình có hai nghiệm phân biệt x 1 ; x 2 (x 1 < x 2 ). Áp dụng đònh lý Vi – ét ta có: S = x 1 + x 2 = 2 và P = x 1 . x 2 =  1, suy ra: 1) 2 2 2 1 1 1 1 2 2 1 2 x x x +x S 2P + = = x x x x P  =  6 2) 1 2 2 1 x + 1 x + 1 + x x = 2 2 1 2 1 2 1 2 x + x +x + x x x = 2 S 2P + S P  = 2 2 + 2 + 2 1  =  8. 3) 1 2 2 1 x x + x + 2 x + 2 = 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 ) ( ) x + x + 2(x + x x x 2 x x 4    = 2 S 2P + 2S P + 2S + 4  = 10 7 . 4) 2 2 1 1 1 1 + x x = 2 2 1 2 2 2 1 2 x + x x x = 2 2 S 2P P  = 6 5) x 1 3 + x 2 3 = (x 1 + x 2 ) 3 – 3x 1 x 2 (x 1 + x 2 ) = S 3 – 3SP = 14. 6) 2 2 1 2 2 1 x x + x x = 3 3 1 2 1 2 x + x x x = 3 S 3SP P  =  14 Bài 3: Giả sử x 1 ; x 2 là nghiệm của phương trình x 2 + ax + 1 = 0 và x 3 ; x 4 là nghiệm của phương trình x 2 + bx + 1 = 0.Tính giá trò của biểu thức: M = (x 1 – x 3 )(x 2 – x 3 )(x 1 + x 4 )(x 2 + x 4 ) theo a và b. Giải: Theo hệ thức Vi - ét ta có: 1 2 1 2 + = = x x a x x 1     và 3 4 3 4 + = = x x b x x 1     Do đó: (x 1 – x 3 )( x 2 + x 4 ) = x 1 x 2 + x 1 x 4 – x 2 x 3 – x 3 x 4 = 1 + x 1 x 4 – x 2 x 3 – 1 = x 1 x 4 – x 2 x 3 (x 2 – x 3 )(x 1 + x 4 ) = x 1 x 2 + x 2 x 4 – x 1 x 3 – x 3 x 4 = 1 + x 2 x 4 – x 1 x 3 – 1= x 2 x 4 – x 1 x 3 Vậy: M = (x 1 – x 3 )(x 2 – x 3 )(x 1 + x 4 )(x 2 + x 4 ) = (x 1 x 4 – x 2 x 3 )( x 2 x 4 – x 1 x 3 ) = x 1 x 2 x 4 2 – x 1 2 x 3 x 4 – x 2 2 x 3 x 4 + x 1 x 2 x 3 2 [...]... khi K là trung điểm của AB thì AJ BI  AB2 4 III KẾT LUẬN Trên đây là một số dạng bài tập vận dụng đònh lý Vi – ét để: Tính nhẩm nghiệm của phương trình bậc hai, tìm hai số thỏa mãn điều kiện cho trước, tính giá trò của một hệ thức giữa các nghiệm của phương trình bậc hai, 19 Trần Thị Yến - THCS Lý Tự Trọng, Pleiku tìm giá trò của tham số để nghiệm của phương trình bậc hai thỏa mãn một hệ thức cho trước,... KHẢO 1) 2) 3) 4) Sách giáo khoa toán 9 tập 2 – Nhà xuất bản giáo dục Sách giáo viên toán 9, tập 2 – Nhà xuất bản giáo dục Sách bài tập toán 9, tập 2 – Nhà xuất bản giáo dục Bồi dưỡng và nâng cao năng lực tự học toán 9 – Nhà xuất bản Đại học quốc gia TP Hồ Chí Minh 5) Ôn luyện Đại số 9 – Nguyễn Đức Tấn 6) n tập và kiểm tra Đại số 9 – Nguyễn Đức Chí 7) Hướng dẫn ôn tập Toán 9 – Lê Ngọc Lộc 21 Trần Thị Yến... giá trò của tham số để nghiệm của phương trình bậc hai thỏa mãn một hệ thức cho trước Phương pháp giải: + Lập biệt số ∆ (hoặc ∆’) tìm điều kiện của tham số để ∆  0 (hoặc ∆’  0) cho phương trình có nghiệm + Tìm giá trò của tham số trong hệ thức cho biết sau đó chọn giá trò của tham số thích hợp với điều kiện và trả lời Bài 1: a) Cho phương trình bậc hai (ẩn x) : x2 – 6x + m = 0 Tính giá trò của m để... 3 là một nghiệm của phương trình (2), thì: m.32 – 2(m – 2).3 + m – 3 = 0  9m – 6m + 12 + m – 3 = 0  4m =  9 9 Suy ra m =  4 m 3 9 Theo hệ thức Vi – ét có: x1x2 = (m ∆ 0), thay x1 = 3 và m =  ta m 4 9 9 7 7 được: 3x2 = (  – 3) : (  )  3x2 =  x2 = 4 4 3 9 2 2 Bài 3: Cho phương trình : x – (2m + 1)x + m + m – 6 = 0 (3) a)Chứng tỏ phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi giá trò của. .. thỏa mãn một hệ thức cho trước, xác đònh dấu của các nghiệm, xác đònh các hệ số của phương trình bậc hai theo điều kiện về dấu của nghiệm, so sánh nghiệm của phương trình bậc hai với một số cho trước, tìm hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm của phương trình bậc hai độc lập với tham số đó là những dạng bài tập học sinh thường gặp khi học về phương trình bậc hai Trong mỗi dạng bài tập tôi đều cố gắng xây dựng... không phụ thuộc vào m  8 Ứng đònh lý Vi – ét trong các bài toán về hàm số y = ax2 (a ≠ 0) và y = ax + b Phương pháp giải: + Lập phương trình bậc hai + Áp dụng đònh lý Vi – ét để tìm nghiệm của phương trình bậc hai đó, hoặc tìm các hệ số a, b, c của phương trình Bài 1: Cho Parabol (P): y = x2 Gọi A và B là hai điểm thuộc (P) có hoành độ lần lït là  1; 2 Viết phương trình của đường thẳng (D) đi qua... nghiệm của phương trình bậc hai độc lập với tham số Phương pháp giải: + Lập biệt số ∆ ( hoặc ∆’)tìm điều kiện của tham số để ∆  0 (hoặc ∆’  0) cho phương trình có nghiệm b  (1)  x1 + x 2 = a  + Tính tổng và tích hai nghiệm của phương trình:  x x = c (2)  1 2 a  *Cách 1: Từ (1) biểu thò tham số qua x1; x2 rồi thế vào (2) để khử tham số 15 Trần Thị Yến - THCS Lý Tự Trọng, Pleiku Cách 2: Nhân của. .. thỏa mãn x12 + x22 + x1 + x2  12 2 13 Trần Thị Yến - THCS Lý Tự Trọng, Pleiku 6) Xác đònh dấu của các nghiệm, xác đònh các hệ số của phương trình bậc hai theo điều kiện về dấu của nghiệm Phương pháp: Dựa vào trong một trong các điều sau: Cho phương trình bậc hai ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) Gọi x1; x2 là nghiệm của phương trình ta có: * P < 0  x1 < 0 < x1 (phương trình có hai nghiệm trái dấu) ∆0 * P >... 1)x + 9( m – 3) = 0 có hai nghiệm khi và chỉ khi: k  0 k  0     2  k  1  '  9( k  1)  9k(k  3) = 9( k + 1)  0  Nên Với điều kiện trên phương trình đã cho có hai nghiệm x1; x2 6(k  1) 9( k  3) Ta có x1 + x2 = và x1x2 = k k 6(k  1) 9( k  3) Mà x1 + x2 = x1x2 nên suy ra = k k hay 6(k – 1) = 9( k – 3)  k = 7 (thỏa mãn điều kiện) Vậy với k = 7 thì phương trình kx2 – 6(k – 1)x + 9( m – 3)... x2 > 0 Ta có: x1 + x2 = 3 Đặt x1x2 = m, m là diện tích của hình chữ nhật Vậy x1, x2 là nghiệm của phương trình: x2 – 3x + m = 0 (*) 18 Trần Thị Yến - THCS Lý Tự Trọng, Pleiku Phương trình (*) phải có nghiệm nên ∆ = 9 – 4m  0   4m   9  m  9 4 9 Vậy diện tích lớn của hình chữ nhật bằng , khi đó ∆ = 0 phương trình (*) có 4 3 nghiệm x1 = x2 = Trong các hình chữ nhật có chu vi bằng 6, hình chữ nhật . 1 MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA ĐỊNH LÝ VI-ÉT TRONG TOÁN 9 I. ĐẶT VẤN ĐỀ Trong trường phổ thông việc hình thành và rèn luyện kó năng giải các bài tập toán có một vò trí quan trọng trong dạy học toán, . sáng tạo trong học toán và giải toán II. NỘI DUNG ĐỀ TÀI. Trong chương trình đại số lớp 9 đôi khi học sinh gặp khó khăn trong việc giải một số phương trình bậc hai hay tìm hai số thỏa mãn. số lớp 9 đó là: Tính nhẩm nghiệm của phương trình bậc hai, tìm hai số khi biết tổng và tích của chúng, tính giá trò của một hệ thức giữa các nghiệm của phơng trình bậc hai, so sánh nghiệm của