Phòng GD & ĐT TP Cao Lãnh Trường THCS Nguyễn Thị Lựu Tổ : Toán – Lý GV : Lê Nhật Vương Anh Đề tài SKKN : HƯỚNG DẪN HỌC SINH GIẢI VÀ TÌM NHIỀU LỜI GIẢI CHO MỘT BÀI TẬP HÌNH HỌC 9.  I – LÝ DO THỰC HIỆN ĐỀ TÀI : Ở trường THCS cũng như trong toán học nói chung, có rất nhiều bài toán chưa hoặc không có angorit (thuật giải) để giải. Đối với những bài toán đó, có thể hướng dẫn học sinh suy nghĩ , cách tìm tòi lời giải : nên bắt đầu từ đâu, nên suy nghĩ theo trình tự nào, nếu gặp khó khăn thì nên làm gì v.v…. Đó là những lời khuyên của những người có kinh nghiệm giải toán, không phải là bản chỉ dẫn có tính chất angorit. Đối với những lời khuyên này, mỗi người có thể thực hiện khác nhau, đi đến kết quả khác nhau. Ví dụ : khi ta khuyên học sinh : “Nếu em chưa giải được bài toán đã đề ra, thì hãy xét một bài toán đơn giản hơn”, mỗi học sinh có thể nghĩ đến một bài toán tương tự khác nhau, có em đi đến kết quả tốt đẹp, có em không. Điều đó nói lên tính chất khó khăn và phức tạp của việc truyền thụ và học tập kinh nghiệm giải toán, chứ không thể phủ nhận vai trò quan trọng của việc đó. Vì lẽ rằng ở đây không có cách nào khác : không có phương pháp tổng quát nào, không có thuật giải nào để giải mọi bài toán ; chúng ta phải thông qua việc dạy học sinh giải một số bài tập cụ thể mà truyền cho học sinh kinh nghiệm và nghệ thuật trong phương pháp suy nghĩ, giúp học sinh tự tìm thấy lời giải của các bài toán khác, trong những tình huống mới và tìm được nhiều lời giải cho một bài toán. Đó cũng là lý do mà tôi thực hiện đề tài này. II - MỤC ĐÍCH, YÊU CẦU : 1/ Đó là hình thức tốt nhất để củng cố, đào sâu, hệ thống hoá kiến thức và rèn luyện kĩ năng. Trong nhiều trường hợp, giải bài toán là một hình thức rất tốt để dẫn dắt học sinh tự mình đi đến kiến thức mới. 2/ Đó là một hình thức vận dụng những kiến thức đã học vào những vấn đề cụ thể, vào thực tế, vào các vấn đề mới. 3/ Đó là một hình thức tốt nhất để giáo viên kiểm tra học sinh và học sinh tự kiểm tra về năng lực, về mức độ tiếp thu và vận dụng kiến thức đã học. 4/ Việc giải toán có tác dụng lớn gây hứng thú học tập cho học sinh, phát triển trí tuệ và giáo dục, rèn luyện con người học sinh về nhiều mặt. III – CÁC BƯỚC GIẢI MỘT BÀI TOÁN HÌNH HỌC: 1. Tìm hiểu bài toán : Để giải một bài toán, trước hết phải hiểu bài toán và hơn nữa còn phải có hứng thú giải bài toán đó.Đầu tiên giáo viên cần chú ý hướng dẫn học sinh giải toán là khêu gợi trí tò mò, lòng ham muốn giải toán của các em, giúp các em hiểu bài toán phải giải. Cần hướng học sinh phải tìm hiểu bài toán một cách tổng hợp, tránh thói quen không tốt của một số học sinh là đi vào ngay các chi tiết trước khi nhìn bài toán một cách tổng quát, hiểu bài toán một cách toàn bộ. Sau đó phân tích bài toán : cái gì chưa biết, phải tìm ? những cái gì đã cho ? Mối liên hệ giữa cái chưa biết với những cái đã biết là gì ? Đối với bài toán hình học , nói chung là phải vẽ hình, thường phải sau khi vẽ hình học sinh mới hiểu được bài toán, mới nhìn được bài toán một cách tổng hợp rồi phân tích các chi tiết cần thiết. Có ba điều cần chú ý :  Hình vẽ phải có tính tổng quát, không vẽ hình trong những trường hợp đặc biệt. Thí dụ : “Cho một tam giác ABC” thì phải vẽ một tam giác ABC bất kì ( có 3 góc nhọn, không có hai góc bằng nhau).  Hình vẽ phải rõ, dễ nhìn thấy những quan hệ và tính chất. Muốn vậy, nhiều khi phải thay đổi thứ tự dựng các phần tử nêu trong bài toán. Thí dụ : bài toán “ Cho ∆ ABC vuông tại A. Trên AC lấy một điểm M và vẽ một đường tròn đường kính MC. Nối BM kéo dài, gặp đường tròn tại D. Đường nối DA gặp đường tròn tại S. Chứng minlh rằng : a) ABCD là tứ giác nội tiếp. b) CA là phân giác của góc SCB. Học sinh thường có thói quen chỉ vẽ hình theo đúng thứ tự nêu trong bài toán ; trong trường hợp này, ta khó vẽ hình (vẽ đường tròn c ó đường kính MC cho trước) và hình vẽ thường không rõ ( hai điểm S, D quá gần nhau, H. 1). Vì vậy phải hướng dẫn học sinh cách vẽ hình như sau : ban đầu vẽ hình theo đúng thứ tự nêu trong đề toán, nếu theo thứ tự đó mà hình khó vẽ hoặc nhìn không rõ, thì nên vẽ lại hình, lần này thay đổi thứ tự dựng các phần tử. Trong thí dụ trên, trước hết ta vẽ một đường tròn, kẻ đường kính CM, trên đó (kéo dài về phía M) ta lấy một điểm A ; từ A kẻ cát tuyến ASD ( sao cho S, D không quá gần nhau), đường DM cắt đường vuông góc với AC tại B (H.2) rõ ràng là H.2 giúp giải bài toán dễ hơn H.1 S B M O C A D S B M O C A D o Vấn đề vẽ hình bằng tay và bằng dụng cụ (thước, compa) cũng cần được giải quyết một cách thoả đáng. Khi học sinh mới bắt đầu học hình học (lớp 6, lớp 7) nên tập cho các em vẽ hình bằng thước và compa, nhưng dần dần phải tập cho các em quen vẽ hình bằng tay cho nhanh ; chỉ vẽ bằng thước và compa khi làm bài viết hoặc khi cần vẽ tương đối chính xác để dễ đoán nhận tính chất của hình. Dù vẽ hình bằng thước và compa hay bằng tay thì vẫn phải yêu cầu học sinh vẽ cẩn thận, thể hiện gần đúng các quan hệ về độ lớn giữa các góc và các đoạn thẳng cho trong bài toán. Chọn kí hiệu cũng là một việc quan trọng, một kí hiệu phải có nội dung, dễ nhớ, tránh nhầm lẫn hoặc hiểu nước đôi; thứ tự và tương quan giữa các kí hiệu phải giúp ta liên tưởng đến thứ tự và tương quan giữa các đối tượng tương ứng. Thí dụ đối với hai tam giác bằng nhau, nên viết các đỉnh theo thứ tự tương ứng, chẳng hạn nếu ∆ABC và H.1 H.2 ∆DEF có B = D ; AB = ED, BC = DF thì ta nên viết : ∆ABC = ∆EDF (*) mà không nên viết ∆ABC = ∆DEF . Cách viết (*) giúp ta thấy rõ sự tương ứng giữa các cạnh bằng nhau và các góc bằng nhau. Từ (*) không cần nhìn hình vẽ, có thể viết được AC = EF, A = E, C = F. 2. Xây dựng chương trình giải : Trong phần này cần phải nhấn mạnh một số điểm quan trọng đối với học sinh lớp 9 là : phân tích bài toán đã cho, chia bài toán thành nhiều bài toán đơn giản hơn; biến đổi bài toán đã cho, mò mẫm, dự đoán bằng cách xét các trường hợp đặc biệt, xét bài toán tương tự hay khái quát hơn , v.v… o phân tích bài toán thành từng bộ phận hoặc thành những bài toán nhỏ, đơn giản hơn Thí dụ 1 : Bài tập 20 SGK HH 9 tập 2 trang 76 : “ Cho hai đường tròn (O) và (O’) cắt nhau tại A và B. Vẽ các đường kính AC và AD của hai đường tròn. Chứng minh rằng ba điểm C, B, D thẳng hàng”. Học sinh lớp 9 phần lớn sợ môn hình học và rất ít chịu suy nghĩ ở các dạng câu hỏi mà học sinh cho là khó như, tập hợp điểm, chứng minh ba điểm thẳng hàng. Giáo viên có thể giúp học sinh nhìn bài toán một cách đơn giản hơn bằng cách chia câu hỏi thành hai phần : a) Chứng minh ABC = ABD = 90 0 b) Chứng minh C, B, D thẳng hàng. Thí dụ 2 : bài toán “Dựng tam giác ABC cho biết cạnh BC = a, trung tuyến AM = m và đường cao AH = h”, ta có thể cho học sinh phân tích thành hai phần : • Dựng tam giác ABC cho biết BC = a và trung tuyến AM = m. • Dựng tam giác ABC cho biết BC = a và đường cao AH = h. Mỗi bài toán trên đây đều rất dễ giải : trong trường hợp thứ nhất, đỉnh A nằm trên đường tròn (M) tâm M, bán kính m ; trong trường hợp thứ hai, đỉnh A nằm trên đường thẳng d, song song với BC và cách BC một khoảng h. Từ đó dễ dàng suy ra đỉnh A của tam giác ABC phải dựng ( bài toán ban đầu) là giao điểm của đường tròn (M) và đường thẳng d. o Biến đổi bài toán : dùng định nghĩa hay định lí đã biết để thay thế điều phải chứng minh hay cái phải tìm bằng điều (cái) tương đương ; phát biểu bài toán một cách khác, vẽ đường phụ v.v… Thí dụ 3 : bài toán “ Cho tam giác ABC (A > B) nội tiếp một đường tròn tâm O. Qua đỉnh C của tam giác, ta vẽ đường cao CD và bán kính CO. Chứng minh rằng OCD = A – B”. Ta có thể biến đổi bài toán bằng cách vẽ thêm tia AE nằm giữa hai tia AC và AB sao cho CAE = B và thay điều cần phải chứng minh bằng điều tương đương : “chứng minh rằng DAE = OCD” - Mò mẫm, dự đoán bằng cách thử các trường hợp có thể xảy ra, xét các trường hợp đặc biệt của bài toán, xét bài toán tương tự hay tổng quát hơn, v.v… 3. Thực hiện chương trình giải : (Trình bày lời giải) Hiện nay, có thể nói rằng học sinh THCS rất kém trong việc trình bày viết lời giải của bài toán. Chữ viết cẩu thả, viết sai chính tả, sai ngữ pháp, các số viết không rõ ràng, hình vẽ thiếu chính xác, kí hiệu sử dụng tuỳ tiện… đó là điều rất dễ nhận thấy trong bài làm của số rất đông học sinh. Điều này không khó khắc phục nếu như giáo viên nhận thức rõ tác hại của nó về lâu dài đối với học sinh và có yêu cầu cao, có thái độ nghiêm khắc trong mọi giờ học, đối với mọi bài làm của học sinh. 4. Kiểm tra và nghiên cứu lời giải tìm được : Học sinh thường có thói quen khi đã tìm ra được lời giải của bài toán thì thoả mãn, ít đi sâu kiểm tra lại lời giải, xem có sai lầm hay thiếu sót gì không, ít đi sâu nghiên cứu cải tiến lời giải, khai thác lời giải, áp dụng kết quả tìm được cho bài toán khác có liên quan. Có mấy vấn đề cần chú ý hướng dẫn học sinh :  Kiểm tra lại kết quả, kiểm tra lại suy luận. Việc này phải trở thành một thói quen đối với học sinh và giáo viên phải ỵêu cầu học sinh thực hiện thường xuyên. D O B A C E  Nhìn lại xem đã xét đầy đủ các trường hợp có thể xảy ra của bài toán không. Đối với học sinh THCS yêu cầu này không thể triệt để được, trong nhiều trường hợp ta không đòi hỏi học sinh phải biện luận, phải xét đầy đủ các trường hợp. Tuy nhiên cũng cần từng bước luyện tập cho học sinh về mặt này qua một số bài toán đơn giản, giúp các em xây dựng thói quen nhìn vấn đề ở nhiều khía cạnh, một cách toàn diện, tránh hời hợt. Thí dụ : Bài tập 13 SGK HH 9 tập 2 trang 72. Đối vói bài tập này học sinh thường chỉ xét một trường hợp là tâm O nằm ngoài 2 dây song song hoặc tâm O nằm trong 2 dây song song. Giáo viên nên gọi 1 học sinh vẽ hình và yêu cầu học sinh tìm trường hợp còn lại. B O C D A B O C D A  Tìm cách giải khác của bài toán. Một bài toán thường có nhiều cách giải ; học sinh thường có những cách suy nghĩ khác nhau trước một bài toán, nhiều khi khá độc đáo và sáng tạo. Sau đây là những bài tập cụ thể với nhiều cách giải trong một số bài tập hình học của lớp 9.  Bài tập 13 SGK HH 9 tập 2 trang 72. “Chứng minh rằng trong một đường tròn, hai cung bị chắn bởi hai dây song song thì bằng nhau”. Giải : Cách 1 : * Tâm O nằm ngoài 2 dây song song : Kẻ đường kính MN // AB, ta có Â = AOM, B = BON ( so le trong) Mà Â = B ( ∆OAB cân) nên AOM = BON ⇒ sđAM = sđBN (1) Tương tự ta có sđCM = sđDN (2) ⇒ sđAM – sđCM = sđBN – sđDN Hay sđAC = sđ BD * Tâm O nằm trong 2 dây song song : chứng minh tương tự. Cách 2 : Kẻ HK ⊥AB ⇒ HK ⊥CD ∆OCD cân tại O có OH là đường cao nên đồng thời là đường phân giác ⇒ COH = DOH ⇒ sđCH = sđDH (1) Tương tự ta có : sđAH = sđBH (2) từ (1) và (2) ⇒ sđCH – sđAH = sđDH – sđBH hay sđAC = sđBD  Bài tập 20 SGK HH 9 tập 2 trang 76 : “Cho hai đường tròn (O) và (O’) cắt nhau tại A và B. Vẽ các đường kính AC và AD của hai đường tròn. Chứng minh rằng ba điểm C, B, D thẳng hàng”. N M A B C O D K H A B C O D Giải : Cách 1 : Ta có : ABC = 90 0 ( góc nội tiếp chắn nửa đường tròn (O)) ABD = 90 0 ( góc nội tiếp chắn nửa đường tròn (O’)) ⇒ABC + ABD = 180 0 Vậy C, B, D thẳng hàng. Cách 2 : Nối OO’. Ta có : OO’ là đường trung bình của ∆ACB ⇒ OO’ // CB. OO’ là đường trung bình của ∆ADB ⇒ OO’ // DB Vậy C, B, D thẳng hàng. D B C A O O' H D B C A O O'  Bài tập 36 SGK toán 9 tập 1 trang 123 : “Cho đường tròn tâm O bán kính OA và đường tròn đường kính OA. a) Hãy xác định vị trí tương đối của hai đường tròn. b) Dây AD của đường tròn lớn cắt đường tròn nhỏ ở C. Chứng minh rằng AC = CD”. Giải : a) Gọi (O’) là đường tròn đường kính OA. Ví OO’ = OA – O’A nên hai đường tròn (O) và (O’) tiếp xúc trong. b) Cách 1 : Các tam giác cân AO’C và AOD có chung góc ở đỉnh A nên ACO’ = D ⇒O’C // OD. Tam giác AOD có AO’ = OO’ và O’C // OD nên AC = CD. Cách 2 : Tam giác ACO có đường trung tuyến CO’ = 2 1 AO nên ACO = 90 0 . Tam giác AOD cân tại O có OC là đường cao nên là đường trung tuyến, do đó AC = CD.  Bài tập 58 SGK toán 9 tập 2 trang 90 : “Cho tam giác đều ABC. Trên nửa mặt phẳng bờ BC không chứa đỉnh A, lấy điểm D sao cho DB = DC và DCB = 2 1 ACB. a) Chứng minh ABDC là tứ giác nội tiếp. b) Xác định tâm của đường tròn đi qua bốn điểm A, B, D, C”. Giải : Cách 1 : a) Ta có : DCB = 2 1 ACB = 2 1 . 60 0 = 30 0 C O' O A D ⇒ ACD = 60 0 + 30 0 = 90 0 Do DB = DC nên ∆BDC cân ⇒ DBC = DCB = 30 0 ⇒ ABD = 90 0 ⇒ ACD + ABD = 180 0 nên tứ giác ABDC nội tiếp được. b) Vì ABD = 90 0 nên AD là đường kính của đường tròn ngoại tiếp tứ giác ABDC. Do đó tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác ABDC là trung điểm của AD. Cách 2 : Ta có : DCB = 2 1 ACB = 2 1 . 60 0 = 30 0 ⇒ ACD = 60 0 + 30 0 = 90 0 Do DB = DC nên ∆BDC cân ⇒ DBC = DCB = 30 0 ⇒ ABD = 90 0 Vậy điểm B và C cùng nhìn AD dưới một góc vuông nên bốn điểm A, B, D, C cùng thuộc đường tròn đường kính AD, hay trung điểm AD là tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác ABDC.  Bài tập 59 SGK toán 9 tập 2 trang 90 : “Cho hình bình hành ABCD. Đường tròn đi qua ba đỉnh A, B, C cắt đường thẳng CD tại P khác C. Chứng minh AP = AD”. Giải : Cách 1 : Do tứ giác ABCD nội tiếp nên ta có : BAP + BCP = 180 0 (1) ABC + BCP = 180 0 (2) từ (1) và (2) suy ra : BAP = ABC Vậy ABCP là hình thang cân, suy ra AP = BC (3) D A B C [...]... C K IV - MỘT SỐ LƯU Ý KHI HƯỚNG DẪN HỌC SINH GIẢI BÀI TẬP HÌNH HỌC 9 VÀ TÌM NHIỀU LỜI GIẢI : Để đảm bảo chất lượng bài trên lớp cũng như chất lượng trong các tiết giải bài tập phụ thuộc rất nhiều vào sự chuẩn bị của giáo viên Đòi hỏi giáo viên suy nghĩ vận dụng tổng hợp kiến thức và nghiệp vụ sư phạm của mình Bảng gợi ý của Polya rất có ích cho giáo viên trong quá trình hướng dẫn học sinh giải toán... thêm một số yếu tố phụ thì mới sử dụng được nó không ? o Có thể phát biểu bài toán một cách khác không ? Một cách khác nữa ? Quay về các định nghĩa o Nếu em chưa giải được bài toán đã đề ra, thì hãy thử giải một bài toán có liên quan Em có thể nghĩ ra một bài toán có liên quan mà dễ hơn không ? Một bài toán tổng quát hơn ? Một trường hợp riêng ? Một bài toán tương tự ? Em có thể giải một phần bài toán... kết quả hay phương pháp đó cho một bài toán nào khác không ? V - KẾT LUẬN : Cùng với việc tham khảo tài liệu, học tập kinh nghiệm của đồng nghiệp, giáo viên cần có thói quen thường xuyên tự đánh giá bài lên lớp của mình, rút ra những kinh nghiệm thành công hay thất bại của chính mình Khi chuẩn bị một tiết giải bài tập hình học cho học sinh, giáo viên nên định rõ : trong bài này, sẽ rút kinh nghiệm... chung, yêu cầu đề ra đối với bài tập có đạt được không ? Đến mức độ nào ? Học sinh có hứng thú học không ? Vì sao ? Có cần điều chỉnh gì trong kế hoạch các bài tiếp theo không ? o Học sinh gặp khó khăn gì khi giải bài tập này ? Có thể khắc phục bằng cách nào ? o Học sinh có những sai lầm gì ( về phát biểu định nghĩa, định lí, nhận thức khái niệm, về chứng minh, lập luận….) ? o Học sinh có thắc mắc gì, có... không ? 2/ Xây dựng chương trình : o Em đã gặp bài toán này lần nào chưa ? Hay đã gặp bài toán này ở một dạng hơi khác ? o Em có biết một bài toán nào có liên quan không ? Một định lí có thể dùng được không ? o Xét kĩ cái chưa biết (ẩn), và thử nhớ lại một bài toán quen thuộc có cùng ẩn hay có ẩn tương tự o Đây là một bài toán có liên quan mà em đã có lần giải rồi Có thể sử dụng nó không ? Có thể sử... hay, sáng tạo, có lời giải khác ? o Các bài tập đưa ra có thích hợp không ? Cần thay đổi gì ? o Có đủ thời gian để trình bày cách giải khác của bài toán hay không ? Nếu việc rút kinh nghiệm được tiến hành đều đặn sau mỗi bài lên lớp ( có ghi chép chu đáo, tỉ mỉ, nếu có điều kiện thì so sánh, đối chiếu với các tài liệu tham khảo ) thì qua một số năm dạy học, giáo viên có thể tích luỹ được nhiều điều bổ...Mà BC = AD (4) Từ (3) và (4) suy ra AP = AD Cách 2 : Tứ giác ABCD nội tiếp lại là hình thang (AB // CD) thì phải là hình thang cân, suy ra AP = BC mà BC = AD nên AP = AD Cách 3 : Vì AB // CD ⇒ BC = AP ⇒ BC = AP Mà BC = AD ⇒ AP = AD D P C O B A  Bài tập 62 SGK toán 9 tập 2 trang 91 a) Vẽ tam giác đều ABC cạnh a = 3cm b) Vẽ tiếp đường tròn (O ; R) ngoại... thường là người biết đề ra cho học sinh đúng lúc, kịp thời những câu hỏi gợi ý sâu sắc và sát trình độ ; và trong mức độ nào đó đã sử dụng thành thạo và linh hoạt bảng Polya 1/ Hiểu rõ bài toán : Đâu là ẩn ? Đâu là dữ kiện ? Đâu là điều kiện ? Có thể thoả mãn được điều kiện hay không ? Điều kiện có đủ để xác định được ẩn hay không ? Hay chưa đủ ? Hay thừa ? Hay có mâu thuẫn ? o Vẽ hình, sử dụng kí hiệu... niệm chủ yếu trong bài toán chưa ? 3/ Thực hiện chương trình : o Khi thực hiện chương trình hãy kiểm tra lại từng bước Em đã thấy rõ ràng là mỗi bước đều đúng chưa ? Em có thể chứng minh là nó đúng không ? 4/ Trở lại cách giải: ( nghiên cứu cách giải đã tìm ra) o Em có thể kiểm tra lại kết quả ? Em có thể kiểm tra lại toàn bộ quá trình giải bài toán không ? o Có thể tìm được kết quả một cách khác không... phần bài toán không ? o Hãy giữ lại một phần của điều kiện, bỏ qua phần kia Khi đó, ẩn được xác định đến một chừng mực nào đó, nó biến đổi như thế nào ? Em có thể từ một dữ kiện rút ra một yếu tố có ích không ? Em có thể nghĩ ra những dữ kiện khác có thể giúp em xác định được ẩn không ? Có thể thay đổi ẩn, hay các dữ kiện, hay cả hay nếu cần thiết, sao cho ẩn mới và các dữ kiện mới được gần nhau hơn . - MỘT SỐ LƯU Ý KHI HƯỚNG DẪN HỌC SINH GIẢI BÀI TẬP HÌNH HỌC 9 VÀ TÌM NHIỀU LỜI GIẢI : Để đảm bảo chất lượng bài trên lớp cũng như chất lượng trong các tiết giải bài tập phụ thuộc rất nhiều vào. tài SKKN : HƯỚNG DẪN HỌC SINH GIẢI VÀ TÌM NHIỀU LỜI GIẢI CHO MỘT BÀI TẬP HÌNH HỌC 9.  I – LÝ DO THỰC HIỆN ĐỀ TÀI : Ở trường THCS cũng như trong toán học nói chung, có rất nhiều bài toán. BƯỚC GIẢI MỘT BÀI TOÁN HÌNH HỌC: 1. Tìm hiểu bài toán : Để giải một bài toán, trước hết phải hiểu bài toán và hơn nữa còn phải có hứng thú giải bài toán đó.Đầu tiên giáo viên cần chú ý hướng dẫn