ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP HỒ CHÍ MINH KHOA KINH TẾ NGUYỄN THÀNH LONG NGUYỄN CƠNG TÂM TỐN CAO CẤP C1 Lưu hành nội THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH 2004 LỜI NĨI ĐẦU Đây giáo trình Tốn Cao cấp C1 dành cho sinh viên Khoa Kinh Tế, Đại học Quốc gia Tp Hồ Chí Minh Giáo trình gồm đơn vị học tập (45 tiết) lý thuyết tập Giáo trình gồm chương: Chương I trình bày nội dung phép tính vi phân hàm biến Chương II trình bày nội dung phép tính vi phân hàm hai biến Chương III trình bày nội dung phép tính tích phân hàm biến Chương IV trình bày sơ lược phương trình vi phân ( cấp 2) Chương V trình bày nội dung lý thuyết chuỗi Trong chương có ví dụ kèm theo với phần tập với độ khó khác để sinh viên rèn luyện kỹ tính tốn Một số định lý khó phát biểu mà không chứng minh thay vào phần minh họa ý đ ịnh lý Giáo trình khơng tránh khỏi thiếu sót Các tác giả mong nhận ý kiến đóng góp bạn đọc gần xa để giáo trình hồn thiện Tp Hồ Chí Minh tháng năm 2004 Các tác giả Nguyễn Thành Long, Nguyễn Cơng Tâm CHƯƠNG I PHÉP TÍNH VI PHÂN HÀM MỘT BIẾN §1 Khái niệm hàm số 1.1 Định nghĩa Cho tập hợp D  , ánh xạ f : D   gọi hàm số xác định tập D Tập D gọi miền xác định hàm số f Tập fx : x  D gọi miền giá trị hàm số f Vậy hàm f xác định D phép tương ứng với số thực x  D với số thực xác định mà ta ký hiệu fx Ta viết f : x  fx Ta gọi fx giá trị f x Nếu đặt y  fx, ta biểu diễn hàm f sau: f : x  y  fx hay gọn y  fx Ta gọi x biến độc lập hay đối số, y biến phụ thuộc (hay hàm) Đối với hàm xác định ký hiệu để biến rõ ràng không quan trọng Chẳng hạn, ánh xạ t  t2,     2, w  u  w2, y  x  y2, xác định hàm, tất trường hợp phép tương ứng nhau: ứng với số bình phương Để hàm khác ta dùng chữ khác y  fx, y  gx, y  x, Trị hàm f x  a ký hiệu fa hay fx| xa đọc "f a" Xét hàm y  fx xác định D   Chọn mặt phẳng hệ trục tọa độ vng góc Oxy biểu diễn biến độc lập x trục hồnh, cịn biến phụ thuộc y trục tung.Ta gọi tập tất điểm mặt phẳng có dạng x, fx : x  D đồ thị hàm số f Hình 1.2 Các hàm số sơ cấp Các hàm sau gọi hàm số sơ cấp bản: Hàm lũy thừa x  , hàm mũ x a , Hàm logarit log a x, hàm lượng giác cos x, sin x, tgx, cot gx hàm lượng giác ngược Tất hàm nầy, ngoại trừ hàm lượng giác ngược, đ ều học phổ thông nên nhắc lại tính chất chủ yếu chúng, riêng hàm lượng giác ngược đ ược trình bày kỹ  Hàm lũy thừa y  x  ,  số thực Miền xác định phụ thuộc vào  Ví dụ: - Các hàm y  x, y  x , y  x , xác định x - Các y  x 1 , y  x 2 , y  x 3 , xác định x  - Hàm y  x 1/2  x xác định x  - Hàm y  x 1/2  1x xác định x  - Hàm y  x 1/3  x xác định x Chú ý  vơ tỉ tì ta qui ước xét hàm y  x  x    x    Đồ thị tất hàm y  x  qua điểm 1, 1, chúng qua gốc tọa độ   không qua gốc tọa độ   Hình Hình  Hàm mũ y  a x , a  a  Số a gọi số hàm mũ Hàm mũ xác định x ln ln dương Nó tăng a  giảm  a  Ngoài ta ln có a   Hàm logarit Hàm mũ y  a x song ánh từ  lên khoảng 0, , nên có hàm ngược mà ta ký hiệu x  log a y (đ ọc logarit số a y) Như y  a x  x  log a y a  1 0  a  1 Hình Hình Với qui ước, dùng chữ x để biến độc lập, chữ y đ ể hàm hàm ngược hàm mũ y  a x y  log a x Đồ thị hàm y  log a x đối xứng đồ thị hàm y  a x qua đường phân giác thứ Hàm y  log a x xác định x  0, tăng a  giảm  a  Ngồi ta ln có log a  Với a  10, ta ký hiệu lg x  log 10 x gọi hàm logarit thập phân Hàm logarit cịn có tính chất sau: log a AB  log a |A|  log a |B|, AB  0, log a  A   log a |A|  log a |B|, AB  0, B log a A    log a |A|, log a  A     log a |A|, A   0, A   0,   0 Mọi số dương N viết dạng mũ N  a log a N  Các hàm lượng giác y  cos x, y  sin x, y  tgx, y  cot gx Các hàm nầy xác định vòng tròn lượng giác (vòng tròn đơn vị) sau OP  cos x, OQ  sin x, AT  tgx, BC  cot gx, Hình đó, x radian Hai hàm y  sin x y  cos x xác định x, có giá trị thuộc 1, 1, tuần hoàn với chu kỳ 2 y  sin x Hình y  cos x Hình  Hàm y  tgx xác định x  2k  1  , k nguyên, hàm tăng khoảng, tuần hoàn với chu kỳ   Hàm y  cot gx xác định x  k, k nguyên, hàm giảm khoảng, tuần hoàn với chu kỳ  y  tgx y  cot gx Hình Hình 10  Các hàm lượng giác ngược  y  arcsin x Hàm y  sin x với   x   song ánh từ đoạn   ,   lên đoạn 2 2 1, 1 nên có hàm ngược mà ta ký hiệu x  arcsin y (x số đo cung mà sin y) Vậy y  sin x,  x  arcsin y  x  2 Với qui ước dùng chữ x để biến độc lập, chữ y đ ể hàm, hàm ngược hàm y  sin x với   x   y  arcsin x 2 Đồ thị hàm đối xứng với đồ thị hàm y  sin x,    x    qua đường phân 2 giác thứ Hàm y  arcsin x xác định tăng 1  x   y  arccos x Cũng trên, hàm y  cos x với  x   có hàm ngược x  arccos y ( x số đo cung mà cosin y) Vậy y  cos x,  x  arccos y 0x Đồ thị hàm y  arccos x đối xứng với đồ thị hàm y  cos x, 0  x   qua đường phân giác thứ Hàm y  arcsin x xác định giảm 1  x  Ta có đẳng thức sau arcsin x  arccos x   y  arcsin x Hình 11  y  arctgx Hàm y  tgx với cung mà tg y) Vậy y  arccos x  x  y  tgx,  x  Hình 12 có hàm ngược x  arctgy ( x số đo  x  arctgy Đồ thị hàm y  arctgx đối xứng với đồ thị hàm y  tgx,    x    qua đường 2 phân giác thứ  y  arccot gx Hàm y  cot gx với  x   có hàm ngược x  arccot gy ( x số đo cung mà tg y) Vậy y  cot gx,  x  arccot gy 0x Đồ thị hàm y  arccot gx đối xứng với đồ thị hàm y  cot gx, 0  x   qua đường phân giác thứ Ta có đẳng thức sau arctgx  arccot gx   y  arctgx y  arccot gx Hình 13 §2 Giới hạn dãy số thực Hình 14 2.1 Định nghĩa dãy số, giới hạn dãy số  Định nghĩa: Cho hàm số x :    Các giá trị x n  1, 2, lập thành dãy số (gọi tắt dãy) x1, x2, x3, Nếu đặt x n  xn, ta viết dãy số sau x , x , , x n , hay x n  Các số x , x , , x n , gọi số hạng dãy, x n gọi số hạng tổng quát dãy, n gọi số Ví dụ: Cho x n  , x n  a, x n  1 n , dãy tương ứng n 1, , , , , n a, a, a, , a, 1, 1, 1, , 1 n ,  Định nghĩa: Cho dãy số x n  Ta nói x n  hội tụ nếu, tồn số thực a cho, với   cho trước, tồn số tự nhiên N cho n  N  |x n  a|   Ta nghiệm lại rằng, dãy x n  hội tụ số thực a định nghĩa ( xem tính chất 1), ta gọi a giới hạn dãy x n  ký hiệu a  lim x n hay x n  a n   n Dùng ký hiệu logic ta diễn đạt định nghĩa sau: lim x n  a    0, N   : n  , n  N  |x n  a|   n Chú ý rằng, số N tồn nói chung phụ thuộc vào , ta viết N  N Hơn không cần thiết N phải số tự nhiên  Định nghĩa: Dãy không hội tụ gọi phân kỳ Ví dụ: Cho x n , với x n  n Ta có lim x n  n Thật |x n  0|  |  0|  n n |x n  0|       n   n Rõ ràng, chọn N  1/  1, ta có n  N  |x n  0|   2.2 Các tính chất phép tính giới hạn dãy số  Tính chất Giả sử dãy x n  hội tụ Khi số thực a định nghĩa  Chứng minh: Giả sử có hai số thực a, a định nghĩa Ta chứng minh    a  a Thật vậy, giả sử ngược lại: a  a Chọn   |a  a|  0, ta có: N   : n  , n  N  |x n  a|  , (bởi x n  a   N   : n  , n  N  |x n  a|  , (bởi x n  a Chọn số tự nhiên n  maxN , N , ta có:   3  |a  a|  |a  x n |  |x n  a|      2 Điều nầy mâu thuẫn Vậy tính chất chứng minh  Tính chất Giả sử dãy x n  hội tụ a Nếu a  p (tương ứng với a  p), N   : n  , n  N  x n  p (tương ứng với x n  p Chứng minh: Chọn    a  p a    p Với số  N : n  N  a    x n  a    x n  p  Tính chất Giả sử dãy x n  hội tụ a ta có x n  p x n  q với n, a  p a  q N   : n  , n  N  x n  p (tương ứng với x n  p Chứng minh: Giả sử ngược lại a  p a  q Khi theo tính chất N : n  N  x n  p x n  q Điều nầy mâu thuẫn với giả thiết Vậy tính chất chứng minh  Tính chất Giả sử dãy x n  hội tụ Khi bị chận, nghĩa là: M  : |x n |  M n   Chứng minh: Chọn   1, N   : n  N  |x n  a|  1, từ |x n |  |x n  a|  |a|   |a|  max1  |a|, |x |, |x |, , |x N |  M với n  Định lý Cho hai dãy hội tụ x n  y n  Nếu x n  y n n  , lim x n  lim y n n Chứng minh: Đặt a lim x n , b  lim y n Giả sử ta có a  b Lấy số r cho n n a  r  b Khi theo tính chất N /   : n  , n  N /  x n  r Mặt khác, N //   : n  , n  N //  y n  r n Đặt N  maxN / , N //  Khi n  N  x n  r  y n Điều nầy mâu thuẫn với giả thiết Do a  b  Định lý Cho ba dãy x n , y n  z n  thỏa i x n  y n  z n n  , ii lim x n  lim z n  a n n Khi dãy y n  hội tụ lim y n  a n Chứng minh: Theo định nghĩa giới hạn   0, N /   : n  N /  a    x n  a  , N //   : n  N //  a    z n  a   Đặt N  maxN / , N //  Ta có n  N  a    x n  y n  z n  a  , hay |y n  a|   Vậy lim y n  a n  Định lý Nếu dãy x n  y n  hội tụ dãy x n  y n  hội tụ lim x n  y n   lim x n  lim y n n n n Chứng minh: Giả sử lim x n  a, lim y n  b Theo đ ịnh nghĩa giới hạn,   0, n n / / N   : n  N  |x n  a|  /2, N //   : n  N //  |y n  b|  /2 Đặt N  maxN / , N //  Ta có n  N  |x n  y n   a  b|  |x n  a|  |y n  b|  /2  /2   Vậy lim x n  y n   a  b  lim x n  lim y n n n n  Định lý Nếu dãy x n  y n  hội tụ dãy x n y n  hội tụ lim x n y n   lim x n lim y n n n n Chứng minh: Giả sử lim x n  a, lim y n  b Khi đ ó   0, n n N   : n  N  |x n  a|  , N   : n  N  |y n  b|   Đặt N  maxN , N , x n  a   n , y n  b   n Ta có |x n y n  ab|  |a   n b   n   ab|  | n b   n a   n  n |  | n ||b|  | n ||a|  | n || n |  |x n  a||b|  |y n  b||a|  |x n  a||y n  b|  |b|  |a|  M  |b|  |a|  M Vì y n  b  nên bị chận số dương M Vậy đánh giá cho ta lim x n y n   ab  lim x n lim y n n n n  Hệ Nếu dãy x n  hội tụ, k số tùy ý, dãy kx n  hội tụ 132 sơ đồ   n1 n1 Định lý (Cauchy) Cho hai chuỗi số  u n  v n hội tụ tuyệt đ ối có tổng u v Khi chuỗi số với số hạng tổng quát u i v j i  1, j  1 theo thứ tự ( trường hợp riêng chuỗi tích Cauchy) hội tụ tuyệt đối có tổng uv §4 Chuỗi lũy thừa 4.1 Định nghĩa Định lý Abel  Định nghĩa Chuỗi lũy thừa chuỗi có dạng:  a n x  x  n , số a , a , a , n0 gọi hệ số chuỗi, x số thực x cho trước Chuỗi nầy gọi chuỗi lũy thừa  tâm x Bằng phép biến đổi tịnh tiến X  x  x , chuỗi trở thành  a n X n Từ đ ây trở n0 ta xét chuỗi lũy thừa tâm x    anxn n0 Ta ý chuỗi nầy luôn hội tụ x   Định lý (Abel) Nếu chuỗi lũy thừa  a n x n hội tụ x  0, hội tụ tuyệt đối n0 điểm x  |x |, |x |  Chứng minh.Vì  a n x n hội tụ nên a n x n  ( n  ), nên dãy a n x n  bị chận Do 0 n0 tồn số dương cho |a n x n |  M, n   Cho x  |x |, |x |, ta có |a n x n |  |a n x n |  Vì chuỗi  Mq hội tụ, q  n n0 |x| |x | |x| |x | n M |x| |x | n  Mq n , n     1, với x  |x |, |x |, chuỗi  |a n x n | hội tụ  n0 (tiêu chuẩn so sánh) tức chuỗi  a n x hội tụ tuyệt đối  n n0 Hệ Nếu chuỗi  a n x phân kỳ x , phân kỳ điểm x cho |x|  |x | n n0  Thật vậy, chuỗi  a n x n hội tụ điểm x / cho |x / |  |x | theo định lý Abel n0 phải hội tụ x , mà điều nầy trái với giả thiết  Như chuỗi lũy thừa  a n x n ta có ba trường hợp sau: n0  a) Chuỗi  a n x hội tụ x  n0 n  Ví dụ: Chuỗi  n n x n hội tụ x  Thật vậy, Với x  0, n0 133 lim n n |n n x n |  lim n|x|    n Suy chuỗi phân kỳ  b) Chuỗi  a n x n hội tụ x   n0  Ví dụ Chuỗi  n0 lim  Chuỗi  n xn n! xn n! hội tụ x   Thật vậy, ta có x n1 n1! |x n | n! : lim n |x| n1   với x   hội tụ theo tiêu chuẩn A’Alembert, hội tụ n0  c) Tồn số thực R  cho chuỗi  a n x n hội tụ tuyệt đối x  R, R phân kỳ x, |x|  R 4.2 Bán kính hội tụ miền hội tụ n0  Định nghĩa Số thực R  cho chuỗi  a n x n hội tụ tuyệt đối x  R, R n0  phân kỳ x, |x|  R, gọi bán kính hội tụ chuỗi lũy thừa  a n x n Khoảng  n0 R, R gọi khoảng hội tụ Nếu chuỗi  n x phân kỳ x  0, ta gọi bán n n n0 kính hội tụ R   Nếu chuỗi  n n x n hội tụ x  , ta gọi bán kính hội tụ R   n0  Ví dụ Nếu chuỗi cấp số nhân  x n có bán kính hội tụ R  n0  Chú thích Tại x  R chuỗi  a n x n hội tụ phân kỳ n0 Định lý Giả sử tồn giới hạn lim n |a n1 | |a n |  , (0    )  Khi đó, bán kính hội tụ chuỗi lũy thừa  a n x n cho công thức n0  R ,    ,   , 0,  ,   Chứng minh Xét chuỗi  |a n x n |, ta có n0 lim n a n1 x n1 |a n x n |   lim n |a n1 | |a n | |x|  |x| Nếu     Khi chuỗi  |a n x n | hội tụ |x|  hay |x|  1/, phân kỳ n0 134 |x|  hay |x|  1/ Vậy R  1/  Nếu   , |x|    1, với x  Khi chuỗi  |a n x n | phân kỳ  n0 x  0, chuỗi  a n x Do R  n n0  Nếu   0, |x|   1, với x   Khi chuỗi  |a n x n | hội tụ x  , n0  chuỗi  a n x Vậy R  n n0 Định lý (Cauchy- Hadamard) Giả sử tồn giới hạn lim n |a n |  , (0    ) n  Khi đó, bán kính hội tụ chuỗi lũy thừa  a n x n cho công thức n0  R ,    ,   , 0, ,    Chứng minh Dùng tiêu chuẩn Cauchy cho chuỗi  |a n x n | Chú thích Nếu tồn giới hạn lim  n |a n | |a n1 | n0 giới hạn bán kính hội tụ chuỗi lũy thừa  a n x n n0 Ví dụ Tìm miền hội tụ chuỗi lũy thừa   a xn n   b n0 a) Bán kính hội tụ R  lim  : n n  n0  Tại x  1, ta có chuỗi  n1 1 n n Tại x  1, ta có chuỗi  n n0 n0   Khoảng hội tụ 1  x  hội tụ theo tiêu chuẩn Leibnitz phân kỳ  Vậy miền hội tụ chuỗi  xn n 1, 1 n0  a) Đặt X  x  2, ta có xét chuỗi  Bán kính hội tụ R  lim 3  X  n |a n | |a n1 |  Tại X  3, ta có chuỗi  n0 x2 n n23n  lim n 1 n n2 n0 n23n Xn n23n :    anXn n0 n1 n1 hội tụ tuyệt đ ối lim 31  n n   Khoảng hội tụ 135  Tại X  3, ta có chuỗi  n0 n2  Vậy miền hội tụ chuỗi  n0 hội tụ Xn n23n 3  x   hay   x   3, 3 Suy miền hội tụ chuỗi  n0 x2 n n23n là: 136 BÀI TẬP CHƯƠNG V Tìm số hạng tổng quát chuỗi số 1/     2/    10  16 43 3/   11  4/ 10  100  1000  10000  11 13 22 23 24 5/  1.2  1.2.3  1.2.3.4  Tìm tổng riêng tổng (nếu có) chuỗi số  1/  2/ n1   n1  3/  n0  4/  4n 1 3n 3n1 n n1 1 n 3n 21 n 3n n0 Chứng minh chuỗi sau phân kỳ  1/  2/ n1 3n2 n1   sin n n1   3/  n sin 2n  n1  4/  n2 n ln n Dùng tiêu chuẩn so sánh, xét hội tụ chuỗi số  1/  2/ n1   n1  3/  n1  4/  5/ n1   n1  6/  n1 n n 2 nn1 1n 1n 2 n1  n1 n 3/4 n2  1n  n n n2   n  , (  ) 137  7/  8/ 4.2 n 3 n1   n2  9/  ln n n 1 n 1 n1  10/  11/ ln n n n2   ln1  n1  12/  n n2  13/  14/  n1 n1 ln ln n1 n n n2   1  cos  n n1  15/  n1  16/  17/ n2 n n sin 1cos n n2 n1   n 3 n n 2n n1 Dùng tiêu chuẩn D’Alembert hay Cauchy, xét hội tụ chuỗi số  1/  2/ n1   n1  3/  n1  4/  n1  n 5 2n 3n1! 8nn2 1.3.5 2n1 2n n1! n n! 2n! 5/   n1  n1 6/ n2   n1  7/  nn1 n n! n 2n n n1  n 8/   2n1  n1  9/  n1 2n 2n n 4n3 n 1  n  n2 138 10/   n1 2n 2n1 5n 2n1 n Dùng tiêu chuẩn tích phân đ ể xét hội tụ chuỗi số  1/  2/ n2  ln1/n n2  n3  3/  n2 n ln nln ln n nln n  Xét hội tụ chuỗi số đan dấu sau  1/  2/ 1 n1 2n1 n1   1 n1 2 n1 n1 n1  3/  1 n1 n1  4/  5/ n1 n n1 1 n ln n n2  n!  1 n 1.3.5 2n1 n1  6/  1 n ln n1  7/  1 n 8/ ln n n n1   1 n tg sin n n1  9/  1 n n1  n n2 2n 1 n 10/  11/ n1 n n ncos n1  n2  1 n 2n! n1  12/  1 n 2n1 3n2 n n1 Xét hội tụ, hội tụ tuyệt đối chuỗi số sau  1/  2/ n1  n1 1 n n n  1 n1 n1  3/  1 n n1 n 3n1 n1 2n 5 n 139  4/  5/ n1  cos n n2  cos n 2n n1 Tìm miền hội tụ chuỗi lũy thừa sau  1/  2/ 1 n x n 6n8 n1   x 2n n9 n n1  3/  n x  1 n n1  4/  5/ n1  6/  x1 n 2n1!  n1  7/ x1 n n2 5nxn n! n1   xn n 3 n n1  8/  n x n n1  9/  10/ x4 n n n1  1 n1 n2 n n1  xn n n1 11/   2n1  x  2 2n 12/ n1   n1 n24n x  5 2n1 140 TÀI LIỆU THAM KHẢO Nguyễn Đình Trí, (chủ biên), Toán học Cao cấp, Tập II, NXB Giáo dục, 1993 Nguyễn Đình Trí, (chủ biên), Tốn học Cao cấp, Tập III, NXB Giáo dục, 1993 Đỗ Công Khanh, (chủ biên), Tốn Cao cấp, Giải tích hàm biến, (Tốn 1), NXB ĐHQG Tp.HCM, 2002 Đỗ Cơng Khanh, (chủ biên), Tốn Cao cấp, Giải tích hàm nhiều biến, (Tốn 3), NXB ĐHQG Tp.HCM, 2003 Đỗ Cơng Khanh, (chủ biên), Tốn Cao cấp, Chuỗi Phương trình vi phân, (Toán 4), NXB ĐHQG Tp.HCM, 2003 Nguyễn Đình Phư, Nguyễn Cơng Tâm, Đinh Ngọc Thanh, Đặng Đức Trọng, Giáo trình Giải tích- Hàm biến, NXB ĐHQG Tp.HCM, 2002 Nguyễn Đình Phư, Nguyễn Cơng Tâm, Đinh Ngọc Thanh, Đặng Đức Trọng, Giáo trình Giải tích- Hàm nhiều biến, NXB ĐHQG Tp.HCM, 2002 Robert A Adams, Calculus, A complete course, 1990 141 MỤC LỤC Trang Lời nói đầu I CHƯƠNG PHÉP TÍNH VI PHÂN HÀM MỘT BIẾN §1 Khái niệm hàm số 1.1 Định nghĩa 1.2 Các hàm số sơ cấp §2 Giới hạn dãy số thực 2.1 Định nghĩa dãy số, giới hạn dãy số 2.2 Các tính chất phép tính giới hạn dãy số §3 Giới hạn hàm số 3.1 Các định nghĩa giới hạn 3.2 Các tính chất hàm số có giới hạn 10 3.3 Các phép tốn giới hạn hàm số 10 3.4 Các giới hạn 11 §4 Vơ bé (VCB) vơ lớn (CVL) 11 4.1 Vô bé 11 4.1.1 Định nghĩa 11 4.1.2 So sánh vô bé 12 4.1.3 Khử dạng vô định 12 4.2 Vô lớn 13 4.2.1 Định nghĩa 13 4.2.2 Liên hệ VCB VCL 13 4.2.3 So sánh vô lớn 13 4.2.4 Khử dạng vơ định §5 Hàm số liên tục   ,   ,   14 14 5.1 Các định nghĩa hàm số liên tục điểm 15 5.2 Định nghĩa khoảng, đoạn 15 5.3 Các phép toán hàm số liên tục điểm 15 5.4 Điểm gián đoạn Phân loại 15 5.5 Tính liên tục hàm sơ cấp 16 142 Trang 5.6 §6 Tính chất hàm liên tục đoạn Đạo hàm 17 19 6.1 Các khái niệm đạo hàm 19 6.1.1 Các định nghĩa 19 6.1.2 Ý nghĩa đạo hàm 19 6.1.3 Liên hệ đạo hàm tính liên tục 20 6.2 Các qui tắc tính đạo hàm 21 6.3 Bảng đạo hàm 22 6.4 Đạo hàm cấp cao 23 §7 Vi phân 24 7.1 Định nghĩa vi phân 24 7.2 Liên hệ vi phân đạo hàm 24 7.3 Tính bất biến biểu thức vi phân 15 7.4 Các qui tắc tính vi phân 25 7.5 Vi phân cấp cao 25 7.6 Các định lý giá trị trung bình 25 §8 Một số ứng dụng đạo hàn vi phân 27 8.1 Qui tắc L’Hopital 27 8.2 Tính gần 30 BÀI TẬP CHƯƠNG I 31 II CHƯƠNG PHÉP TÍNH VI PHÂN HÀM HAI BIẾN 35 §1 Các khái niệm 35 1.1 Miền phẳng 35 1.2 Định nghĩa hàm hai biến 36 1.3 Biểu diễn hình học 36 §2 Giới hạn liên tục hàm hai biến 37 2.1 Định nghĩa 37 2.2 Định lý 39 §3 Đạo hàm riêng vi phân toàn phần 40 143 Trang 3.1 Đạo hàm riêng cấp một, cấp cao, đạo hàm hàm hợp 40 3.2 Vi phân riêng, vi phân toàn phần 40 3.3 Ứng dụng vi phân tồn phần để tính gần 44 §4 Cực trị hàm hai biến 45 4.1 Cực trị không điều kiện( cực trị tự do) 45 4.1.1 Định nghĩa 45 4.1.2 Qui tắc tìm cực trị khơng điều kiện 45 4.2 Cực trị có điều kiện( cực trị ràng buộc) 46 4.2.1 Định nghĩa 46 4.2.2 Các phương pháp tìm cực trị có điều kiện 47 4.3 Giá trị nhỏ giá trị lớn miền đóng bị chận 50 BÀI TẬP CHƯƠNG II 52 III CHƯƠNG PHÉP TÍNH TÍCH PHÂN HÀM MỘT BIẾN 55 §1 Tích phân bất định 55 1.1 Nguyên hàm 55 1.1.1 Định nghĩa 55 1.1.2 Định lý 55 1.2 1.2.1 1.2.2 1.3 1.4 Định nghĩa tính chất tích phân bất định Định nghĩa Các tính chất tích phân bất định Bảng tính phân Hai phương pháp tính tích phân bất định 55 55 55 56 56 1.4.1 Phương pháp đổi biến số 56 1.4.2 Phương pháp tích phân phần 57 §2 Tích phân xác định 58 2.1 Định nghĩa 58 2.2 Các tính chất tích phân xác đ ịnh 60 2.3 Công thức Newton-Leibnitz 61 2.4 Hai phương pháp tính tích phân xác định 64 144 Trang 2.4.1 Phương pháp đổi biến số 64 2.4.2 Phương pháp tích phân phần 65 2.5 Ứng dụng tích phân xác đ ịnh 68 §3 Tích phân suy rộng 75 3.1 Tích phân suy rộng loại 1(Khoảng lấy tích phân vơ hạn) 75 3.1.1 Định nghĩa 75 3.1.2 Phương pháp tính Cơng thức Newton-Leibnitz mở rộng 76 3.1.3 Tích phân hàm khơng âm Các định lý so sánh 77 3.1.4 Hội tụ tuyệt đối 79 3.2 Tích phân suy rộng loại 2(Hàm dấu tích phân không bị chận) 79 3.2.1 Định nghĩa 79 3.2.2 Công thức Newton-Leibnitz mở rộng 81 3.2.3 Tích phân hàm không âm Các định lý so sánh 81 Hội tụ tuyệt đối 82 BÀI TẬP CHƯƠNG III 83 IV CHƯƠNG PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN 89 §1 Bổ túc số phức 89 1.1 Các định nghĩa 89 1.2 Biểu diễn hình học dạng đ ại số, lượng giác, mũ số phức 89 1.3 Các phép tính số phức 90 §2 Phương trình vi phân cấp 94 2.1 Các khái niệm chung 94 2.1.1 Định nghĩa 94 2.1.2 Định lý tồn nghiệm 94 3.2.4 2.1.3 Nghiệm tổng quát, nghiệm riêng, nghiệm kỳ dị, tích phân tổng quát 94 2.2 Phương trình vi phân cấp tách biến 95 2.2.1 Định nghĩa 95 2.2.3 Cách giải 95 145 Trang 2.3 Phương trình vi phân đẳng cấp cấp 97 2.3.1 Định nghĩa 97 2.3.2 Cách giải 97 2.4 Phương trình vi phân tuyến tính cấp 99 2.4.1 Định nghĩa 99 2.4.2 Phương pháp biến thiên số (Lagrange) 99 2.4.3 Phương pháp Bernuoulli 101 2.4.4 Phương pháp thừa số tích phân 102 2.5 Phương trình vi phân Bernuoulli 102 2.5.1 Định nghĩa 102 2.5.2 Cách giải 103 §3 Phương trình vi phân cấp 104 3.1 Các khái niệm chung 104 3.1.1 Định nghĩa 104 3.1.2 Định lý tồn nghiệm 104 3.1.3 Nghiệm phương trình vi phân cấp 104 3.2 Phương trình vi phân cấp hai giảm cấp 105 3.2.1 Phương trình vi phân dạng y //  fx 105 3.2.2 Phương trình vi phân dạng y //  fx, y /  106 3.2.3 Phương trình vi phân dạng y //  fy, y /  107 3.3 Phương trình vi phân tuyến tính cấp có hệ số 108 3.2.1 Định nghĩa 108 3.3.2 Phương trình vi phân 109 3.3.3 Phương trình vi phân khơng 112 BÀI TẬP CHƯƠNG IV 118 V CHƯƠNG LÝ THUYẾT CHUỖI 121 §1 Khái niệm chuỗi số 121 1.1 Định nghĩa 121 1.2 Điều kiện cần để chuỗi số hội tụ 121 146 Trang 1.3 Các tính chất chuỗi số hội tụ 123 §2 Chuỗi số dương 124 2.1 Định nghĩa 124 2.2 Các tiêu chuẩn hội tụ 124 2.2.1 Tiêu chuẩn so sánh 124 2.2.2 Tiêu chuẩn so sánh 124 2.2.3 Tiêu chuẩn tỉ số D’Alembert 125 2.2.4 Tiêu chuẩn số Cauchy 127 2.2.5 Tiêu chuẩn tích phân Maclaurin-Cauchy 128 §3 Chuỗi số có dấu thay đổi 129 3.1 Chuỗi đan dấu Định lý Leibnitz 129 3.2 Chuỗi hội tụ tuyệt đối, bán hội tụ 130 §4 Chuỗi lũy thừa 132 4.1 Định nghĩa, định lý Abel 132 4.2 Bán kính hội tụ miền hội tụ 133 BÀI TẬP CHƯƠNG V 136 TÀI LIỆU THAM KHẢO 140 MỤC LỤC 141 ... ĐẦU Đây giáo trình Tốn Cao cấp C1 dành cho sinh viên Khoa Kinh Tế, Đại học Quốc gia Tp Hồ Chí Minh Giáo trình gồm đơn vị học tập (45 tiết) lý thuyết tập Giáo trình gồm chương: Chương I trình bày...  x ? ?1 x ? ?1 10 Tìm giới hạn sau x? ?1 1/ lim x 2x5 x 2/ lim 3x 2x? ?1 x 4 3/ lim x 3 x x x ? ?1 4/ lim x ? ?1 x? ?1 5/ lim x ? ?1 x? ?1 x x 11 Tìm giới hạn sau 1/ lim 1? ??x  1? ??x x? ?1 2/ lim... VCB cấp cao ox ta có cơng thức gần fx  x  fx   f / x x với x bé Ví dụ Tính gần 10 10 00 Ta có 10 10 00  10 10 24  24  10 10  24 24  10 10 ? ?1  10   10  Chọn hàm fx  10