Sáng kiến kinh nghiệm MỤC LỤC NỘI DUNG TRANG Mục lục 01 Phần 1: Mở đầu 02 1. Lý do chọn đề tài 02 2. Mục đích nghiên cứu 03 3. Nhiệm vụ và phương pháp nghiên cứu 03 4. Phạm vi và đối tượng nghiên cứu 03 5. Điểm mới của SKKN 03 Phần 2: Nội dung 04 Chương 1: Cơ sở lý luận 04 Chương 2: Giải pháp cũ thường làm 9 Chương 3: Giải pháp mới 16 Chương 4: Kết quả thực nghiệm 22 Phần 3: Kết luận 25 Tài liệu tham khảo 26 Phần 1: MỞ ĐẦU 1 Sáng kiến kinh nghiệm 1. Lý do chọn đề tài: Việc nâng cao phương pháp dạy học là cần thiết và thường xuyên đối với giáo viên của tất cả các bộ môn. Trong môn toán có nhiều đơn vị kiến thức giáo viên phải thực sự tích cực trau dồi, bồi dưỡng kiến thức và phương pháp thì mới đạt hiệu quả khi truyền tải kiến thức cho học sinh. Hơn nữa, trong thời điểm hiện nay, với cấu trúc thi đại học mới ban hành, nhiều phần kiến thức giáo viên phải tìm tòi sáng tạo, tìm ra phương pháp mới để học sinh có thể giải quyết các bài toán mới trong các đề thi học sinh giỏi, thi đại học cao đẳng. Và bài toán chứng minh bất đẳng thức và các ứng dụng trong môn toán THPT không phải là ngoại lệ. Khi gặp dạng toán chứng minh bất đẳng thức, giáo viên thường củng cố nêu kiến thức và các phương pháp kinh điển, các phương pháp có sẵn để giải quyết bài toán đó. Nội dung của sáng kiến kinh nghiệm này giới thiệu một phương pháp chứng minh bất đẳng thức mà tác giả đã tìm tòi, học hỏi trang bị cho học sinh. Qua đó học sinh có thêm một công cụ giải bài tập, có hướng tìm ra và sử dụng các phương pháp chứng minh các bất đẳng thức. Bên cạnh đó, xuất phát từ thực tế giảng dạy nhiệm vụ giải bài tập chứng minh bất đẳng thức (nhất là trong đề thi tuyển sinh đại học cao đẳng của bộ giáo dục và đào tạo) là nhiệm vụ rất khó khăn. Nhu cầu của mỗi học sinh trước khi giải bài tập dạng này có cách nhìn khái quát, định hướng phương pháp giải. Nội dung của sáng kiến kinh nghiệm này đó là nêu rõ phương pháp và cách áp dụng khi chứng minh các bất đẳng thức. Với nội dung nêu trên, đề tài sáng kiến của tôi là: “ Sử dụng phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số chứng minh bất đẳng thức” 2. Mục đích nghiên cứu : 2 Sáng kiến kinh nghiệm Khi kết thúc chương trình lớp 12, khi gặp bài toán chứng minh bất đẳng thức và các ứng dụng đòi hỏi học sinh phải nhận dạng được bài toán chứng minh bất đẳng thức vận dụng theo phương pháp nào. Sự kết hợp các phần kiến thức khác nhau giữa đại số, hình học, giải tích sẽ cho ta các phương pháp chứng minh thích hợp. Vận dụng tính chất của tiếp tuyến đường cong, ứng dụng của nó cùng với tính chất của các bất đẳng thức cơ bản sẽ cho ta một phương pháp chứng minh mới, phù hợp là mục đích của sáng kiến kinh nghiệm này. 3. Nhiệm vụ và phương pháp nghiên cứu: Kết quả lớn nhất của sáng kiến này là đã tìm ra thêm một phương pháp chứng minh bất đẳng thức, ngoài việc tổng hợp các 10 phương pháp chính làm bài tập chứng minh bất đẳng thức. Từ đó phân biệt các phương pháp giải các bài toán về bất đẳng thức, liên quan đến bất đẳng thức (tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số, ) trong các đề thi tuyển sinh đại học, cao đẳng và thi học sinh giỏi các cấp. Khi đó giáo viên sẽ rút ra kinh nghiệm khi giảng bài và sáng tạo các bài toán mới. Phương pháp nghiên cứu của sáng kiến kinh nghiệm này là phân tích, tổng hợp hiệu quả của các phương pháp chứng minh bất đẳng thức thông thường. Từ đó sáng tạo ra phương pháp mới, đồng thời phân tích, tổng hợp để làm rõ hiệu quả của phương pháp mới này. 4. Phạm vi và đối tượng nghiên cứu: Về con người là các thầy cô giáo giảng dạy môn toán THPT và các em học sinh đang học tại trường THPT của tôi. Trong phần toán học, ở đây đối tượng nghiên cứu là các phương pháp chứng minh bất đẳng thức mà học sinh được học trong chương trình phổ thông. 5. Điểm mới của sáng kiến kinh nghiệm: Là nêu một phương pháp mới chứng minh bất đẳng thức, vận dụng tổng hợp các kiến thức về tính chất bất đẳng thức, các ứng dụng cơ bản của đạo hàm. Nội dung chính của sáng kiến kinh nghiệm này bao gồm: Chương 1: Cơ sở lý luận (Phương pháp dạy học chứng minh bất đẳng thức) 1) Phân bậc hoạt động chứng minh bất đẳng thức. 2) Rèn luyện các hoạt động trí tuệ cho học sinh qua chứng minh bất đẳng thức. 3 Sáng kiến kinh nghiệm 3) Hướng dẫn học sinh tìm ra nhiều phương pháp chứng minh một bất đẳng thức. 4) Phát hiện, khắc phục và sửa chữa sai lầm trong chứng minh bất đẳng thức. Chương 2: Cơ sở thực tiễn (Giải pháp cũ thường làm) 10 phương pháp chứng minh bất đẳng thức thường gặp. Chương 3: (Giải pháp mới) Phương pháp mới chứng minh bất đẳng thức. Chương 4: Kết quả thực nghiệm tại trường tôi công tác. Phần 2: NỘI DUNG Chương 1: CƠ SỞ LÝ LUẬN Bất đẳng thức là một dạng toán khó ở bậc trung học phổ thông đối với đại trà học sinh. Điều đó đồng nghĩa với việc dạy học bất đẳng thức là một nội dung không hề đơn giản. Nhiều giáo viên xác định không cần dành quá nhiều thời gian để củng cố ôn tập cho học sinh phần kiến thức này, chấp nhận từ bỏ bài toán chứng minh bất đẳng thức và các ứng dụng của nó. Chưa hẳn điều đó đã đúng, nếu chúng ta nghiêm túc phân bậc đối tượng học sinh và chỉ cần bồi dưỡng năng lực giải bài tập bất đẳng thức tùy theo mức độ các nhóm học sinh khác nhau. 1) Phân bậc hoạt động chứng minh bất đẳng thức: Điều này rất quan trọng, có thể căn cứ vào số lượng biến, sự phức tạp của đối tượng, căn cứ vào mức độ tường minh, sự phối hợp ít hay nhiều hoạt động để xây dựng hệ thống bài toán từ dễ đến khó, từ đơn giản đến phức tạp, nhằm rèn luyện các phương pháp chứng minh bất đẳng thức. Nhằm rèn luyện cho học sinh vận dụng Bất đẳng thức Cô-si có thể lấy một hệ thống bài toán phân bậc như sau. Ta lấy một ví dụ: Chứng minh các bất đẳng thức sau: (1) 1 1 ( )( ) 4a b a b + + ≥ , với , 0a b > (2) 2 2 2 a b c ab bc ca+ + ≥ + + với , , 0a b c > (3) 2 2 2 2 2 ( )a b c d e a b c d e+ + + + ≥ + + + với , , , , 0a b c d e > (4) Cho , , 0, 1x y z xyz> = chứng minh rằng: 4 Sáng kiến kinh nghiệm 2 2 2 2 2 2 1 1 1 3 3 x y y z z x xy yz zx + + + + + + + + ≥ (5) Cho 1 1 1 , , 0, 4x y z x y z > + + = chứng minh rằng: 1 1 1 1 2 2 2x y z y z x z x y + + ≤ + + + + + + Trong hệ thống bài tập ở trên mức độ vận dụng ở các bài toán là khó dần: bài (1) chỉ cần vận dụng trực tiếp bất đẳng thức Côsi cho hai số. bài (2) phải ghép đôi rồi áp dụng bất đẳng thức Côsi cho hai số. bài (3) đầu tiên phải biết tách 2 2 2 2 2 4 4 4 4 a a a a a = + + + và ghép đôi bài (4) vừa áp dụng bất đẳng thức Côsi cho ba số trong căn, vừa áp dụng cho ba số hạng ở vế trái bài (5) là câu khó trong đề thi tuyển sinh Đại học,Cao đẳng khối A năm 2002. Đòi hỏi vận dụng sáng tạo: Từ 1 1 ( )( ) 4a b a b + + ≥ với , 0a b > đến 1 1 1 1 ( ) 4 + ≥ +a b a b Từ đó: 1 1 2 1 1 ( ) 2 16x y z x y z ≤ + + + + và tương tự cho hai hạng tử còn lại. 2) Rèn luyện các hoạt động trí tuệ cho học sinh qua chứng minh bất đẳng thức: Bất đẳng thức và các ứng dụng rất thuận lợi để rèn luyện các hoạt động trí tuệ cho học sinh: phân tích, so sánh, tổng hợp, đặc biệt hoá, khái quát hoá,… Học sinh cần phải có được cách giải quyết bài toán, đồng thời là cách suy nghĩ để giải quyết bài toán, giải quyết vấn đề. Ví dụ: Giáo viên nêu các dấu hiệu gợi ý cho học sinh nghĩ đến bất đẳng thức Côsi (đây là hoạt động phân tích, so sánh) như: các số tham gia bất đẳng thức dương; Có căn bậc 2, bậc 3; Vì sao phải sáng tạo, đặc biệt hoá khi dấu bằng xảy ra để làm gì?; Áp dụng bất đẳng thức (1) cho bất đẳng thức (2) hay ngược lại một cách linh hoạt. 5 Sáng kiến kinh nghiệm (1) Cho , , 0a b c > và 3 4 a b c+ + = .CMR: 3 3 3 3 3 3 3a b b c c a+ + + + + ≤ (2) Cho , , 0a b c > và 1abc = .CMR: 3 3 3 3 3 3 3a b b c c a+ + + + + ≥ 3) Hướng dẫn học sinh tìm nhiều phương pháp chứng minh một bất đẳng thức: Một bài toán có thể có nhiều cách giải khác nhau, bất đẳng thức không phải là ngoại lệ do cách nhìn khác nhau, từ nhiều phương diện khác nhau. Ta có thể tìm hiểu qua các ví dụ sau đây: a) Ví dụ 1: Cho 0 , 1x y≤ ≤ . Chứng minh rằng: 1 4 x y y x− ≤ Cách 1: Dựa vào điều kiện 0 , 1x y≤ ≤ ta có: ( ) (1 )VT xy x y y y= − ≤ − Lúc này lại áp dụng bất đẳng thức Côsi: 1 ( ) (1 ) 4 xy x y y y− ≤ − ≤ Cách 2: Đặc biệt hoá dấu bằng xảy ra khi x = 4y. Vậy khi biến đổi ta phải để ý điều này. 2 ( ) 1 ( ) ( ) 2 4 4 y x y x x VT x y x y x + − = − ≤ = ≤ Cách 3: Đặt 2 1 . 0 4 t y t x x t= ⇒ − + ≥ .Vế trái là 1 tam thức bậc 2 của t, có 2 0 t x x∆ = − ≤ nên ta được ĐPCM. b) Ví dụ 2: Cho 2 2 36 16 9x y+ = . Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau: T = y – 2x + 5. Cách 1: Ta có: 2 2 2 2 36 16 9 1 1/ 4 9 /16 x y x y+ = ⇔ + = . Đặt 1 3 cos , sin 2 4 x y ϕ ϕ = = . Ta có: T 1 5 2 5 (3sin 4cos ) 5 sin( ) 5 4 4 y x ϕ ϕ ϕ α = − + = − + = − + , (với 3 4 cos ,sin 5 5 α α = = ). Khi đó 15 25 4 4 T≤ ≤ . Ta được GTLN của T là 25 4 khi sin( ) 1 ϕ α − = , GTNN là 15 4 khi sin( ) 1 ϕ α − = − . Cách 2: Áp dụng bất đẳng thức Bunhicopxki 6 Sáng kiến kinh nghiệm 2 2 2 2 1 1 1 1 25 ( 2 ) ( 4 6 ) ( )(16 36 ) 4 3 16 9 4 y x y x y y− = − ≤ + + = Khi đó: 5 5 15 25 2 4 4 4 4 y x T− ≤ − ≤ ⇒ ≤ ≤ Cách 3: Từ giả thiết ta có tập giá trị của T để hệ 2 phương trình có nghiệm. Thế 2 5y T x= + − vào 2 2 36 16 9x y+ = ⇒ 2 2 100 64( 5) 16( 5) 9 0x T x T+ − + − − = Phương trình có nghiệm khi 0∆ ≥ => 15 25 4 4 T≤ ≤ . 4) Phát hiện, khắc phục và sửa chữa sai lầm cho học sinh: a) Ví dụ 1: Chứng minh rằng: 2 2 2 2 2 ( )a b c d e a b c d e+ + + + ≥ + + + với mọi số thực , , , ,a b c d e . Lời giải: Theo Cô-si ta có: 2 2 2 2 2 2 2 2 , , , 4 4 4 4 a a a a b ab c ac d ad e ae + ≥ + ≥ + ≥ + ≥ Cộng các bất đẳng thức trên ta được điều phải chứng minh. Đánh giá: Ở đây học sinh đã nhầm ví dụ này với ví dụ 3 của phần I.1, vận dụng bất đẳng thức Cô-si là sai, vì các số có thể âm. Tuy nhiên, mỗi bất đẳng thức trên đều đúng nhưng không phải theo Cô-si, mà do 2 ( ) 0, 2 a b− ≥ b) Ví dụ 2: Cho a, b, c, d là 4 cạnh của một tứ giác lồi. Chứng minh rằng diện tích tứ giác không lớn hơn 1 ( ) 2 ab cd+ Lời giải: Giả sử bốn cạnh tứ giác là AB = a, BC = b, CD = c, DA = d. Lúc đó ta có: 1 1 ( sin sin ) ( ) 2 2 ABC CDA S S S ab B cd D ab cd= + = + ≤ + => ĐPCM. Đánh giá: Lời giải này còn thiếu trường hợp hai cạnh có độ dài a, b đối diện. c) Ví dụ 3: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức (2 )(2 )M x a x b x= − − với a, b dương, phân biệt và 0 < x < 2a, 0 < x < 2b Lời giải: Vì 1 .2 (2 )(2 ) 2 M x a x b x= − − 7 Sáng kiến kinh nghiệm Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho các số 2x, 2a - x, 2b - x nên M lớn nhất khi chúng bằng nhau, nhưng điều đó không xảy ra nên M không có giá trị lớn nhất. Đánh giá: Điều này sai logic vì khi 3 số đó bằng nhau thì có giá trị lớn nhất, còn khi không bằng nhau thì chưa kết luận được gì. d) Ví dụ 4: Cho 1 0 2 < ≤a . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức S = 2a + 2 1 a Lời giải: Sai lầm thường gặp: 3 2 2 2 1 1 1 2 3 . . 3 minS = 3= + = + + ≥ = ⇒S a a a a a a a a Nguyên nhân sai lầm: min S = 3 2 1 1⇔ = = =a a a mâu thuẫn với giả thiết 1 0 2 < ≤a Phân tích và tìm tòi lời giải: Xét bảng sau để dự đoán Min S. a 1 10 1 9 1 8 1 7 1 6 1 5 1 4 1 3 1 2 2.a 1 5 2 9 1 4 2 7 1 3 2 5 1 2 2 3 1 2 1 a 100 81 64 49 36 25 16 9 4 S 100 1 5 81 2 9 64 1 4 49 2 7 36 1 3 25 2 5 16 1 2 9 2 3 5 Nhìn bảng trên ta thấy khi a càng tăng thì S càng nhỏ từ đó dẫn đến dự đoán khi 1 2 =a thì S nhận giá trị nhỏ nhất. Theo phân tích ở trên ta không thể sử dụng trực tiếp bất đẳng thức Côsi cho 3 số 2 1 , ,a a a : Cách 1: Ta dự đoán sử dụng bất đẳng thức Côsi cho các số 2 1 , ,a a a α ta có: Sơ đồ điểm rơi 1: 2 3 1 1 2 2 8 1 1   = =     ⇒ ⇒ =     = =     a a a a a α α α => 2a + 2 1 a = 3 2 2 2 2 1 7 8 7 3 . . 8 8 8   + + + ≥ +  ÷   a a a a a a a a 3 7.4 5 2 8 ≥ + = . 8 Sáng kiến kinh nghiệm Với a = 1 2 thì giá trị nhỏ nhất của S là 5. Cách 2: Ta dự đoán sử dụng bất đẳng thức Côsi cho các số 2 1 , ,a a a α β ta có: Sơ đồ điểm rơi 2: 2 3 1 1 2 2 8 1 1   = =     ⇒ ⇒ = =     = = = =     a a a a a a α β α β α β => S = 2a + 2 1 a = 3 2 2 1 1 8 8 14 3 8 .8 . 14   + + − ≥ −  ÷   a a a a a a a a = 1 12 14 12 14. 5 2 − ≥ − =a . Với a = 1 2 thì Min S = 5. Chương 2: GIẢI PHÁP CŨ THƯỜNG LÀM Thực tế các giáo viên đã rất cố gắng để truyền thụ tới các học sinh phương pháp giải bài tập chứng minh bất đẳng thức. Việc thực hiện đầy đủ các phần trên đây theo ý kiến của tôi là cách hợp lý nhất để giải quyết dạng toán này. Khi chứng minh bất đẳng thức theo quan điểm của tôi có 10 phương pháp chứng minh bất đẳng thức thường được sử dụng. Việc phân chia ra phương pháp này hay phương pháp khác chỉ tương đối, tuỳ theo quan niệm của mỗi người. Trong phương pháp này có phương pháp kia, khó rạch ròi phân biệt được. Ví dụ đặt a = cosx có thể hiểu là đặt ẩn phụ, hoặc gọi là phương pháp lượng giác hoá. Dưới đây tôi giới thiệu các phương pháp chứng minh bất đẳng thức đó. 1. Phương pháp biến đổi tương đương : Sử dụng các tích chất của bất đẳng thức, phép biến đổi kéo theo, tương đương. Có 2 con dường quy nạp hoặc diễn dịch để có được kết quả bài toán. Ví dụ 1 : Bài 4(SGK CTC10Tr.79): Chứng minh rằng: 3 3 2 2 , 0x y x y xy x y+ ≥ + ∀ ≥ Giải: 3 3 2 2 2 ( ) ( ) 0x y x y xy x y x y+ ≥ + ⇔ − + ≥ luôn đúng => ĐPCM Ví dụ 2: (CM bất đẳng thức Bunhiacopxki) 9 Sáng kiến kinh nghiệm Với mọi a,b,c,d thì: 2 2 2 2 2 ( ) ( )( )ac bd a c b d+ ≤ + + Giải: 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ( ) ( )( ) 2ac bd a c b d abcd a c b d+ ≤ + + ⇔ ≤ + 2 ( ) 0ac bd⇔ − ≥ => ĐPCM. Dấu bằng xảy ra khi ac bd= . 2. Phương pháp sử dụng các bất đẳng thức cơ bản: Các bất đẳng thức cơ bản ở đây gồm bất đẳng thức Cô-si (cho 2 số, cho 3 số), bất đẳng thức trị tuyệt đối, … Một số bất đẳng thức Cơ bản ở đây: (1) Với mọi a, b thì: 2 2 2 ( ) 0 2 a,b Ra b a b ab− ≥ ⇔ + ≥ ∀ ∈ (2) Với a, b, c dương thì 3 ; 2 3 a b a b c ab abc + + + ≥ ≥ (BĐT Cô-si) (3) Với mọi a, b thì: a b a b a b− ≤ + ≤ + Ta lấy một số ví dụ: Ví dụ 1: CMR với a,b,c dương thì: 4 4 4 3 a b c abc b c a + + ≥ Giải: Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho 3 hạng tử ở vế trái => ĐPCM. Ví dụ 2: Với mọi a,b,c thì: 2 2 2 a b c ab bc ca+ + ≥ + + Giải: Với mọi a,b,c thì: 2 2 2 ( ) 0 2a b a b ab− ≥ ⇔ + ≥ 2 2 2 ( ) 0 2b c b c bc− ≥ ⇔ + ≥ và 2 2 2 ( ) 0 2c a c a ca− ≥ ⇔ + ≥ Cộng tương ứng 3 bất đẳng thức suy ra ĐPCM. 3. Phương pháp quy nạp toán học: Để chứng minh mệnh đề P(n) với n ≥ n o . Ta làm các bước: Bước 1: Kiểm tra tính đúng sai của mệnh đề với n=n o Bước 2: Giả sử P(n) đúng đến n = k ≥ n o . Ta chứng minh đúng với n = k+1 Hơn nữa bất đẳng thức cũng là một mệnh đề logic với những điều kiện cho trước. Vì vậy hoàn toàn áp dụng được phương pháp này. Ví dụ: CMR với n nguyên dương lớn hơn 2 thì: 1 1 1 1 1 2 n n + + + > + Giải: Với n = 3. BĐT trở thành: 1 1 1 4 1 2 3 + + > đúng. 10 [...]... thức Đạo hàm và các ứng dụng Ngay trong chương trình lớp 11, khi có khái niệm đạo hàm chúng ta có ý nghĩa hình học quan trọng về đạo hàm “Nếu tồn tại, f '(x 0 ) là hệ số góc của tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = f (x) tại điểm M 0 (x 0 ;f (x 0 )) Khi đó phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm M 0 là y − y 0 = f '(x 0 ).(x − x 0 ) ” Ta có nhận xét sau: Nếu đường thẳng (d): y = ax + b là tiếp. .. thiết phải trình bày chi tiết cách tìm ra bất đẳng thức cơ sở, từ đó suy ra điều phải chứng minh Ta tiếp tục xét một số bài toán thuộc dạng này Bài 3 Cho 3 số dương a, b,c biết a + b + c = 3 Chứng minh rằng a + b + c ≥ ab + bc + ca (1) Nhận xét (1) ⇔ a 2 + b 2 + c 2 + 2( a + b + c) ≥ (a + b + c) 2 = 9 Do vậy ta xét hàm số f (x) = x 2 + 2 x và viết phương trình tiếp tuyến (PTTT) của đồ thị hàm số tại điểm... về bất đẳng thức và ứng dụng chỉ có một hướng giải đặc biệt, khó có thể áp dụng phương pháp giải khác Do đó phương pháp chứng minh bất đẳng thức dựa vào phương trình tiếp tuyến của đường cong cũng là một hướng giải mà mỗi người giáo viên cũng nên trang bị cho học sinh 24 Sáng kiến kinh nghiệm Phần 3: KẾT LUẬN Qua sáng kiến kinh nghiệm tôi nghĩ rằng: Để học sinh làm tốt bài toán chứng minh bất đẳng thức, ... đó ta có điều cần chứng minh t t t Trên đây ta đã đề cập đến một số bài tập có sử dụng phương pháp chứng minh bất đẳng thức dự vào phương trình tiếp tuyến của đường cong Phương pháp này không tối ưu trong mọi trường hợp nhưng qua đó giúp ta giải quyết được nhiều bài toán chứng minh bất đẳng thức một cách khó khăn theo cách giải khác Một số bài toán khi thực hiện theo cách giải này sẽ tự nhiên hơn, mang... rằng phương trình tiếp tuyến là đường lối cơ sở để chúng ta dẫn đến bất đẳng thức cơ bản cần chứng minh Điều quan trọng là biến đổi để có được hàm số và điểm rơi cần thiết Qua đó cũng cho thấy sự hạn chế của phương pháp này Tuy nhiên cũng sẽ là công cụ giúp ta giải quyết các bài tập chứng minh bất đẳng thức một cách tự nhiên hơn Người đọc sẽ giải thích được các câu hỏi như: Tại sao lai có bất đẳng thức. .. đó ta xét dấu của g(x) để so sánh giữa f (x) và (ax + b) Từ việc phân tích ở trên ta thấy, để chứng minh bất đẳng thức 2 hay nhiều biến nếu ta biến đổi một bất đẳng thức về dạng chẳng hạn như f (a1 ) + f (a 2 ) + + f (a n ) ≥ E Khi đó điểm rơi là a1 = a 2 = = a n = x 0 Khi đó ta sẽ 16 Sáng kiến kinh nghiệm viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = f (x) tại x = x 0 và sử dụng nhận xét... đạt cho học sinh các kiến thức cơ bản, thì giáo viên cũng nên trang bị cho các em kiến thức, các phương pháp làm bài chứng minh bất đẳng thức Thường xuyên được nhắc lại trong các phần kiến thức khác nhau, rút ra bài học sau mỗi bài dạy Khi kết thúc chương trình THPT học sinh sẽ có cái nhìn toàn diện nhất về toàn bộ các phương pháp làm bài chứng minh bất đẳng thức và ứng dụng Đồng thời các tổ chuyên môn... đồ thị hàm số y = f (x) tại 1− x x 1 3 điểm có hoành độ x = ⇒ vận dụng phương pháp 11 Bài 3 Cho 3 số dương a, b, c Chứng minh rằng a3 b3 c3 a+b+c + 2 + 2 ≥ 2 2 2 2 a + ab + b b + bc + c c + ca + a 3 HD Dấu bằng xảy ra khi a = b = c Xét hàm số f (x) = x3 x 4 + 2bx 3 + 3b 2 x 2 ⇒ f '(x) = viết phương trình x 2 + bx + b 2 (x 2 + bx + b 2 ) 2 a3 2a − b ≥ tiếp tuyến của y = f (x) tại x = b Từ đó chứng minh. .. đứng: A 0 B 1 C 2 D 3 B Phần tự luận: (6 điểm) Bài 1 Cho hàm số : y = x 3 + 3x 2 − 4 a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số b) Dựa vào đồ thị (C), biện luận theo m số nghiệm của phương trình: x 3 + 3 x 2 = m Bài 2 Cho 2 số dương x, y thỏa mãn x + y ≤ 1 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 1 1 P = x+y+ + x y Kết quả: Thống kê số học sinh làm được bài tự luận thứ 2 Việc thống kê đó còn... nghiệm Từ đó suy ra điều phải chứng minh 6 Phương pháp hình học: Áp dụng bất đẳng thức liên hệ 3 điểm: AB + BC ≥ AC a 2 + b 2 + c 2 + d 2 ≥ (a + c) 2 + (b + d ) 2 Ví dụ 1: CMR với mọi a,b,c,d ta có: Giải: Trong mặt phẳng toạ Oxy xét các điểm A(a;b), B(-c;-d) ta có: OA + OB ≥ AB Suy ra điều cần chứng minh Ta có thể áp dụng các chứng minh trên cho việc chúng minh bất đẳng thức sau: Ví dụ 2: CMR: a 2 + . cách áp dụng khi chứng minh các bất đẳng thức. Với nội dung nêu trên, đề tài sáng kiến của tôi là: “ Sử dụng phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số chứng minh bất đẳng thức 2. Mục đích. bd= . 2. Phương pháp sử dụng các bất đẳng thức cơ bản: Các bất đẳng thức cơ bản ở đây gồm bất đẳng thức Cô-si (cho 2 số, cho 3 số) , bất đẳng thức trị tuyệt đối, … Một số bất đẳng thức Cơ bản. một phương pháp chứng minh bất đẳng thức, ngoài việc tổng hợp các 10 phương pháp chính làm bài tập chứng minh bất đẳng thức. Từ đó phân biệt các phương pháp giải các bài toán về bất đẳng thức,