Trường THPT Lưu Đình Chất Giáo viên: Lê Văn Chí I.LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI: Đường bậc hai tổng quát cịn xa lạ với học sinh THPT Vì vấn đề liên quan lạ khó hiểu vơí nhiều học sinh, Phương trình tiếp tuyến với đường bậc hai không ngoại lệ Nguyên nhân thiết kế chương trình, học sinh học lên lớp 12 tìm hiểu tiếp xúc với số đường bậc hai Mặt khác xây dựng đường bậc hai sách giáo khoa giới thiệu đường bậc hai không tổng thể, mà chia loại cụ thể Nên dẫn đến tương ứng với đường ta phải xây dựng tồn lý thuyết đường vấn đề liên quan, việc xuất nhiều khái niệm nhiều tính chất đường lại làm cho học sinh thêm bối rối khó tiếp nhận vấn đề Ngồi đường bậc hai lại có đặc điểm tính chất khác nhau, nên việc nghiên cứu chúng có nhiều điểm khác nhau, phương pháp nghiên cứu xây dựng khác lại tạo cho em học sinh khó khăn việc phân định rõ ràng tính chất chất loại Với mục tiêu khơng để đường bậc hai cịn xa lạ, đặc biệt vấn đề tiếp tuyến với đường bậc hai khơng cịn khó khăn với em học sinh Bài viết xin trình bày hai phương pháp xây dựng phương trình tiếp tuyến với đường bậc hai tổng quát Trên sở triển khai cho đường bậc hai chương trình THPT, nhằm rút ngắn khoảng cách cho em học sinh với đường bậc hai vấn đề liên quan đến đường bậc hai II MỤC TIÊU VÀ NHIỆM VỤ NGHIÊN CỨU 1.MỤC TIÊU: Giúp cho học sinh có nhìn tổng quan đường bậc hai nói chung đường bậc hai chương trình THPT Rút gần khoảng cách em đường bậc hai Đặc biệt tốn phương trình tiếp tuyến với đường bậc hai Trên sở học sinh vận dụng vào nghiên cứu vấn đề liên quan đến đường bậc hai triển khai chương trình THPT, cách tồn diện có hệ thống Mở cho học sinh nhìn mới, nhìn tồn diện đường bậc hai vấn đề liên quan Ngày 15 tháng năm 2006 Hai phương pháp viết phương trình tiếp tuyến Đường bậc hai NHIỆM VỤ Nhằm xây dựng vào tranh đường bậc hai chương trình THPT cách cụ thể tổng quan Trên sở việc xây dựng phương trình tiếp tuyến với đường bậc hai dạng tổng quát, giúp em học sinh tự triển khai cho đường bậc hai bậc THPT đề cập việc em vận dụng em tự xây dựng lại hoàn toàn hệ thống lý thuyết, giúp em hiểu sâu chất đường nét đẹp đường bậc hai lí thú III ĐỐI TƯỢNG NGHIÊN CỨU Nhận thức thân vấn đề Hình học, Đại số Giải tích nói chung đường bậc hai nói riêng Thơng qua tìm hiểu việc tiếp nhận thái độ nhận thức học sinh lớp 12 vấn đề đường bậc hai chỉnh thể hoàn chỉnh so với vấn đề đường bậc hai nghiên cứu chương trình THPT IV PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU Dựa Trên sở phương pháp nghiên cứu ứng dụng Đại số Giải tích vào Hình học bậc THPT Trên sở việc tổng hợp tra cứu, nhận định thân, ý kiến đóng góp đồng nghiệp cho vấn đề phương trình tiếp tuyến đường bậc hai Tác giả phân tích vấn đề cách nghiêm túc, để tổng hợp lại thành viết V CƠ SỞ LÍ LUẬN CỦA ĐỀ TÀI Dựa sở lí thuyết ứng dụng Đại số, Giải tích vào Hình học sơ cấp nói chung đường bậc hai nói riêng Dựa vào khả tìm hiểu, nghiên cứu sử lý vấn đề đối tượng nghiên cứu Bài viết chia làm hai phần: Phần I: Sử dụng phương pháp Giải tích xây dựng phương trình tiếp tuyến đường bậc hai trường hợp tổng quát Phần II: Sử dụng phương pháp Đại số xây dựng phương trình tiếp tuyến đường bậc hai trường hợp tổng quát Ngày 15 tháng năm 2006 Trường THPT Lưu Đình Chất Giáo viên: Lê Văn Chí VI NỘI DUNG PHẦN I SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP GIẢI TÍCH XÂY DỰNG PHƯƠNG TRÌNH TIẾP TUYẾN VỚI ĐƯỜNG BẬC HAI TRONG TRƯỜNG HỢP TỔNG QUÁT A LÝ THUYẾT MỘT SỐ KHÁI NIỆM PHƯƠNG TRÌNH TIẾP TUYẾN VỚI MỘT ĐƯỜNG CONG - Cho đường cong (C) có phương trình y = f(x) có miền xác định D Điểm x0 thuộc D cho x0 có f’(x0) Khi đường cong (C) có phương trình tiếp tuyến : y – y0 = f’(x0)( x- x0 ) (*) f’(x0) hệ số góc phương trình tiếp tuyến Bài tốn viết phương trình tiếp tuyến với đường cong (C) điểm M (x0; y0 ) yêu cầu ta tìm f’(x0) áp dụng phương trình (*) cho ta phương trình tiếp tuyến cần tìm ĐƯỜNG BẬC HAI TỔNG QUÁT VÀ CÁC ĐƯỜNG BẬC HAI TRONG CHƯƠNG TRÌNH THPT 2.1 ĐƯỜNG BẬC HAI TỔNG QUÁT: Đường bậc hai tập hợp (S) gồm tất điểm M(x;y) thảo mãn phương trình Ax2 + 2Bxy + Cy2 + 2Dx +2Ey + F = (S) (Trong A,B,C khơng đồng thời 0) 2.2 ĐƯỜNG BẬC HAI TRONG CHƯƠNG TRÌNH THPT - Trong chương trình THPT đề cập đến đường bậc hai Elíp, Hypebol, Parabol Đường trịn đề cập đến chúng dạng tắc - Đường bậc hai (S) phương trình đường bậc hai tổng quát cho tất đường bậc hai nói ứng với giá trị số A, B, C, D, E, F S đường Elíp Hypebol Parabol Đường Ngày 15 tháng năm 2006 Hai phương pháp viết phương trình tiếp tuyến Đường bậc hai trịn dạng tổng quát số đường bậc hai khác chương trình THPT khơng đề cập đến 2 2 ⇔ A x + D  + C  y + E  = D + E − F Cụ thể: Ta có (S)     A C A C     B=0  A=C ≠0 - Nếu ta có  (S) đường trịn có  D   E  F   +   − > A  A   A  phương trình dạng: Ax2 + Ay2 + 2Dx + 2Ey + F = (C) B=0   A>   - Nếu ta có:  C>0  D   E    +   − F >  A   C   B=0   A<   (S)  C  A   C      Phương trình tiếp tuyến (C) ( Sử dụng "Công thức phân đôi toạ độ" ) EMBED Equation.3 Ax0 x + Ay y + D( x + x0 ) + E ( y + y ) + F = Dạng 2: Đường trịn (C) có phương trình (x - a)2+ (y - b)2 = R2 Dùng "Công thức phân đôi toạ độ " cho ta phương trình tiếp tuyến là: (x0 - a )( x - a ) + (y0 - b )( y - b) = R2 b) Điều kiện cần đủ để đường thẳng tiếp tuyến đường tròn Đường thẳng (l ) : A1x + B1y + C1 = 0, Đường trịn (C) có tâm I(a ; b) bán kính R (R > 0) Ta có: Phương trình tiếp tuyến với (C) M (x0 - a )( x - a ) + (y0 - b )( y - b) = R2 Ngày 15 tháng năm 2006 Hai phương pháp viết phương trình tiếp tuyến Đường bậc hai (l ) tiếp tuyến (C) M hệ số hai đường thẳng tỉ lệ với Bằng biến đổi đại số cho ta điều kiện d(I; l) = R ( d hàm khoảng cách) Hoàn toàn với kết mà ta biết 5.2 PHƯƠNG TRÌNH TIẾP TUYẾN CỦA ELÍP Trong chương trình phổ thơng sách giáo khoa đề cập đến phương trình đường Elíp dạng tắc vấn đề nghiên cứu thực phương trình tắc Trong viét tơi mở rộng phạm vi nghiên cứa Elíp dạng tổng quát đầy đủ hơn, tất nhiên tập trung cho chủ đề dó phương trình tiếp tuyến với Elíp a) Phương trình tiếp tuyến Elíp điểm M -Xét phương trình Elíp hai dạng Dạng1: Ax2 + Cy2 + 2Dx +2Ey + F = B=0   A>   ĐK: EMBED Equation.3  C>0  D   E    +   − F >  A   C   EMBED Equation.3 B=0   A<    C   ĐK: EMBED Equation.3  EMBED C>0  D   E    +   − F >  A   C   B=0   A<   Equation.3  Để tìm điều kiện cần đủ cho đường C 0) Ngày 15 tháng năm 2006 (P) Trường THPT Lưu Đình Chất Giáo viên: Lê Văn Chí Điểm M(x0 ; y0) (P), phương trình tiếp tuyến (P) M áp dụng "Công thức phân đôi toạ độ" ta y y = p (x + x0) Tương tự cho dạng cịn lại ta áp dụng Cơng thức phân đôi toạ độ thuận lợi cho ta kết VD1: (P) có dạng Cy2 + 2Ey + 2Dx + F = ĐK: CD EMBED Equation.3 ≠ 0) M(x0 ; y0) (P) Phương trình tiếp tuyến M là: Cy0y + E(y0 + y ) + D(x + x0) + F=0 VD2: (P) có dạng y = ax2 + bx + c (a EMBED Equation.3 ≠ 0) Điểm M(x0 ; y0) (P) Phương trình tiếp tuyến M là: EMBED Equation.3 y + y0 = ax0x b EMBED Equation.3 + ( x0 + x ) + c b) Điều kiện cần đủ để đường thẳng tiếp tuyến Parabol Phương pháp xây dựng điều kiện cần đủ để đường thẳng tiếp tuyến Parabol tương tự phần xây dựng điều kiện cần đủ để đường thẳng tiếp tuyến Elíp cho ta kết sau: Cho đường thẳng (l) có phương trình A 1x + B1y + C1 = Dạng1: (P) có dạng y2 = 2px Điều kiện cần đủ để đường thẳng tiếp tuyến Parabol là: 2A' C' = p.B12 Dạng2: (P) có dạng y2 = - 2px ( với p > 0) Điều kiện cần đủ để đường thẳng tiếp tuyến Parabol là: - 2A' C' = p.B12 Dạng3: (P) có dạng x2 = 2py ( với p > 0) Điều kiện cần đủ để đường thẳng tiếp tuyến Parabol là: - 2B' C' = p.A12 Dạng4: (P) có dạng x2 = - 2py ( với p > 0) Ngày 15 tháng năm 2006 Hai phương pháp viết phương trình tiếp tuyến Đường bậc hai Điều kiện cần đủ để đường thẳng tiếp tuyến Parabol là: - 2B' C' = p.A12 Chú ý: Nếu (P) dạng EMBED Equation.3  Cy + 2Dx + 2Ey + F = 0;   Ax + 2Dx + 2Ey + F = 0; C.D ≠ AE ≠ Để tìm điều kiện cần đủ để đường thẳng (l) tiếp tuyến (P) ta làm sau: Bước1: Chuyển phương trình Parabol dạng EMBED Equation.3  E E2  C y +  = - 2Dx - F + ;  C C    D D2  ;  A x +  = - 2Ey - F + A A   C.D ≠ AE ≠ Bước2: Dùng công thức đổi trục toạ độ chuyển (P) dạng trình bày Chuyển phương trình đường thẳng (l) sang hệ toạ độ Bước 3: Trong hệ toạ đô áp dụng điều kiện cần đủ cho dạng cụ thể cho ta kết Như bạn ý cho đường bậc hai xét nên xét chúng dạng tắc Cịn dạng phức tạp khác nên dùng công thức đổi hệ trục toạ độ để chuyển chúng dạng tắc vận dụng cơng thức xây dựng phần đường bậc hai xét dạng tắc Kết luận 1: Bằng phương pháp giải tích ta xây dựng phương trình tiếp tuyến với đường bậc hai nói chung đường bậc hai nghiên cứu chương trình THPT nói riêng Trên sở vận dụng tìm điều kiện cần đủ để đường thẳng tiếp tuyến đường bậc hai cụ thể xét chương trình THPT Ngày 15 tháng năm 2006 Trường THPT Lưu Đình Chất Giáo viên: Lê Văn Chí PHẦN II SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP ĐẠI SỐ XÂY DỰNG PHƯƠNG TRÌNH TIẾP TUYẾN VỚI ĐƯỜNG BẬC HAI TRONG TRƯỜNG HỢP TỔNG QUÁT MỘT SỐ KHÁI NIỆM 1.ĐƯỜNG BẬC HAI: F(x; y) = Ax2 + 2Bxy + Cy2 + 2Dx +2Ey + F = (S) PHƯƠNG TRÌNH TIẾP TUYẾN CỦA ĐƯỜNG BC HAI Định nghĩa: ng thng (d) l tip tuyn đường bậc hai (S) Nếu d cát (S) tai hai điểm trùng d nằm trọn vện đường (S), (Điểm trùng nói đến định nghĩa gọi tiếp điểm) Trên cở sở định nghĩa ta xây dựng phương trình tiếp tuyến đường bậc hai (S) điểm nằm (S) PHƯƠNG TRÌNH TIẾP TUYẾT CỦA ĐƯỜNG BẬC HAI Cho đường bậc hai (S): F(x; y) =Ax2 + 2Bxy + Cy2 + 2Dx +2Ey + F =0 Điểm M(x0;yy0) (S) đường thẳng d có phương trình EMBED  x = x + at Equation.3  y = y + bt  (trong a,b không đồng thời 0) Xác định a,b để đường thẳng d tiếp tuyến (S) Ngày 15 tháng năm 2006 Hai phương pháp viết phương trình tiếp tuyến Đường bậc hai Xét phương trình giao điểm (S) d EMBED Equation.3   x = x0 + at     y = y + bt  Ax + 2Bxy + Cy + 2Dx + 2Ey + F =  ⇒ A( x + at ) + B( x0 + at )( y + bt ) + C ( y + bt ) + D( x + at ) + E ( y + bt ) + F = ⇔ Rt + Qt + P = 0, (1) Trong  P = A.a + Bab + Cb  EMBED Equation.3  Q = Aax0 + B( ay + bx0 ) + Cby + Da + Eb  R = Ax + 2Bx y + Cy + 2Dx + 2Ey + F 0 0 0  Do M EMBED Equation.3 ∈ (S) nên ta có EMBED Equation.3 2 Ax + 2Bx y + Cy + 2Dx + 2Ey + F EMBED Equation.3 ⇒ R = nên ta có (1) trở thành Rt2 + Qt = (2) Để d tiếp tuyến (S) phương trình (2) phải có hai nghiệm trùng Cần đủ Q = EMBED Equation.3 ⇒ EMBED Equation.3 Aax0 + B( ay + bx ) + Cby + Da + Eb EMBED Equation.3 ⇒ (Ax0 + B y0 + D)a + (Bx0 + C y0 + E)b = (3) Từ (3) - Nếu  Ax0 + By + D = EMBED Equation.3  Bx + Cy + E = ta chọn a, b tuỳ ý  "Đối với đường bậc hai chương trình THPT trường hợp khơng xảy trường hợp hàm bậc hai suy biến" - Nếu  Ax + By + D ≠ EMBED Equation.3  Bx + Cy + E = ta chọn   b = Ax0 + By + D Equation.3  a = −( Bx + Cy + E ) 0  Khi phương trình đường thẳng d có dạng Ngày 15 tháng năm 2006 EMBED Trường THPT Lưu Đình Chất Giáo viên: Lê Văn Chí (Ax0 + By0 + D)(x - x0) + (Bx0 + C y0 + E)(y- y0)= (4) Đặt Fx(x0; y0) = Ax0 + B y0 + D Fy(x0; y0) = Bx0 + C y0 + E (4) trở thành : Fx(x0; y0) (x - x0) + Fy(x0; y0) (y- y0)= (5) Vậy phương trình (5) phương trình đường thẳng d phương trình tiếp tuyến cuả đường bậc hai (S) điểm M Ta biến đổi (4) phương trình: (4) EMBED Equation.3 ⇔ Ax0x+ B(x0 y + y0 x) + Cy0y + D(x0 + x) + E(y0 + y) + F = (6) (Công thức phân đơi toạ độ) "Hồn tồn giống kết Phần I xây dựng phương pháp giải tích." VẬN DỤNG VIẾT PHƯƠNG TRÌNH TIẾP TUYẾN CỦA CÁC ĐƯỜNG BC HAI TRONG CHNG TRèNH THPT * Đờng tròn: Dng: Đường trịn (C) có phương trình Ax2 + Ay2 + 2Dx +2Ey + F = ĐK: EMBED Equation.3 A≠0  2   D  E   +   − F > , M(x0; y0) EMBED Equation.3 ∈ (C)  A   C   Ta có: Fx(x0; y0) = Ax0 + y0 + D Fy(x0; y0) = 0x0 + Ay0 + E áp dụng phương trình (5) cho ta phương trình tiếp tuyến (C) tai M là: Fx(x0; y0) (x - x0) + Fy(x0; y0) (y- y0) = EMBED Equation.3 ⇔ (Ax0 + D) (x - x0)+ (Ay0 + E) (y- y0) = EMBED Equation.3 ⇔ Ax0x+ Ay0y + D(x0 + x) + E(y0 + y) + F =0 Vậy phương trình tiếp tuyến đường trịn (C) là: Ax0x+ Ay0y + D(x0 + x) + E(y0 + y) + F = Tương tự cho đường tròn có phương trình Ngày 15 tháng năm 2006 Hai phương pháp viết phương trình tiếp tuyến Đường bậc hai (C): (x - a)2 + (y - b2 ) = R2 Điểm M(x0; y0) EMBED Equation.3 ∈ (C) Phương trinhg tiếp tuyến với (C) M : (x0 - a)( x - a) + (y0 - b)(y - b) = R2 * Đối với đường Elíp, Hypebol Parabol ta để viết phương trình tiếp tuyến với đường ta thực hoàn toàn tương tự phương trình đường trịn Tức cách áp dụng phương trình (5) phương trình (6) cho ta kết ngắn gọn * Giống Phần I việc xây dựng điều kiện cần đủ để đường thẳng tiếp tuyến đường bậc hai Kết cho ta hoàn toàn kết xây dựng Phần I Kết luận 2: Trên cở sở sử dụng phương pháp đại số ta xây dựng phương trình tiếp tuyến đường bậc hai điểm nằm trường hợp tổng quát thiết lập điều kiện cần đủ để đường thẳng tiếp tuyến đường bậc hai VII KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ: - Trên cở sở giải tích, đại số ( cổ điển) ta xây đựng phương trình tiếp tuyến đường bậc hai trường hợp tổng quát tìm điều kiện cần đủ để đường thẳng tiếp tuyến đường bậc hai trường hợp đường bậc hai xét chương trình THPT - Kết xây dựng vận dụng trực tiếp vào giải toán liên quan đến tiếp tuyến đường bậc hai bậc THPT cách đơn giản tất nhiên hiệu trông thấy - Vấn đề giải nhiều vướng mắc lí luận nhận thức đường bậc hai Đặc biệt vấn đề phương trình tiếp tuyến - Nghiên cứu tổng thể tương đói hồn chỉnh đối tượng hình học cỏ sở đại số giải tích mở cho bạn học sinh Ngày 15 tháng năm 2006 Trường THPT Lưu Đình Chất Giáo viên: Lê Văn Chí tầm nhìn khơng cho việc vận dụng thực hành mà cho nhận thức tổng quan qua lại đối tượng chỉnh thể hồn chỉnh khoa học tự nhiên - Tốn học thật thú vị, tìm hiểu ta phát điều thật bí ẩn hấp dẫn Đơi khơng q khó q bí hiểm lâu ta nghĩ, khó đơi lại gần ta mà ta chưa khám phá Mong với lịng nhiệt tình tình u tốn học, phát nhiều điều lí thú hữu dụng tốn học Hoằng Hoá, ngày 15 tháng năm 2006 Người viết: Giáo viên : Lê Văn Chí Ngày 15 tháng năm 2006 ... 2006 Hai phương pháp viết phương trình tiếp tuyến Đường bậc hai B BÀI TỐN VIẾT PHƯƠNG TRÌNH TIẾP TUYẾN PHƯƠNG TRÌNH TIẾP TUYẾN VỚI ĐƯỜNG BẬC HAI (Trong trường hợp tổng quát) Bài toán: Cho đường bậc. .. cho đường bậc hai chương trình THPT Từ tìm điều kiện cần đủ để đường thẳng tiếp tuyến đường bậc hai tương ứng PHƯƠNG TRÌNH TIẾP TUYẾN CỦA CÁC ĐƯỜNG BẬC HAI (Trong chương trình THPT) 5.1 PHƯƠNG TRÌNH.. .Hai phương pháp viết phương trình tiếp tuyến Đường bậc hai NHIỆM VỤ Nhằm xây dựng vào tranh đường bậc hai chương trình THPT cách cụ thể tổng quan Trên sở việc xây dựng phương trình tiếp tuyến