Một số bài toán thường gặp về đồ thị Chủ đề 1: Tiếp tuyến của đồ thị hàm số Loại 1: Tiếp tuyến tại một điểm Tiếp tuyến của đồ thị hàm số ( )y f x= tại điểm ( ) 0 0 ;M x y có phương trình ( ) ' 0 0 0 ( )y y f x x x− = − với 0 0 ( )y f x= Bài 1: (Đề thi tuyển sinh đại học khối B năm 2004) Cho hàm số 3 2 1 2 3 3 y x x x= − + (C) 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số. 2. Viết phương trình tiếp tuyến d của đồ thị (C) tại điểm uốn và chứng minh d là tiếp tuyến của (C) có hệ số góc nhỏ nhất. Bài 2: (Đề thi tuyển sinh đại học khối A năm 2009) Cho hàm số 2 2 3 x y x + = + (C) 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số 2. Viết phương trình tiếp tuyến với (C) biết rằng tiếp tuyến cắt trục hoành tại A, trục tung tại B sao cho tam giác OAB vuông cân tại O, ở đây O là góc tọa độ. Bài 3: (Đề thi tuyển sinh đại học khối D năm 2005) Cho hàm số 3 2 1 1 3 2 3 m y x x= − + (C m ) 1. Khảo sát sự biến thiên và vễ đồ thị (C) của hàm số khi m=1 2. Gọi M là điểm thuộc đồ thị (C m ) có hoành độ bằng -1. Tìm m để tiếp tuyến với (C m ) tại M song song với đường thẳng d: 5x-y=0 Bài 4: Cho hàm số 3 1 ( 1)y x m x= + − + ( ) m C 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số khi m=3 2. Tìm m để tiếp tuyến của ( ) m C tại giao điểm của nó với trục tung tạo với hai trục tọa độ một tam giác có diện tích bằng 8. Bài 5: Cho hàm số 2 32 − − = x x y 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số. 2. Cho M là điểm bất kì trên (C). Tiếp tuyến của (C) tại M cắt các đường tiệm cận của (C) tại A và B. Gọi I là giao điểm của các đường tiệm cận. Tìm toạ độ điểm M sao cho đường tròn ngoại tiếp tam giác IAB có diện tích nhỏ nhất. Bài 6: Cho hàm số y = (C) 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (C) 2. Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C), biết rằng khoảng cách từ tâm đối xứng của đồ thị (C) đến tiếp tuyến là lớn nhất. Bài 7: Cho hàm số 3 2 2 8 5y x x x= − + + (C) 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) hàm số 2. Chứng minh không có bất kỳ hài tiếp tuyến nào của đồ thị hàm số lại vuông góc với nhau. Bài 8: Cho hàm số 3 3 1y x x= − + (C) 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số 2. Viết phương trình tiếp tuyến d với (C) tai điểm có hoành độ x=2 3. Tiếp tuyến d cắt lại đồ thị (C) tại điểm N, tìm tọa độ của điểm N Bài 9 : (đề thi tuyển sinh đại học khối D năm 2010) Cho hàm số 4 2 6y x x= − − + 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số 2.Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) biết tiếp tuyến đó vuông góc với đường thẳng d: 1 1 6 y x= − Bài 10 : (đề thi tuyển sinh cao đẳng khối A năm 2011) Cho hàm số 3 2 1 2x 3x 1 ( ) 3 y x C= − + − + 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số 2.Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) tại giao điểm của (C) với trục tung Bài 11: (đề thi tuyển sinh cao đẳng khối A,A1,B,D năm 2012) Cho hàm số 2 3 ( ) 1 x y C x + = + 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số 2.Viết phương trình tiếp tuyến d của đồ thị (C) biết rằng d vuông góc với đường thẳng 2y x= + GV: Phan Bá Linh 1 Một số bài toán thường gặp về đồ thị Bài 12: Cho hàm số 2 3 ( ) 2 x y C x − = − 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số 2.Lập phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) sao cho tiếp tuyến cắt các đường tiệm cận của đồ thị (C) lần lượt tại M, N và chu vi tam giác IMN bằng 5 17+ , I là giao của hai đường tiệm cận. Bài 13: Cho hàm số 1 ( ) 3 x y C x − = + 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số 2.Lập phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) sao cho tiếp tuyến cắt các đường tiệm cận của đồ thị (C) lần lượt tại M, N. I là giao của hai đường tiệm cận. Thỏa ) 4a IA IB= ) 8b IA IB+ = GV: Phan Bá Linh 2 Một số bài toán thường gặp về đồ thị Chủ đề 1: Tiếp tuyến của đồ thị hàm số Loại 1: Tiếp tuyến tại một điểm Tiếp tuyến của đồ thị hàm số ( )y f x= tại điểm ( ) 0 0 ;M x y có phương trình ( ) ' 0 0 0 ( )y y f x x x− = − với 0 0 ( )y f x= Bài 1: (Đề thi tuyển sinh đại học khối B năm 2004) Cho hàm số 3 2 1 2 3 3 y x x x= − + (C) 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số. 2. Viết phương trình tiếp tuyến d của đồ thị (C) tại điểm uốn và chứng minh d là tiếp tuyến của (C) có hệ số góc nhỏ nhất Giải 1. Tự giải 2. Ta có ' 2 '' 4 3 2 4y x x y x= − + ⇒ = − Vậy điểm uốn của đồ thị là 2 2; 3 M    ÷   Khi đó ' ' 0 ( ) (2) 1y x y= = − Vậy tiếp tuyến d của đồ thị (C) tại điểm 2 2; 3 M    ÷   có phương trình ( ) ' 0 0 0 ( )y y f x x x− = − suy ra ( ) 2 1 2 3 y x− = − − hay 8 3 y x= − + Tiếp tuyến d có hệ số góc 1k = − Mặt khác tiếp tuyến của đồ thi (C) tại điểm bấy kỳ trên (C) có hệ số góc ( ) 2 ' 2 4 3 2 1 1k x x x k= − + = − − ≥ − = Vậy tiếp tuyến của (C) tại điểm uốn có hệ số góc nhỏ nhất. Bài 2: (Đề thi tuyển sinh đại học khối A năm 2009) Cho hàm số 2 2 3 x y x + = + (C) 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số 2. Viết phương trình tiếp tuyến với (C) biết rằng tiếp tuyến cắt trục hoành tại A, trục tung tại B sao cho tam giác OAB vuông cân tại O, ở đây O là góc tọa độ. Giải 1. Tự giải 2. Ta có : ' 2 1 (2 3) y x − = + Vì tiếp tuyến tạo với hai trục tọa độ một tam giác vuông cân nên hệ số góc của tiếp tuyến là: 1k = ± Khi đó gọi ( ) 0 0 ;M x y là tiếp điểm của tiếp tuyến với đồ thị (C) ta có ' 0 ( ) 1y x = ± 0 2 0 0 2 1 1 1 (2 3) x x x = −  − ⇔ = ± ⇔  = − +  Với 0 1x = − thì 0 1y = lúc đó tiếp tuyến có dạng y x= − (trường hợp này loại vì tiếp tuyến đi qua góc tọa độ, nên không tạo thành tam giác OAB) Với 0 2x = − thì 0 4y = − lúc đó tiếp tuyến có dạng 2y x= − − Vậy tiếp tuyến cần tìm là 2y x= − − Bài 3: (Đề thi tuyển sinh đại học khối D năm 2005) Cho hàm số 3 2 1 1 3 2 3 m y x x= − + (C m ) 1. Khảo sát sự biến thiên và vễ đồ thị (C) của hàm số khi m=1 2. Gọi M là điểm thuộc đồ thị (C m ) có hoành độ bằng -1. Tìm m để tiếp tuyến với (C m ) tại M song song với đường thẳng d: 5x-y=0 Giải 1. Tự giải 2. Ta có ' 2 y x mx= − Đường thẳng d: 5x-y=0 có hệ số góc bẳng 5, nên để tiếp tuyến tại M song song với đường thẳng d trước hết ta cần có ' ( 1) 5 1 5 4y m m− = ⇔ + = ⇔ = GV: Phan Bá Linh 3 Một số bài toán thường gặp về đồ thị Khi 4m = ta có hàm số 3 2 1 1 2 3 3 y x x= − + ta có 0 1x = − thì 0 2y = − Phương trình tiếp tuyến có dạng ' 0 0 0 ( )( ) 5( 1) 2 5 3y y x x x y y x y x= − + ⇒ = + − ⇔ = + Rõ ràng tiếp tuyến song song với đường thẳng d Vậy 4m = là giá trị cần tìm. Bài 4: Cho hàm số 3 1 ( 1)y x m x= + − + ( ) m C 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số khi m=3 2. Tìm m để tiếp tuyến của ( ) m C tại giao điểm của nó với trục tung tạo với hai trục tọa độ một tam giác có diện tích bằng 8. Giải 1. Tự giải 2. Ta có (0;1 )M m− là giao điểm của ( ) m C với trục tung ' 2 ' 3 (0)y x m y m= − ⇒ = − Phương trình tiếp tuyến với ( ) m C tại điểm m là 1y mx m= − + − Gọi A, B lần lượt là giao điểm của tiếp tuyến này với trục hoanh và trục tung, ta có tọa độ 1 ( ;0) m A m − và (0;1 )B m− Nếu 0m = thì tiếp tuyến song song với Ox nên loại khả năng này Nếu 0m ≠ ta có ( ) 2 9 4 5 1 1 1 1 8 . 8 1 8 16 2 2 7 4 3 OAB m m m S OAOB m m m m  = ± − − = ⇔ = ⇔ − = ⇔ = ⇔  = − ±   Vậy có 4 giá trị cần tìm Bài 5: Cho hàm số 2 32 − − = x x y 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số. 2. Cho M là điểm bất kì trên (C). Tiếp tuyến của (C) tại M cắt các đường tiệm cận của (C) tại A và B. Gọi I là giao điểm của các đường tiệm cận. Tìm toạ độ điểm M sao cho đường tròn ngoại tiếp tam giác IAB có diện tích nhỏ nhất. Giải 1. Tự giải 2. Ta có: 2x, 2x 3x2 ;xM 0 0 0 0 ≠         − − , ( ) 2 0 0 2x 1 )x('y − − = Phương trình tiếp tuyến với ( C) tại M có dạng: ( ) 2x 3x2 )xx( 2x 1 y: 0 0 0 2 0 − − +− − − =∆ Toạ độ giao điểm A, B của ( ) ∆ và hai tiệm cận là: ( ) 2;2x2B; 2x 2x2 ;2A 0 0 0 −         − − Ta thấy M0 0BA xx 2 2x22 2 xx == −+ = + , M 0 0BA y 2x 3x2 2 yy = − − = + suy ra M là trung điểm của AB. Mặt khác I = (2; 2) và tam giác IAB vuông tại I nên đường tròn ngoại tiếp tam giác IAB có diện tích S = π≥       − +−π=                 − − − +−π=π 2 )2x( 1 )2x(2 2x 3x2 )2x(IM 2 0 2 0 2 0 0 2 0 2 Dấu “=” xảy ra khi    = = ⇔ − =− 3x 1x )2x( 1 )2x( 0 0 2 0 2 0 Do đó có hai điểm M cần tìm là M(1; 1) và M(3; 3) Bài 6: Cho hàm số y = (C) 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (C) 2. Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C), biết rằng khoảng cách từ tâm đối xứng của đồ thị (C) đến tiếp tuyến là lớn nhất. GV: Phan Bá Linh 4 Một số bài toán thường gặp về đồ thị Giải 1. Tự giải 2. Giả sử M(x 0 ; y 0 ) thuộc (C) mà tiếp tuyến với đồ thị tại đó có khoảng cách từ tâm đối xứng đến tiếp tuyến là lớn nhất. Phương trình tiếp tuyến tại M có dạng : 0 0 2 0 0 1 ( ) ( 1) 1 x y x x x x = − − + − − 2 0 2 2 0 0 1 0 ( 1) ( 1) x x y x x ⇔ − − + = − − Ta có d(I ;tt) = 0 4 0 2 1 1 1 ( 1) x x − + + Xét hàm số f(t) = 4 2 ( 0) 1 t t t > + ta có f’(t) = 2 4 4 (1 )(1 )(1 ) (1 ) 1 t t t t t − + + + + f’(t) = 0 khi t = 1 Bảng biến thiên Từ bảng biến thiên ta có d(I ;tt) lớn nhất khi và chỉ khi t = 1 hay 0 0 0 2 1 1 0 x x x =  − = ⇔  =  + Với x 0 = 0 ta có tiếp tuyến là y = -x + Với x 0 = 2 ta có tiếp tuyến là y = -x+4 Bài 7: Cho hàm số 3 2 2 8 5y x x x= − + + (C) 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) hàm số 2. Chứng minh không có bất kỳ hài tiếp tuyến nào của đồ thị hàm số lại vuông góc với nhau. Giải 1. Tự giải 2. Ta có 2 '( ) 3 4 8y x x x= − + Giả sử trái lại có hai tiếp tuyến với đồ thị (C) vuông góc với nhau. Gọi 1 2 ,x x tương ứng là các hoành độ của hai tiếp điểm của hai tiếp tuyến đó. Gọi 1 2 ,k k lần lượt là các hệ số góc của hai tiếp tuyến tại các điểm trên (C) có hoành độ 1 2 ,x x .Khi đó ( ) ( ) ( ) ( ) ' ' 2 2 1 2 1 2 1 1 2 2 , 1 . 1 3 4 8 3 4 8 1k k y x y x x x x x= − ⇒ = − ⇒ − + − + = − (1) Tam thức ( ) 2 3 4 8f t t t= − + có ' 0∆ < nên ( ) 0f t t> ∀ ∈R từ đó và từ (1) suy ra mâu thuẫn. vậy giả thiết phản chứng là sai, suy ra (đpcm) Bài 8: Cho hàm số 3 3 1y x x= − + (C) 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số 2. Viết phương trình tiếp tuyến d với (C) tai điểm có hoành độ x=2 3. Tiếp tuyến d cắt lại đồ thị (C) tại điểm N, tìm tọa độ của điểm N Giải 1. Tự giải 2. Tiếp tuyến d tại điểm M của đồ thị (C) có hoành độ 0 0 2 3x y= ⇒ = Ta có 2 0 '( ) 3 3 '( ) '(2) 9y x x y x y= − ⇒ = = Phương trình tiếp tuyến d tại điểm m của đồ thị (C) là 0 0 0 '( )( ) 9( 2) 3 9 15y y x x x y y x y x= − + ⇒ = − + ⇒ = − Vậy phương trình tiếp tuyến d tại điểm M của đồ thị (C) là 9 15y x= − 3. Giả sử tiếp tuyến d cắt (C) tại N Xét phương trình ( ) ( ) 3 3 2 2 3 1 9 15 12 16 0 2 2 8 0 4 x x x x x x x x x x =  − + = − ⇔ − + = ⇔ − + − = ⇔  = −  Vậy ( ) 4; 51N − − là điểm cần tìm GV: Phan Bá Linh 5 Một số bài toán thường gặp về đồ thị Bài 9 : (đề thi tuyển sinh đại học khối D năm 2010) Cho hàm số 4 2 6y x x= − − + 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số 2.Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) biết tiếp tuyến đó vuông góc với đường thẳng d: 1 1 6 y x= − Giải 1.Tự giải 2. Do tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng d: 1 1 6 y x= − nên tiếp tuyến có hệ số góc bằng -6 Gọi ( ) 0 0 ;M x y là tiếp điểm của tiếp tuyến với đồ thị (C) Ta có 3 ' 4 2y x x= − − Hệ số góc của tiếp tuyến là ( ) 3 0 0 0 0 0 ' 4 2 6 1 4y x x x x y= − − = − ⇔ = ⇒ = Phương trình tiếp tuyến là ( ) ( ) ( ) 0 0 0 ' 6 1 4 6 10y y x x x y y x y x= − + ⇒ = − − + ⇒ = − + Vậy phương trình tiếp tuyến là 6 10y x= − + Bài 10 : (đề thi tuyển sinh cao đẳng khối A năm 2011) Cho hàm số 3 2 1 2x 3x 1 ( ) 3 y x C= − + − + 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số 2.Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) tại giao điểm của (C) với trục tung Giải 1. Học sinh tự giải 2. Tọa độ giao điểm của (C) với trục tung là (0;1)M Ta có 2 ' 4x 3y x= − + − hệ số góc của tiếp tuyến là '(0) 3y = − Phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm M là 3( 0) 1 3x 1y x y= − − + ⇒ = − + Vậy phương trinh tiếp tuyến là 3x 1y = − + Bài 11: (đề thi tuyển sinh cao đẳng khối A,A1,B,D năm 2012) Cho hàm số 2 3 ( ) 1 x y C x + = + 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số 2.Viết phương trình tiếp tuyến d của đồ thị (C) biết rằng d vuông góc với đường thẳng 2y x= + Giải 1. Học sinh tự giải 2. d vuông góc với đường thẳng 2y x= + nên d có hệ số góc bằng -1 Hoành độ tiếp điểm là 0 x ta có 0 2 0 0 2 0 0 0 1 '( ) 1 1 ( 1) 1 2 ( 1) x y x x x x =  − = − ⇔ = − ⇔ + = ⇔  = − +  Với 0 0x = phương trình tiếp tuyến d là 3y x= − + Với 0 2x = − phương trình tiếp tuyến d là 1y x= − − Bài 12: Cho hàm số 2 3 ( ) 2 x y C x − = − 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số 2.Lập phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) sao cho tiếp tuyến cắt các đường tiệm cận của đồ thị (C) lần lượt tại M, N và chu vi tam giác IMN bằng 5 17+ , I là giao của hai đường tiệm cận. Giải Bài 13: Cho hàm số 1 ( ) 3 x y C x − = + 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số 2.Lập phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) sao cho tiếp tuyến cắt các đường tiệm cận của đồ thị (C) lần lượt tại M, N. I là giao của hai đường tiệm cận. Thỏa ) 4a IA IB= ) 8b IA IB+ = Loại 2: Phương trình tiếp tuyến với đồ thị hàm số đi qua một điểm cho trước: GV: Phan Bá Linh 6 Một số bài toán thường gặp về đồ thị Phương pháp giải bài toán này là: - Quy về bài toán loại 1 - Sử dụng mệnh đề về điều kiện để hai đường tiếp xúc với nhau: Cho hai đường ( )y f x= và ( )y g x= . Hai đương tiếp xúc với nhau tại điểm M có hoành độ 0 x nếu như hệ sau đây thỏa mản : 0 0 0 0 ( ) ( ) '( ) '( ) f x g x f x g x =   =  Ví dụ 1: (Đề thi tuyển sinh đại học khối B năm 2008) Cho hàm số: 3 2 4 6 1 ( )y x x C= − + 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số 2. Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C) biết rằng tiếp tuyến đó đi qua điểm ( ) 1; 9M − − Giải 1. Tự giải 2. Đường thẳng 1x = − đi qua điểm ( ) 1; 9M − − không phải là tiếp tuyến của đồ thị (C) đường thẳng d đi qua điểm ( ) 1; 9M − − có hệ số góc k có phương trình ( ) 1 9y k x= + − đường thẳng d là tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm có hoành độ 0 x thì 0 x thỏa mãn hệ phương trình ( ) 3 2 2 4 6 1 1 9 (1) 12 12 (2) x x k x x x k  − + = + −   − =   Thay (2) vào (1) rồi rút gọn ta có: ( ) ( ) 0 3 2 2 0 0 0 0 0 0 0 1 4 3 6 5 0 1 4 5 0 5 4 x x x x x x x x = −   + − − = ⇔ + − − = ⇔  =  Khi 0 1x = − thì 24k = lúc đó phương trình tiếp tuyến là 24 15y x= + Khi 0 5 4 x = thì 15 4 k = lúc đó phương trình tiếp tuyến là 15 21 4 4 y x= − KL…… Ví dụ 2: Cho hàm số 4 2 1 3 3 ( ) 2 2 y x x C= − + 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số 2. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) biết tiếp tuyến đó đi qua điểm 3 0; 2 M    ÷   Giải 1. Tự giải 2. đường thẳng 0x = đi qua điểm 3 0; 2 M    ÷   không phải là tiếp tuyến của đồ thị (C) Đường thẳng d đi qua điểm 3 0; 2 M    ÷   có hệ số góc k có phương trình 3 2 y kx= + đường thẳng d là tiếp tuyến của đồ thị (C) tai điểm có hoành độ là 0 x thì 0 x là nghiệm của hệ phương trình 4 2 0 0 0 3 0 0 1 3 3 3 (1) 2 2 2 2 6 (2) x x kx x x k  − + = +    − =  Thay (2) vào (1) rồi rút gọc ta được ( ) 0 2 2 0 0 0 0 2 0 2 x x x x =  − = ⇔  = ±   GV: Phan Bá Linh 7 Một số bài toán thường gặp về đồ thị Khi 0 0x = thì 0k = lúc đó phương trình tiếp tuyến là 3 2 y = Khi 0 2x = − thì 2 2k = lúc đó phương trình tiếp tuyến là 3 2 2 2 y x= + Khi 0 2x = thì 2 2k = − lúc đó phương trình tiếp tuyến là 3 2 2 2 y x= − + Từ đó suy ra có ba tiếp tuyến là 3 2 y = ; 3 2 2 2 y x= + ; 3 2 2 2 y x= − + Ví dụ 3: Cho hàm số : 3 2 3 ( )y x x C= + 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số 2. Tìm các điểm trên trục hoành sao cho từ đó vẽ được ba tiếp tuyến đến đồ thị (C), trong đó có hai tiếp tuyến vuông góc với nhau. Giải 1. Tự giải 2. Gọi ( ) ;0M a là điểm thuộc trục hoành, Tiếp tuyến với đồ thị (C) đi qua M có hệ số góc k có dạng: ( ) y k x a= − Gọi 0 x là hoành độ tiếp điểm thì 0 x thỏa mãn hệ phương trình ( ) 3 2 0 0 0 2 0 0 3 (1) 3 6 (2) x x k x a x x k  + = −   + =   Thay (2) vào (1) rồi rút gọn ta có kết quả: ( ) ( ) 0 3 2 0 0 0 2 0 0 0 0 (3) 2 3 1 6 0 ( ) 2 3 1 6 0 (4) x x a x ax f x x a x a =  + − − = ⇔  = + − − =  Để (3) và (4) có ba nghiệm phân biệt thì (4) phải có hai nghiệm phân biệt khác 0 điều đó xảy ra khi: 0 (0) 0 3 (*) 0 1 3 a f a a ≠   ≠  < −   ⇔    ∆ >    > −    Tại điểm M 1 có hoành độ 0 thì theo (2) suy ra tiếp tuyến với (C) tại M 1 song song với Ox. Vì mọi đường thẳng song song với Oy không phải là tiệp tuyến với (C). Nên để thỏa mãn điều kiện đầu bài thì các tiếp tuyến với (C) tai điểm M 2 , M 3 phải vuông góc với nhau, hoành độ M 2 , M 3 tương ứng là các nghiệm t 1 ,t 2 của phương trình: ( ) ( ) 2 2 3 1 6 0 5t a t a+ − − = Hệ số góc tương ứng của tiếp tuyến theo (2) là: 2 2 1 1 1 2 2 2 3 6 ; 3 6k t t k t t= + = + Hai tiếp tuyến vuông góc với nhau khi và chỉ khi ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 1 2 1 1 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 3 6 3 6 1 9 18 36 1 6k k t t t t t t t t t t t t= − ⇔ + + = − ⇔ + + + = − Áp dụng định lý Viét ta có ( ) 1 2 1 2 3 1 2 3 a t t t t a  − + =    = −  Nên từ (6) sau khi rút gọn ta được 1 27 1 0 27 a a− + = ⇔ = Vậy 1 ;0 27 M    ÷   là điểm duy nhất trên (C) cần tìm. Bài 2: BÀI TOÁN VỀ CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ Loại 1: Các bài toán về sự tồn tại cực trị GV: Phan Bá Linh 8 Một số bài toán thường gặp về đồ thị Loại bài toán này thường có dạng sau: Tìm tham số để các hàm số có cực trịn và các cực trị này thỏa mãn những điều kiện nào đó cho trước. Phương pháp giải bài toán này là sử dụng điều kiện tồn tại cực trị của hàm số (các hàm số đa thức) kết hợp với việc sử dụng các kết quả về tam thức bậc hai, định lý viét, lý thuyết về phương trình và bất phương trình. Ví dụ 1: (Đề thi tuyển sinh đại học khối B năm 2007) Cho hàm số ( ) 3 2 2 2 3 3 1 3 1y x x m x m= − + + − − − (1) 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số khi 1m = 2. Tìm m để hàm số (1) có cực đại, cực tiểu và các điểm cực trị cách đề góc tọa độ. Giải 1. Tự giải 2. Ta có ( ) 2 2 ' 3 6 3 1y x x m= − + + − Hàm số có cực trị khi và chỉ khi phương trình ' 0y = có hai nghiệm phân biệt Khi và chỉ khi ( ) ( ) 2 2 2 2 3 6 3 1 0 2 1 0x x m x x m− + + − = ⇔ − − − = có hai nghiệm phân biết Khi và chi khi 2 ' 1 1 0 0m m∆ = + − > ⇔ ≠ (2) Khi thỏa mãn (2) hàm số có cực trị tại ( ) 3 1 ; 2 2A m m− − − và ( ) 3 1 ; 2 2B m m+ − + Theo bài ra ta có ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 3 3 3 1 1 2 2 1 2 2 4 2 OA OB m m m m m m m= ⇔ − + − − = + + − + ⇔ = ⇔ = ± Vậy 1 2 m = ± là các giá trị cần tìm Ví dụ 2 : (Đề thi tuyển sinh đại học khối B năm 2002) Cho hàm số ( ) 4 2 2 9 10y mx m x= + − + (1) 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số khi 1m = 2. Tìm m để đồ thị (1) có ba cực trị Giải 1. Tự giải 2. Ta có ( ) 3 2 ' 4 2 9y mx m x= + − Đồ thị (1) có ba cực trị khi và chỉ khi phương trình ' 0y = có ba nghiệm phân biệt. Ta có ( ) 3 2 ' 0 4 2 9 0y mx m x= ⇔ + − = (2) ( ) 2 2 0 ( ) 4 2 9 0 x h x mx m =  ⇔  = + − =   Như vậy (2) có ba nghiệp phân biết khi và chỉ khi ( ) 0h x = có hai nghiệm phân biệt khác 0 tức là khi và chỉ khi 2 2 (0) 9 0 3 9 0 3 0 2 h m m m m m  = − ≠ < −   ⇔  −  < < >    (3) Vậy (3) là tập hợp các giá trị cần tìm Ví dụ 3 : Cho hàm số 3 2 2 2 2( 1) ( 4 1) 2( 1)y x m x m m x m= + − + − + − + (1) 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số khi 0m = 2. Tìm m để hàm số (1) đạt cực trị tại 1 2 ,x x sao cho ( ) 1 2 1 2 1 1 1 2 x x x x + = + Giải 1. Tự giải 2. Ta có 2 2 ' 3 4( 1) ( 4 1)y x m x m m= + − + − + Đồ thị (1) có cực trị khi phương trình ' 0y = có hai nghiệm phân biệt Ta có 2 2 ' 0 3 4( 1) ( 4 1) 0y x m x m m= ⇔ + − + − + = (2) GV: Phan Bá Linh 9 Một số bài toán thường gặp về đồ thị (2) có nghiệm 2 2 2 2 3 ' 4( 1) 3( 4 1) 0 4 1 0 2 3 m m m m m m m  < − − ⇔ ∆ = − − − + > ⇔ + + > ⇔  > − +   (3) Khi m thỏa mãn (3) đồ thị hàm số đạt cực trị tại 1 2 ,x x là hai nghiệm của phương trình (2) Theo định lý viét, ta có ( ) 1 2 2 1 2 4 1 3 4 1 . 3 m x x m m x x  − + =    − +  =   Từ đó ta có ( ) ( ) 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 0 1 1 1 1 2 2 2 x x x x x x x x x x x x x x + =  + + = + ⇔ = + ⇔  =  Vậy 2 4(1 ) 1 0 3 1 4 1 2 5 3 m m m m m m −  =  =   ⇔ = −   − +   = =    Đối chiếu với điều kiện (3), suy ra có hai giá trị cần tìm của m là m=1 và m=5 Ví dụ 4 : Cho hàm số ( ) ( ) 3 2 1 2 5 4 3 1 3 y x m x m x m= + − + + + + (1) 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi m=0 2. Tìm m để hàm số (1) đạt cực trị tại 1 2 ,x x sao cho 1 2 2x x< < Giải 1. Tự giải 2. Ta có ( ) ( ) 2 ' 2 2 5 4y x m x m= + − + + Đồ thị hàm số (1) có cực trị khi phương trình ' 0y = có hai nghiệm phân biệt Ta có ( ) ( ) 2 ' 0 2 2 5 4 0y x m x m= ⇔ + − + + = (2) (2) có hai nghiệm phân biết ( ) ( ) 2 2 0 ' 2 5 4 0 9 0 9 m m m m m m <  ⇔ ∆ = − − + > ⇔ − > ⇔  >  (3) Khi m thỏa mãn điều kiên (3) đồ thị (1) có cực trị tại 1 2 ,x x là hai nghiệm của phương trình (2) Để thỏa mãm điều kiện 1 2 2x x< < ta cần có ( ) ( ) ( ) 1 2 1 2 1 2 2 2 0 . 2 4 0x x x x x x− − < ⇔ − + + < Theo định lý viét, ta có 1 2 1 2 2(2 ) 5 4 x x m x x m + = −   = +  Ta có 5 4 2.2(2 ) 4 0 9 0 0m m m m+ − − + < ⇔ < ⇔ < KL : 0m < là các giá trị cần tìm Ví dụ 5 : (Đề thi tuyển sinh đại học khối B năm 2011) Cho hàm số 4 2 2( 1) (1)y x m x m= − + + m là tham số a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số khi 1m = b. Tìm m để đồ thị hàm số (1) có 3 điểm cực trị A, B, C sao cho OA BC= , trong đó O là góc tọa độ, A là điểm cực trị thuộc trục tung, B và C là 2 điểm cực trị còn lại. Giải a. Học sinh tự giải b. Ta có 3 2 ' 4 4( 1) 4x( 1)y x m x x m= − + = − − ( ) 2 2 0 ' 0 4x( 1) 0 1 2 x y x m x m =  = ⇔ − − = ⇔  = +  Để đồ thị hàm số có 3 điểm cực trị khi và chỉ khi (2) có 2 nghiệm phân biệt khác 0 1 (*)m⇔ > − GV: Phan Bá Linh 10 [...]... Phan Bá Linh 11 Một số bài toán thường gặp về đồ thị  x1 + x2 = m Khi đó x1 , x2 là 2 nghiệm của phương trình y’=0 trên, theo định lý Viét ta có  2  x1 x2 = 1 − 3m m = 0 2 x1.x2 + 2( x1 + x2 ) = 1 ⇔ 1 − 3m + 2m = 1 ⇔  m = 2 3  2 Kiểm tra điều kiện ta được m = 3 GV: Phan Bá Linh 12 Một số bài toán thường gặp về đồ thị Bài 3: BÀI TOÁN VỀ SỰ TƯƠNG GIAO CỦA HÀM SỐ Nội dung của bài toán như sau: Cho... 16 Một số bài toán thường gặp về đồ thị −x +1 2x-1 a Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) hàm số b Chứng minh rằng với mọi m đường thẳng y = x + m luôn cắt đồ thị (C) tại 2 điểm phân biệt A và B, Gọi k1 , k2 lần lượt là hệ số góc của các tiếp tuyến của đồ thị (C) tại A và B Tìm m để tổng k1 + k2 đạt giá trị lớn nhất Giải a Học sinh tự giải b Hoành độ giao điểm của đường thẳng d : y = x + m và đồ thị. .. thiên và vẽ đồ thị hàm số khi m = 1 b Tìm m để đồ thị hàm số (Cm) có ba cực trị là ba đỉnh của một tam giác vuông cân GV: Phan Bá Linh 19 Một số bài toán thường gặp về đồ thị 2x −1 (C ) x −1 a Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số b Gọi I là giao điểm của hai đường tiệm cận của (C) Tìm điểm M thuộc (C) sao cho tiệp tuyến của (C) tại M vuông góc với đường thẳng IM 5 Cho hàm số y = x 4 − 6... Theo định lý Viét của phương trình (*)   x1.x2 = 2  GV: Phan Bá Linh 17 Một số bài toán thường gặp về đồ thị Suy ra (1 − 3k ) + 4k + 2 = 0 ⇔ k = −3 thỏa mãn (**) Vậy k = −3 là giá trị cần tìm BÀI 4 : TÌM ĐIỂM THUỘC ĐỒ THỊ THỎA MÃN ĐIỀU KIỆN CHO TRƯỚC Ví dụ 1 : x+2 (C ) x −1 1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số 2 Gọi M là điểm bất kỳ trên (C) Tìm tọa độ điểm M để tổng khoảng cách từ... = BÀI TẬP TỔNG HỢP 4 2 2 1 Cho hàm số y = mx + ( m − 9 ) x + 10 (Cm ) a Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số khi m = 1 b Tìm m để hàm số (Cm) có ba cực trị 4 2 2 Cho hàm số y = x + mx + m − 1 (Cm ) a Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số khi m = 8 b Tìm m đề đồ thị hàm số (Cm) cắt trục hoành tại bốn điểm phân biệt 4 2 2 3 Cho hàm số y = x − 2m x + 1 (Cm ) a Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ. .. nhỏ hơn 4 GV: Phan Bá Linh 13 Một số bài toán thường gặp về đồ thị t = 1 (3)  t = 3m + 1 m ≠ 0 3m + 1 ≠ 1  ⇔ 1 Từ đó suy ra  (4) 0 < 3m + 1 < 4 − 3 < m < 1  Vậy (4) là tập hợp các giá trị cần tìm của m Ví dụ 4: 3 2 2 2 Cho hàm số y = x + 2 ( m − 1) x − ( m + 4m + 1) x + 2 ( m + 1) (1) 1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số khi m=0 2 Tìm m để đồ thị (1) cắt trục hoành tại ba.. .Một số bài toán thường gặp về đồ thị Khi đó A(0; m), B (− m + 1; −m 2 − m − 1), C ( m + 1; − m 2 − m − 1) Do đó OA = BC ⇔ m 2 = 4(m + 1) ⇔ m 2 − 4m − 4 = 0 ⇔ m = 2 ± 2 2 thỏa mãn (*) Vậy m = 2 ± 2 2 là giá trị cần tìm Ví dụ 6 : (Đề thi tuyển sinh đại học khối A năm 2012) Cho hàm số y = x 4 − 2(m + 1) x 2 + m 2 (1) m là tham số a Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số khi m =... năm 2012) Cho hàm số y = x 3 − 3mx 2 + m3 (1) m là tham số a Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số khi m = 1 b Tìm m để đồ thị hàm số (1) có 2 điểm cực trị A và B sao cho tam giác OAB có diện tích bằng 48 Giải a Học sinh tự giải b Ta có y ' = 3x 2 − 6mx x = 0 y ' = 0 ⇔ 3x 2 − 6mx = 0 ⇔   x = 2m Đồ thị hàm số có 2 cực trị khi và chỉ khi m ≠ 0 (*) Các điểm cực trị của đồ thị là A(0;3m3 ),... GV: Phan Bá Linh 18 Một số bài toán thường gặp về đồ thị Với I ≤ −2 3 ⇒ I + 2 ≤ 2 − 2 3 ⇒ I + 2 ≥ −2 + 2 3 ⇒ d ' ≥ −2 + 2 3 Vậy d ' ≥ −2 + 2 3   3   x0  1 + ÷≥ 0 ⇔ x0 = 1 − 3 Dấu ‘=’ xảy ra ⇔   x0 − 1    x0 − 1 = − 3 Vậy với M 1 − 3;1 − 3 thì tổng khoảng từ M đến 2 trục tọa độ là nhỏ nhất ( ) Ví dụ 2 : 2x + 2 (C ) x −1 1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số 2 Tìm 2 điểm M, N... + ( 1 − m ) x + m = 0 ⇔ ( x − 1) ( x 2 − x − m ) = 0 ⇔  2  f ( x) = x − x − m = 0 (2) để đồ thị (1) cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt khi và chỉ khi phương trình (2) có hai nghiệm phân biệt khác 1, Khi đó x1 = 1 và (2) có hai nghiệm phân biệt là x2 , x3 GV: Phan Bá Linh 14 Một số bài toán thường gặp về đồ thị m ≠ 0 m ≠ 0  f (1) ≠ 0 m ≠ 0   1     ⇔ 1 + 4m > 0 ⇔ m > − ⇔ 1 (3) Vậy điều . tìm. Bài 2: BÀI TOÁN VỀ CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ Loại 1: Các bài toán về sự tồn tại cực trị GV: Phan Bá Linh 8 Một số bài toán thường gặp về đồ thị Loại bài toán này thường có dạng sau: Tìm tham số để. tuyến với đồ thị hàm số đi qua một điểm cho trước: GV: Phan Bá Linh 6 Một số bài toán thường gặp về đồ thị Phương pháp giải bài toán này là: - Quy về bài toán loại 1 - Sử dụng mệnh đề về điều kiện. Linh 12 Một số bài toán thường gặp về đồ thị Bài 3: BÀI TOÁN VỀ SỰ TƯƠNG GIAO CỦA HÀM SỐ Nội dung của bài toán như sau: Cho các đường cong (hoặc đường thẳng) ( )y f x= và ( )y g x= thường