Nguyễn Đình Sỹ HƯỚNG DẪN GIẢI BÀI TẬP CỦA BÀI GIẢNG SỐ 3 : HỆ CÓ CẤU TRÚC ĐẶC BIỆT c. ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 19 2001 7 x xy y x y HH x xy y x y  + + = −  −  − + = −   ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 0 3 19 6 0 19 * 1 7 7 ( ) 6 x y x y xy x y xy x y xy x xy y x y x y x xy y x y x y xy x y x y x y xy  − =       − + = − = − = + + = −      ⇔ ⇔ ⇔     − =  − + = − − + = − − = −         =    Giải (*) cho ta nghiệm x,y . d. ( ) 2 2 3 2 2001 3 2 x y x TL y x y  + =   −   + =   . Đây là hệ đối xứng kiểu 2 đã biết cách giải . Bài 2. Giải các hệ phương trình sau : a. ( ) ( ) 2 3 2 4 2 5 4 2008 5 1 2 4 x y x y xy xy KA x y xy x  + + + + = −   −   + + + = −   Hệ viết lại : ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 5 5 4 4 ; 5 5 4 4 x y xy x y xy u v uv u x y v xy x y xy u v   + + + + = − + + = −     ⇔ = + =     + + = − + = −     Học sinh giải tiếp ta được : ( ) 2 3 3 2 0 0 5 5 4 4 3 25 3 ; ; , 1; 1 1 4 16 2 2 2 3 3 2 2 u x y v xy x y u x y v xy   =  + =          = − = −             ⇔ ⇒ = − −  ÷  ÷    ÷   = −   + = −                = −  = −       b. ( ) 2 2 2 1 7 08 1 13 xy x y KB x y xy y + + =  −  + + =  ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 7 7 1 7 1 1 7 13 * 1 1 13 1 13 13 x x x x y y xy x y y y x x x y y x y xy y x x x y y y y     + + = + + =   ÷  + + =         ⇔ ⇔ ⇒ + + − + =     ÷  ÷ + + =          + + = + + =  ÷       Đặt : ( ) ( ) 2 2 3 89 1 2 * : 3 20 0 1 1 1 0 3 89 2 x ty t x ty t x t t t ty y ty ty y t  − =  =  =    = + ⇒ − − = ⇔ ⇔ ⇔   = −  − + = +   =    Giải (1) tìm được x,y. Bài 3. Giải các hệ phương trình sau : Thân tặng tập thể lớp 12 TÀI LIỆU LƯU a. ( ) ( ) 4 3 2 2 3 2 1 1 1 2 x x y x y x y x xy  − + =   − + = −   Lấy (1) trừ cho (2) vế với vế ta được phương trình : ( ) ( ) ( ) 2 2 4 3 2 2 2 2 2 2 1 2 2 0 2 0 2 x xy x x y x y x xy x xy x xy x xy  − = ⇔ − + + − − = ⇔ − + − − = ⇔  − = −  Thay lần lượt vào (2) : ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 3 2 2 2 3 2 2 2 1 1 1 1 0 0 0 2 2 2 3 3 2 3 x xy x xy x xy x x x xy x y x xy x xy x xy x y x xy x x   − =    − =  − =         − =  = =        ⇔ ⇔ ⇔        − = − − = − − = −            = − = − + = −          Học sinh giải tiếp b. ( ) 4 3 2 2 2 2 2 9 08 2 6 6 x x y x y x CD KB x xy x  + + = +  − −  + = +   ( ) ( ) ( ) 2 2 4 3 2 2 2 2 2 9 3 2 2 9 6 6 2 6 6 4 2 x xy x x x y x y x x x x xy x xy  + = +  + + = +   ⇔   − + + = +    =  . Thay (4) vào (3) sau đó rút gọn ta có : ( ) 4 3 2 3 3 2 0 0 0 12 48 64 0 4 12 48 64 0 4 0 x x x x x x x x x x x x =  = =   ⇔ + + + = ⇔ ⇔ ⇒    = − + + + = + =     X=0 loại . Vậy hệ có nghiệm duy nhấy : ( ) 17 ; 4; 4 x y   = −  ÷   c. ( ) ( ) 2 1 2 1 2 2 1 1 1 1 0 2 2 0 2 21 0 1 1 2 2 2 2 2 2 2 1 3 2 2 x x x x x y x x y x x x x y x y x y x y x y y x x y x y x y x y x x − − + − + − − −  − = =       − = = − + − =  + = +       ⇔ ⇔ ⇔     + = + = − = − − = −             − = − − =     • Khi x=y , thì x=-1. Vậy nghiệm của hệ là : (x;y)=(-1;-1) • Khi x+y=1 , (2) có nghiệm duy nhất : x=1 , do đó hệ có nghiệm : (x;y)=(1;0) d. ( ) ( ) ( ) 2 2 1 2 2 2 3 2 2 1 2 2 2 4 1 0 2 x y x xy x y x x y x −  + + =     + − − + =   . Từ (2) : ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 1 2 2 2 2 1 0 2 1 0 * 1 2 x y x x y x x y x x y x x xy x −  =    ⇔ + − + + = ⇔ + − = ⇔    −  =   Thay vào phương trình (1): 2 2 2 1 1 2 1 1 2 2 2 x x x x x − − ⇔ − = − . Phương trình này đã biết cách giải ở phần phương pháp giải phương trình mũ . Bài 4. Giải các phương trình sau : Tự soạn : Nguyễn Đình Sỹ - ĐT: 0985.270.218 Trang 2 TÀI LIỆU LƯU a. ( ) 3 3 3 3 3 3 3 3 3 2 2 2 2 1 1 19 19 19 1 19 1 . 6 6 6 6 y y u v x y x x x y u v u v y y y xy x y x x x x   + = + =     + = + =     ⇔ ⇔ ⇔       + = − + = −       + = − + = −  ÷       . Với : 1 ;u v y x = = Học sinh tự giải tiếp . b. 2 3 2 2 3 2 2 2 2 2 1 2 12 0 2 12 0 1 2 12 0 8 12 8 1 12 12 8 1 y y x xy y u uv x x y x u v y x x    + + =   ÷   + + = + + =      ⇔ ⇔    + = + =        + =  ÷     . Với : 2 1 ; y u v x x = = Giải tiếp tìm được u,v , sau đó tìm x,y . d. 2 2 2 2 2 5 2 1 0 4 12 12 10 0 x xy y x y x y xy x y  + + + + + =   + + + + + =   . Lấy (1) trừ cho (2) vế với vế ta có : ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 11 11 9 0 11 9 11 9 *x y xy x y x y xy x y xy x y x y⇔ + + − − − = ⇔ + − − + = ⇒ = + − + − Phương trình (2) : ( ) ( ) 2 2 12 10 0x y xy x y⇔ + + + + + = . Thay (*) vào ta được : ( ) ( ) 2 2 3 10 8 0 3 4 x y x y x y x y  + = −  ⇔ + − + − = ⇔  + =  Vậy hệ đã cho : 2 2 2 3 3 659 2 2 11 9 9 3 3 4 4 37 16 11.4 9 x y x y xy xy x y x y xy xy     + = − + = −                   = − = − − − − ⇔ ⇔   ÷  ÷             + =   + =      = − = − −      . Giải tiếp ta tìm được x,y Bài 5. Giải các hẹ phương trình sau : a. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 10 0 12 20 0 ln 1 ln 1 ln 1 ln 1 x y x y x xy y x y x y x y x y − − =  − + =   ⇔   + − + = − + − + = −     Từ (2) : ( ) 1 ln 1 ln(1 ) ( ) ln 1; '( ) 1 0 0x x y y f t t t f t t t + − = + − ⇔ = + − = + > ∨ > . Chứng tỏ hàm số f(t) đồng biến . Cho nên để có (2) thì chỉ xảy ra khi x=y. • Nếu : ( ) ( ) x=2y ; 0;0 x=y x y  ⇒ =   , • Nếu : ( ) ( ) 10 ; 0;0 x y x y x y =  ⇒ =  =  b. ( ) ( ) ( ) ( ) 3 2 3 3 2 3 2 3 3 2 1 1 3 3 1 3 3 3 2 1 log log 3 2 1 2 y x x x y y x x x y y x x y x y x  − = − −  ⇒ ⇔ − + − = − + −    − −   + = −  ÷   ÷ − −      ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 3 3 3 3 1 3 3 1 1 3 1 3 *x y y x x x y y⇔ − = − + − ⇔ − − − = − Để (*) xảy ra khi và chỉ khi : x-1=y, hay : x=y+1, x-2=y-1 . 2 1 1 x y − ⇔ = − Tự soạn : Nguyễn Đình Sỹ - ĐT: 0985.270.218 Trang 3 TÀI LIỆU LƯU Thay vào (2) ta có : ( ) ( ) 2 2 log 1 log 1 3 3 0 3 y x x x x+ = − ⇒ − = ⇔ = .Vậy : y=x-1=3-1=2 Do đó nghiệm của hệ phương trình là : (x;y)=(3;2). c. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 3 2 2 2 2 4 2 3 4 6 2 2 3 2 2 2 2 2 0 2 2 2 0 2 1 1 2 1 1 2 1 1 y x x y yx x x y y x x x y x y x x y x x y x x y x   − + + + =  + = + − + − =    ⇔ ⇔    + + = + + + = +    + + = +    -Trường hợp 1: y= 2 x , thay vào (2) : ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 1 1 2 2 2 0 2;x x x x t x t x t t x+ + = + + ⇔ − + + = ⇒ = = 2 2 2 1 2 3 3 . 1 x x x x x x  + = ⇒ = ↔ = ±  ⇔  + = ⇒ ∈∅  -Trường hợp : ( ) 2 2 2 4 2 2 2 4 2 0 yx 2 0x y yx x y x x+ + + = ⇔ + + + = ( ) 4 2 4 4 2 4 2 3 8 0 0 y y x x x x x x R⇒ ∆ = − + = − − < ∨ ∈ → ∆ < 2 2 2 4 (, ) 2 0 ,f y x y yx x x y⇒ = + + + > ∨ . Phương trình vô nghiệm . Do đó hệ có hai nghiệm : (x;y)= ( ) ( ) 3;3 , 3;3− d. ( ) ( ) 2 2 6 2 2 2 2 3 0 2 2 6 0 2 3 2 2 3 2 2 3 2 x y x y x y y x y y x y y x y y y x x y x y x x y x y x x y x y   + = − −  − + − − = − − − − =    ⇔ ⇔    + − = + −    + − = + −  + − = + −   - Trường hợp 1: 2 0 2 2 2 4 y x y y x y y ≤  − = − ⇔  − =  . Thay vào (2) 2 2 2 2 4 5 2 2 4 5 2 4 7 2 0x y y y y y y y y⇔ − = + − ⇔ − = + − ⇒ + − = - Trường hợp : ( ) 2 2 0 0 2 3 * 2 9 9 2 y y x y y x y y x y y ≥ ≥   − = ⇒ ⇔   − = = +   . Thay vào (2) : 2 2 2 2 9 2 3 9 2 3 2 9 5 9 5 2 0y y y y y y y y y y⇔ + + = + + − ⇔ + = + − = 2 2 2 2 1 2 9 5 0 9 5 4 0 4 9 5 2 2 0 9 y t t y y y y y y y t t = −  =   = + ≥    ⇔ ⇔ ⇒ + − = ↔    = + = − − =      Thay lần lượt các giá trị của y vào (*) ta tìm được x . Bài 6. Giải các hệ phương trình sau : a. ( ) ( ) 2 2 2 2 1 1 2 xy x y x y x y x y  + + =  +   + = −  . Từ (2) viết lại : ( ) 2 2 2 x y x y x x x y x y x x+ + + = + ⇔ + + + = + Ta xét hàm số f(t)= ( ) ( ) 2 0 ' 2 1 0 0t t t f t t t+ ≥ ⇒ = + > ∨ ≥ . Chứng tỏ f(t) là một hàm số đồng biến , cho nên ta có : 2 x y x y x x+ = ⇔ = − . (*) Thay vào (1) : ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 2 1 0 x x x xy x y x x x x x x x x x − ⇔ + + = ⇔ + − + = ⇔ − + − + − = ( ) ( ) ( ) ( ) 2 3 2 1 0 1 1 1 2 0 ** 3 0 x x x x x x x x − =  ⇔ − + + − + = ⇔  − + + =  Tự soạn : Nguyễn Đình Sỹ - ĐT: 0985.270.218 Trang 4 TÀI LIỆU LƯU Giải (**) ta tìm được x , thay vào (*) tìm được y , từ đó suy ra nghiệm của hệ b. ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 96 3 48 2 96 24 24 2 24 4 y x y y x y y x y x y x y y x y x x y x y x    − = − = − =    ⇔ ⇔    + + − = + − = − + − = −       . Thay (3) vào (4) ta có : 2 2 576 96 480 96 48 576 10 48 48 x x x x − + = − + ⇔ = = = Thay vào (1) : ( ) 2 2 2 2 2 4 2 2 36 100 48 100 48 100 2034 0 64 y y y y y y y y  = ⇔ − = ⇔ − = ⇔ − + = ⇒  =  Vậy : (x;y)=(10;-6),(10;6),(10;-8),(10;8) c. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 3 2 0 2 2 3 0 2 3 4 6 4 4 12 3 2 4 12 7 0 2 2 7 2 1 0 y x x x y xy x y x y x y x y y x y y  + + + = + + = + + = −    ⇔ ⇔    + + + = + + + − = + + + − =      -Trường hợp : x+2=0 , thay vào (2) : ( ) 7 7 1 2 ; 2; , 2; 1 2 2 2 y x y y  = −      ⇒ ⇔ = − − −   ÷  ÷      =   -Trường hợp : 2y+3=0 hay : 2y=-3 , thay vào (2) : ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 3 3 2 3 7 3 1 0 2 4 ; 2; , 6; 6 2 2 x x x x y x =      ⇔ + + − + − − = ⇔ + = ⇔ ⇔ = − − −  ÷  ÷  = −      d. ( ) ( ) ( ) ( ) 2 1 2 2 2 2 2 1 2 2 2 2 2 . 1 1 2 2 1 2 2 0 1 2 u y y y x y v x y x y u v x x x y u v u y x y x x y xy y x x v   = − +       − + = −   = − − − + = − − + = − + = −       ⇔ ⇔ ⇔ ⇒      = −   = − −      − = − − = − − + =      = − +     . Với u=x-y và v= 2y x . Học sinh giải tiếp . Bài 7. Giải các hệ phương trình sau : a. ( ) ( ) 2 2 2 2 2 1 2 1 2 2 1 6 2 x y x y y x y xy  + = + +   + + + =   . Lấy (1) cộng với (2) vế với vế : 2 2 2 3 2 0 4 x y x xy y x y =  − + = ⇒  =  • Với : x=2y thay vào (2) : ( ) 2 5 3 5 5 3 5 5 3 5 5 3 5 5 3 5 20 10 5 1 0 ; ; . ; 10 20 10 20 5 3 5 20 y y y x y y  − =      − − + +  − − = ⇔ ⇒ =  ÷  ÷  ÷  ÷  +     =   • Với x=4y, thay vào (2) : ( ) 2 1 4 1 1 11 22 9 1 0 , ; , 2; 1 11 11 2 2 y y y x y y  =      − − = ⇒ ⇔ =   ÷  ÷      =   b. ( ) ( ) 2 2 4 2 2 1 3 1 2 2 x y y y xy x y  + + =   + =   . Học sinh giải theo cách : Đặt x=ty . Cách khác : Tự soạn : Nguyễn Đình Sỹ - ĐT: 0985.270.218 Trang 5 TÀI LIỆU LƯU Lấy (1) trừ cho hai sau khi nhân hai vế với x ( Khử 2 2 x y ở hai phương trình của hệ ) : ( ) ( ) 2 2 4 2 2 4 2 2 2 2 1 3 2 2 1 2 1y x y xy y y x xy y y x y⇔ + − = − ⇔ − + = − + ⇔ − = − 2 2 2 2 1 1 1 1 y x y x y y y y x x y y  − = − ↔ = + − ⇔  − = − ↔ = − +  . Thay vào (2) • Nếu : ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 4 3 3 1 1 2 1 0 1 1 0y y y y y y y y y+ + − = ⇔ + − − = ⇔ + − = 1; 1 1; 1 y x y x = − = −  ⇒  = =  • Với : x= 2 1y y− + , thay vào (2) ta được : ( ) ( ) 3 1 1 0 1y y y− + = ↔ = ± Vậy nghiệm của hệ là : (x;y)=(-1;-1),(1;1). c. ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 1 1 3 2 x y y x x y x  + =   + + =   Cách 1: Lấy phương trình (2) trừ cho phương trình (1) sau khi nhân hai vế của nó với 2 x y , ta được phương trình : ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 1 1 1 x xy x a x x xy x x x x xy b x  − = −    −  = − ⇔  ÷ −    = −   -Thay a) vào (1) : ( ) ( ) 2 3 2 2 1 1 1 0 1 1 x x y x x x x x − + = = ⇒ + − = → = ± + -Tương tự thay b) vào (1) . Học sinh tự làm Cách 2: Do x=0 không là nghiệm cho chia hai vế phương trình (1) cho xy 0 ≠ . ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 2 1 2 1 2 3 2 1 5 5 4 0 4 5 x x x x xy x xy x xy x y x y x y x x y xy x   + + =  =   + =    ⇒ ⇔ ⇔           + = − + = + + =  ÷  ÷          Từ (4) suy ra : 2 2 2 2 1 4x y x y= ∨ = ( loại ). Cho nên : 2 2 1 1 1 1 2 2 2 1 0 1 4 1 4 1 2 1 2 2 0 2 xy xy y x x x x x xy xy xy xy x x x x x xy  =     =   = −    + = =       + + = = −      ⇒ ⇔ ⇔    = = =           ∈∅   − + =      + = =      2 2 1 1 1 1 2 2 2 1 0 1 4 4 4 1 2 1 2 2 0 2 xy xy y x x x x x xy xy xy xy x x x x x xy  = −     = −   =    + = = −       + + = = −      ⇒ ⇔ ⇔    = − = − = −           ∈∅   + + =      + = = −      Tự soạn : Nguyễn Đình Sỹ - ĐT: 0985.270.218 Trang 6 TÀI LIỆU LƯU Vậy hệ có nghiệm : (x,y)=(-1;-1),(-1;1) d. ( ) ( ) 3 3 1 3 2 y x y x x x y x x −  + + + =    + + = +  . Điều kiện : 0; 0x x y> + ≥ Phương trình (1) : 3 0 3 3 3 3 y y y x x y x x x y x − =  − − = ⇔  + − + = + − +   • Với y=3 , thay vào (1) : 2 3 0 3 0x x+ = → = − < ( loại ) • Với 3 3 3 3 1; 8 3 x y x x y x x x y x y x x  + − + =  ≠ ⇒ ↔ + + = ⇔ = =  + + = +   Bài 8. Giải các hệ phương trình sau : a. ( ) ( ) 2 2 1 1 1 2 x y x y x y x y  + + − = + −   + =   . Điều kiện : 0, 0,x y x y> > > Phương trình (1) ( ) ( ) 1 0 1 1 0x y x y x y x y x y x y⇔ + + − − − + − = ⇔ − − − + = • Với : 1 1 1 0; 1 1; 0 1 2 0 1 x y x y x y x y x y x y xy x y  + = + = + =   = =     ⇔ ⇔ ⇒     = = + = = + =        • Với : 1 1 1 2 1 2 2 2 1 x y x y x y x y xy x xy x y  − = − = − =      ⇔ ⇔    + + = + = + =       . Học sinh giải tiếp . b. ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 3 4 4 7 1 1 2 3 2 xy x y x y x x y  + + + =  +    + =  +  . Điều kiện : 0x y+ ≠ Phương trình (1) : ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 3 3 6 2 7x y xy x y xy x y + + + + − + = + ( ) ( ) ( ) 2 2 2 3 3 7x y x y x y ⇔ + + + − = + Phương trình (2) : ( ) ( ) 1 3x y x y x y + + + − = + Vậy : Đặt ( ) ( ) 2 2 2 1 1 ; 2x y u v x y u x y x y x y + + = = − ⇒ − = + + + + Hệ trở thành : ( ) ( ) 2 2 2 2 2 1 7 3 2 7 , 3 3 13 0 4 6 4 0 2 2 3 2; 1 u v u v u u u u u v u v   − + = = − =   ⇒ + − − = ⇔ − − = ↔   + =   = =  1 1 2 7 2 x y x y x y  + + = −  +  ⇔   − =   . Hệ vô nghiệm . ( ) 2 1 1 2 1; 0 2 0 1 x y x y x y x y y x y  = +  + + =   + ⇔ ⇔ ↔ = =   =    − =  Tự soạn : Nguyễn Đình Sỹ - ĐT: 0985.270.218 Trang 7 TÀI LIỆU LƯU c. 2 2 2 1 1 1 2 1 4 4 2 4 1 1 3 1 1 1 1 1 4 4 x x x y y x xy x x y x y x x x x xy y x x x xy y x x y       + + + = + + =  + + =   ÷  ÷         ⇔ ⇔ ⇔    + + =        + + + = + + =   ÷  ÷         • Trường hợp : ( ) ( ) 2 1 2 2 1 0 ; 1;1 1 1 2 2 x x x x x y y x x y  + =  − + =    ⇔ ⇔ =   =   + = −    d. ( ) ( ) 2 3 2 2 2 3 2 1 2 9 2 2 2 9 xy x x y x x xy y y x y y  + = +  − +    + = +  − +  . Lấy (1) cộng với (2) vế với vế , ta được : ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 3 3 2 2 3 1 8 1 8 xy xy x y x y ⇔ + = + − + − + Do : ( ) ( ) 2 3 3 3 2 2 3 3 2 3 2 1 8 8 2 2 9 2 2 1 8 8 2 2 9 xy xy x x x VT xy xy y xy y y  ≤   − + ≥ = − +   ⇒ ⇔ ≤     − + ≥ = ≤   − +  ; 2 2 2VP x y xy= + ≥ Cho nên để xảy ra đẳng thức khi và chỉ khi : VT=VP=2xy và : x=y=1. Do đó hệ có nghiệm duy nhất : (x,y)=(1;1). Bài 9. Giải các hệ phương trình sau : a. ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 2 5 1 2 5 5 2 4 3 2 1 1 1 3 4 3 4 2 x y x y xy x y xy y x x y y x x y x y xy x y xy x y y x  + + + =  + + + =   ⇔ ⇒ − − = + − ⇔ = −   + + − =    + + − =   Thay vào (2) : ( ) ( ) ( ) 3 2 2 1 2 1 5 3 4 2 1 10 19 10 1 0y y y y y y y y y− + + − − = − ⇔ − + − = ( ) ( ) 2 1 1 10 9 1 0 9 41 9 41 20 20 y y y y y y =   ⇔ − − + = ⇔ + −  = ∨ =   b. ( ) ( ) ( ) 4 4 2 2 4 4 2 2 4 4 2 2 4 2 2 2 2 6 41 6 41 6 41 10 4 40 81 x y x y x y x y x y x y xy x y xy x y x y    + + = + + = + + =    ⇔ ⇔    + = + = + =       . ( ) ( ) ( ) ( ) 2 4 2 2 2 2 2 2 9 10 0 4 2 81 41 40 4 41 9 3 3 x y xy xy x y xy x y xy x y x y x y x y      − + = + − = − = + − + =     ⇔ ⇔ ⇔    + =  + = ±   + = ±    • TH1: 2 1, 2 2, 1 3 1, 2 2, 1 xy x y x y x y x y x y = = = ∨ = =   ⇔   + = ± = − = − ∨ = − = −   ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ; 1; 2 , 2; 1 1;2 2;1x y⇔ = − − − − • TH2. 2 5 5 5 3 0 9 4 1 0 2 2 2 3 xy t t x y  =    ⇒ ± + = ⇒ ∆ = − = − <   ÷    + = ±  .Hệ vô nghiệm Tự soạn : Nguyễn Đình Sỹ - ĐT: 0985.270.218 Trang 8 TÀI LIỆU LƯU c. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 2 8 3 4 1 4 2 2 2 1 7 1 7 4 1 7 x x x y y x x y xy y y y y y x y x y x x y x y x y y   + + + = + + + =    + + + =    ⇔ ⇔    + = + +     + − + = − + = + +     ( ) ( ) 2 5 2 15 0 3 x y x y x y x y + = −  ⇒ + + + − = ⇔  + =  . Thay lần lượt vào (3) ta có hai hệ : ( ) 2 2 2 2 5 5 1 13 1 9 9 46 0 1 13 7 13 1 13 7 13 ; ; , ; 2 2 2 2 2 3 3 3 1 3 0 x y y x x y x x x x y x y y x y x x y x x  + = − = − −        − ± + = + + =     − − + − + − =      ⇔ ⇔ ⇔ =  ÷  ÷     ÷  ÷ + = = −          = −      + = + − =     d. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 3 3 2 2 3 3 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 4. 1 16 . 4 1 4 1 3 4 16 1 1 5 1 2 1 1 1 1 5 5 4 1 4 x x x x y y y y x y y x y y y y x x x y y y y y           + = +  + − =   ÷  ÷  ÷  ÷  + = +            ⇔ ⇔      + = +         + = +   + =  ÷  ÷             Đặt : x t y = (*) Từ (3) và (4) : ( ) ( ) 3 2 3 2 1 5 1 4 1 21 5 4 0t t t t t t⇒ + − − = ⇔ − − = 2 1 0 3 4 21 5 4 0 7 t t t t t  = −  =  ⇔ ⇒   − − =   =   . Thay t vào (*) để tính x theo y , sau đó thay vào (1) ta sẽ tìm đượcnghiệm của hệ .(x,y)=(1;-3),(-1;3) Bài 10. Giải các hệ phương trình sau : a. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 2 1 1 3 1 1 4 1 2 ( ) 1 x y x y xy u v x y x y u v uv x x y xy y xy x y xy x y xy    + + = + + = − + =    ⇔ ⇔    + + = + + = + + − + − + =       . Với : u=x-y,v=xy . Từ (3) và (4) , tính uv theo u+v thay vào (3) ta có : ( ) ( ) { 2 0; 1 1 0 1; 0 2 3 0 3 4 , u v u v uv u v u v u v u v uv u v  = =  + = → =    = = ⇔ + + + − = ⇒ ⇔    + = − → =   ∈∅  ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 1 1 1 ; 1; 1 , 1;1 , 0; 1 , 1;0 1 0; 1 0 1; 0 x y x y xy x y x y x y x y xy x y  − =  = = −       = = =     ⇔ ⇔ ⇔ = − − −   − = = = −       = = =       b. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 4 1 2 2 2 4 4 0 2 2 8 6 0 1 3 1 4 1 0 2 1 4 1 2 2 2 2 4 x x x x y y x y x y y x x xy y x y x x x x x y  − + +   + − + + + = + + + + =  =   ⇔ ⇔ +    + + + + = + = − − −      + − + +  Từ (3) : ( ) 2 2 1 2 1 x x y x − + − + = + , thay vào (4) ta được : ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 1 2 2 2 0 2 2 2 1 2 2 1 0 1 x x x x x x x x x x x   + − ⇔ + − + = ⇔ + − + + + + − =  ÷ +   Tự soạn : Nguyễn Đình Sỹ - ĐT: 0985.270.218 Trang 9 TÀI LIỆU LƯU ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 0 2 0 2 0; 2 3 5 0 5 5 3 6 5 0 2 2 1 2 1 0 3 3 t x x t x x x x t t t x x x x t t t =  + =   = + = = −     ⇔ ⇔ − = ⇔ ⇔ ⇔     = + − = + = − + + − =       2 1 1 1 1 0; 1 0; 2 2; 1 3 2 6 3 6 ; 4 1 3 3 ; . 1 x y x x x y x x x x x x y x   = = = = −     ⇔ ⇔ = − = − − − − +   = =  − − +   = =  +  c. ( ) ( ) 2 2 2 2 2 3 3 3 3 2 2 3 1 1 3 3 3 2 2 2 2 4 1 1 2 2 x x u u v y y y x xy y x y y x u v uv x x y y y y      + + =   ÷  ÷  + + =  + + =        ⇔ ⇔    + = + + = +          + = +  ÷  ÷       Với : 2 1 x u y v y  =     =   lấy (3)trừ cho (4) : ( ) ( ) ( ) 2 3 2 1 2 2 1 1 2 1 u u u v uv u u u v u⇔ − + − = − ⇔ − − − = − ( ) ( ) 2 1 1 2 0u u v⇔ − − − = - Với u=1 thay vào (3) : 3v=3 suy ra v=1 ( ) ( ) ( ) 2 2 1 , 1; 1 , 1;1 1 1 1 x x y y x y y y  =  =   ⇒ ⇔ ⇔ = − −   =   =   - Với : 2 1 2 u v − = , thay vào (3) : 2 2 2 1 6 1 1 3 2 5 0 2 1 6 u u u u u u u  = −   − + + = ⇔ − − = ⇔   ÷ = +     * Khi : ( ) 2 1 1 6 1 6 1 3 6 2 u v   = − → = − − = −     Do đó ta có hệ : ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 1 6 1 6 1 6 1 3 6 3 6 1 3 6 3 3 6 3 1 6 1 6 1 6 1 1 1 3 6 3 6 3 6 x x y x y y y y y x x y x y y y y y     = − = − = −         ⇔ ⇒    + +     = = = ± = −   −           = + = + = +        ⇔ ⇒     = = = ±    = +  + +        Cách khác : Lấy phương trình (2) trừ cho phương trình (1) sau khi đã nhân hai vế của (1)với y , ta được phương trình : ( ) ( ) 3 3 2 2 2 2 2 2 2 2( )x y x y xy y x x y x y xy x y+ − − = − + ⇔ + + − = − ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 0 2 0x y x y x y x y x y⇔ + − − − = ⇔ − − − = * Với : x-y=0 thay vào (1) ta có ( ) ( ) 2 1 ; ( 1; 1), 1;1x x y= ⇒ = − − Tự soạn : Nguyễn Đình Sỹ - ĐT: 0985.270.218 Trang 10 .  −  =   Thay vào phương trình (1): 2 2 2 1 1 2 1 1 2 2 2 x x x x x − − ⇔ − = − . Phương trình này đã biết cách giải ở phần phương pháp giải phương trình mũ . Bài 4. Giải các phương trình sau : Tự. Nguyễn Đình Sỹ HƯỚNG DẪN GIẢI BÀI TẬP CỦA BÀI GIẢNG SỐ 3 : HỆ CÓ CẤU TRÚC ĐẶC BIỆT c. ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 19 2001 7 x xy y x y HH x xy y x y  + + = −  −  − +. ±    = +  + +        Cách khác : Lấy phương trình (2) trừ cho phương trình (1) sau khi đã nhân hai vế của (1)với y , ta được phương trình : ( ) ( ) 3 3 2 2 2 2 2 2 2 2( )x y x y xy