1 MỞ ĐẦU 2 1. Lí do chọn đề tài 3 2. Mục đích nghiên cứu 3 3. Nhiệm vụ nghiên cứu 3 4. Giả thiết khoa học 4 5. Đối tƣợng nghiên cứu 4 6. Phƣơng pháp nghiên cứu 4 7. Đóng góp của khóa luận 4 8. Cấu trúc của khóa luận 4 Chƣơng 1. SƠ LƢỢC VỀ LOGIC TOÁN XÂY DỰNG THEO NGỮ NGHĨA . 4 1.1. Đại số mệnh đề 5 1.1.1. Mệnh đề và các phép toán mệnh đề 5 1.1.2. Công thức của đại số mệnh đề 10 1.1.3. Các quy tắc suy luận của đại số mệnh đề. 17 1.2. Đại cƣơng về đại số vị từ 18 1.2.1. Vị từ và các phép toán vị từ 20 1.2.2. Công thức của đại số vị từ 21 1.2.3. Các quy tắc suy luận của đại số vị từ 22 1.3. Cơ sở logic toán trong môn Toán phổ thông 23 1.3.1. Một số yếu tố logic toán trong môn Toán tiểu học 23 1.3.2. Kiến thức logic toán trong môn Toán trung học cơ sở 23 1.3.3. Kiến thức logic toán trong môn Toán trung học phổ thông 24 1.3.4. Vấn đề chứng minh các kết luận trong môn Toán trung học phổ thông 25 1.3.5. Vấn đề phát triển tƣ duy logic cho hoc sinh 26 Chƣơng 2: GIỚI THIỆU LÔGIC TOÁN XÂY DỰNG BẰNG PHƢƠNG PHÁP TIÊN ĐỀ 30 2.1. Giới thiệu hệ toán mệnh đề. 30 2.1.1. Kí hiệu nguyên thủy và quy tắc xây dựng công thức. 30 2 2.1.2. Các tiên đề. 31 2.2. Giới thiệu hệ toán vị từ. 32 2.2.1. Các kí hiệu nguyên thủy và quy tắc xây dựng công thức. 32 2.2.2. Các tiên đề và các quy tắc dẫn ra công thức đúng. 33 2.3. Phƣơng pháp tiên đề với việc xây dựng các lý thuyết toán học. 33 2.3.1. Sơ lƣợc lịch sử ra đời của phƣơng pháp tiên đề. 33 2.3.2. Hệ tiên đề của một số lí thuyết toán học. 35 2.3.3. Các hệ tiên đề đƣợc dùng để xây dựng kiến thức hình học ở trƣờng phổ thông. 40 KẾT LUẬN 46 TÀI LIỆU THAM KHẢO 47 3 MỞ ĐẦU 1. Lí do chọn đề tài Phong trào cải cách giáo dục toán học đƣợc khởi xƣớng từ đầu thể kỉ XX đã đặt ra vấn đề phải làm giảm khoảng cách giữa nội dung môn Toán trong nhà trƣờng với thành tựu phát triển của Toán học. Một số nhà lí luận dạy học đã đƣa ra ý kiến cho rằng: cần phải đƣa một số kiến thức toán học hiện đại vào giảng dạy trong các trƣờng phổ thông. Tuy nhiên, thực tiễn giáo dục đã cho thấy mọi sự cố gắng cải cách một cách triệt để nội dung dạy học môn Toán trong các trƣờng phổ thông đều không mang lại hiệu quả. Từ thực tế đó, xu hƣớng chung đƣợc mọi ngƣời thừa nhận là nội dung môn Toán ở trƣờng phổ thông chủ yếu vẫn bao gồm các tri thức toán học truyền thống nhƣng cần đƣợc trình bày dƣới sự soi sáng của toán học hiện đại. Với quan điểm đó không cần đƣa nhiều kiến thức toán hiện đại vào chƣơng trình dạy học mà vẫn làm cho kiến thức môn Toán tiếp cận đƣợc với xu thế phát triển của Toán học. Với cƣơng vị là một sinh viên chuyên ngành Sƣ phạm Toán sắp rời giảng đƣờng đại học cùng lòng yêu thích bộ môn, tôi muốn đóng góp công sức nhỏ bé của mình giúp bạn đọc nắm vững nội dung, mối liên hệ logic giữa Toán phổ thông với toán học Cao cấp. Chính điều đó đã thôi thúc tôi làm khóa luận với đề tài: “Logic Toán và cơ sở logic của kiến thức môn Toán Trung học phổ thông”. 2. Mục đích nghiên cứu - Tìm hiểu mối liên hệ logic toán phổ thông với toán cao cấp cho sinh viên ĐHSP Toán trƣờng Đại học Tây Bắc. - Nâng cao sự hiểu biết và hiệu quả học tập của bản thân. 3. Nhiệm vụ nghiên cứu Trình bày kiến thức cơ sở về logic Toán và những yếu tố của logic toán có mặt trong hệ thống kiến thức môn toán Trung học phổ thông. 4 4. Giả thiết khoa học Nếu sinh viên có thể nắm vững các kiến thức Toán cao cấp và hiểu rõ mối liên hệ của nó với các kiến thức Toán Phổ thông thì họ có thể giảng dạy tốt hơn sau khi ra trƣờng. 5. Đối tƣợng nghiên cứu - Nghiên cứu nội dung môn toán cao cấp đã đƣợc dạy ở trƣờng Đại học Tây Bắc. - Nghiên cứu nội dung, mối liên hệ logic toán và cơ sở logic Toán của kiến thức môn toán phổ thông. 6. Phƣơng pháp nghiên cứu - Nghiên cứu tài liệu. - Phân tích, tổng hợp các kiến thức. - Kinh nghiệm bản thân, trao đổi thảo luận với giáo viên hƣớng dẫn. 7. Đóng góp của khóa luận Khóa luận sau khi hoàn thành sẽ làm tài liệu tham khảo cho sinh viên chuyên ngành Toán trƣờng Đại học Tây Bắc. 8. Cấu trúc của khóa luận Khóa luận gồm phần mở đầu, phần nội dung gồm 2 chƣơng và phần kết luận. Phần nội dung bao gồm các chƣơng sau: Chƣơng 1: Sơ lƣợc về logic toán xây dựng theo ngữ nghĩa. Chƣơng 2: Giới thiệu logic toán xây dựng bằng phƣơng pháp tiên đề. 5 Chƣơng 1. SƠ LƢỢC VỀ LOGIC TOÁN XÂY DỰNG THEO NGỮ NGHĨA Nghiên cứu logic toán thông qua ngữ nghĩa là chúng ta dựa vào nội dung các phát biểu và đối chiếu với thực tiễn để khẳng định tính đúng hay sai của phát biểu đó. Trình bày logic toán theo ngữ nghĩa bao gồm hai phần chính là đại số mệnh đề và đại số vị từ. Sau đây chúng ta sẽ tìm hiểu một cách sơ lƣợc về hai phần này để có những hiểu biết cơ bản về logic toán giúp cho việc phân tích các yếu tố logic toán trong kiến thức môn Toán phổ thông. 1.1 . Đại số mệnh đề 1.1.1. Mệnh đề và các phép toán mệnh đề 1.1.1.1. Khái niệm mệnh đề Đại số mệnh đề bắt đầu với khái niệm mệnh đề. Đó là những phát biểu mà ta có thể xác định đƣợc nó đúng hay sai. Một mệnh đề chỉ đúng hoặc sai mà không thể vừa đúng vừa sai. Việc phân định đúng hay sai là dựa vào nội dung phát biểu và đối chiếu với thực tiễn. Chú ý rằng, thực tiễn nói đến ở đây bao gồm thực tiễn trong đời sống sinh hoạt bình thƣờng và cả thực tiễn khoa học, tức là những tri thức khoa học đã đƣợc xác định. Vậy, mệnh đề là một khẳng định có tính đúng hoặc sai. Không có mệnh đề vừa đúng vừa sai, những câu cảm thán, những câu nghi vấn, câu mệnh lệnh,… không là mệnh đề. Để kí hiệu các mệnh đề ta dùng các chữ cái , , , a b c Trong đại số mệnh đề, ngƣời ta không quan tâm đến cấu trúc ngữ pháp của các mệnh đề mà chỉ quan tâm đến tính “đúng” hoặc “sai". Nhƣ vậy, ngữ nghĩa ở đây chỉ đƣợc sử dụng để xác định giá trị đúng hay sai của mệnh đề (thƣờng đƣợc gọi là giá trị chân lí của mệnh đề). Nếu a là mệnh đề đúng thì ta nói nó có giá trị chân lí bằng 1 , kí hiệu là ( ) 1Ga , nếu b là mệnh đề sai thì ta nói nó có giá trị chân lí bằng 0, kí hiệu là ( ) 0Gb . Chẳng hạn, các câu: +) “Hà Nội là thủ đô của nƣớc Việt Nam” là mệnh đề đúng. 6 +) “1 lớn hơn 2” là mệnh đề sai. +) “15 là số lẻ” là mệnh đề đúng. Các câu: “2 nhân 2 bằng mấy?” ; “Anh tốt nghiệp phổ thông năm nào?” ; “Bộ phim này hay quá”, đều không phải là mệnh đề. Chú ý: 1. Trong thực tế ta gặp những mệnh đề mở mà giá trị đúng, sai của nó phụ thuộc vào những điều kiện nhất định (thời gian, địa điểm). Nó đúng ở thời gian, địa điểm này nhƣng sai ở thời gian, địa điểm khác. Song ở bất kì thời điểm nào, địa điểm nào nó cũng luôn có giá trị chân lí đúng hoặc sai. Chẳng hạn: +) Sinh viên năm thứ nhất đang tập quân sự. +) Năng suất lúa năm nay cao hơn năm ngoái. +) 12 giờ trƣa hôm nay tôi đang ở Hà Nội. 2. Để kí hiệu a là mệnh đề “ 2 3 5 ” ta viết : "2 3 5"  a 3. Ta thừa nhận các luật sau đây của logic mệnh đề: a) Luật bài trung: Mỗi mệnh đề phải hoặc đúng hoặc sai, không có mệnh đề nào không đúng cũng không sai. b) Luật mâu thuẫn (hay còn gọi là luật phi mâu thuẫn): Không có mệnh đề nào vừa đúng lại vừa sai. 1.1.1.2. Các phép toán mệnh đề a) Phép phủ định Phủ định của mệnh đề a là một mệnh đề, kí hiệu a , đúng khi a sai và sai khi a đúng. Bảng giá trị chân lí của phép phủ định đƣợc cho bởi bảng sau: a a 1 0 0 1 Ví dụ: +) Mệnh đề a “Số 30 chia hết cho 4” ta thiết lập đƣợc mệnh đề a = “Số 30 không chia hết cho 4”. +) Mệnh đề b “Nhôm là một kim loại” ta thiết lập đƣợc mệnh đề 7 b = “Nhôm không phải là kim loại”. Chú ý: Phủ định của một mệnh đề có nhiều cách diễn đạt khác nhau, chẳng hạn: “Nhôm không phải là kim loại” “Không phải nhôm là kim loại” “Nói nhôm là kim loại không đúng”. b) Phép hội Hội của hai mênh đề a , b là một mệnh đề c , đọc là a và b , kí hiệu c a b , đúng khi cả hai mệnh đề a , b cùng đúng và sai trong các trƣờng hợp còn lại. Bảng giá trị chân lí của phép hội nhƣ sau: a b c a b 1 1 1 1 0 0 0 1 0 0 0 0 Ví dụ: Từ hai mệnh đề: a = “Mỗi năm có 12 tháng”, b = “Mỗi năm có 4 mùa” ta thiết lập mệnh đề c = “Mỗi năm có 12 tháng và 4 mùa” Mệnh đề c là hội của hai mệnh đề a và b đã cho. Chú ý: 1. Đề thiết lập hội của hai mệnh đề a , b ta ghép hai mệnh đề đó bởi liên từ “và” hay bởi liên từ khác cùng loại. Những liên từ đó là: mà, song, đồng thời, vẫn… hoặc dấu phẩy hoặc không dùng liên từ gì. 2. Phép hội có tính chất giao hoán, tính chất kết hợp và có p p p ; 1pp ; 00p ; 0pp . c) Phép tuyển Tuyển của hai mệnh đề a ; b là một mệnh đề c , đọc là a hoặc b , kí hiệu c a b , đúng khi ít nhất một trong hai mệnh đề a , b là đúng và sai khi cả hai mệnh đề a , b cùng sai. Bảng giá trị chân lí của phép tuyển 8 a b c 1 1 1 1 0 1 0 1 1 0 0 0 Ví dụ: Từ hai mệnh đề a = “Mỗi năm có 12 tháng”, b = “Mỗi năm có 52 tuần” ta thiết lập mệnh đề c = “Mỗi năm có 12 tháng hoặc 52 tuần”. Mệnh đề c là tuyển của hai mệnh đề đã cho. Chú ý: 1. Để thiết lập tuyển của hai mệnh đề a , b ta ghép hai mệnh đề đó bởi liên từ “hoặc” hay một liên từ khác cùng loại. 2. Khi thiết lập tuyển của nhiều mệnh đề, ta dùng dấu chấm phẩy thay cho liên từ “hoặc”. Chẳng hạn: “Số có tận cùng bằng 0; 2; 4; 6 hoặc 8 thì chia hết cho 2” 3. Phép tuyển có tính chất giao hoán, tính chất kết hợp và có p p p ; 0pp ; 11p ; 1pp . 4. Ngoài ra giữa phép tuyển và phép hội còn có tính chất phân phối. 5. Giữa các phép toán phủ định, hội và tuyển còn liên hệ với nhau bởi luật Đờ Moocgăng nhƣ sau: ;     p q p q p q p q . Với luật này, khi chứng tỏ một hội của hai mệnh đề là mệnh đề sai ta chỉ cần chỉ ra một trong hai mệnh đề thành phần sai là đƣợc và để chứng tỏ tuyển của hai mệnh đề là sai thì phải chứng tỏ cả hai mệnh đề thành phần đồng thời sai. d) Phép kéo theo Mệnh đề a kéo theo b là một mệnh đề, kí hiệu là ab , sai khi a đúng mà b sai và đúng trong các trƣờng hợp còn lại. Bảng giá trị chân lí của phép kéo theo 9 a b ab 1 1 1 1 0 0 0 1 1 0 0 1 Ví dụ: Từ hai mệnh đề a = “Số tự nhiên a có tổng các chữ số chia hết cho 3”; b = “Số tự nhiên a chia hết cho 3”. Ta thiết lập mệnh đề c = “Nếu số tự nhiên a có tổng các chữ số chia hết cho 3 thì nó chia hết cho 3”. Mệnh đề c trong ví dụ trên là mệnh đề kéo theo thiết lập từ hai mệnh đề a ; b . Chú ý: Mệnh đề “ a kéo theo b ” thƣờng đƣợc diễn đạt dƣới nhiều hình thức khác nhau, chẳng hạn: “nếu a thì b ”; “ a suy ra b ”; “có a thì có b ”. e) Phép tương đương Mệnh đề a tương đương b là một mệnh đề, kí hiệu là ab , đúng khi cả hai mệnh đề a , b cùng đúng hoặc cùng sai và sai trong các trƣờng hợp còn lại.Bảng giá trị chân lí của mệnh đề tƣơng đƣơng a b ab 1 1 1 1 0 0 0 1 0 0 0 1 Ví dụ: Từ hai mệnh đề a = “Số 45 có tận cùng bằng 5”; b = “Số 45 chia hết cho 5”. Ta thiết lập mệnh đề c = “Số 45 có tận cùng bằng 5 khi và chỉ khi nó chia hết cho 5”. Mệnh đề c trong ví dụ trên là mệnh đề tƣơng đƣơng đƣợc thiết lập từ hai mệnh đề đã cho. Chú ý: Mệnh đề “ a tƣơng đƣơng b ” còn đƣợc diễn đạt bằng nhiều hình thức khác nhau, chẳng hạn: “ a khi và chỉ khi b ”; “ a nếu và chỉ nếu b ”. 10 1.1.2. Công thức của đại số mệnh đề 1.1.2.1. Khái niệm công thức của đại số mệnh đề Giả sử cho , , ,p q r … là các biến mệnh đề. Từ các biến mệnh đề đó, sử dụng các phép toán logic ,  ,  ,  ,  ta lập đƣợc những mệnh đề mới, phức tạp hơn nhƣ qp ; ()p q r … Từ các mệnh đề mới lập đƣợc, lại áp dụng các phép toán logic, ta lại đƣợc các mệnh đề mới, chẳng hạn ()p p q ; ( ) ( )  p q q p ; ()p q r ; ( ) ( )  p q p r … Cứ nhƣ vậy, ta xây dựng đƣợc một dãy các kí hiệu gọi là công thức của logic mệnh đề. Nhƣ vậy, mỗi công thức của logic mệnh đề là một dãy các kí hiệu thuộc ba loại: +) Các mệnh đề sơ cấp , , ,p q r … +) Các kí hiệu phép toán logic ,  ,  ,  ,  . +) Các dấu ngoặc ( ) chỉ thứ tự phép toán Theo định nghĩa trên thì: +) Bản thân các mệnh đề sơ cấp cũng là một công thức. +) Nếu ,PQ là những công thức thì P , PQ , PQ , PQ , PQ cũng đều là công thức. Nhận xét: Khái niệm công thức trong logic mệnh đề tƣơng tự nhƣ khái niệm biểu thức đại số trong đại số. Ví dụ 1: Xét công thức ()p q r . a. Khi thay p bằng mệnh đề “45 chia hết cho 3” q bằng mệnh đề “45 chia hết cho 5” r bằng mệnh đề “45 chia hết cho 15” thì công thức ()p q r trở thành mệnh đề “Nếu 45 chia hết cho 3 và 45 chia hết cho 5 thì 45 chia hết cho 15”. b. Nếu thay p bằng mệnh đề “45 chia hết cho 3” q bằng mệnh đề “45 chia hết cho 5” r bằng mệnh đề “45 chia hết cho 8” thì công thức ()p q r trở thành mệnh đề “Nếu 45 chia hết cho 3 và 45 chia [...]... sinh 1.3.2 Kiến thức logic toán trong môn Toán Trung học cơ sở Ở cấp trung học cơ sở, yếu tố suy diễn đƣợc đƣa vào khá sớm Mặc dù số tiết không nhiều, nhƣng các kiến thức hình học ở lớp 6 trình bày theo tinh thần phƣơng pháp tiên đề đã nói lên điều đó Các yếu tố logic trong môn Toán trung học cơ sở đƣợc thể hiện ở những điểm sau đây: 23 - Hiểu đúng nghĩa của các thuật ngữ, kí hiệu toán học - Biết thừa... trong môn Toán Tiểu học Trong môn Toán tiểu học không có kiến thức logic nào đƣợc trình bày một cách tƣờng minh, tổng quát Tuy nhiên, việc hình thành cho học sinh nhận thức đƣợc sự đúng, sai và thói quen suy nghĩ, thao tác và diễn đạt đúng là cần thiết ngay từ những lớp học đầu tiên Việc làm cho học sinh hiểu đúng nội dung kiến thức toán là yêu cầu đầu tiên trong dạy học ở mọi bậc học, cấp học Đối với... trình, hệ phƣơng trình tƣơng đƣơng Hiểu và vận dụng các quy tắc chuyển vế và quy tắc nhân vào giải phƣơng trình, bất phƣơng trình Vận dụng các phƣơng pháp giải hệ phƣơng trình bậc nhất hai ẩn 1.3.3 Kiến thức logic toán trong môn Toán Trung học phổ thông Một số kiến thức toán đƣợc đƣa vào giảng dạy tƣờng minh và trình bày trong sách Đại số 10 Nội dung cụ thể gồm các kiến thức sau đây : Mệnh đề: Mỗi mệnh đề... bậc tiểu học, nhiều kiến thức toán đƣợc hình thành bằng con đƣờng quy nạp không hoàn toàn, dựa vào yếu tố trực quan chƣa thể đòi hỏi có sự chính xác cao Tuy nhiên, các ví dụ đƣa ra phải đầy đủ và chính xác đề hạn chế việc học sinh nhận thức sai lệch về bản chất kiến thức Đồng thời với hình thành kiến thức toán cho học sinh, việc làm cho học sinh hiểu đƣợc ý nghĩa và cách sử dụng các từ nối logic ngay... mệnh đề, định lí và đƣa ra sự lí giải, chứng minh cho các kết luận trong các 33 mệnh đề, định lí đó thì toán học với tƣ cách là khoa học suy diễn mới thực sự ra đời Phƣơng pháp suy diễn dần trở thành phƣơng pháp đặc thù của toán học Cho đến khi Ơclit viết sách Cơ bản thì việc trình bày kiến thức toán (chủ yếu là kiến thức hình học) bằng phƣơng pháp tiên đề đã làm cho diện mạo của toán học có một dáng... hình học và đƣợc xem là đã thỏa mãn các yêu cầu về sự rõ ràng, chính xác Tinh thần chung của phƣơng pháp tiên đề dùng để xây dựng một lý thuyết toán học bao gồm các phần sau đây: - Phần thứ nhất: Tiên đề hóa về mặt suy luận chung, tức là tiên đề hóa phần kiến thức logic toán Trong phần này, thay vì xây dựng logic toán dựa theo ngữ nghĩa, ngƣời ta đã xây dựng một kiến thức logic dựa vào hình thức, dựa vào... các giáo trình về logic toán + Phủ định của một mệnh đề + Mệnh đề kéo theo + Mệnh đề đảo 24 + Hai mệnh đề tương đương + Kí hiệu  và  + Phú định của phát biểu có  và  Những kiến thức về logic đƣợc sử dụng trong lập luận chứng minh ở trƣờng trung học phổ thông đã đƣợc đặt ra với yêu cầu cao Cần làm cho học sinh biết các thuật ngữ điều kiện cần, điều kiện đủ, điều kiện cần và đủ, và biết thực hiện... bởi công thức, thế biến vị từ, biến tử tự do và biến tử bị ràng buộc 2.3 Phƣơng pháp tiên đề với việc xây dựng các lý thuyết toán học 2.3.1 Sơ lƣợc lịch sử ra đời của phƣơng pháp tiên đề Toán học trải qua bốn giai đoạn Giai đoạn trƣớc thế kỉ VII trƣơc Công nguyên chỉ có các tri thức toán học kinh nghiệm, hoàn toàn chƣa có tri thức toán học suy diễn Phải đến khi Thalet phát biểu những kiến thức toán thành... thức Dựa vào định nghĩa quy tắc suy luận và các luật của đại số vị từ ta suy ra các quy tắc suy luận sau (các vị từ đƣợc giả thiết có biến tử biến thiên trên tập hợp D ) f ( x) f ( x )  g ( x ) x( f ( x )  g ( x )) xf ( x )  xg ( x ) ; ; ; ; f ( x)  g ( x) f ( x) xf ( x )  xg ( x ) x( f ( x )  g ( x )) 1.3 Cơ sở logic toán trong môn Toán phổ thông 1.3.1 Một số yếu tố logic toán trong môn. .. đầu tiên không thể thiếu của quá trình tƣ duy toán học Sử dụng đúng quy tắc ngữ pháp mới diễn đạt đƣợc đúng suy nghĩ của mình và hiểu đƣợc ý ngƣời khác, thu thập đúng thông tin trong quá trình tƣ duy Sau đây là việc sử dụng các công thức của đại số vị từ để diễn đạt một số kiến thức toán trong chƣơng trình phổ thông - Diễn đạt tính chất các phép toán: + Tính chất giao hoán của phép cộng trên tập hợp . Kiến thức logic toán trong môn Toán trung học cơ sở 23 1.3.3. Kiến thức logic toán trong môn Toán trung học phổ thông 24 1.3.4. Vấn đề chứng minh các kết luận trong môn Toán trung học phổ thông . tài: Logic Toán và cơ sở logic của kiến thức môn Toán Trung học phổ thông . 2. Mục đích nghiên cứu - Tìm hiểu mối liên hệ logic toán phổ thông với toán cao cấp cho sinh viên ĐHSP Toán trƣờng. thống kiến thức môn toán Trung học phổ thông. 4 4. Giả thiết khoa học Nếu sinh viên có thể nắm vững các kiến thức Toán cao cấp và hiểu rõ mối liên hệ của nó với các kiến thức Toán Phổ thông