BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƢỜNG ĐẠI HỌC TÂY BẮC ĐOÀN THỊ THÙY LINH LỊCH SỬ CÁC KIẾN THỨC CHỦ ĐỀ TOÁN Ở TRƢỜNG PHỔ THÔNG KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Sơn La, năm 2014 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƢỜNG ĐẠI HỌC TÂY BẮC ĐOÀN THỊ THÙY LINH LỊCH SỬ CÁC KIẾN THỨC CHỦ ĐỀ TOÁN Ở TRƢỜNG PHỔ THÔNG Chuyên ngành: Đại số và Hình học KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Ngƣời hƣớng dẫn: TS. Hoàng Ngọc Anh Sơn La, năm 2014 LỜI CẢM ƠN Để hoàn thành khóa luận này em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới TS. Hoàng Ngọc Anh, người đã tận tình hướng dẫn và giúp đỡ em trong suốt quá trình làm khóa luận. Em xin chân thành cảm ơn các thầy, cô giáo Khoa Toán - Lý - Tin những người đã trực tiếp giảng dạy, trang bị cho em những kiến thức quý báu trong thời gian học tập tại trường. Đồng thời em cũng nhận được sự giúp đỡ của các thầy cô giáo trong Bộ môn Đại số và hình học - Trường Đại học Tây Bắc. Xin gửi lời cảm ơn tới tập thể lớp k51 Đại học sư phạm Toán, cũng như gia đình, bạn bè những người luôn quan tâm, động viên và nhiệt tình giúp đỡ em để hoàn thành khóa luận. Em xin chân thành cảm ơn! Sơn La, tháng 5 năm 2014 Sinh viên thực hiện Đoàn Thị Thùy Linh MỤC LỤC MỞ ĐẦU 1 1. Lý do chọn đề tài 1 2. Mục đích và nhiệm vụ nghiên cứu 2 2.1. Mục đích nghiên cứu 2 2.2. Nhiệm vụ nghiên cứu 2 3. Đối tượng nghiên cứu 2 4. Phương pháp nghiên cứu 2 5. Cấu trúc của đề tài 2 Chƣơng 1. LỊCH SỬ PHÁT TRIỂN TOÁN HỌC 3 1.1. Giới thiệu tổng quan về lịch sử toán học 3 1.2. Giai đoạn phát sinh toán học 7 1.3. Giai đoạn toán học sơ cấp 8 1.4. Giai đoạn toán học cao cấp cổ điển 10 1.5. Giai đoạn toán học hiện đại 12 1.6. Giới thiệu lịch sử toán học Việt Nam 16 CHƢƠNG 2. LỊCH SỬ CÁC CHỦ ĐỀ KIẾN THỨC MÔN TOÁN Ở TRƢỜNG PHỔ THÔNG 21 2.1. Lịch sử về các kiến thức đại số 21 2.1.1. Các bài toán dẫn đến kiến thức đại số 21 2.1.2. Phương trình và các thuật giải 24 2.1.3. Lượng giác 26 2.2. Lịch sử về các kiến thức hình học 30 2.3. Lịch sử về các kiến thức giải tích 36 2.3.1. Sự xuất hiện các khái niệm vô hạn 37 2.3.2. Các nghịch lí của Zênông (khoảng 450 trước Công nguyên) 39 2.3.3 Phương pháp cân bằng của Ácsimét 42 2.3.4. Những bước đầu của phép tính tích phân ở Tây Âu 42 KẾT LUẬN 44 TÀI LIỆU THAM KHẢO 45 1 MỞ ĐẦU 1. Lý do chọn đề tài Tri thức của con người là nhân tố vô cùng quan trọng trong sự phát triển xã hội, trong đó giáo dục góp phần to lớn trong việc trang bị tri thức cho con người. Toán học - một khoa học có nhiều ứng dụng trong thực tiễn cũng như đối với các ngành khoa học khác. Nó ra đời và ngày càng phát triển thâm nhập vào hầu hết các lĩnh vực khoa học và đời sống. Nghiên cứu lịch sử toán học giúp người giáo viên toán hiểu được mối liên hệ giữa toán học với nhu cầu đời sống và hoạt động thực tiễn của con người. Từ đó sẽ làm nổi bật tầm quan trọng của việc liên hệ nội dung toán học đang giảng dạy với thực tiễn xung quanh học sinh và các ngành khoa học khác như vật lí, hóa học, sinh học… Hiện nay cũng có nhiều tài liệu về lịch sử toán học nhưng chủ yếu giới thiệu về những vấn đề chung trong các giai đoạn phát triển toán học. Trong sách giáo khoa toán ở trường phổ thông có đề cập đến lịch sử toán cũng như tiểu sử của một số nhà toán học nhưng rất sơ lược, điều đó cũng chứng tỏ các tác giả sách giáo khoa cũng có quan tâm đến vấn đề lịch sử toán học nhưng cần có một tài liệu chuyên sâu hơn. Ngoài ra từ trước tới giờ chúng ta nói là học toán nhưng liệu có mấy người biết đến lịch sử toán học ra đời thế nào? Bắt đầu từ đâu và phát triển qua từng giai đoạn ra sao? Xuất phát tư những lý do trên, tôi lựa chọn đề tài nghuên cứu: “Lịch sử các kiến thức chủ đề Toán ở trường phổ thông” nhằm giúp các thầy cô cũng như các em học sinh hiểu biết những sự kiện tiêu biểu trong những giai đoạn phát triển của toán học, qua đó nắm được sự phát sinh các tư tưởng toán học ở từng thời kì. Đồng thời cung cấp một bản tra cứu về lịch sử môn Toán ở trường phổ thông, từ đó có thể vận dụng trong các tình huống gợi vấn đề nhằm nâng cao hiệu quả dạy học toán. 2 2. Mục đích và nhiệm vụ nghiên cứu 2.1. Mục đích nghiên cứu Nghiên cứu lịch sử toán học giúp người giáo viên và học sinh hiểu thêm về sự ra đời và quá trình hình thành của toán học. 2.2. Nhiệm vụ nghiên cứu Nghiên cứu các vấn đề có liên quan đến việc nghiên cứu như: lịch sử phát triển toán học, lịch sử các chủ đề kiến thức toán ở trường phổ thông…. Tìm hiểu thực trạng việc hiểu biết về lịch sử toán học của học sinh phổ thông. Đưa ra một số thông tin nhằm cung cấp thêm cho học sinh về lịch sử phát triển toán học nói chung và lịch sử các chủ đề kiến thức toán ở trường phổ thông nói riêng. 3. Đối tƣợng nghiên cứu - Lịch sử các chủ đề kiến thức môn toán ở trường phổ thông. 4. Phƣơng pháp nghiên cứu - Phương pháp tìm tòi nghiên cứu, tra tìm tài liệu, tham khảo ý kiến của những người có kinh nghiệm, - Phương pháp phân tích các tài liệu, tập trung vào các thông tin liên quan đến chủ điểm. - Phương pháp sắp xếp các tài liệu thông tin thu thập được. 5. Cấu trúc của đề tài Ngoài phần mở đầu, kết luận, tài liệu tham khảo… nội dung của đề tài gồm 2 chương: Chương 1. Lịch sử phát triển toán học; Chương 2. Lịch sử các chủ đề kiến thức môn Toán ở trường phổ thông. 3 Chƣơng 1. LỊCH SỬ PHÁT TRIỂN TOÁN HỌC 1.1. Giới thiệu tổng quan về lịch sử toán học Chủ nghĩa Mác – Lenin đã chứng minh được rằng toàn bộ hệ thống logic của mọi khoa học, cấu trúc của nó, mối liên hệ và ngay cả sự tồn tại của các ngành riêng biệt của khoa học, không phải là một cái gì bất biến mà là kết quả của sự phát triển lịch sử. Vì vậy, không có một người nào làm công tác khoa học sáng tạo mà không nắm được đối tượng và nguồn gốc phát sinh và phát triển khoa học của mình. Người thầy dạy toán, trước hết, là người làm công tác toán học, cho nên cần phải có những hiểu biết nhất định về sự phát triển của toán học, để qua đó nắm được đối tượng và nguồn gốc của toán học, giúp hiểu biết thực chất đúng đắn của toán học. Theo Engels, đối tượng của toán học là những quan hệ số lượng và hình dạng không gian của thế giới hiện thực. Do đó, toán học là khoa học về quan hệ số lượng và hình dạng không gian của thời gian khách quan, được hình thành và phát triển trên những cơ sở hoạt động thực tiễn của xã hội loài người. Trải qua nhiều giai đoạn phát triển, đối tượng của toán học cũng thay đổi và mở rộng dần: các số và hình của toán sơ cấp, các đại lượng biến thiên và hàm số của giải tích toán học trong các thế kỉ vừa qua và các cấu trúc tổng quát cùng các thuật toán trong toán học hiện đại. Bản thân khái niệm về “quan hệ số lượng” và “hình dạng không gian của thế giới hiện thực” ngày nay không chỉ hiểu theo nghĩa thông thường mà hiểu theo nghĩa tổng quát nhất. Chẳng hạn, hình học ngày nay nghiên cứu nhiều không gian khác nhau (với số chiều hữu hạn hoặc vô hạn) và mối liên hệ giữa các không gian đó: không gian afin, không gian Euclid, không gian xạ ảnh, không gian vector, không gian topo… Ngoài ra, toán học còn nghiên cứu các hình dạng và quan hệ khác tương tự các hình dạng và không gian vật lý (như không gian các màu sắc, không gian các âm thanh,…) nên có thể sử dụng các phương pháp hình học để nghiên cứu các hình dạng và quan hệ ấy. Trong nhiều tập hợp mà các phần tử là các đối tượng thuộc loại tùy ý (như: vector, phép dời hình,…) ta có thể thực hiện các phép toán (như phép 4 cộng vector, phép hợp thành các phép dời hình,…) cũng có những tính chất giống như các tính chất của các phép toán trên các số; từ đó, ta có khái niệm về cấu trúc đại số như khái niệm nhóm (nhóm các số nguyên, nhóm các vector, nhóm các phép dời hình,…) Toán học là ngành khoa học có nhiều ứng dụng nhất, khi nói đến nguồn gốc của toán học ta liên tưởng ngay đến nguồn gốc thực tiễn của nó. Từ xưa đến nay toán học phát sinh và phát triển do những nhu cầu thực tế của đời sống con người và do cả nhu cầu bản thân của nó. Mỗi cuộc cách mạng khoa học kĩ thuật đều gây ra những biến đổi sâu sắc trong toán học và ngược lại những biến đổi này càng tác động mạnh mẽ đến khoa học kĩ thuật. Toán học cao cấp ra đời để phục vụ cho sản xuất thủ công nghiệp, toán học cao cấp cổ điển là công cụ của kĩ thuật cơ khí hóa, còn toán học hiện đại với tất cả nội dung phong phú và phương pháp trừu tượng cao độ của nó đã ra đời để chuẩn bị cho sản xuất tự động hóa và đang phát triển dưới sự thúc đẩy trực tiếp của nền sản xuất đó. Bên cạnh nguồn gốc thực tiễn, đối tượng của toán học còn mang tính trừu tượng cao. Theo Engels “Toán học là một khoa học rất thực tiễn”. Việc khoa học ấy mang một hình thức cực kì trừu tượng chỉ che đậy bề ngoài nguồn gốc của nó trong thế giới khách quan. Muốn nghiên cứu những hình dạng và quan hệ ấy một cách thuần túy thì phải tách hẳn chúng ra khỏi nội dung này, coi nó như không có bề dày và bề rộng, những a và b, những x và y, những đại lượng không đổi và những đại lượng biến thiên. Cũng như tất cả những môn khoa học khác, toán học phát sinh từ những nhu cầu thực tế của con người, từ việc đo đạc diện tích của các đám đất và dung tích các hình chậu, từ việc tính thời gian, từ cơ học…”. Tính trừu tƣợng của toán học không dừng lại ở một mức độ nhất định mà tiến từ mức này sang mức khác. Có những khái niệm là kết quả của sự trừu tượng hóa trực tiếp từ nhận thức cảm giác, từ kinh nghiệm và khảo sát (như các số tự nhiên), nhưng có những khái niệm là kết quả của sự lí tưởng hóa – tức là sự trừu tượng hóa không xuất phát từ thực tiễn mà từ những kết quả của những trừu tượng hóa trước đó (như số ảo, các không gian nhiều chiều, cấu trúc đại số, topo,…). 5 Ngoài ra tri thức toán học còn có đặc điểm là tính vƣợt thời đại. Có những lí thuyết mà phải đến hàng chục, thậm chí hàng trăm năm sau mới có ứng dụng kể từ khi nó ra đời. Lịch sử toán học là sự nghiên cứu nguồn gốc của các phát minh trong toán học, ở phạm vi hẹp hơn thì nó là sự nghiên cứu các phương pháp và khái niệm toán học trong quá khứ. Nhiệm vụ nghiên cứu của ngành Lịch sử toán học:  Tìm hiểu sự phát sinh của các phương pháp, các khái niệm và các tư tưởng toán học cũng như sự hình thành đến các lí thuyết toán học khác nhau trong lịch sử;  Tìm hiểu tính chất và đặc điểm của sự phát triển toán học ở các dân tộc khác nhau trong từng giai đoạn lịch sử; sự cống hiến của các nhà toán học;  Nghiên cứu các mối liên hệ giữa toán học với các nhu cầu và hoạt động thực tiễn của con người, và với sự phát triển của các khoa học khác; sự ảnh hưởng của các cơ cấu kinh tế và xã hội, của đấu tranh giai cấp (đặc biệt là trong lĩnh vực tư tưởng) đến nội dung và tính chất của sự phát triển toán học;  Nghiên cứu nguyên nhân lịch sử của cấu trúc logic của toán học hiện đại, tính biện chứng của sự phát triển của nó, giúp hiểu rõ mối quan hệ giữa các bộ phận toán học; dự đoán được triển vọng phát triển của toán học. Việc nắm rõ vai trò của Lịch sử toán học đối với người giáo viên dạy Toán ở trường phổ thông là rất quan trọng, muốn dạy tốt môn Toán trước hết người giáo viên cần có những hiểu biết nhất định về khoa học Toán học, bao gồm các nội dung: đối tượng, nguồn gốc, phương pháp của toán học và tiêu chuẩn chân lí của khoa học này. Để có những nhận thức đúng đắn về vấn đề này, người giáo viên cần phải nắm vững lịch sử phát triển của Toán học. Trong chương trình sách giáo khoa ở THPT có cung cấp một số thông tin về lịch sử toán học mà được để trong mục “Em có biết?” để cung cấp thêm thông tin cho học sinh về lịch sử toán học cũng như tiểu sử của một số nhà Toán học và làm cho cuốn sách thêm sinh động tránh tình trạng học sinh nhàm chán với những kiến thức hoặc để cung cấp thêm thông tin giải đáp thắc mắc cho học 6 sinh về sự ra đời của toán học. Điều đó cũng chứng tỏ tác giả sách giáo khoa cũng quan tâm đến lịch sử toán học. Khi biết về lịch sử toán học, người giáo viên sẽ hiểu rõ hơn đối tượng của toán học, thấy được mạch logic của quá trình phát triển toán học, từ đó giúp cho người giáo viên rút ra một số vấn đề về dạy học môn Toán. Do nguồn gốc thực tiễn của toán học nên khi dạy một kiến thức mới (khái niệm, định lí toán học, tiên đề…) giáo viên cần liên hệ với tình huống thực tiễn nhằm giúp học sinh hiểu rõ kiến thức hơn, biết vận dụng kiến thức để giải quyết một số vấn đề thực tiễn; sử dụng tư liệu của lịch sử toán học để gợi động cơ trong dạy học, chẳng hạn sử dụng đạo hàm để tính diện tích, thể tích, vận tốc, gia tốc của một vật… Theo G. Polia: “Toán học có hai hình thái: nó là khoa học chặt chẽ của Euclid nhưng nó cũng là một nghệ thuật vô hạn, không cứng nhắc. Khi được trình bày theo kiểu Eulid, toán học là một khoa học suy diễn và có hệ thống, nhưng toán học do các nhà tìm tòi sáng tạo ra là một khoa học thực nghiệm và quy nạp. Cả hai hình thái đó đều có từ lâu cũng như bản thân toán học vậy”. Do đó, đặc trưng của phương pháp toán học chính là sự kết hợp chặt chẽ giữa cái cụ thể và cái trừu tượng, giữa phương pháp suy diễn và phương pháp quy nạp từ đó người giáo viên dạy Toán cần lựa chọn phương pháp dạy học thích hợp, suy nghĩ cách giáo dục con người sẽ gây được hứng thú cho người học. Ngoài ra có thể đọc thêm, kết hợp vào các bài giảng của mình mà giới thiệu đúng lúc, ngắn gọn những nút lịch sử của vấn đề, những gương lao động của các nhà toán học làm cho giờ học thêm sinh động, khơi dậy thêm nguồn vui học tập, công tác và tu dưỡng trong học sinh. Một tác dụng quan trọng đối với giáo viên khi nắm Lịch sử toán học là hiểu được các lĩnh vực toán học trong chương trình, từ đó thấy được kiến thức nào luôn có mặt trong sự thay đổi của chương trình sách giáo khoa. Ví dụ, phân tích lịch sử sẽ giúp giáo viên thấy được vai trò của hình học giải tích đối với mối quan hệ giữa đại số và hình học. Trước khi các phương pháp đại số được xây dựng thì những phương pháp hình học đã phát triển đến độ mà người ta xem chúng gắn liền với tư duy suy diễn và lập luận logic. Các nhà đại số đầu tiên đã [...]... toán là trở thành một trung tâm toán học xuất sắc, có môi trường làm việc tương đương với một số nước phát triển về Toán, để trao đổi học thuật nhằm nâng cao năng lực khoa học của nhà nghiên cứu, giảng dạy và ứng dụng toán học Việt Nam Đây là mốc quan trọng để đánh dấu sự phát triển của nền toán học ở Việt Nam 20 CHƢƠNG 2 LỊCH SỬ CÁC CHỦ ĐỀ KIẾN THỨC MÔN TOÁN Ở TRƢỜNG PHỔ THÔNG 2.1 Lịch sử về các kiến. .. thuyết thuật toán Các lí thuyết thuật toán đã góp phần xây dựng các máy tính điện tử, phát triển các ngành toán học tính toán Lí thuyết toán học lại tạo điều kiện cho việc ra đời và phát triển các hướng toán học kiến thiết Quan điểm này cho phép đi sâu vào bản chất phức tạp của các đối tượng thông tin của chúng và là cơ sở tốt cho khoa học tính toán 1.6 Giới thiệu lịch sử toán học Việt Nam Trước Cách mạng... vấn đề về lịch sử, về logic, về triết học và các hệ thống lí thuyết toán học Đặc biệt, người ta nhận định lại một cách có phê phán các hệ thống tiên đề của toán học và toàn bộ các phương tiện logic của các chứng minh toán học Sự nhận định này nhằm mục đích xây dựng một hệ thống chặt chẽ các cơ sở của toán học, tương ứng với các kinh nghiệm tiên tiến tích lũy được của tư tưởng lòa người làm cho toán. .. lập Hội toán học Việt Nam (1965), xuất bản tạp chí Toán học và Tuổi trẻ (1964) để khuyến khích học toán, tổ chức các kì thi học sinh giỏi toán (từ năm 1953), mở các lớp chuyên toán (từ năm 1966) , đưa máy tính điện tử về thành lập Trung tâm tính toán, thành lập Viện toán học (vào năm 1969), thành lập bộ phận toán trong các cơ quan quản lí kĩ thuật ở một số Bộ Với phương thức đào tạo cán bộ toán vừa... dụng Toán học hiện đại đã trở thành một khoa học những quan hệ số lượng và hình dạng không gian tổng quát hơn, mà các số, các đại lượng, và các hình học thông thường chỉ là những trường hợp rất đặc biệt Nội dung của đối tượng toán học trở nên rất phong phú đến mức cần xây dựng lại và thay đổi toàn bộ vấn đề quan trọng nhất của toán học mà một trong những vấn đề đó là cơ sở của toán học Đó là hệ thống các. .. các bài toán cùng loại đã tạo ra những tiền đề cần thiết và đầy đủ cho việc nhận thức tính độc lập của toán học Nhận thức đó đã kích thích các nhà toán học cổ đại xu hướng hệ thống hóa các sự kiện toán học và trình bày cơ sở toán học một cách nhất quán và logic Toán học đến đây đã được xem như một hệ thống suy luận logic, xuất phát từ một mệnh đề cơ bản (tiên đề) được coi là đúng đúng rồi rút ra những... kĩ thuật thô sơ dưới chế độ phong kiến không đòi hỏi những công cụ toán học tinh vi hơn toán học sơ cấp, tức là phần lớn những kiến thức số học, hình học, tam giác lượng, đại số dạy ở trường phổ thông hiện nay Bước đầu tiên trong lịch sử phát triển của khoa học toán học được đánh dấu bằng các công trình của các nhà toán học: Talet (639 – 548 trước công nguyên), Pi-ta-go (569 – 470 trước công nguyên),... tính các góc và khoảng cách trong các lĩnh vực như thiên văn học, tạo bản đồ, trắc địa, và tìm tầm bay của pháo Các bài toán liên quan đến các góc và khoảng cách trong mặt phẳng được bao hàm trong lượng giác phẳng Áp dụng vào các bài toán tương tự trong nhiều hơn một mặt của không gian ba chiều được xét trong lượng giác cầu Lượng giác chủ yếu liên quan đến việc tính toán các giá trị bằng số của các. .. cho các trường hợp riêng 1.3 Giai đoạn toán học sơ cấp Từ thế kỉ VII – V trước Công nguyên đến hết thế kỉ XVI là giai đoạn toán học sơ cấp của sự phát triển Toán học Giai đoạn này thuộc vào thời kỳ nô lệ ở Hy Lạp, La Mã và thời kì phong kiến ở Ấn Độ, Trung Quốc, Trung Cận Đông và Tây Âu Giai đoạn toán học sơ cấp kết thúc ở châu Âu khi trọng tâm nghiên cứu của toán học đã chuyển sang phạm vi của các. .. chung của thời bấy giờ trong phạm vi hình học Các vấn đề của toán học ứng dụng và nhất là kĩ thuật tính toán không được coi trọng nên các thành tựu trong lĩnh vực đó rất nghèo nàn so với các vấn đề lí thuyết Archimedes thuộc về một số ít các nhà bác học thiên tài mà tác phẩm của họ có tác dụng to lớn và quyết định đối với lịch sử khoa học, và do đó đối với lịch sử phát triển của loài người Cống hiến của . về lịch sử phát triển toán học nói chung và lịch sử các chủ đề kiến thức toán ở trường phổ thông nói riêng. 3. Đối tƣợng nghiên cứu - Lịch sử các chủ đề kiến thức môn toán ở trường phổ thông. . như: lịch sử phát triển toán học, lịch sử các chủ đề kiến thức toán ở trường phổ thông . Tìm hiểu thực trạng việc hiểu biết về lịch sử toán học của học sinh phổ thông. Đưa ra một số thông. đoạn toán học hiện đại 12 1.6. Giới thiệu lịch sử toán học Việt Nam 16 CHƢƠNG 2. LỊCH SỬ CÁC CHỦ ĐỀ KIẾN THỨC MÔN TOÁN Ở TRƢỜNG PHỔ THÔNG 21 2.1. Lịch sử về các kiến thức đại số 21 2.1.1. Các