Chuyên đề Tích phân Luyện thi ĐH

33 912 0
  • Loading ...
    Loading ...
    Loading ...

Tài liệu hạn chế xem trước, để xem đầy đủ mời bạn chọn Tải xuống

Tài liệu liên quan

Thông tin tài liệu

Ngày đăng: 27/11/2014, 07:11

Hướng dẫn giải CDBT từ các ĐTQG Toán học – 124  Chuyên đề 4: TÍCH PHÂN  Vấn đề 1: BIẾN ĐỔI VỀ TỔNG – HIỆU CÁC TÍCH PHÂN CƠ BẢN A. PHƯƠNG PHÁP GIẢI Sử dụng ba tích chất sau để biến đổi tích phân cần tính thành tổng – hiệu các tích phân cơ bản 1/   bb aa k.f(x)dx k f(x)dx 2/         b b b a a a f(x) g(x) dx f(x)dx g(x)dx 3/     b c b a a c f(x)dx f(x)dx f(x)dx BẢNG NGUYÊN HÀM CƠ BẢN Nguyên hàm của các hàm số sơ cấp Nguyên hàm của các hàm số hợp 1.      dx x c; kdx kx c 2.          1 x x dx c, ( 1) 1 3.   dx ln x c x 4.   xx e dx e c 5.      x x a a dx c (0 a 1) lna 6.   cosxdx sinx c 7.     sinxdx cosx c 8.   2 dx tanx c cos x 9.     2 dx cotx c sin x 10.     tanxdx ln cosx c 11.   cotxdx ln sinx c (u = u(x)) 1.          1 u u u'dx c ; ( 1) 1 2.   u' dx ln u c u 3.   uu e u'dx e c 4.      u u a a u'dx c (0 a 1) lna 5.   u'cosudx sinu c 6.     u'sinudx cosu c 7.   2 u' dx tanu c cos u 8.     2 u' dx cot u c sin u 9.     u'tanudx ln cosu c 10.   u'cotudx ln sinu c TT Luyện Thi Đại Học VĨNH VIỄN 125 Đặc biệt: u(x) = ax + b;         1 f(x)dx F(x) c f(ax b)dx F(ax b) c a 1.         1 1 (ax b) (ax b) dx c a1 2.      dx 1 ln ax b c ax b a 3.    ax b ax b 1 e dx e a 4.         x 1 a dx ln x c 5.      1 cos(ax b)dx sin(ax b) c a 6.       1 sin(ax b)dx cos(ax b) c a 7.      2 dx 1 tan(ax b) c a cos (ax b)       2 dx 1 8. cot(ax b) c a sin (ax b) 1 9. tan(ax b)dx ln cos(ax b) c a            1 10. cot(ax b)dx ln sin(ax b) c a 11.      22 dx 1 x a ln c 2a x a xa B – ĐỀ THI Bài 1: CAO ĐẲNG KHỐI A, B, D NĂM 2011 Tính tích phân 2 1 2x 1 I dx x(x 1)     Giải I = 2 1 (x 1) x dx x(x 1)    = 2 1 11 dx x 1 x       =   2 1 6 lnx(x 1) ln ln3 2    . Bài 2: CAO ĐẲNG KHỐI A, B, D NĂM 2010 Tính tích phân:     1 0 2x 1 I dx x1 Giải     1 0 2x 1 I dx x1 =       1 0 3 2 dx x1 =    1 0 2x 3ln x 1 = 2 – 3ln2. Bài 3: CAO ĐẲNG GTVT III KHỐI A NĂM 2007 Tính các tích phân sau:        2 4 3 2 2 1 x x 3x 2x 2 I dx xx Giải Chia tử cho mẫu, ta được: Hướng dẫn giải CDBT từ các ĐTQG Toán học – 126          4 3 2 2 22 x x 3x 2x 2 x 2 x3 x x x x =     2 12 x3 x 1 x           2 2 1 12 I x 3 dx x 1 x         2 3 1 x 3x ln x 1 2ln x 3 I =  16 3 ln 38 Bài 4: CAO ĐẲNG KINH TẾ – CÔNG NGHIỆP TPHCM NĂM 2007 Tính tích phân:    x 1 dt I(x) t(t 1) , với x > 1. Từ đó tìm x lim I(x) Giải I(x) =         xx 11 dt 1 1 dt t t 1 t t 1 =         x x 1 1 t lnt ln t 1 ln t1 =   x1 ln ln x 1 2             xx x1 lim I x lim ln ln ln2 x 1 2 Bài 5: ĐỀ DỰ BỊ 1 - ĐẠI HỌC KHỐI B NĂM 2005 Tính tích phân:   4 sinx 0 tanx e cosx dx    Giải               4 4 4 sinx sinx 0 0 0 I tanx e .cosx dx tanxdx sinx 'e dx =        sinx 4 4 0 0 ln cosx + e    2 2 ln 2 e 1 . Bài 6: ĐỀ DỰ BỊ 2 Tính tích phân:    3 3 1 dx I xx Giải                            22 3 3 3 3 3 2 2 2 1 1 1 1 dx 1 x x 1 x 1 1 2x I dx dx dx x x 2 x x x(1 x ) x 1 x 1 TT Luyện Thi Đại Học VĨNH VIỄN 127             22 1 33 ln ln(x 1) lnx ln x 1 x 2 11      2 x 3 1 6 3 ln ln ln ln 22 12 1x Bài 7: Tính tích phân : I =   2 2 0 x xdx . Giải Tính               2 1 2 2 2 2 0 0 1 I x x dx x x dx x x dx Do : x 0 1 2 x 2 x  0 +                   3 2 3 2 12 x x x x I1 01 3 2 3 2 . Bài 8: ĐỀ DỰ BỊ 3 Cho hàm số: f(x) =     x 3 a bxe x1 . Tìm a và b biết rằng f’(0) =  22 và   1 0 f(x)dx 5 Giải Ta có:   x 3 a f(x) bx.e (x 1)              x 4 3a f (x) be (x 1) f (0) 3a b 22 (1) (x 1)                    1 1 1 1 3 x x x 2 0 0 0 0 a 3a f(x)dx a(x 1) dx b xe b(xe e ) b 5 (2) 8 2(x 1) (1) và (2) ta có hệ:                3a b 22 a8 3a b2 b5 8 . Hướng dẫn giải CDBT từ các ĐTQG Toán học – 128  Vấn đề 2: TÍNH TÍCH PHÂN BẰNG PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN SỐ A. PHƯƠNG PHÁP GIẢI ĐỔI BIẾN SỐ LOẠI I 1. Sử dụng công thức:      b a f[u(x)].u (x)dx f(u)du 2. Phương pháp: Xét tích phân   b a I f(x)du - Đặt t = u(x)  dt = u'(x)dx - Đổi cận u(a) = t 1 ; u(b) = t 2 - Suy ra: t 2 t 2 t 1 t 1 I g(t)dt g(t)   (g(t) f[u(x)].u (x)) Thường đặt ẩn phụ t là  căn thức, hoặc mũ của e, hoặc mẫu số, hoặc biểu thức trong ngoặc.  có sinxdx  đặt t = cosx, có cosxdx  đặt t = sinx, có dx x đặt t = lnx. ĐỔI BIẾN SỐ LOẠI II  Công thức:       b / a f( (t)) (t)dt f(x)dx ;        x (t); ( ) a, ( ) b  Tính:   b a I f(x)dx Đặt      x (t) dx (t)dt Đổi cận:        x (t); ( ) a, ( ) b Khi đó:         b a I f( (t)). (t)dt f(x)dx Các dạng thường gặp: 1.   b 22 a a x dx đặt x asint 2.    b 22 a dx đặt x asint ax 3. b 22 a dx đặt x atant ax    B. ĐỀ THI Bài 1: ĐẠI HỌC KHỐI A NĂM 2011 TT Luyện Thi Đại Học VĨNH VIỄN 129 Tính tích phân :   4 0 xsinx x 1 cosx I dx. xsinx cosx      Giải Ta có: 4 0 xsinx cosx xcosx I dx xsinx cosx      4 0 xcosx 1 dx xsinx cosx        44 4 0 00 xcosx xcosx x dx dx xsinx cosx 4 xsinx cosx          Đặt t = xsinx + cosx  dt = xcosxdx. Khi x = 0 thì t = 1, x =  4 thì t = 2 1 24      Suy ra:         2 1 24 1 dt I 4t        2 1 24 1 ln t 4        2 ln 1 4 2 4 . Bài 2: ĐẠI HỌC KHỐI D NĂM 2011 Tính tích phân: 4 0 4x 1 I dx. 2x 1 2     Giải Đặt: t 2x 1 2    2x 1 t 2    2 2x 1 t 4t 4     2 t 4t 3 x 2    dx = (t – 2)dt. x = 0  t = 3, x = 4  t = 5. Suy ra:   2 5 3 t 4t 3 41 2 I t 2 dt t     =     2 5 3 2t 8t 5 t 2 dt t     = 5 32 3 2t 12t 21t 10 dt t     = 5 2 3 10 2t 12t 21 dt t        = 5 3 2 3 2t 6t 21t 10ln t 3        = 34 3 10ln 35  . Bài 3: ĐẠI HỌC KHỐI B NĂM 2010 Hướng dẫn giải CDBT từ các ĐTQG Toán học – 130 Tính tích phân: I =   e 2 1 lnx dx x(2 lnx) Giải Đặt    1 u lnx du dx x , x = 1  u = 0, x = e  u = 1               22 11 00 u 1 2 I du du 2u 2 u 2 u        1 0 2 ln 2 u 2u          2 ln3 ln2 1 3     31 ln 23 . Bài 4: ĐẠI HỌC KHỐI D NĂM 2009 Tính tích phân:    3 x 1 dx I e1 . Giải Đặt t = e x  dx = dt t ; x = 1  t = e; x = 3  t = e 3           33 ee ee dt 1 1 I dt t t 1 t 1 t    33 ee ee ln t 1 ln t       2 ln e e 1 2 Bài 3: ĐẠI HỌC KHỐI A NĂM 2008 Tính tích phân:    64 0 tan x I dx cos2x Giải Cách 1:  Đặt t = tanx  dt = (1 + tan 2 x)dx    2 dt dx 1t    2 2 1t cos2x 1t  Đổi cận: x = 0  t = 0;     3 xt 63  Khi đó:           33 3 4 3 2 22 00 t1 I dt t 1 dt 1 t 1 t TT Luyện Thi Đại Học VĨNH VIỄN 131              3 3 t 1 1 t 1 3 1 10 t ln ln 3 3 2 1 t 2 3 1 9 3 0 Cách 2: Ta có:           6 4 6 4 6 4 2 2 2 2 0 0 0 tan x tan x tan x I dx dx dx cos2x cos x sin x cos x(1 tan x) Đặt: t = tanx   2 dx dt cos x Đổi cận: x = 0  t = 0;     3 xt 63 Khi đó:        3 34 2 0 t 1 3 1 10 I dt ln 2 3 1 9 3 1t Bài 4: ĐẠI HỌC KHỐI B NĂM 2008 Tính tích phân:            4 0 sin x dx 4 I sin2x 2(1 sinx cosx) Giải Tính tích phân:            4 0 sin x dx 4 I sin2x 2(1 sinx cosx) Đặt t = sinx + cosx           dt (cosx sinx)dx 2 sin x dx 4 Đổi cận: x = 0  t = 1;    x t 2 4 Ta có: t 2 = sin 2 x + cos 2 x + 2sinxcosx = 1 + sin2x  sin2x = t 2 – 1 Khi đó:          22 22 11 2 dt 2 dt I 22 t 1 2(1 t) (t 1)           2 1 2 1 1 4 3 2 2 . 2 t 1 2 2 4 1 2 1 . Bài 5: ĐẠI HỌC SÀI GÒN KHỐI B NĂM 2007 Tính tích phân:    1 2 0 1 I dx x x 1 Hướng dẫn giải CDBT từ các ĐTQG Toán học – 132 Giải I =      1 2 0 1 dx 13 x 24 Đặt   2 1 3 3 x tant, t ; dx 1 tan t dt 2 2 2 2 2            I =            2 3 2 6 3 1 tan t 2 dt 3 33 1 tan t 4 Bài 6: CAO ĐẲNG XÂY DỰNG SỐ 2 NĂM 2007 Tính tích phân: I =   e 3 1 dx x 1 lnx Giải Đặt:  3 t 1 lnx  lnx = t 3 – 1,  2 dx 3t dt x Đổi cận: x = 1  t = 1; x = e   3 t2    3 2 1 I 3tdt    2 3 3 3t 3 4 3 2 22 1 Bài 7: CAO ĐẲNG CÔNG NGHIỆP THỰC PHẨM NĂM 2007 Tính tích phân:    1 2 0 x1 dx x1 Giải       11 12 22 00 xdx dx I I I x 1 x 1 ;    2 1 1 11 I ln(x 1) ln2 0 22 . Đặt x = tant,      2 dt t 0, , dx 4 cos t     4 2 0 I dt 4 . Vậy   1 I ln2 24 Bài 8: CAO ĐẲNG TÀI CHÍNH – HẢI QUAN NĂM 2007 Tính tích phân:      2 3 sinx I dx cos2x cosx TT Luyện Thi Đại Học VĨNH VIỄN 133 Giải Đặt t = cosx  dt = sinxdx x  3  2 t 1 2 0 I =                11 0 22 22 1 00 2 12 dt 1 dt dt 33 2t t 1 2t t 1 t 1 2t 1  I =      1 2 0 11 ln4 ln ln t 1 2t 1 33 Bài 9: ĐỀ DỰ BỊ 1 - ĐẠI HỌC KHỐI A NĂM 2006 Tính tích phân: I =     6 2 dx 2x 1 4x 1 Giải Đặt        2 t 1 1 t 4x 1 x dx tdt 42                  5 5 5 2 2 2 3 3 3 t dt t 1 1 2 I dt dt t1 t 1 (t 1) (t 1) 2. 1 t 4          5 1 3 1 ln t 1 ln 3 t 1 2 12 Bài 10: ĐỀ DỰ BỊ 1 - ĐẠI HỌC KHỐI B NĂM 2006 Tính tích phân: I =   10 5 dx x 2 x 1 Giải  Đặt t =       2 x 1 t x 1 dx 2tdt và x = t 2 + 1  Đổi cận x 5 10 t 2 3 Khi đó: I =            33 22 22 2tdt 1 1 2 dt t1 t 2t 1 t1 =         3 2 2 2ln t 1 2ln2 1 t1 [...]... 2x 0 Tính tích phân: I   Giải  4  4  cos2x 1 d 1  sin 2x  1 1 dx    ln 1  sin 2x  4  ln2 1  sin 2x 2 0 1  sin 2x 2 2 0 0 Ta có I   Bài 24: ĐỀ DỰ BỊ 2 138 ln3 ex dx 0 Tính tích phân: I   e  1  x 3 TT Luyện Thi Đại Học VĨNH VIỄN Giải ex 0 I ln 3  ex  1  3 4 Khi đó I   dt 3 2 2 t dx Đặt t  ex  1  dt  ex dx ; Đổi cận:  x 0 ln3 t 2 4 4 2 t  2 1 2 Bài 25: ĐỀ DỰ BỊ... NĂM 2008 2 Tính tích phân: I   1 ln x x3 dx Giải 2 Tính tích phân: I   1 I  u  ln x dx 1  dx Đặt:  , chọn v   2 dx  du  3 x 2x x dv  3  x ln x 2 2 1 1 1 2 1 3 3  2 ln 2 ln x   3 dx =  ln 2  2   ln 2   2 1 1 2x 8 8 16 16 2x 4x 1 1 Bài 4: ĐẠI HỌC KHỐI D NĂM 2007 e Tính tích phân: I   x3 ln2 xdx 1 Giải 141 Hướng dẫn giải CDBT từ các ĐTQG Toán học – Tính tích phân x4 2 ln x... 11: CAO ĐẲNG KỸ THUẬT CAO THẮNG  4  Tính tích phân: 0 1  sin 2x cos2 x dx Giải I =  4  0 1  sin 2x 2 cos x  tan x  4 0 dx =  4 1  0 sin 2x  cos2 x dx   cos2 x dx 0  4  4 d(cos2 x) cos2 x 0 dx   = tan x 4  ln(cos2 x) 4 = 1 + ln2 0 0 150 x 1 0 t 0 1 TT Luyện Thi Đại Học VĨNH VIỄN ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN  Vấn đề 5: A PHƯƠNG PHÁP GIẢI TÍNH DIỆN TÍCH Bài toán 1: Cho hàm số y = f(x) liên... Toán học – Bài 21: 2 3  Tính tích phân: I  5 dx x x2  4 Giải Tính tích phân I  2 3 dx  2 x x 4 5 Ta có I  2 3  5 dx 2 x x 4 2 3   5 xdx x 2 x2  4 xdx Đặt t  x2  4  t 2  4  x2  dt = x2  4 x  2 3  t = 4 Đổi cận  x  5  t = 3  4 dt Vậy I   3t 2 4  1 t 2 4 1 1 1 1 5 ln   ln  ln   ln 4 t 2 3 4 3 5 4 3 Bài 22: ĐỀ DỰ BỊ 1 Tính tích phân: I  ln3  e2x dx ex  1...  1 3e4  1 16 5e4  1 32 Bài 5: ĐẠI HỌC KHỐI D NĂM 2006 1 Tính tích phân: I   (x  2)e2x dx 0 Giải Tính tích phân 1 u  x  2 1  I   (x  2)e2x dx Đặt   du  dx, chọ n v = e2x 2x 2 dv  e dx  0 1 I  (x  2)e2x 2 1 1  0 1 2x e2 1 2x  e dx =  2  1  4 e 20 1 0 Bài 6: ĐỀ DỰ BỊ 1 - ĐẠI HỌC KHỐI D NĂM 2006  2 Tính tích phân: I =  (x  1)sin 2x dx 0 Giải u  x  1 1 Đặt   du  dx,... 2 1  cos2xdx   1 2 4 0 Bài 7: ĐỀ DỰ BỊ 2 - ĐẠI HỌC KHỐI D NĂM 2006 142  5  3e2 4 TT Luyện Thi Đại Học VĨNH VIỄN 2 Tính tích phân: I =  (x  2)ln xdx 1 Giải  u  ln x 1 x2  Đặt   du  dx, chọ n v   2x x 2 dv   x  2  dx  2 2  x2  5 x  I=   2x  ln x     2  dx  2 ln 2   2  4 2    1 1 Bài 8: ĐẠI HỌC KHỐI D NĂM 2005  2 Tính tích phân: I    2x  1 cos2 xdx 0 Giải...  2 2 Bài 10: ĐỀ DỰ BỊ 1  4 x dx 1  cos2x 0 Tính tích phân: I   Giải  4  4 u  x du  dx x 1 xdx  I dx   Đặt  du   2 1  cos2x 2 0 cos x  chọ n v  tan x dv  0 cos2 x   4  4  1 1 1  1 I  x tan x   tan xdx  x tan x  ln cos x  4   ln 2  0 8 4 2 20 2 0 Bài 11: CĐ KINH TẾ – KỸ THUẬT CÔNG NGHIỆP I 3 ln x Tính tích phân: I   dx 1 (x  1)2 144 TT Luyện Thi Đại Học VĨNH... du  dx u  x   cos2x dv  sin2xdx, chọn v   2   2 x cos2x Vậy: I =  2 0   2  1 s in2x  2    cos2xdx     20 4 2  2 0 4    Vấn đề 4: TÍNH TÍCH PHÂN BẰNG PHƯƠNG PHÁP PHỐI HP A.ĐỀ THI Bài 1: ĐẠI HỌC KHỐI A NĂM 2010 1 Tính tích phân : I   0 x2 (1  2ex )  ex 1  2ex dx 145 Hướng dẫn giải CDBT từ các ĐTQG Toán học – Giải 1 I 1 0 x2 (1  2ex )  ex 1 x3 I1   x dx  3 0 1 2...   13  7   0 91 Bài 26: CAO ĐẲNG KINH TẾ TP HCM  2 Tính tích phân: I   x sin 2xdx 0 Giải  du  dx u  x   cos2x dv  sin2xdx  v   2   2  2    1 s in2x  2  x cos2x   cos2xdx     Vậy: I =  20 4 2  2 0 4 2   0 139 Hướng dẫn giải CDBT từ các ĐTQG Toán học –  Vấn đề 3: TÍNH TÍCH PHÂN BẰNG PHƯƠNG PHÁP TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN A PHƯƠNG PHÁP GIẢI b  u(x).v(x)dx  u(x).v(x)... 1 15 1 t   Bài 18: 2 Tính tích phân: I   1 x 1 x 1 dx Giải Đặt t = 136 x  1  t = 0 x  1  t2 = x  1  2tdt = dx Đổi cận  x = 2  t = 1 TT Luyện Thi Đại Học VĨNH VIỄN 1 Vậy I    t2  1 2t dt  21 t3  t dt  21  t2  t  2   1 t 0 0   t 1 0 2   dt t 1 1  t3 t 2  11 I  2    2t  2ln | t  1|   4ln2 3 2  0 3   Bài 19: e Tính tích phân: I   1 1  3lnx.ln x dx .  Chuyên đề 4: TÍCH PHÂN  Vấn đề 1: BIẾN ĐỔI VỀ TỔNG – HIỆU CÁC TÍCH PHÂN CƠ BẢN A. PHƯƠNG PHÁP GIẢI Sử dụng ba tích chất sau để biến đổi tích phân cần tính thành tổng – hiệu các tích. Vấn đề 2: TÍNH TÍCH PHÂN BẰNG PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN SỐ A. PHƯƠNG PHÁP GIẢI ĐỔI BIẾN SỐ LOẠI I 1. Sử dụng công thức:      b a f[u(x)].u (x)dx f(u)du 2. Phương pháp: Xét tích phân. sin2x cos2xdx 2 4 2 4 22 Hướng dẫn giải CDBT từ các ĐTQG Toán học – 140  Vấn đề 3: TÍNH TÍCH PHÂN BẰNG PHƯƠNG PHÁP TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN A. PHƯƠNG PHÁP GIẢI Công thức:    bb b a aa u(x).v
- Xem thêm -

Xem thêm: Chuyên đề Tích phân Luyện thi ĐH, Chuyên đề Tích phân Luyện thi ĐH, Chuyên đề Tích phân Luyện thi ĐH

Từ khóa liên quan