MỘT VÀI KINH NGHIỆM GIÚP HỌC SINH KHỐI 11 TỰ TIN GIẢI BÀI TẬP GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ MỞ ĐẦU 1.Lý do chọn đề tài Môn Toán trong trường phổ thông giữ một vai trò, vị trí hết sức quan trọng, là môn học công cụ hỗ trợ đắc lực cho hầu hết các môn học khác trong trường phổ thông như: Lý, Hóa, Sinh, Văn………Như vậy, nếu học tốt môn Toán thì những tri thức trong Toán cùng với phương pháp làm việc trong Toán sẽ trở thành công cụ để học tốt những môn học khác. Môn Toán góp phần phát triển nhân cách, ngoài việc cung cấp cho học sinh hệ thống kiến thức, kĩ năng toán học cần thiết, môn Toán còn rèn luyện cho học sinh đức tính, phẩm chất của người lao động mới: cẩn thận, chính xác, có tính kỉ luật, tính phê phán, tính sáng tạo, bồi dưỡng óc thẩm mĩ. Thực tế trong nhà trường THPT hiện nay, đặc biệt là những trường vùng ven không nằm trong nội ô thành phố như trường THPT Thanh Bình 1 thì chất lượng học tập môn Toán của học sinh còn thấp, hÇu hÕt c¸c em sî häc m«n to¸n. Qua 5 năm giảng dạy tôi nhận thấy học sinh khối 11 khi học chương giới hạn, đặc biệt là phần bài tập về giới hạn của hàm số thì các em rất khó tiếp thu và áp dụng mà bài tập về giới hạn hàm số lại luôn có mặt trong đề các đề thi học kì, đề thi đại học và cao đẳng Vì vậy để giúp học sinh khối 11học tốt phần bài tập giới hạn hàm số tôi đã chọn đề tài “Một số kinh nghiệm giúp học sinh khối 11 tự tin giải bài tập giới hạn của hàm số ”. 2.Mục đích nghiên cứu: Tìm ra phương pháp dạy học phù hợp với học sinh, tạo hứng thú học tập cho học sinh. Làm cho học sinh hiểu rõ và phân loại được các dạng bài tập giới hạn hàm số. Từ đó nâng cao chất lượng học tập của học sinh trong các tiết học. 3.Đối tượng nghiên cứu: Học sinh khối 11 trường THPT Thanh Bình 1 4.Giới hạn của đề tài: Là giáo viên trực tiếp giảng dạy khối 11. Vì vậy tôi chỉ tập trung vào vấn đề “Giúp đỡ học sinh học tốt phần bài tập giới hạn hàm số trong chương trình lớp 11”. 5.Nhiệm vụ của đề tài: Kế hoạch giúp đỡ học sinh học tốt phần bài tập giới hạn hàm số trong chương trình. Nắm vững và phân dạng được từng loại bài tập giới hạn hàm, đảm bảo tốt kiến thức phần bài tập giới hạn hàm trong các kỳ thi học kì, thi đại học và cao đẳng Rút ra kết luận và đề xuất một số biện pháp khi tiến hành giúp đỡ từng đối tượng học sinh nhằm nâng cao chất lượng giảng dạy trong nhà trường THPT. 6.Phương pháp nghiên cứu: Để thực hiện mục đích và nhiệm vụ của đề tài, trong quá trình nghiên cứu tôi đã sử dụng các nhóm phương pháp sau: Nghiên cứu các loại tài liệu sư phạm có liên quan đến đề tài. Phương pháp quan sát (công việc dạy- học của giáo viên và HS). Phương pháp điều tra (nghiên cứu chương trình, ……………….) Phương pháp thực nghiệm. 7.Thời gian nghiên cứu: Năm học 2011-2012. NỘI DUNG Chương I: CƠ SỞ LÍ LUẬN VÀ PHÁP LÝ CỦA ĐỀ TÀI 1/ Cơ sở lý luận: 2/ Cơ sở pháp lý của đề tài: - Dựa trên những khái niệm, định nghĩa, định lí đã học trong chương trình toán trung học phổ thông - Dựa trên những khái niệm, định nghĩa khác có liên quan tới quá trình giải bài tập - Dựa trên những kết quả đúng đắn và những chân lí hiển nhiên hay đã được chứng minh, thừa nhận. Chương II: THỰC TRẠNG CỦA ĐỀ TÀI: 1.Thời gian và các bước tiến hành: Tìm hiểu đối tượng học sinh năm học 2012-213. 2.Khảo sát chất lượng đầu năm: Thông qua bài khảo sát chất lựơng đầu năm tôi thu được kết quả như sau: Trên trung bình 18%. 3.Tìm hiểu nguyên nhân dẫn đến kết quả trên: Tôi nhận thấy đa số học sinh có kết quả rất thấp. Vì vậy việc lĩnh hội kiến thức và rèn luyện kĩ năng ở học sinh đòi hỏi nhiều công sức và thời gian.Sự nhận thức của học sinh thể hiện khá rõ: - Các em còn lúng túng trong việc tìm ảnh của một hình qua một phép biến hình. - Kiến thức cơ bản nắm chưa chắc. - Khả năng tưởng tượng, tư duy hàm, tư duy lôgíc còn hạn chế. - Ý thức học tập của học sinh chưa thực sự tốt. - Nhiều học sinh có tâm lí sợ học môn hình học. Đây là môn học đòi hỏi sự tư duy, phân tích của các em. Thực sự là khó không chỉ đối với HS mà còn khó đối với cả GV trong việc truền tải kiến thức tới các em.Hơn nữa vì điều kiện kinh tế khó khăn, môi trường giáo dục, động cơ học tập,… nên chưa thực sự phát huy hết mặt mạnh của học sinh. Nhiều em hổng kiến thức từ lớp dưới, ý thức học tập chưa cao nên chưa xác định được động cơ học tập, chưa thấy được ứng dụng to lớn của môn hình học trong đời sống. Đây là năm đầu tiên đổi mới phương pháp dạy học ở lớp 11 nên phương tiện dạy học chưa đầy đủ. Giáo viên cần nắm rõ đặc điểm, tình hình từng đối tượng học sinh để có biện pháp giúp đỡ các em, song song với việc bồi dưỡng học sinh khá giỏi cần giúp đỡ học sinh yếu kém. Việc này cần thực hiện ngay trong từng tiết học, bằng biện pháp rèn luyện tích cực, phân hoá nội tại thích hợp. Tuy nhiên ngoài việc dạy tốt giờ lên lớp, giáo viên nên có biện pháp giúp đỡ từng đối tượng học sinh để học sinh yếu kém theo kịp với yêu cầu chung của tiết học, học sinh khá không nhàm chán. Chương III: Giải quyết vấn đề: I/ Nhắc lại kiến thức cơ bản có liên quan: A-KIẾN THỨC CƠ BẢN 1. Định nghĩa giới hạn của hàm số: Cho hàm số f(x) xác định trên khoảng K.Ta nói rằng hàm số f(x) có giới hạn là L khi x dần tới a nếu với mọi dãy số (x n ), x n ∈ K và x n ≠ a , * n∀ ∈¥ mà lim(x n )=a đều có lim[f(x n )]=L.Kí hiệu: ( ) lim x a f x L →   =   . 2. Một số định lý về giới hạn của hàm số: a. Định lý 1:Nếu hàm số có giới hạn bằng L thì giới hạn đó là duy nhất. b. Định lý 2:Nếu các giới hạn: ( ) ( ) → →     = =     lim , lim x a x a f x L g x M thì: ( ) ( ) ( ) ( ) → → →       ± = ± = ±       lim lim lim x a x a x a f x g x f x g x L M ( ) ( ) ( ) ( ) → → →       = =       lim . lim .lim . x a x a x a f x g x f x g x L M ( ) ( ) ( ) ( ) → → →     = = ≠     lim lim , M 0 lim x a x a x a f x f x L M g x g x ( ) ( ) ( ) → →   = = ≥ ≥   lim lim ; 0, 0 x a x a f x f x L f x L c) Nguyên lý kẹp: Cho ba hàm số f(x), h(x) và g(x) xác định trên khoảng K chứa điểm a (có thể trừ điểm a), g(x) ≤ f(x) ≤ h(x) ,x K x a∀ ∈ ≠ và ( ) ( ) ( ) lim lim lim x a x a x a g x h x L f x L → → →       = = ⇒ =       . 2. Mở rộng khái niệm giới hạn hàm số: a) Trong định nghĩa giới hạn hàm số , nếu với mọi dãy số (x n ), lim(x n ) = a , đều có lim[f(x n )]= ∞ thì ta nói f(x) dần tới vô cực khi x dần tới a, kí hiệu: ( ) lim x a f x →   = ∞   . b) Nếu với mọi dãy số (x n ) , lim(x n ) = ∞ đều có lim[f(x n )] = L , thì ta nói f(x) có giới hạn là L khi x dần tới vô cực, kí hiệu: ( ) lim x f x L →∞   =   . c) Trong định nghĩa giới hạn hàm số chỉ đòi hỏi với mọi dãy số (x n ), mà x n > a * n∀ ∈¥ , thì ta nói f(x) có giới hạn về bên phải tại a, kí hiệu : ( ) lim x a f x + →     . Nếu chỉ đòi hỏi với mọi dãy số (x n ), x n < a * n∀ ∈¥ thì ta nói hàm số có giới hạn bên trái tại a , kí hiệu: ( ) lim x a f x − →     B- PHƯƠNG PHÁP CHUNG ĐỂ GIẢI TOÁN Trong quá trình giải bài tập giới hạn của hàm số ta thường gặp 3 trường hợp tìm giới hạn cơ bản sau: Một là : Giới hạn của hàm số tại một điểm: ( ) →     lim x a f x Hai là: Giới hạn vô cực của hàm số : ( ) →±∞     lim x f x Ba là: Giới hạn một bên của hàm số: ( ) ( ) + − → →         lim , lim x a x a f x f x Hiển nhiên lý do tôi phân thành 3 trường hợp cơ bản vì lúc này tôi không xét tính chất của hàm số mà chỉ nhận dạng trường hợp bằng cách nhìn vào giá trị mà x đang tiến đến (một điểm xác định, vô cực, hay giới hạn trái, giới hạn phải) Trong mỗi trường hợp nêu trên lại chia ra từng dạng bài tập nhất định.Ở đây tôi sẽ khái quát quá trình giải bài tập giới hạn hàm số theo sơ đồ tư duy sau: Sau đây tôi sẽ trình bày phương pháp chung để giải từng dạng bài tập đã nêu trong sơ đồ tư duy • KHI HỌC SINH GẶP PHẢI BÀI TẬP GIỚI HẠN TẠI MỘT ĐIỂM CỦA HÀM SỐ: ( ) →     lim x a f x Quan sát chia trường hợp Giới hạn vô cực Dạng 1: Dạng 2:() Dạng 3:() Dạng3: Dạng: ĐỀ BÀI Giới hạn tại một điểm: Giới hạn một bên Dạng 1:Tính trực tiếp ( ) → = lim ( ) x a f x f a Dạng 2    ÷   0 0 ( ) ( ) → lim x a f x g x Dạng 1: ( ) → = lim ( ) x a f x f a Phương pháp: Thay a trực tiếp vào biểu thức f(x). Kết luận: ( ) → = lim ( ) x a f x f a Ví dụ 1:Tính các giới hạn sau: 1/. ( ) 3x2Lim 2x + → 2/. 2 2 Lim( 5 1) x x →− + − . 3/. 3 1 Lim 2 x x x → − + 4/ 2 2 x -1 2x + 3x +1 Lim -x + 4x+ 2 →    ÷   BÀI GIẢI 1/ ( ) 732.23x2Lim 2x =+=+ → 2 2 2 2/ Lim( 5 1) ( 2) 5 1 2 x x →− + − = − + − = 3 1 3 1 2 3/Lim 2 3 2 5 x x x → − − = = + + 4/ ( ) ( ) ( ) ( ) 0 3 0 2141 11.31.2 2x4x 1x3x2 Lim 2 2 2 2 1x = − = +−+−− +−+− =         ++− ++ −→ Bài tập tương tự: Bài tập 1:Tính các giới hạn sau: 1. 2 x -1 lim(x + 2x +1) → 2. x 1 lim(x+ 2 x +1) → 3. ( ) 2 x 3 lim 3- 4x → 4. x 1 x+1 lim 2x - 1 → ; 5. 2 5 x -1 x + x+1 lim 2x + 3 → Dạng 2: ( ) ( ) →   →  ÷   0 0 .lim x a f x g x (ta tính nhẫm dạng bằng cách thay a vào f(x) và g(x). Ta thấy f(x)=f(a)=0, g(x)=g(a)=0. nên ( ) ( ) → lim x a f x g x lúc này có dạng    ÷   0 0 . Phương pháp: Phương pháp 1:Nếu f(x), g(x) là các hàm đa thức ta có thể chia tử số và mẫu số cho (x-a) hoặc (x-a) 2 . Chú ý 1: • Nếu = + + 2 ( )f x ax bx c có 2 nghiệm 1 2 ,x x thì ta phân tích = + + = − − 2 1 2 ( ) ( )( )f x ax bx c a x x x x • Các hằng đẳng thức đáng nhớ: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) − = − + − = − + + + = + − + 2 2 3 3 2 2 3 3 2 2 A B A B A B A B A B A AB B A B A B A AB B Phương pháp 2: Nếu f(x) , g(x) là các biểu thức chứa căn thì nhân tử và mẫu cho các biểu thức liên hợp Chú ý 2: Các biểu thức liên hợp thường gặp − − − = − = + + + − − + = + = − − + − − − = − = + + + − + + = + = − − + 3 2 3 3 3 2 3 3 3 3 2 2 3 3 3 3 3 2 2 3 3 3 1 1 1/ 1 5/ 1 1 1 1 1 2/ 1 6/ 1 1 1 3/ 7/ 4/ 8/ a a a a a a a a a a a a a a a b a b a b a b a b a ab b a b a b a b a b a b a ab b Ví dụ 2:Tính các giới hạn sau: ( ) 2 2 2 3 2 2 1 3 1 0 0 2 1 3 2 3 1/Lim 2/Lim 2 3 2 1 1 1 2 3/ Lim 4/ Lim 1 4 2 2 5/ Lim 6/ Lim 2 9 3 2 2 7/ Lim 7 3 x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x → → → → → → →   + + −    ÷  ÷ + − − −     + −   + −  ÷ −   −    ÷ − + −   + − + − Bài giải. [...]... lời giải đúng Sau khi hớng dẫn học sinh nh trên và yêu cầu học sinh giải một số bài tập tích phân trong sách giáo khoa Giải Tích Lớp 12 và một số bài trong các đề thi tuyển sinh vào đại học, cao đẳng và trung học chuyên nghiệp của các năm trớc thì các em đã thận trọng trong khi tìm và trình bày lời giải và đã giải đợc một lợng lớn bài tập đó 2/Kết quả thực nghiệm: Sáng kiến đợc áp dụng trong năm học. .. phát huy tính tích cực, chủ động, sáng tạo của học sinh phần III:kết luận kiến nghị I/ kết luận: Nghiên cứu, phân tích một số sai lầm của học sinh khi tính tích phân có ý nghĩa rất lớn trong quá trình dạy học vì khi áp dụng sáng kiến này sẽ giúp học sinh nhìn thấy đợc những điểm yếu và những hiểu biết cha thật thấu đáo của mình về vấn đề này từ đó phát huy ở học sinh t duy độc lập, năng lực suy nghĩ... trong năm học 2009-2010 Bài kiểm tra trên lớp 11CBO4(nm hc 2011-2012) không áp dụng sáng kiến v lớp 11CBO4(nm hc 2012-2013) áp dụng sáng kiến nh sau: xếp loại đối tợng giỏi khá tb yếu Sau khi thực hiện sáng kiến học sinh học tập rất tích cực và hứng thú đặc biệt là khi giải bài toán tích phân các em tính tích phân rất thận trọng và hiểu bản chất của vấn đề chứ không tính rập khuôn một cách máy móc nh trớc,... thêm kiến thức về tính tích phân từ đó làm chủ đợc kiến thức, đạt đợc kết quả cao trong quá trình học tập và các kỳ thi tuyển sinh vào các trờng đại học, cao đẳng , THCN II/ Kiến nghị: Hiện nay nhà trờng đã có một số sách tham khảo tuy nhiên cha có một sách tham khảo nào viết về sai lầm của học sinh khi giải toán Vì vậy nhà tr ờng cần quan tâm hơn nữa về việc trang bị thêm sách tham khảo loại này để học. .. Vớ d 1: III/Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm: 1/Kết quả từ thực tiễn: Ban đầu học sinh gặp khó khăn nhất định trong việc phõn loi v giải những dạng bi tp nh đã nêu.Tuy nhiên giáo viên cần hớng dẫn học sinh tỉ mỉ cách phân tích một bài toán từ nhn dng hm s : hm s dng c bn, hm s dng nhõn lng liờn hp,dng để lựa chọn phơng pháp phù hợp trên cơ sở giáo viên đa ra những sai lầm mà học sinh thờng mắc phải... khảo loại này để học sinh đợc tìm tòi về những sai lầm thờng mắc khi giải toán để các em có thể tránh đợc những sai lầm đó trong khi làm bài tập tài liệu tham khảo 1 Kiến thức cơ bản giải tích 12 ( Phan Văn Đức- Đỗ Quang Minh Nguyễn Thanh Sơn Lê Văn Trờng NXB ĐH Quốc gia thành phố HCM - 2002) 2 Phơng pháp giải toán Tích phân và Giải tích tổ hợp ( Nguyễn Cam NXB Trẻ ) 3 Phơng pháp giải toán Tích phân... Nguyễn Cam NXB Trẻ ) 3 Phơng pháp giải toán Tích phân (Trần Đức Huyên Trần Chí Trung NXB Giáo Dục) 4 Sách giáo khoa Giải tích 12 (Ngô Thúc Lanh Chủ biên NXB GD 2000) 5 Phơng pháp giải toán Tích phân ( Lê Hồng Đức Lê Bích Ngọc NXB Hà Nội 2005) 6 Sai lầm thờng gặp và các sáng tạo khi giải toán ( Trần Phơng và Nguyễn Đức Tấn NXB Hà Nội 2004) ... lim ( x + 2x +4 - x - 2x+4 ) 10) lim x ( x +1 - x ) 12 / lim ( x+ 3x x ) 2) lim 3x 2 + x+1+ x 3 x x ) ) ) ) x + 2 x 2 2 x + 2 x + 3 2 3 x + * KHI HC SINH GP PHI BI TP GII HN MT BấN CA HM ( ) ( ) S: lim f x hoc lim f x Cn lu ý hc sinh õy ch l trng hp c x a+ x a bit ca gii hn ti mt im, lỳc ny x khụng tin n a m tin n bờn trỏi im a ( x a ), hoc tin v bờn phi bờn phi im a ( x a + ).Bi... = lim x 1- 1 + + 2 ữ x x x ữ Ti kt qu 1 1 lim x 1- 1 + + 2 ữ s dn n dng vụ nh (0 ) li quay x x x ữ v dng 2 ca trng hp gii hn hm s vụ cc m vic kh dng vụ ) li gõy khú khn cho mt s em hc sinh cú hc lc trung bỡnh, nh(0 yu Bi tp tng t: Bi tp 6: Tớnh cỏc gii hn sau: 1) lim x + ( x+1 - x ( 5) lim ( 7) lim ( x 2 +1 + x - 1 3) lim x 9 ) lim x 11/ lim x + ( ( ) 4x 2 + 9 + 2x 3 x3 + x2 x )... ( ) x3 + 8 ( ) ( ( ) ) Bi tp tng t: Bi tp 3: Tớnh cỏc gii hn sau: 1/ lim x 2 x+2 ( x 2) 3/ lim x 2 2 / lim 2 x 2 2x + 1 ( x + 2) x3 + 1 ( x + 2) 2 x +1 x 3 x + 3 ( ) x2 + 4x + 3 4 / lim 2 ( ) KHI HC SINH GP PHI BI TP GII HN Vễ CC CA ( ) HM S: lim f x x Dng 1: lim x f ( x) ữ g( x) Phng phỏp: Chia t v mu cho xk vi k l ly tha cao nht ca t hoc mu Chỳ ý rng nu x + thỡ coi nh x>0, nu x thỡ . bài tập giới hạn hàm số tôi đã chọn đề tài Một số kinh nghiệm giúp học sinh khối 11 tự tin giải bài tập giới hạn của hàm số ”. 2.Mục đích nghiên cứu: Tìm ra phương pháp dạy học phù hợp với học. với học sinh, tạo hứng thú học tập cho học sinh. Làm cho học sinh hiểu rõ và phân loại được các dạng bài tập giới hạn hàm số. Từ đó nâng cao chất lượng học tập của học sinh trong các tiết học. 3.Đối. MỘT VÀI KINH NGHIỆM GIÚP HỌC SINH KHỐI 11 TỰ TIN GIẢI BÀI TẬP GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ MỞ ĐẦU 1.Lý do chọn đề tài Môn Toán trong trường phổ thông giữ một vai trò, vị trí hết