Số hóa bởi Trung tâm Học liệu http://www.lrc-tnu.edu.vn/ ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƢỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC BÙI QUỐC ĐỘ MỘT PHƢƠNG PHÁP XẤP XỈ TRONG GIẢI BÀI TOÁN QUY HOẠCH PHÂN TUYẾN TÍNH Chuyên ngành : TOÁN ỨNG DỤNG Mã số : 60.46.01.12 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Ngƣời hƣớng dẫn khoa học: TS . NGUYỄN ANH TUẤN Thái Nguyên – 2014 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu http://www.lrc-tnu.edu.vn/ Mục lục TT Nội dung Trang 1 Mở đầu 2 2 Chương 1: Bài toán qui hoạch tuyến tính và bài toán qui hoạch phân tuyến tính 4 3 1.1Bài toán tối ưu tổng quát 4 4 1.2 Bài toán quy hoạch tuyến tính dạng chuẩn 4 5 1.3 Bài toán quy hoạch phân tuyến tính với miền ràng buộc là hệ bất phương trình tuyến tính 5 6 1.4 Một số mô hình bài toán thực tế đưa về bài toán quy hoạch tuyến tính và phân tuyến tính 6 7 1.5 Một số khái niệm và tính chất của hàm gần lồi-gần lõm 8 8 Chương 2:Thuật toán nón xoay giải bài toán quy hoạch tuyến tính và thuật toán kiểu đơn hình giải bài toán quy hoạch phân tuyến tính 17 9 2.1. Thuật toán nón xoay giải bài toán quy hoạch tuyến tính dạng chuẩn 17 10 2.2. Thuật toán kiểu đơn hình giải bài toán quy hoạch phân tuyến tính 20 11 Chương 3:Phương pháp nón xoay xấp xỉ trong giải bài toán quy hoạch phân tuyến tính 28 12 3.0. Bổ trợ 28 13 3.1. Bài toán quy hoạch phân tuyến tính với miền ràng buộc là hệ bất phương trình tuyến tính 30 14 3.2.Khái niệm về nón đơn hình tuyến tính, cạnh và phương của cạnh 32 15 3.3. Bảng lặp nón xoay giải bài toán quy hoạch phân tuyến tính bởi thuật toán PTT 47 16 3.4. Nhận xét về độ phức tạp tính toán của thuật toán nón xoay PTT và kết luận 56 17 Tài liệu tham khảo 58 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu http://www.lrc-tnu.edu.vn/ Mở đầu Bài toán quy hoạch phân tuyến tính là một bài toán có ý nghĩa trong kinh tế. Rất nhiều bài toán thực tế trong công nghệ hóa chất, trong lý thuyết trò chơi, mạng vận tải, bài toán cắt nguyên vật liệu, định giá thành sản phẩm, …đều đưa về bài toán quy hoạch phân tuyến tính. Như chúng ta đã biết, hàm mục tiêu của bài toán quy hoạch phân tuyến tính là một hàm đơn điệu theo đoạn thẳng, nửa đường thẳng và cả đường thẳng nằm trên miền xác định của nó. Vì vậy ta có thể xây dựng thuật toán kiểu đơn hình giải bài toán quy hoạch phân tuyến tính. Trong cuốn sách “Các phương pháp tối ưu hóa”([6]) đã đưa ra một thuật toán kiểu đơn hình giải bài toán quy hoạch phân tuyến tính với miền ràng buộc là hệ phương trình tuyến tính. Luận văn này xây dựng một thuật toán xấp xỉ trong giải bài toán quy hoạch phân tuyến tính với miền ràng buộc là hệ bất phương trình tuyến tính. Thuật toán này được xây dựng dựa trên khái niệm nón xoay trình bày trong sách “quy hoạch tuyến tính với phương pháp nón xoay” ([1]), nó gần giống với thuật toán nón xoay tuyến tính (thuộc lược đồ xấp xỉ ngoài) giải bài toán quy hoạch tuyến tính dạng chuẩn đã đề nghị, chỉ khác là các đỉnh của nón xoay dịch chuyển trong thuật toán này nằm trong miền ràng buộc (thuộc lược đồ xấp xỉ trong). Cơ sở lý luận để xây dựng thuật toán là dựa trên tính gần lồi-gần lõm của hàm mục tiêu bài toán quy hoạch phân tuyến tính. Vì vậy trong hai chương đầu của luận văn sẽ đề cập đến các khái niệm cơ bản và các tính chất của hàm gần lồi-gần lõm và thuật toán nón xoay tuyến tính giải bài toán quy hoạch tuyến tính dạng chuẩn. Nội dung chính của luận văn là đề nghị thuật toán giải bài toán quy hoạch phân tuyến tính với miền ràng buộc là hệ bất phương trình tuyến tính. Luận văn gồm 3 chương: Chương 1 trình bày bài toán quy hoạch tổng quát, các khái niệm cơ bản về tập lồi, một số mô hình bài toán thực tế đưa về bài toán quy hoạch tuyến tính dạng chuẩn và quy hoạch phân tuyến tính cùng với một số khái niệm và tính chất của hàm gần lồi-gần lõm mà các hàm tuyến tính và phân tuyến tính đều thuộc lớp hàm đăc biệt này. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu http://www.lrc-tnu.edu.vn/ Chương 2 trình bày thuật toán nón xoay tuyến tính[1] giải trực tiếp bài toán quy hoạch tuyến tính dạng chuẩn khi biết một nón-min của hàm mục tiêu bài toán và thuật toán kiểu đơn hình giải bài toán quy hoạch phân tuyến tính với miền ràng buộc là hệ phương trình tuyến tính[6]. Chương 3 dựa trên khái niệm nón xoay xây dựng thuật toán xấp xỉ trong giải trực tiếp bài toán quy hoạch phân tuyến tính với miền ràng buộc là hệ bất phương trình tuyến tính và các ví dụ bằng số minh hoạ cho thuật toán. Trong trường hợp đặc biệt mẫu số của hàm mục tiêu bài toán đồng nhất bằng một thì hàm mục tiêu bài toán trở thành hàm tuyến tính và thuật toán đề nghị trở thành một thuật toán giải trực tiếp bài toán quy hoạch tuyến tính dạng chuẩn tổng quát. Thuật toán nón xoay này thuộc lược đồ xấp xỉ trong giải bài toán quy hoạch phân tuyến tính khi biết một điểm chấp nhận được của miền ràng buộc là hệ bất phương trình tuyến tính. Nó được xây dựng chi tiết, các bước của thuật toán được trình bày sao cho chúng ta có thể dễ dàng lập trình chuyển sang các chương trình trên máy tính bằng các ngôn ngữ như Pascal, C, Java, Luận văn này hoàn thành dựa trên các cuốn sách “Quy hoạch gần lồi - gần lõm ứng dụng vào quy hoạch tuyến tính” [2] và cuốn “Quy hoạch tuyến tính với phương pháp nón xoay” [1] và trên các sách, tài liệu có trong phần tài liệu tham khảo. Tác giả Bùi Quốc Độ Số hóa bởi Trung tâm Học liệu http://www.lrc-tnu.edu.vn/ CHƢƠNG 1 BÀI TOÁN QUY HOẠCH TUYẾN TÍNH VÀ BÀI TOÁN QUY HOẠCH PHÂN TUYẾN TÍNH 1.1Bài toán tối ƣu tổng quát Bài toán tối ưu tổng quát được phát biểu như sau . Cực đại hoá (cực tiểu hoá) hàm : f(x) max ( min ) (1.1) với các điều kiện g , , b , 1, , ii x i m (1.2) n X x  (1.3) Bài toán (1.1 ) – (1.3) được gọi là một quy hoạch, hàm f( ) được gọi là hàm mục tiêu, các hàm g , 1, , i x i m được gọi là các hàm ràng buộc, mỗi đẳng thức trong hệ (1.2) được gọi là một ràng buộc. Tập hợp : / , , , 1, , ii D x X g x b i m (1.4) Được gọi là miền ràng buộc ( hay miền chấp nhận được ) . Mỗi điểm : 12 , , , n x x x x D được gọi là một phương án ( hay một lời giải chấp nhận được ). Một phương án * xD đạt cực đại ( hay cực tiểu ) của hàm mục tiêu, cụ thể là: * ,f x f x x D ( đối với bài toán Max ) * ,f x f x x D ( đối với bài toán Min ) Được gọi là phương án tối ưu ( lời giải tối ưu ). Khi đó giá trị * fx được gọi là giá trị tối ưu của bài toán . 1.2. Bài toán quy hoạch tuyến tính dạng chuẩn Số hóa bởi Trung tâm Học liệu http://www.lrc-tnu.edu.vn/ Bài toán qui hoạch tuyến tính sau đây gọi là bài toán quy hoạch tuyến tính dạng chuẩn tổng quát: 1 ( ) , . min () : : , 0, 1,2, , n ii i ni Li f x C x c x L x P x R A x b i m x n  , A i là véc tơ dòng và A i n  , m n, A i (a i1 , a i2 , , a in ) ≠ O(0,…,0) , C(c 1 , c 2 , …, c n ), b i 1  , i=1, 2, , m. Hạng của hệ A i (i=1, 2, …, m) bằng n, giả thiết này rất bình thường bởi miền ràng buộc P L của bài toán quy hoạch tuyến tính bao giờ cũng có ràng buộc về dấu của biến x. Rõ ràng bài toán quy hoạch tuyến tính bất kỳ đều dễ dàng đưa về dạng trên để giải 1.3. Bài toán quy hoạch phân tuyến tính với miền ràng buộc là hệ bất phƣơng trình tuyến tính Bài toán quy hoạch sau đây gọi là bài toán quy hoạch phân tuyến tính với miền ràng buộc là hệ bất phương trình tuyến: 1 2 () ( ) min () () : : , 0, 1,2, , ni i Lx fx Lx P x P x A x b i m Trong đó 0 10 ,L x A x b , 0 20 ,L x C x d , A 0 ,A i ,C 0 , x n  , A 0 ,A i ,C 0 là các véc tơ dòng , m n,A 0 (a 01 , a 02 , …, a 0n ), C 0 (c 01 , c 02 , …, c 0n ), A i (a i1 , a i2 , , a in ) ≠ O(0,…,0) , b i 1  , i=1, 2, , m. Hạng của hệ A i (i=1, 2, …, m) bằng n, giả thiết này rất bình thường bởi miền ràng buộc P của bài toán quy hoạch phân tuyến tính bao giờ cũng có ràng buộc về dấu của biến x. Rõ ràng các bài toán quy hoạch phân tuyến tính bất kỳ đều có thể đưa về dạng trên với một vài giả thiết thông thường khác như là L 2 (x) ≠ 0 trên miền xác định P. 1.4. Một số mô hình bài toán thực tế đƣa về bài toán quy hoạch tuyến tính và phân tuyến tính: Số hóa bởi Trung tâm Học liệu http://www.lrc-tnu.edu.vn/ 1.4.1. Bài toán lập kế hoạch sản xuất Giả sử một xí nghiệp sản xuất n loại sản phẩm và sử dụng m loại nguyên liệu khác nhau, c j là lãi suất (hay giá bán) đối với một đơn vị sản phẩm j (j =1,…, n), ij a là suất chi phí tài nguyên loại i để sản xuất một đơn vị sản phẩm loại j, i b là lượng dự trữ tài nguyên loại i (i = 1,…,m). Gọi x j là lượng sản phẩm loại j (j = 1,…, n) mà xí nghiệp sản xuất. Trong các điều kiện đã cho, hãy xác định các giá trị j x (j = 1,…, n) sao cho tổng tiền lãi (hay tổng giá trị sản lượng hàng hóa) là lớn nhất với số tài nguyên hiện có. Mô hình toán học có dạng bài toán quy hoạch tuyến tính sau: n j jj xc 1 max với các điều kiện n j ijj bxa 1 mi , ,1 0 j x , nj , ,1 1.4.2. Bài toán cái túi Một người du lịch muốn đem theo một cái túi có thể đựng được các đồ vật nặng không quá b kilogam. Có n loại đồ vật mà anh ta dự định đem theo. Mỗi một đồ vật loại j có khối lượng j a kilogam và giá trị . j c Người du lịch muốn chất vào túi các đồ vật sao cho tổng giá trị đồ vật đem theo là lớn nhất. Ký hiệu j x là số đồ vật loại j sẽ chất vào túi. Ta có bài toán sau: max 1 n j jj xc bxa n j jj 1 ,0 j x nj , ,1 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu http://www.lrc-tnu.edu.vn/ j x - nguyên, nj , ,1 Đây là một bài toán quy hoạch nguyên. 1.4.3. Bài toán mua (thuê) máy bay tối ƣu: Để mở rộng hoạt động, hãng hàng không dự định mua hoặc thuê K loại máy bay (B777, B767, A321, A330, A320, AT7, ) ta gọi tương ứng là loại máy bay k (k=1, 2, …, K). máy bay loại k có giá mua (thuê) là c k và có thời gian sử dụng là T k năm. Hãng đự định mua (thuê) tối đa là N máy bay trong các loại máy bay trên với số vốn đầu tư hiện có là V , Bài toán cần giải quyết là hãng hàng không nên mua bao nhiêu máy bay mỗi loại để tổng thời gian sử dụng là nhiều nhất? Ta gọi x k là số lượng máy bay loại k cần mua, khi đó mô hình bài toán đặt ra là: 1 . ax K kk k M T x m (1.5) Với các ràng buộc: 1 K k k xN 1 . K kk k c x V 0, 1,2, , k x k K , nguyên Đây là một bài toán quy hoạch nguyên. 1.4.4. Bài toán định giá thành sản phẩm[6] Giả sử p j là năng suất của phương pháp T j (j=1, 2, …, n) (tức là số lượng sản phẩm được sản xuất trong một đơn vị thời gian), r j là chi phí trong một đơn vị thời gian đối với phương pháp T j , x j là số đơn vị thời gian sản xuất theo phương pháp T J . như vậy giá thành của một đơn vị sản phẩm là: 11 ( ) / nn j j j j jj c x c x p x Số hóa bởi Trung tâm Học liệu http://www.lrc-tnu.edu.vn/ Bài toán đặt ra là cực tiểu hàm c(x) với các ràng buộc về vật tư, lao động, kỹ thuật, vốn, …. 1.4.5. Bài toán vận tải phân tuyến tính Giả sử ta có m địa điểm phát hàng (kho hàng) A i (i=1, 2, …, m), mỗi địa điểm phát hàng i có thể cung cấp tối đa a i đơn vị hàng . Và n địa điểm nhận hàng (nơi tiêu thụ) B j (j=1, 2, …,n), mỗi địa điểm nhận hàng j cần phải nhận tối thiểu b j đơn vị hàng. p ij là lợi nhuận thu được khi vận chuyển một đơn vị hàng từ A i đến B j d ij là chi phí vận chuyển một đơn vị hàng từ A i đến B j . p 0 và d 0 là các lợi nhuận và chi phí khác ngoài vận chuyển. Gọi x ij là số lượng hàng cần vận chuyển từ A i đến B j . khi đó bài toán đặt ra là: ij ij 0 11 1 2 ij ij 0 11 () ( ) ( ) min () mn ij mn ij p x p Lx L f x Lx d x d Với các ràng buộc 1 ij i=1 ij , 1.2, , , 1,2, , 0, 1,2, , ; 1,2, , . n ij i j m j x a i m x b j n x i m j n 1.5. Một số khái niệm và tính chất của hàm gần lồi-gần lõm Trong mục này chúng ta nhắc lại một số khái niệm và tính chất cơ bản của một lớp hàm có liên quan mật thiết với hàm tuyến tính và phân tuyến tính. Như chúng ta đã biết một hàm gần lồi liên tục (không nhất thiết khả vi) thì cực tiểu địa phương là cực tiểu tuyệt đối trên miền xác định của nó, còn một hàm gần lõm thì nếu nó có cực tiểu trên miền xác định của nó và miền xác định có điểm cực biên thì cực tiểu sẽ đạt tại ít nhất một đỉểm cực biên của miền xác định. Chính vì thế ta có thể dựa trên các khái niệm và tính chất của hàm gần lồi-gần lõm nhắc lại dưới xây dựng các thuật toán kiểu đơn hình để giải bài toán cực tiểu hàm gần lồi-gần lõm trên Số hóa bởi Trung tâm Học liệu http://www.lrc-tnu.edu.vn/ miền ràng buộc thuyến tính ([1],[2]). Rõ ràng hàm tuyến tính và phân tuyến tính đều thuộc lớp hàm gần lồi-gần lõm trên miền xác định. Chính vì thế ta có thể cải tiến các thuật toán đã đề nghị trong [1] và [2] để xây dựng các thuật toán giải cho bài toán quy hoạch phân tuyến tính và tuyến tính. 1.5.1. Tập lồi đa diện Định nghĩa : Một tập lồi mà là giao của một số hữu hạn nửa không gian đóng gọi là tập lồi đa diện.Nói cách khác, đó là tập nghiệm của một hệ hữu hạn các bất phương trình tuyến tính : n , , 1, , ( ,b ) ii ii a x b i m a  (1.4) nghĩa là tập các nghiệm đúng Ax b với là một ma trận cấp m*n và m b  Vì một phương trình tuyến tính có thể biểu diễn tương đương bằng hai bất phương trình tuyến tính nên một tập lồi đa diện cũng là tập nghiệm của một hệ các phương trình và bất phương trình tuyến tính : , i i a x b , = 1,…, , , 1, , i i a x b i p m Hạng của hệ bất phương tuyến tính (1.4) được định nghĩa bằng hạng của ma trận A. Nếu hạng của hệ này bằng thì ta nói hệ độc lập tuyến tính. Một tập lồi đa diện có thể không bị chặn ( không giới nội ). Một tập lồi đa diện mà đồng thời là một nón lồi ( tương ứng với trường hợp b=0) gọi là một nón lồi đa diện.Một tập lồi đa diện bị chặn còn được gọi là một đa diện lồi. Các đa giác lồi theo nghĩa thông thường trong 2  là những ví dụ cụ thể về đa diện lồi. Mỗi điểm cực biên của một tập lồi đa diện còn được gọi là một đỉnh của nó. Tập các đỉnh của C ký hiệu là c . Mỗi cạnh vô hạn của một tập lồi đa diện tương ứng với một phương cực biên của nó. [...]... toỏn quy hoch phõn tuyn cú ý ngha ln trong kinh t cng nh trong lý thuyt ca toỏn hc, thng gp trong cụng nghip húa cht, trong lý thuyt trũ chi, trong bi toỏn vn ti, trong vic ct nguyờn vt liu, trong vic nh giỏ thnh sn phm 2.2.2 Thut toỏn gii Bi toỏn quy hoch phõn tuyn tớnh gi l chp nhn c nu D= x n tha món (2.8) - (2.9) v L2(x) khụng ng nht bng 0 trờn D gii bi toỏn (2.7) - (2.9) ta a v xột hai bi toỏn quy. .. TON NểN XOAY GII BI TON QUY HOCH TUYN TNH V THUT TON KIU N HèNH GII BI TON QUY HOCH PHN TUYN TNH Trc khi xõy dng thut toỏn xp x ngoi gii bi toỏn quy hoch phõn tuyn tớnh da trờn khỏi nim nún xoay ngh trong [1] v [2], chỳng ta trỡnh by thut toỏn nún xoay tuyn tớnh gii bi toỏn quy hoch tuyn tớnh dng chun da trờn khỏi nim nún xoay ngh trong [1] v thut toỏn kiu n hỡnh gii bi toỏn quy hoch phõn tuyn tớnh... hm gn li-gn lừm a ra trong sỏch Quy hoch gn li-gn lừm ng dng vo quy hoch tuyn tớnh ([1]) cú th ỏp dng i vi hm phõn tuyn tớnh v hm tuyn tớnh Chớnh vỡ vy, trc khi trỡnh by bi toỏn quy hoch phõn tuyn tớnh v thut toỏn nún xoay gii nú, chỳng ta nhc li mt s khỏi nim, nh ngha, cỏc nh lý, h qu v cỏc tớnh cht c bn ca hm gn li-gn lừm ó trỡnh by trong sỏch Quy hoch gn li-gn lừm ng dng vo quy hoch tuyn tớnh S... TON QUY HOCH PHN TUYN TNH Chỳng ta ó bit i vi bi toỏn quy hoch phõn tuyn tớnh dng chớnh tc vi cỏc rng buc chớnh ca min rng buc bi toỏn cú dng phng trỡnh trong Rn , thỡ khi bit mt phng ỏn cc biờn chp nhn c ca nú chỳng ta cú th gii bi toỏn bng thut toỏn tng t nh thut toỏn n hỡnh (xem [4]) Sau õy trong chng ny chỳng ta ỏp dng khỏi nim nún xoay tuyn tớnh trỡnh by trong chng 2, xõy dng mt thut toỏn xp x trong. .. vi cỏc rng buc chớnh ca min rng buc bi toỏn cú dng phng trỡnh trong Rn , u d dng cú th a v bi toỏn quy hoch tng ng vi cỏc rng buc chớnh ca min rng buc bi toỏn cú dng bt phng trỡnh (cú s chiu S húa bi Trung tõm Hc liu http://www.lrc-tnu.edu.vn/ bng n-m) trong Rn-m Vy chỳng ta s nhn c bi toỏn quy hoch cú s chiu nh hn 3.0 B tr: Xột bi toỏn quy hoch: f(x)=f(x1 , x 2 , , x n ) min n ( F ) xi aik xk bi ,... 1, , xn ) trong ú n xi1 bi opt aik xk , i 1,2, , m k m 1 1 i x opt i x , i m 1, m 2, , n; l mt li gii ca bi toỏn (F) iu ngc li chng minh tng t nh lý 3.1 cho chỳng ta thy rng thay cho vic gii bi toỏn quy hoch vi cỏc rng buc chớnh ca min rng buc bi toỏn cú dng phng trỡnh trong Rn , thỡ chỳng ta cú th gii bi toỏn quy hoch tng ng vi cỏc rng buc chớnh ca min rng buc bi toỏn cú dng bt phng trỡnh trong Rn-m... toỏn quy hoch phõn tuyn tớnh dng chun tc vi cỏc rng buc chớnh ca min rng buc bi toỏn cú dng bt phng trỡnh trong Rn Rừ rng vic gii trc tip bi toỏn quy hoch bt k vi cỏc rng buc chớnh ca min rng buc bi toỏn cú dng bt phng trỡnh cú nhiu u im hn l gii bi toỏn khi cỏc rng buc chớnh ca min rng buc bi toỏn cú dng phng trỡnh, bi vỡ nh vy s chiu bi toỏn khụng tng lờn V sau õy ta s chng minh rng mt bi toỏn quy. .. thit ny rt bỡnh thng bi min rng buc PL ca bi toỏn quy hoch tuyn tớnh bao gi cng cú rng buc v du ca bin x 2.1.1 Phng phỏp nún xoay tuyn tớnh: S húa bi Trung tõm Hc liu http://www.lrc-tnu.edu.vn/ Mt ỏp dng hay chớnh xỏc hn l mt bin th quan trng ca phng phỏp nún min gii bi toỏn qui hoch gn li-gn lừm ngh trong cun sỏch Quy hoch gn li-gn lừm ng dng vo quy hoch tuyn tớnh (NXB Khoa hc v k thut nm 2011)... x j 0, j m 1, m 2, , n; Chớnh vỡ th, sau õy chỳng ta s thy vic gii bi toỏn (F) trong n s tng ng vi vic i gii mt bi toỏn quy hoch (G) trong n-m sau õy: n n G(X)=G(x m 1 , , x n )=f(b1 n a1k xk , b2 k m 1 a2 k xk , , bm k m 1 amk xk , xm 1 , ,x n ) k m 1 n (G ) bi aik xk 0, i 1,2, , m (3.6) k m 1 x j 0, j m 1, , n (3.7) Trong ú ta ký hiu X : ( xm 1, xm 2 , , xn ) nh lý 3.1: 0 0 0 Nu X0=( xm 1, xm 2... tõm Hc liu http://www.lrc-tnu.edu.vn/ Chng minh nh lý ny cú th tỡm thy trong [2] nh lý ny vn ỳng khi gii bi toỏn quy hoch gn li-gn lừm theo thut toỏn nún-min ó c chng minh trong [1] Nm 1977 RG Bland ó xut qui tc trỏnh xoay vũng tng t nh trờn cho vic gii bi toỏn qui hoch tuyn tớnh dng chớnh tc 2.2 Thut toỏn kiu n hỡnh gii bi toỏn quy hoch phõn tuyn tớnh [6] 2.2.1 Phỏt biu bi toỏn Tỡm n L1 ( x) L2 ( . GIẢI BÀI TOÁN QUY HOẠCH TUYẾN TÍNH VÀ THUẬT TOÁN KIỂU ĐƠN HÌNH GIẢI BÀI TOÁN QUY HOẠCH PHÂN TUYẾN TÍNH Trước khi xây dựng thuật toán xấp xỉ ngoài giải bài toán quy hoạch phân tuyến tính. 1: Bài toán qui hoạch tuyến tính và bài toán qui hoạch phân tuyến tính 4 3 1. 1Bài toán tối ưu tổng quát 4 4 1.2 Bài toán quy hoạch tuyến tính dạng chuẩn 4 5 1.3 Bài toán quy hoạch phân. thuật toán kiểu đơn hình giải bài toán quy hoạch phân tuyến tính. Trong cuốn sách “Các phương pháp tối ưu hóa”([6]) đã đưa ra một thuật toán kiểu đơn hình giải bài toán quy hoạch phân tuyến tính