PHẦN 1: LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI 1.Cơ sở lý luận: Xác suất biến cố phần kiến thức bản, quan trọng chương trình Tốn lớp 11 Các tốn liên quan đến xác suất có đặc thù riêng, mang tính thực tiễn có nhiều ứng dụng sống Và toán Xác suất biến cố thường tốn khó hay có chương trình tốn THPT Học sinh gặp tốn thường lúng túng, không để giải tốn 2.Cơ sở thực tiễn: Xuất phát từ q trình tự học, tự nghiên cứu thân, kinh nghiệm có q trình dạy học, tơi tổng kết dạng toán Xác suất biến cố 3.Mục đích nghiên cứu đề tài: Nghiên cứu đề tài Xác suất biến cố nhằm mục đích nâng cao kiến thức vấn đề để sử dụng q trình dạy học sinh ơn thi tuyển sinh đại học ôn thi học sinh giỏi 4.Phương pháp nghiên cứu đề tài: -Phân dạng tập -Trong dạng tập có ví dụ minh hoạ -Sau ví dụ minh hoạ ý, nhận xét, phương pháp giải dạng -Cuối ví dụ luyện tập, hướng dẫn tập tự luyện 4.Nội dung đề tài: Dạng : Biến cố xác suất biến cố Dạng : Các quy tắc tính xác suất Dạnh : Biến ngẫu rời rạc Dạng : Xác suất có điều kiện (mở rộng) PHẦN : NỘI DUNG DẠNG 1: BIẾN CỐ VÀ XÁC SUẤT CỦA BIẾN CỐ I/ KIẾN THỨC CƠ BẢN 1/ Phép thử ngẫu nhiên +/ Phép thử ngẫu nhiên ( gọi tắt phép thử ) thí nghiệm hay hành động mà - Kết khơng đốn trớc đợc - Có thể xác định đợc tập hợp tất kết xảy phép thử Tập hợp tất kết xảy phép thử đợc gọi không gian mẫu phép thử, kí hiệu Ω 2/ Biến cố +/ Biến cố A liên quan đến phép thử T biến cố mà việc xảy hay không xảy A tuỳ thuộc vào kết T Mỗi kết phép thử T làm cho A xảy , đợc gọi kết thuận lợi cho A Tập hợp kết thuận lợi cho A đợc kí hiệu Ω A Khi ta nói biểu cố A đợc mô tả tập hợp Ω A 3/ Xác suất biến cố +/ Định nghĩa cổ điển Giả sử phép thử T có khơng gian mẫu Ω tập hợp hữu hạn kết T đồng khả Nếu A biến cố liên quan đến phép thử T Ω A tập hợp kết thuận lợi cho A, xác suất A số , ký hiệu P(A), đợc tính cơng thức; ΩA P(A) = Ω / ≤ P(A) ≤ / P( Ω ) = , P(∅ ) = +/ Định nghĩa thống kê xác suất ./ Xét phép thử T biến cố A liên quan đến phép thử Ta thực N lần phép thử T Số lần xuất biến cố A đợc gọi tần số A N lần thực phép thử T Tý số tần số A với số N đợc gọi tần suất A N lần thực hiệnphép thử T ./ Khi N lớn tần suất A gần với số xác định Số gọi lần xác suất A theo nghĩa thống kê Trong khoa học thử nghiệm , ngời ta thờng lấy tần suất làm xác suất Vì tần suất cịn đợc gọi xác suất thực nghiệm II MỘT SỐ VÍ DỤ Ví dụ 1; Gieo đồng tiền xu lần 1/ Xây dựng không gian mẫu +/ Lu ý 2/ Gọi biến cố A “Lần đầu gieo xuất mặt sấp” B “ Đúng hai lần xuất mặt sấp” C “ lần xuất mặt ngửa” -Mô tả tập Ω A , Ω B , Ω C.? -Tính P(A), P(B), P(C)? Giải Ta ký hiệu S đồng tiền xu xuất mặt sấp N đồng tiền xu xuất mặt ngửa 1/ Không gian mẫu Ω = { SSS,SSN,SNS,SNN, NSN, NNS, NSS, NNN} Và Ω = 2/ +/ Với biến cố A; “ lần gieo xuất mặt sấp” Ta có Ω A = { SSS,SSN,SNS,SNN} ΩA = 4 ⇒ P(A) = = 0,5 +/ Với biến cố B ; “ Đúng hai lần xuất mặt sấp” Ta có; Ω B = { SSN,SNS, NSS} Và Ω B = 3 ⇒ P(B) = +/ Với biến cố C; “ lần xuất mặt ngửa” Ta có; Ω C = { SSN,SNS,SNN, NSN, NNS, NSS, NNN} ⇒ P(C) = ΩC = Ví dụ Điểm kiểm tra học kỳ I hai mơn Tốn, Văn 10 học sinh nh sau; Mơn Tốn ; 5, 6, 7, 8, 8, 9, 9, 10, 10, 10 Môn Văn ; 6, 6, 7, 7, 8, 9, 9, 9, 10, 10 Rút ngẫu nhiên từ tập mơn Tìm xác suất để hai rút 1/ Có điểm 2/ Có điểm 10 3/ có đạt điểm 10 Giải +/ Ta ký hiệu T phép thử “ Rút ngẫu nhiên từ tập thi, có bài” Biến cố A; “ Trong hai rút ra, có đạt điểm 5” Biến cố B; “ Trong hai rút ra, có đạt điểm 10” Biến cố C; “ Trong hai rút ra, có đạt điểm 10” +/ Do có 10 thi mơn tốn , 10 thi môn Văn nên không gian mẫu Ω phép thử T có; Ω = 10 10 = 100 1/ Ghép điểm mơn Tốn với thi mơn Văn, ta có 10 cách ghép, tức ΩA = 10 ⇒ P(A) = = 0,1 10 2/ +/Ghép điểm 10 mơn Tốn với số không đạt điểm 10 môn Văn, ta có = 24 cách +/Ghép điểm 10 môn Văn với số khơng đạt điểm 10 mơn Tốn, ta có = 14 cách ⇒ Ω B = 24 + 14= 38 38 = 0,38 100 3/ +/ Có đạt điểm 10 mơn Tốn, đạt điểm 10 mơn Văn → có = cách ghép hai Toán ,Văn điểm 10 +/ Từ từ câu (2), ta có; ΩC = 24 + 14 + = 44 44 ⇒ P(B) = = 0,44 100 Ví dụ Trong hộp có 10 số; 0, 1, 2….9 Lờy ngẫunhiên số hộp xếp lại thành dãy Tìm xác suất đê số xếp đợc số có chữ số khác chia hét cho Giải +/ Gọi phép thử T “ Lấy ngẫu nhiên số hộp” Gọi biến cố A; “ Xếp đợc số có chữ số khác chia hết cho 5” +/ Khi khơng gian mẫu Ω , có Ω = A410 = 5040 +/ Ta tìm số số có chữ số khác chia hết cho 5(Thực chất tìm ΩA ) Số có dạng abc0 abc5 +/ Số có dạng abc0 có = 504 (số) +/ Số có dạng abc5 có = 448 (số) Vậy có 504 + 448 = 952 (số) Hay Ω A = 952 17 952 Từ đây, ta đợc P(A) = = 5040 90 Ví dụ Đội tuyển thi đấu thể thao trờng THPT gồm 20 em , có 11 em thi đá cầu, em thi điền kinh Gặp ngẫu nhiên em đội Tìm xác suất để 1/ Hai em thi đấu hai môn khác 2/ Hai em thi đấu điền kinh ⇒ P(B) = Giải +/ Gọi phép thử T “Gặp ngẫu nhiên em đội tuyển” ⇒ Ω = C 20 = 190 1/ +/ Gọi biến cố A ; “ Hai em thi đấu hai môn khác nhau.” C111 C19 = 99 ⇒ ΩA = ⇒ P(A) = 99 190 2/ +/ Gọi biến cố B; “ Hai em thi đấu điền kinh” ⇒ Ω B = C = 36 ⇒ P(B) = 36 18 = 190 95 III/ BÀI TẬP Bài Gieo đồng tiền đồng chát, cân đối Tìm xác suất để; 1/ Cả dồng xu sấp 2/ Chỉ có đồng xuất mặt sấp 3/ đồng xuất mặt sấp Bài Trong phép thử gieo hai súc sắc cân đối đồng chất Tìm xác suất biến cố sau; 1/ AK = “ Tổng số chấm xuất mặt súc sắc k” với k = 2, 3, 4, …,12 2/ Bi = “Hiệu số chấm xuất mặt súc sắc i” Với i = 0, 1, 2,…,5 3/ Cj = “Hiệu số chấm xuất mặt súc sắc j” Với j = 2, 4, 6, 8, 12 Bài Túi đựng 10 thi Toán, túi đựng 10 thi Văn Điểm (thang điểm 20) thi nh sau; Mơn Tốn ; 8, 9, 12, 15, 15, 17, 18, 19, 19, 19 Môn Văn ; 7, 10, 15, 16, 18, 18, 18, 19, 19, 20 Rút ngẫu nhiên túi thi Tìm xác suất để 1/ Cả hai đạt 19 điểm 2/ It đạt 19 điểm 3/ Tổng số điểm thi hai 35 Bài Trong trận thi đấu bóng đá , tuổi 11 cầu thủ thi đấu sân nh sau Đội 1; 17, 17, 18, 19, 19, 19, 22, 23, 24, 24,26 Đội 2; 17, 18, 18, 18, 19, 20, 20, 22, 24, 25, 30 Khai mạc trận đấu , cầu thủ hai đội lần lợt bắt tay ( cầu thủ đội lần lợt bắt tay với cầu thủ đội kia) Tìm xác suất để2 cầu thủ bắt tay tuổi Bài Cho khối lập phơng mà mặt đợc sơn Ca khối lập phơng thành 1000 khối lập phơng nhỏ nh 1/ Lấy ngẫu nhiên khối nhỏ Tìm xác suất để khối có hai mặt đợc sơn 2/ Lấy ngẫu nhiên khối nhỏ Tìm xác suất để khối có mặt đợc sơn 3/ Lấy ngẫu nhiên khối nhỏ Tìm xác suất để khối khơng có mặt đợc sơn Bài Một khối gỗ hình hộp chữ nhật có kích thớc cm 10 cm 15 cm Hai mặt đáy đợc sơn màu xanh mặt xung quanh đợc sơn màu vàng Ca khối thành 750 khối lập phơng nhỏ nh Lờy ngẫu nhiên khối nhỏ Tìm xác suất để; 1/ Một khối khơng có mặt đợc sơn khối có mặt đợc sơn 2/ Cả hai khối có mặt đợc sơn màu vàng cịn mặt khơng đợc sơn Bài Trong hộp khối kín có bi màu xanh bi màu trắng kích thớc nh Lấy ngẫu nhiên bi từ hộp Tìm xác suất để; 1/ Hai viên khác màu 2/ Hai viên màu trắng 3/ viên màu xanh Bài Đội văn nghệ nhà trờng gồm 15 học sinh, học hinh khối 10, học hinh khối 11, học hinh khối 12 Gặp ngẫu nhien em đội Tìm xác suất để; 1/ Ba em học sinh học sinh khối khác 2/ Trong có em học sinhh khối 11 3/ có học sinh khối 10 Bài Trong hộp kín có 10 chữ số; 0, 1, 2, 3, ….9 Lấy ngẫu nhiên số từ hộp xếp thành hàng Tìm xác suất để số xếp đợc là; 1/ Số có chữ số 2/ Số có chữ số chia hết cho 3/ Số chẵn có chữ số DẠNG 2: CÁC QUY TẮC TÍNH XÁC XUẤT I/ KIẾN THỨC CƠ BẢN 1.Quy tắc cộng xác suất a Biến cố hợp: Cho hai biến cố A B Biến cố “ A B xảy ra”,kí hiệu A ∪ B,được gọi hợp biến cố Avà B Tập hợp kết thuận lợi cho A B Ω ∪Ω A B b Biến cố xung khắc: cho biến cố A B Hai biến cố A B gọi xung khắc với biến cố xảy biến cố khơng xay Ω Ω φ Hai biến cố A B xung khắc ⇔ A ∩ B = c Quy tắc cộng xác xuất: +/ Nếu biến cố đối A B xung khắc xác suất để A B xảy : P(A ∪ B) = P(A) ∪ P(B) +/ Mở rộng : Cho k biến cố A1,A2, Ak đơi xung khắc P(A1 ∪ A2 ∪ Ak )P(A1 ) + P(A2 ) + + P(A k ) d Biến cố đối : +/ Cho A biến cố biến cố khơng xảy A kí hiệu A , gọi biến cố A Ta có tập kết thuận lợi cho A : Ω− = Ω\ ΩA A +/ Định lí : Cho biến cố A , xác suất biến cố đối A : P A = − P(A) ( ) 2.Quy tắc nhân xác suất : a Biến cố giao: +/ Cho biến cố Avà B “Biến cố A B xảy ra”, kí hiệu AB,được gọi giao biến cố A B +/ Tập hợp kết thuận lợi cho AB: Ω =Ω ∩ B Ω AB A b Biến cố độc lập : +/ Hai biến cố A B gọi độc lập với việc xảy hay không xảy biến cố không ảnh hưởng đến xác suất việc xảy biến cố +/ Nếu A B độc lập Avà B ; A B ; A B độc lập với c Quy tắc nhân xác suất +/ Nếu hai biến cố A B độc lập với P(AB) = P(A).P(B) +/ Nếu P(AB) ≠ P(A).P(B) A b không độc lập với II KĨ NĂNG CƠ BẢN +/ +/ Diễn đạt nội dung biến cố hợp,biến cố giao biến cố đối Vận dụng quy tắc cộng,nhân để giải tốn III MỘT SỐ VÍ DỤ Ví dụ 1: Hai cao xạ bắn vào máy bay cách độc lập với xác suất trúng đích thứ 0.75, thứ 0.65 Máy bay bắn rơi đồng thời bắn chúng Tính xác suất để máy bay bắn rơi Giải: +/ Ta kí hiệu biến cố: T1 : “Khẩu thứ bắn trúng máy bay " T2 : “Khẩu thứ hai bắn trúng máy bay” R : “Máy bay rơi” +/ Ta có: P( T1 ) = 0.75 P( T2 ) = 0.65 R= T1 ∩ T2 +/ Vì T1 , T2 hai biến cố độc lập nên xác suất để máy bay bắn rơi là: P(R)=P( T1 ∩ T2 )= P( T1 ).P( T2 )=0.75 × 0.65=0.4875 Ví dụ 2: Một nhóm học sinh giỏi gồm 60 học sinh có 40 học sinh giỏi tốn,30 học sinh giỏi lý 20 học sinh giỏi toán lý.Chọn ngẫu nhiên học sinh Tính xác suất để : 1/ Học sinh chọn học sinh giỏi toán 2/ Học sinh chọn học sinh giỏi lí 3/ Học sinh chọn học sinh giỏi toán lý Giải: Gọi A,B,C,D biến cố ứng với câu hỏi tốn Ta có : 40 = 1/ P(A)= 60 30 = 2/ P(B)= 60 20 = 3/ P(C)= P(A ∩ B) = 60 4/ Từ P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B) 1 = + − = 3 Ta có : P(D) = P(A ∩ B) = P(A ∪ B) = − P(A ∪ B) = − = 6 Ví dụ : Một hộp chứa 10 cầu đánh số từ đến 10,đồng thời từ đến tô màu xanh.Lấy ngẫu nhiên Kí hiệu biến cố A : “Quả lấy màu xanh” B : “Quả lấy ghi số chẵn” Hỏi biến cố A,B độc lập hay khơng Giải: +/ Ta có Ω = 10 ΩA = 6 = 10 +/.Mặt khác Ω AB = ⇒ P(B) = = , P(A ∩ B) = 10 10 +/ Nhận thấy P(A ∩ B) = P(A).P(B) Vậy hai biến cố A,B độc lập Ví dụ 4: Trong kì thi kiểm tra chất lượng lớp thuộc khối 11,mơi lớp có 25% học sinh trượt mônVăn ,15%học sinh trượt môn Sử 10% học sinh trượt môn Địa Từ lớp trọn ngẫu nhiên học sinh.Tính xác suất cho : Hai học sinh trượt môn Văn Hai học sinh bị trượt mơn Hai hoc sinh khơng bị trượt mơn Có học sinh bị trượt mơn Giải: Ta kí hiệu biến cố: A1 : “Học sinh chọn từ lớp thứ trượt Văn” A2 :“Học sinh chọn từ lớp thứ trượt Sử” A3 :“Học sinh chọn từ lớp thứ trượt Địa” B1 :“Học sinh chọn từ lớp thứ hai trượt Văn” B2 :“Học sinh chọn từ lớp thứ hai trượt Sử” B3 :“Học sinh chọn từ lớp thứ hai trượt Địa” Khi biến Ai ,B j ,(i,j = 1,2,3) độc lập 1 1/ Ta cần tính P(A1B1 ) , P(A1B1 ) = P(A1 )P(B1 ) = = 4 16 2/ Biến cố “Hai học sinh bị trượt mơn đó”, ( A1 ∪ A2 ∪ A3 ) ∩ ( B1 ∪ B2 ∪ B3 ) ⇒ P(A) = Đặt A= ( A1 ∪ A2 ∪ A3 ) ,B= ( B1 ∪ B2 ∪ B3 ) ⇒ P(A) = 1 , P(B) = 2 3/ Biến cố “Hai học sinh không bị trượt môn nào”,là A ∩ B 1 +/ Ta có P A ∩ B = P(A).P(B) = ữ = ì 4/ +/ Biến cố “Có hai học sinh bị trượt mơn”., A ∪ B ⇒ P(A ∩ B) = P(A).P(B) = ( ) + / T a cã P ( A ∪ B ) = P ( A ) + P ( B ) − P ( AB ) = 1 + − = × 2 4 IV BÀI TẬP Bài 1: Trong hộp kín có 15 cầu kích thước nhau.Trong có viên màu xanh ,10 viên màu đỏ.Lấy ngẫu nhiên từ hộp Tìm xác suất để Ba cầu lấy không màu Ba cầu lấy có màu xanh Bài 2: Trong phân xưởng có 10 máy hoạt động.Xác suất để ca có máy phải sửa 0,2 ; xác suất để có máy phải sửa 0,3 ; vấc suất để có nhiều hai máy phải sửa 0,07 Tìm xác suất để ca phân xưởng khơng có máy phải sửa Bài 3: Trong phân xưởng có máy làm việc độc lập với nhau.Trong ca sản xuất xác suất để máy phải sửa 0,12 ; máy phải sửa 0,18 ; máy phải sưa 0,1 Giả sử máy không đồng thời phải sửa Tính xác suất để ca phải sửa máy Bài 4: Trong hộp kín có cầu màu xanh cầu màu đỏ.Lờy ngẫu nhiên từ hộp lần quả(khơng hồn lại) màu xanh dừng lại Tính xác suất để người dừng lại lần thứ Bài : Một xạ thủ bắn liên tiếp vào mục tiêu trúng đích ngừng Tìm xác suất để bắn đến viên thứ ngừng.Biết xác suất bắn trúng đích cho lần bắn 0,85 Bài : Chọn ngẫu nhiên vé xổ số có chữ số Tính xác suất để : Số vé khơng có số khơng có số Số vé có chữ số 5và chữ số chẵn Bài 7: Trong lớp học có bóng đèn , bóng có xác suất bị cháy 0,25 Lớp học đủ ánh sáng có bóng đèn sáng Tính xác suất để lớp học khơng đủ sáng Bài 8: Một thi trắc nhiệm gôm 12 câu hỏi câu hỏi cho câu trẩ lời có câu Giả sử câu trả lời điểm câu trả ,lời sai không bi trừ điểm Một học sinh học làm cách chọn tùy ý câu trả lời Tính xác suất để điểm 10 Bài 9: Gieo đồng thời súc sắc.Người thắng có xuất mặt chân.Tính xác suất để ttrong ván chơi,thắng ván Bài 10 : Một người bắn viên đạn xác suất để viên trúng vòng 10 0,008; xác suất để viên trúng vòng 0,15;và xác suất để viên trúng vịng 0,4 Tính xác suất để xạ thủ đạt 28 điểm Bài 11: Một máy bay có động cơ, động cánh phải, hai động nhánh trái động thân đuôi.Mỗi động cánh phải thân có xác suất bị hỏng 0,1 ; động cánh trái có xác suất bị hỏng 0,05 Các động hoạt động độc lập Tính xác suất để máy bay thực chuyến bay an toàn trường hợp 1/ Máy bay bay có động làm việc 2/ Máy bay bay cánh có động làm việc Bài 12 : Một xí nghiệp xản suất bóng đèn có phân xưởng Khi xuất xưởng, tỉ lệ phẩm phân xưởng sau: Phân xưởng I đạt 99,7% ; phân xưởng II đạt 99,85% ; phân xưởng III đạt 99,65% phân xưởng IV đạt 99,9% Lấy ngẫu nhiên phân xưởng sản phẩm.Tìm xác suất để số lấy 1/ Có sản phẩm phế phẩm 2/ Có phẩm Bài 13: Tỷ lệ thí sinh trúng tuyển vào đại học 20% Rút ngẫu nhiên hồ sơ số hồ sơ thí sinh dự thi hồ sơ thí sinh trúng tuyển dừng lại Tìm xác suất để phải rút đến lần thứ tư Bài 14: Hai xạ thủ bắn vào mục tiêu độc lập với Xác suất trúng đích xạ thủ thứ 0,85 ,xạthủ thứ 0,75 Tìm xác suất để : 1/ Người thứ bắn phát đầu, có phát trúng đích 2/ Người thứ bắn phát đầu, có hai phát trúng đích 3/ Cả người bắn trúng từ phát 4/ Ít người bắn trúng đích người bắn phát Bài 15: Kết kiểm tra chất lượng học kì I K11 sau: Lớp 11A tỉ lệ giỏi 92% Lớp 11B tỉ lệ giỏi 80% Lớp 11C tỉ lệ giỏi 85% Lớp 11D tỉ lệ giỏi 78% Lớp 11E tỉ lệ giỏi 65% Rút ngẫu nhiên lớp kiểm tra.Tìm xác suất để 1/ Đều đạt trở lên 2/ Có đạt điểm trở lên 3/ Khơng có đạt điểm giỏi DẠNG : BIẾN NGẪU RỜI RẠC I/ KIẾN THỨC CƠ BẢN 11 Biến ngẫu rời rạc Đại lương X gọi biến ngẫu rời rạc nhận giá trị số thuộc tập hữu hạn giá trị ngẫu nhiên, khơng dự đốn dược 2/ Phân bố xác suất biến ngẫu rời rạc Giả sử X biến ngẫu nhiên rời rạc nhận giá trị; { x1 ,x x n } Để hiểu rõ X , ta thường quan tâm đến xác suất để X nhận giá trị xk , tức số (X = xk) = Pk với k = 1, 2, …n Các thông tin X thường trình bày dang bảng sau X X1 X2 … xn P P1 P2 … pn Và gọi bảng phân bố xác suất biến ngẫu nhiên tời rạc X 3/ Kỳ vọng +/ Cho X biến ngẫu nhiên rời rạc với tập giá trị; { x1 ,x x n } Kỳ vọng X , ký hiệu E (X), số, tính theo cơng thức; E(X) = x1p1 + x2p2+… + x npn = n ∑x p i =1 i i pi = P(X = xi) , i= 1, 2, …n +/ ý nghĩa E(X) số , cho ta ý niệm độ lớn trung bình X +/ Lưu ý; Kỳ vọng X không thiết thuộc tập hợp giá tri X 4/ Phương sai +/ Cho X biểu ngẫu nhiên rời rạc với tập giá trị là; { x1 ,x , ,x n } Phương sai X , ký hiệu V(X), số tính theo cơng thức; V(X) = (x1 - µ )2p1 + (x2 - µ ) p2 = …+ (xn - µ )2pn = n ∑ i −1 (xi - µ )2pi pi = P(X=xi), i = 1, 2, …, n µ = E(X) +/ ý nghĩa; Phương sai số không âm Nó cho ta ý niệm mức độ phân tán giá trị X xung quanh giá trị trung bình Phương sai lớn mức độ phân tán lớn 5/ Độ lệch chuẩn +/ Căn bậc hai phương sai , ký hiệu δ (X), gọi độ lệch chuẩn X, nghĩa là; δ (X) = V(X) +/ Lưu ý; Có thể chứng minh rằng; V(X) = = n ∑ i −1 x2ipi - µ (1) Trong thực hành , ta thường dùng cơng thức (1) để tính phương sai II KỸ NĂNG CƠ BẢN - Biết cách lập bảng phân bố xác suất biến ngẫu nhiên rời rạc 12 - Biết tính xác suất có liên quan tới biến ngẫu nhiên rời rạc X từ bảng phân bố X - Biết tính kỳ vọng , phương sai, độ lệch chuẩn biến ngẫu nhiên rời rạc từ bảng phân bố xác suất III MỘT SỐ VÍ DỤ Ví dụ 1; Một nhóm học sinh có học sinh nam học sinh nữ Chọn ngẫu nhiên học sinh tham gia văn nghệ Gọi X số nam học sinh chọn Lập bảng phân bố xác suất X Tính phương sai , kỳ vọng độ chênh lệch chuẩn X Giải +/ Biến ngẫu nhiên rời rạc X có tập giá trị ; { 0;1;2;3} Ω = C311 = 165 +/ Ta có +/ Tính P(x=0) / P(x=0) xác suất chọn nữ sinh / Số cách chọn là; C36 = 20 20 ⇒ P(x=0) = = 165 33 +/ Tính P(x=1) / P(x=1) xác suất chọn nam nữ ./ Số cách chọn C15 C26 =75 75 ⇒ P(x=1) = = 165 11 1/ Tính P(x=2) / P(x=2) xác suất chọn nam nữ ./ Số cách chọn là; C25 C 16 =60 60 ⇒ P(x=2) = = 165 11 +/ Tính P(x = 3) / P(x = 3) xác suất chộn dược nam ./ Số cách chọn là; C25 = 10 10 ⇒ P(x = 3) = = 165 33 Vậy bảng phân bố xác suất X là; X P 33 11 11 +/ Tính E(x) = ∑ xipi i=0 Ta cố; E(x) = 15 +2 +3 = 11 11 33 11 13 33 Tính V(x) = ∑ i=0 x2ipi - [ E(x)] Ta có; 15  15  V(x) = + 22 + 32 11 11 33  11 ÷   72 = 121 +/ Tính δ(x) = X(x) Ta có; δ(x) = 72 11 Ví dụ Gieo đồng thời hai súc sắc cân đối, đồng chất Gọi X tổng số chấm xuất hai mặt súc sắc Lập bảng phân bố xác suất X Tính kỳ vọng , phương sai X Giải +/ Ta có Ω = 36 +/ Biến ngẫu nhiên rời rạc X nhận có tập giá trị; { 2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12} Ta tính; P(x= 2) ./ P(x= 2) xác suất để tổng số chấm xuất mặt xúc sắc ./ Chỉ có khả xảy ⇒ P(x= 2) = 36 +/ Hoàn toàn tương tự, ta tính P(x = 3) = ; P(x = 4) = ; P(x = 5) = ; 36 36 36 P(x-6) = ; P(x-7) = ; P(x-8) = ; 36 36 36 P(x = 9) = ; P(x = 10) = ; P(x = 11) = ; 36 36 36 P(x-12) = 36 + Vậy X có bảng phân bố xác suất là; X 10 11 12 P 36 36 36 36 36 36 36 36 36 36 36 +/ Tính E(x) 12 20 30 42 40 36 30 22 12 E(x) = + + + + + + + + + + 36 36 36 36 36 36 36 36 36 36 36 ⇒ E(x) = 14 Tính V(x) V(x) = 5,833 Ví dụ Trong hộp có bóng đèn, có bóng tốt , bóng hỏng Chọn ngẫu nhiên bóng đem thử ( thử xong khơng hồn lại) cho đén thu bóng tốt Gọi X số lần thử cần thiết Tìm bảng phân bố xác suất X Trung bìng cần thử lần Giải +/ Biến ngẫu nhiên rời rạc X có tập giá trị; { 2,3,4,5} Tính P(x= 2) / P(x= 2) xác suất để sau lần thử ta chọn bóng tốt 2 ⇒ P(x= 2) = = 20 2 +/ Tương tự ta có; P(x = 3) = + = 5 20 2 2 P(x = 4) = + + = 5 20 P(x= 5) = – ( + + )= 20 20 20 20 +/ Bảng phân phối xác suất X là; X P 20 20 20 20 Ví dụ Cho biến ngẫu nhiên rời rạc X có bảng phân bố xác suất sau; X 0,1 0,2 0,3 0,3 0,1 Lập bảng phân bố xác suất Y = { X,4} Giải +/ Ta có Y biến ngẫu nhiên tời rác có tập giá trị ; { 1,3,4} +/ P(Y = 1) = P(x = 1) = 0,1 +/ P(Y = 3) = P(x = 3) = 0,2 +/ P(Y = 4) = P(x = 5) + P(x=7) + P(x=9) = 0,7 +/ Bảmg phân phối xác suất Y là; Y P 0,1 0,2 0,7 Ví dụ Một người có chùm chìa khố giống nhau, có chìa mở cửa Thử ngẫu nhiên chìa khố ( thử xonh bỏ ngồi ) tìm chìa mở cửa Gọi X số chìa khố cần thiết 1/ Lập bảng phân phối xác suất X 2/ Tính E(x) 15 Giải +/ X biến ngẫu nhiên rời rạc , có tập giá trị là; { 1,2,3,4,5,6,} +/ Ta có ; P(x=1) = 10 P(x=2) = = 42 P(x=3) = = 42 P(x=4) = = 42 2 P(x=5) = = 42 2 P(x=6) = = 42 +/ Bảng phân phối xác suất x là; X P 10 42 42 42 42 +/ Ta có; 20 24 24 20 12 56 E(x) = + + + + + = 42 42 42 42 42 21 42 IV/ BÀI TẬP Bài Một nhóm người có 10 người gồm có nam, nữ Chọn ngẫu nhiên người Gọi X số nữ nhóm Lập bảng phân phối xác suất X Tính E(x) , V(x), σ (X) Bài Một hộp chứa 10 thẻ đỏ, thẻ xanh Lấy ngẫu nhiên thẻ 1/ Gọi X số thẻ đỏ Lập bảng phân phối xác suất X 2/ Giả sử rút thẻ đỏ điểm rút thẻ xanh điểm Gọi Y tổng số điểm thẻ rút Lập bảng phân phối xác suất Y Bài Hai xạ thủ T1 T2 tập bắn Mỗi người bắn viên đạn Xác suất bán trúng đích T1 lần bắn 0,2, T2 0,5 1/ Gọi X số viên bắn trúng T1 trừ số viên bắn trúng T2 Lập bảng phân phối xác suất X Tính E(x), V(x), σ(x) 2/ Lập bảng phân phối xác suất Y = X Bài Gieo súc sắc; Một màu xanh , màu đỏ,đều cân đối, đồng chất Gọi X số chấm xuất mặt súc sắc màu xanh, Y số chấm xuất mặt súc sắc màu đỏ 16 1/ Lập bảng phân phối xác suất X Y 2/ Tính [ X + Y = 3] DẠNG : XÁC SUẤT CĨ ĐIỀU KIỆN Trong thực tế đơi gặp tốn địi hỏi thực điều làm điều gọi chung tốn có điều kiện Trong toán xác suất , biến cố A xảy đòi hỏi biến cố B xảy người ta gọi xác suất có điều kiện Để rõ phân tích ví dụ: Ví dụ : Trong hộp kín có bi đỏ , bi xanh , lấy ngẫu nhiên hai bi (khơng hồn lại).Tìm xác suất để lần thứ hai lấy bi xanh biết lần thứ lấy bi đỏ? Giải: Ký hiệu: Biến cố A : “Lần thứ hai lấy bi xanh” Biến cố B : “Lần thứ lấy bi đỏ” Biến cố A xảy đòi hỏi biến cố B xảy Biến cố A/B : “Lần thứ hai lấy bi xanh lần thứ lấy bi đỏ” Khi biến cố B xảy hộp cịn bi ( bi đỏ , bi xanh ) ⇒ P( A / B) = Trên sở ta có định nghĩa A.Định nghĩa xác suất có điều kiện Xác suất biến cố A tính với điều kiện biến cố B xảy gọi xác suất có điều kiện A Và ký hiệu P(A/B) B.Cơng thức Giả sử phép thử có n kết khả xảy , có nA kết thuận lợi cho biến cố A , có nB kết thuận lợi cho biến cố B A B hai biến cố nói chung có k kết thuận lợi cho biến cố A biến cố B Theo định nghĩa xác suất cổ điển ta có : P ( AB) = n k ; P( B) = B n n Ta tính P(A/B) Với điều kiện B xảy nên số kết qủa thuận lợi cho biến cố A k : P( A / B) = k k k nB ⇒ P( AB) = = × = P( A / B) × P( B) nB n nB n Vậy ta có cơng thức : 17 P( A / B) = P ( AB ) P( B) C.Một số ví dụ Ví dụ 1.Trong hộp kín có 20 nắp khoen bia Hà Nội , có nắp khoen ghi “ Chúc mừng bạn trúng thưởng” Bạn chọn lên rút thăm hai nắp khoen , hai nắp khoen ghi “ Chúc mừng bạn trúng thưởng” bạn thưởng xe BMW.Tìm xác suất bạn xe BMW? Giải Gọi B : “Nắp khoen đầu trúng thưởng” A : “Nắp khoen thứ hai trúng thưởng” C : “Cả hai nắp trúng thưởng” Khi rút thăm lần đầu : có 20 nắp có nắp trúng thưởng suy P(B)=2/20, biến cố B xảy hộp 19 nắp nên P(A/B)=1/19 Bạn thưởng xe BMW C xảy P(C)=P(B).P(A/B)=(1/19).(2/10)=1/190 Ví dụ Áo May 10 trước xuất sang Mỹ phải qua hai lần kiểm tra,nếu hai lần kiểm tra đạt áo đủ tiêu chuẩn xuất khẩu.Biết bình qn có 98% sản phẩm làm qua lần 95% sản phẩm qua lần hai.Tìm xác suất để áo đủ tiêu chuẩn xuất sang Mỹ? Giải Gọi B : “Qua kiểm tra lần 1” A : “Qua kiểm tra lần 2” C : “Qua hai lần kiểm tra ” Từ ta có: P(B)=0,98 , P(A/B)=0,95 ⇒ P(C)=P(B).P(A/B)=0,98.0,95=0,931 Ví dụ 3.Gieo xúc sắc cân đối cách độc lập.Tính xác suất để tổng số chấm xuất ba mặt xúc sắc 8, biết có xuất mặt chấm ? Giải Gọi A : “Tổng số chấm xuất ba mặt xúc sắc 8” (1,1,6); (1,2,5) ; (1,3,4) ; (2,2,4) ; (2,3,3) B : “Có xuất mặt chấm” B :“Khơng có xuất mặt chấm” 15 = 216 72 91 P ( AB ) 15 5 P( B) = − P( B ) = −   = ⇒ P( A / B) = = 216 P( B) 91 6 ΩAB =15 ⇒P ( AB ) = 18 PHẦN : KẾT LUẬN Qua thời gian luyện tập lớp đa số học sinh nắm phương pháp để giải lớp toán loại làm tương đối thành thạo,giúp em tự tin có cách nhìn tổng qt làm tập Kết kiểm tra 97% đạt yêu cầu,(chỉ cịn em chưa rõ),trong có khoảng 70% giỏi Đánh giá chung : Đề tài giúp học sinh hệ thống phơng pháp giải tập liên quan đến Xác suất biến cố đồng thời góp phần nâng cao lực tư tạo hứng thú cho học sinh Hiệu tốt Năm 2008 Ngời thực Phùng văn Phúc 19 ... lớn tần suất A gần với số xác định Số gọi lần xác suất A theo nghĩa thống kê Trong khoa học thử nghiệm , ngời ta thờng lấy tần suất làm xác suất Vì tần suất cịn đợc gọi xác suất thực nghiệm II... thành hàng Tìm xác suất để số xếp đợc là; 1/ Số có chữ số 2/ Số có chữ số chia hết cho 3/ Số chẵn có chữ số DẠNG 2: CÁC QUY TẮC TÍNH XÁC XUẤT I/ KIẾN THỨC CƠ BẢN 1.Quy tắc cộng xác suất a Biến cố... 3] DẠNG : XÁC SUẤT CĨ ĐIỀU KIỆN Trong thực tế đơi gặp tốn địi hỏi thực điều làm điều gọi chung tốn có điều kiện Trong toán xác suất , biến cố A xảy đòi hỏi biến cố B xảy người ta gọi xác suất