Sáng kiến kinh nghiệm *************************************************************************** ********************** Phần I Mở đầu I Lí chọn đề tài Bài tốn xác định tính đồng biến, nghịch biến hàm số toán quen thuộc học sinh lớp 12, có mặt hầu hết kì thi: Tốt nghiệp, cao đẳng, đại học, trung học chuyên nghiệp Vì có vị trí quan trọng chương trình tốn phổ thơng Mặt khác đối tượng học sinh đại trà nên việc dạy học phần gặp nhiều khó khăn Bài tập sách giáo khoa cịn chưa đa dạng Để việc dạy học phần chủ động có hiệu tơI viết đề tài áp dụng cho học sinh đại trà Việc giảI tốn xác định hàm số có tác dụng to lớn học sinh: - Thứ nhất: Thông qua tốn xác định tính đồng biến nghịch biến hàm số giúp học sinh chủ động cách phân tích, tìm lời giảI cho bài, học sinh thấy mối quan hệ toán học thực tiễn, qua giúp học sinh có hứng thú học tập hơn, hiệu dạy cao - Thứ hai: Việc giảI ốn xác định tính đồng biến, nghịch biến hàm số giúp học sinh củng cố, đào sâu kiến thức rèn luyện tính linh hoạt, khả sáng tạo Khi giảI toán học sinh phảI thường xuyên phảI sử dụng kiến thức liên quan như: GiảI phương trình, biến đổi tương đương, kiến thức đạo hàm, tam thức bậc hai, xét chiều biến thiên, kĩ biến đổi… - Thứ ba: Thông qua việc giảI tốn xác địng tính đồng biến, nghịch biến hàm số giúp học sinh rèn luyện thao tác tư như: Phân tích, tổng hợp, có khả đặc biệt hoá, kháI quát hoá toán Mặt khác rèn luyện cho học sih phẩm chất trí tuệ như: Tính cẩn thận, chặt chẽ, linh hoạt, nâng cao khả sáng tạomoix gặp tốn suy nghĩ tìm tịi lời giảI khác nhau, chọn cách giảI hay Tuy nhiên vấn đề xác định tính đồng biến, nghịch biến hàm số xen kẽ vấn đề khác nên học sinh gặp khó khăn lúng túng tìm đường lối giảI có vận dụng cách máy móc dập khn Vì lí trên, tài liệu hệ thống số phương pháp giảI toán xác định tính đồng biến, nghịch biến hàm số sai lầm mà học sinh hay mắc phảI q trình giảI tốn II Nhiệm vụ mục đích nghiên cứu Nhằm đè xuất phương pháp giúp việc dạy học nội dung tốn xác địng tính đồng biến, nghịch biến hàm số đạt kết cao III Phương pháp nghiên cứu Sáng kiến kinh nghiệm *************************************************************************** ********************** Nghiên cứu lí luận dạy học, nghiên cứu sách giáo khoa, tài liệu tham khảo tài liệu có liên quan gắn liền với điều kiện thực tiễn, phương pháp giảng dạy trường THPT Sơn Thịnh IV Cấu trúc kinh nghiệm Chương I Các kiến thức Chương II Các dạng tốn tính đơn điệu PHẦN II NỘI DUNG KINH NGHIỆM CHƯƠNG I CÁC KIẾN THỨC CƠ BẢN I Định nghĩa hàm số đồng biến, nghịch biến Định nghĩa Giả sử hàm số y=f(x) xác định khoảng (a;b) Ta nói: - Hàm số y=f(x) đồng biến (tăng) khoảng (a;b) ∀ x1 ; x ∈ (a;b) mà x1 < x ⇒ f ( x1 ) < f ( x ) - Hàm số y=f(x) nghịch biến (giảm) khoảng (a;b) ∀ x1 ; x ∈ (a;b) mà x1 < x ⇒ f ( x1 ) > f ( x ) Hàm số đồng biến, nghịch biến khoảng gọi chung hàm số đơn điệu khoảng Điều kiện tương đương với định nghĩa Giả sử x1 ; x ∈ (a;b), x1 ≠ x y − y1 f ( x ) − f ( x1 ) = x − x1 x − x1 - Hàm số y=f(x) đồng biến (tăng) khoảng (a;b) ⇔ khoảng (a;b) - Hàm số y=f(x) nghịch biến (giảm) khoảng (a;b) ⇔ khoảng (a;b) Từ suy ra: ∆y > ∆x ∆y < ∆x ∆y ≥0 ∆x → ∆ x - Hàm số y=f(x) đồng biến (tăng) khoảng (a;b) ⇒ f’(x)= lim khoảng (a;b) Sáng kiến kinh nghiệm *************************************************************************** ********************** ∆y ≤0 ∆x → ∆ x - Hàm số y=f(x) nghịch biến (giảm) khoảng (a;b) ⇒ f’(x)= lim khoảng (a;b) II Liên hệ tính đơn điệu đạo hàm hàm số Định lí 1: Cho hàm số y=f(x) có đạo hàm khoảng (a;b) a, Nếu f’(x)>0 ∀ x ∈ (a;b) y = f(x) đồng biến khoảng b, Nếu f’(x)0 ⇔ y’ > ⇒ Hàm số đồng biến a0 x y’ y −∞ +∞ − - − Hàm số đồng biến ( − + Nếu a0 Sáng kiến kinh nghiệm *************************************************************************** ********************** -1 b 2a -5 10 10 -2 -4 - 4a -6 -8 a hàm số bậc ba đồng biến Nếu a< hàm số bậc ba nghịch biến * Bảng biến thiên: a>0 x y’ y −∞ +∞ + + +∞ −∞ a0 -1 -5 10 -2 -4 -6 a< -1 -5 -2 -4 -6 -8 10 Sáng kiến kinh nghiệm *************************************************************************** ********************** + b, ∆ = b − 3ac = ⇒ y’ dấu với a với ∀x ≠ − b 3a   Nếu a> hàm số bậc ba đồng biến khoảng  − ∞;− b   tiếp tục 3a   b  ;+∞   3a  đồng biến khoảng  −   Nếu a< hàm số bậc ba nghịch biến  − ∞;− b   tiếp tục nghịch 3a   b  ;+∞   3a  biến khoảng  − * Đồ thị: a>0 -1 -5 -2 -4 -6 a< 10 Sáng kiến kinh nghiệm *************************************************************************** ********************** -1 -5 10 -2 -4 -6 -8 + c, ∆ = b − 3ac > ⇒ y’ = có hai nghiệm phân biệt x1 ; x ( x1 < x ) x y’ y a>0 −∞ x1 + +∞ x2 - + +∞ f( x1 ) −∞ x y’ y f( x ) a0 -1 -5 10 -2 -4 -6 -8 a ⇒ y’ = có nghiệm x = a< : Hàm số đồng biến khoảng ( − ∞ ;0) nghịch biến khoảng ( ; + ∞ ) a> : Hàm số nghịch biến khoảng ( − ∞ ;0) đồng biến khoảng ( ; + ∞ ) * Bảng biến thiên: x y’ y −∞ +∞ - a>0 0 +∞ + +∞ f(0) x y’ y −∞ - a0 11 +∞ + −∞ Sáng kiến kinh nghiệm *************************************************************************** ********************** 10 -10 -5 10 -2 -4 -6 a0 x y’ y −∞ +∞ − - b 2a b 2a + f(0) 12 - +∞ + +∞ Sáng kiến kinh nghiệm *************************************************************************** ********************** b b f( − ) f( ) 2a 2a a0 -1 -5 10 -2 -4 -6 -8 a , ∀x ∈ R ⇒ Hàm số đồng biến khoảng ( − ∞;+∞ ) c, y = x − x − - TXĐ: R - y’ = x − x = x( x − 1) x =  Y’ = ⇔  x = −1 x =  Bảng biến thiên: −∞ x y’ +∞ y -1 0 + 14 - +∞ + +∞ Sáng kiến kinh nghiệm *************************************************************************** ********************** ⇒ Hàm số nghịch biến khoảng ( − ∞;−1 ) (0;1) Hàm số đồng biến khoảng (-1;0) (1; + ∞ ) * Ví dụ2: Xác định khoảng đơn điệu hàm số: a, y = e x - x b, y = x lnx Giải: a TXĐ: R y’ = e x - y’ > ⇔ e x - > ⇔ e x > = e ⇔ x > y’ < ⇔ x < ⇒ Hàm số nghịch biến khoảng ( − ∞;0 ) Hàm số đồng biến khoảng (0; + ∞ ) b, y = x lnx * TXĐ: R + y’ = lnx + x = lnx + x e x < e −1 = e y’ > ⇔ lnx > = ln e −1 ⇔ x > e −1 = y’ < ⇔ lnx < = ln e −1 ⇔ ⇒ Hàm số nghịch biến khoảng ( 0; ) e Hàm số đồng biến khoảng ( ;+∞ ) e BÀI TOÁN 2: Cho hàm số y = f(x) Có tập xác định R Tìm điều kiện để hàm số ln ln đồng biến * Phương pháp giải: - Tính y’ - Hàm số đồng biến ⇔ y’ ≥ 0, ∀x ∈ R Bài tốn trở thành “ Tìm điều kiện để y’ ≥ 0, ∀x ∈ R ” +) Giả sử y’ = f’(x) = ax + bx + c (a ≠ 0) 15 Sáng kiến kinh nghiệm *************************************************************************** ********************** a > Để hàm số đồng biến ⇔  ∆ ≤ +) Giả sử y’ = f’(x) = ax + b (a ≠ 0) Ta thấy: Hàm số có đạo hàm nhị thức bậc có đạo hàm đồng dấu với nhị thức bậc hàm số không đồng biến +) Giả sử y’ = f’(x) = ax + bx + cx + d (a ≠ 0) y’ = Ln có nghiệm thực, hàm số tương ứng đồng biến * CHÚ Ý: Dạng tốn tìm điều kiện để hàm số y = f(x) nghịch biến làm tương tự * Ví dụ 1: Chứng minh hàm số sau đồng biến R y = x + cosx Giải: TXĐ: R y’ = – sinx ≥ 0, ∀x ∈ R Vì sin x ≤ ⇒ Hàm số ln đồng biến R * Ví dụ 2: Cho hàm số y = x − 3( 2m + 1) x + (12m + 5) x + Tìm m để hàm số ln đồng biến Giải: y’ = 3x − 6( 2m + 1) x + (12m + 5) ∆ ’ = 9( 2m + 1) − 3(12m + 5) = 36m + 36m + − 36m − 15 = 36m − = 6( 6m − 1) Để hàm số ln đồng biến ta phải có: 1 ≤m≤ y’ ≥ 0, ∀x ∈ R ⇔ ∆' ≤ ⇔ ( 6m − 1) ≤ ⇔ − 6 1 ≤m≤ Vậy giá trị m cần tìm − 6 * Ví dụ 3: Cho hàm số y =(m – 3)x – (2m + )cosx Tìm m để hàm số nghịch biến Giải: y’ = (m – 3) + (2m + 1)sinx Để hàm số đồng biến ta phải có: y’ ≤ 0, ∀x ∈ R ⇔ ( m − 3) + ( 2m + 1) sin x ≤ , ∀x ∈ R 16 Sáng kiến kinh nghiệm *************************************************************************** ********************** Đặt t = sinx với − ≤ t ≤ Bài toán trở thành: Xác định m để: g(t) = (m – 3) + (2m + 1).t ≤ 0, ∀t ∈ [ − 1;1] m ≥ −4  g ( − 1) ≤ ( m − 3) − ( 2m + 1) ≤ − m − ≤  ⇔ ⇔ ⇔ ⇔  g (1) ≤ ( m − 3) + ( 2m + 1) ≤ 3m − ≤ m ≤  ⇔ −4 ≤ m ≤ Vậy giá trị m cần tìm là: − ≤ m ≤ * Ví dụ 4: Cho hàm số y = x − ( 2m + 1) x − ( 2m − 3m + 2) x + 2m( 2m − 1) minh hàm số luôn đồng biến Giải: y’ = x − 2( 2m + 1) x − 2m − 3m + ( ∆’ = ( Chứng ) ( m + 1) + 3( 2m − 3m + 2) = m + m + + 6m − 9m + = m2 − m + ( ) ) Vì m − m + > 0, ∀m ⇒ ∆ > 0, ∀m Do đó, y’ = coc hai nghiệm phân biệt, ∀ m Suy đạo hàm không luôn dương Vậy hàm số khơng ln ln đồng biến * BÀI TỐN 3: Cho hàm số y = f(x;m), m tham số Tìm giá trị m để hàm số đồng biến khoảng ( α ;+∞ ) * Phương pháp giải: y’ = f’(x;m) Hàm số đồng biến khoảng ( α ;+∞ ) ⇔ y ' ≥ , ∀x > α +) Giả sử y’ = g(x) = ax + bx + c (a ≠ 0) Hoặc y’ dấu với g(x) Hàm số đồng biến khoảng ( α ;+∞ ) a > ∆ >  a >  ⇔ ⇔  g (α ) > ∆ ≤  α > S   +) Giả sử y’ = g(x) = ax + b (a ≠ 0) Hoặc y’ dấu với g(x) Hàm số đồng biến khoảng ( α ;+∞ ) 17 Sáng kiến kinh nghiệm *************************************************************************** ********************** a > ⇔ g (α ) ≥ * CHÚ Ý: Tương tự cho hàm số nghịch biến khoảng ( α ;+∞ ) * Ví dụ 1: Xác định m để hàm số: y= x − 2mx + ( m − 2m − 1) x + đồng biến khoảng (1;+∞ ) Giải: y’ = x − 4mx + ( m − 2m − 1) 2 ∆ ’ = 4m − 2( m − 2m − 1) = 2( m + 2m + 1) = 2( m + 1) ≥ -) Nếu m = -1 ⇒ y ' = 2( x + 1) ≥ Hàm số luôn đồng biến ⇒ Hàm số đồng biến khoảng (1;+∞ ) Do đó, giá trị m = -1 thích hợp -) Nếu m ≠ -1 ⇒ ∆ '> , y’ có hai nghiệm phân biệt x1 ; x Giả sử x1 < x Ta có, y’ ≥ 0, ∀x ∉ ( x1 ; x ) Điều kiện để hàm số đồng biến khoảng ( − 1;+∞ ) là:  ∆ ' >   y ' (1) ≥ S   y ' ( − 1) >   S  > −1  (  − ≤ m ≤   ⇔ − < m < −  12    m >   Vậy m > − )  6m − ≤  6m > ⇔  24m + 14 >  2( 2m + 1) > −1   ⇔m>−  − ≤ m ≤      m < −       m > ⇔      m > − 12    m > −     12 12 * Ví dụ 2: Xác định m để hàm số: y= mx + nghịch biến khoảng ( − ∞;−1) x+m TXĐ: R\ { − m} Giải: m2 − y’ = ( x + m) Để hàm số nghịch biến khoảng ( − ∞;−1) , y’ giảm khoảng ( − ∞;−1) m − < ⇔ − m ∉ ( − ∞;−1) − < m < ⇔ − m ≥ −1 ⇔ −2 < m ≤ 20 Sáng kiến kinh nghiệm *************************************************************************** ********************** * BÀI TOÁN 5: Cho hàm số y = f(x;m), m tham số Tìm giá trị m để hàm số đồng biến khoảng ( α ; β ) * Phương pháp giải: y’ = f’(x;m) Hàm số đồng biến khoảng ( − ∞; α ) ⇔ y ' ≥ , ∀x < α +) Giả sử y’ = g(x) = ax + bx + c (a ≠ 0) Hoặc y’ dấu với g(x) Nếu a>0 Hoặc ∆ ≤  ∆ >  g ( β ) >  S β <   ∆ >   g (α ) > S   Nếu a>0  g ( α ) > g ( β ) >  +) Giả sử y’ = g(x) = ax + b (a ≠ 0) Hoặc y’ dấu với g(x) Ta cần có y’ ≥ 0, ∀x ∈ ( α ; β ) a >  ⇔ g (α ) ≥ g ( β ) ≥  g (α ) ≥ ⇔ g ( β ) ≥ a <  ⇔ g (α ) ≥ g ( β ) ≥  * CHÚ Ý: Tương tự cho hàm số nghịch biến khoảng ( α ; β ) * Ví dụ 1: Xác định m để hàm số: y = − x + mx − m đồng biến khoảng (1;2 ) Giải: y’ = − 3x + 2mx x = y’ = ⇔ 3x − 2mx = ⇔   x = 2m  Giả sử x1 < x Ta có, y’ > 0, ∀x ∈ ( x1 ; x ) Hàm số đồng biến khoảng (1;2) ⇔ y ' > 0, ∀x ∈ (1;2) Điều kiện phải có là: x1 = < < < x = − 3g (1) < 2m ⇔ − g ( ) ≤ với g(x) = − 3x + 2mx 21 Sáng kiến kinh nghiệm *************************************************************************** **********************  − + m > m > ⇔ ⇔ ⇔m≥3 − 12 + 4m ≥ m ≥  Vậy m ≥ * Ví dụ 2: Xác định a để hàm số: x3 y = − + ( a − 1) x + ( a + 3) x đồng biến khoảng ( 0;3) y’ = − x + 2( a − 1) x + a + Giải: ∆' = a − a + > 0, ∀a ⇒ y’ có hai nghiệm phân biệt x1 ; x Giả sử x1 < x Ta có, y’ > 0, ∀x ∈ ( x1 ; x ) Hàm số đồng biến khoảng ( 0;3) ⇔ y ' > 0, ∀x ∈ ( 0;3) Điều kiện phải có là: − 1g ( ) ≤ x1 ≤ < ≤ x ⇔  với g(x) = − x + 2( a − 1) x + a + − 1g ( 3) ≤  g ( 0) ≥ ⇔  g ( 3) ≥ Vậy a ≥ a + ≥ ⇔ − + 6( a − 1) + a + ≥  a ≥ −3  ⇔  12 a ≥  ⇔a≥ 12 12 KẾT QUẢ KINH NGHIỆM Tài liệu thông qua tổ…………, địng nghiệp góp ý Qua q trình giảng dạy bổ sung Tài liệu đạt số kết quả: - Hệ thống phương pháp giải tốn xác định tính đơn điệu hàm số, phương pháp minh hoạ số ví dụ cụ thể - Thơng qua việc giảI tốn xác định tính đơn điệu hàm số giúp học sinh cố, đào sâu kiến thức, thấy liên hệ chặt chẽ kiến thức toán học - Việc giảI tốn xác định tính đơn điệu hàm số khơng nhằm hình thành kiến thức, kĩ năng, kĩ xảo cho học sinh mà phát huy tính tích cực, độc lập, sáng tạo học sinh Đây vấn đề mấu chốt, mục tiêu dạy học đại 22 Sáng kiến kinh nghiệm *************************************************************************** ********************** Những két nhỏ bé giúp cho việc giảng dạy học tập chủ động đạt kết cao Học sinh có tiến u thích mơn tốn Tuy nhiên tài liệu cịn sơ sài, mong đóng góp đồng nghiệp để tài liệu đầy đủ hoàn thiện TôI xin chân thành cảm ơn 23 ... −1 ⇔ ⇒ Hàm số nghịch biến khoảng ( 0; ) e Hàm số đồng biến khoảng ( ;+∞ ) e BÀI TOÁN 2: Cho hàm số y = f(x) Có tập xác định R Tìm điều kiện để hàm số ln ln đồng biến * Phương pháp giải: - Tính. .. DẠNG BÀI TỐN VỀ TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ Bài toán Cho hàm số y = f(x) Hãy tìm khoảng đồng biến, nghịch biến hàm số * Phương pháp giải: - TXĐ - Tìm điểm tới hạn - Lập bảng biến thiên - Suy chiều biến. .. đạo hàm không luôn dương Vậy hàm số không luôn đồng biến * BÀI TOÁN 3: Cho hàm số y = f(x;m), m tham số Tìm giá trị m để hàm số đồng biến khoảng ( α ;+∞ ) * Phương pháp giải: y’ = f’(x;m) Hàm số