MỘT PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỈ Nguyễn Đức Tuấn Ở đây tôi xin trình bày một phương pháp mà theo tôi nó cũng là một trong những phương pháp mới, sáng tạo và là một công cụ hữu hiệu để giải đa số những phương trình chứa căn thức mà chúng ta thường bắt gặp trong những đề thi tuyển sinh, thi học sinh giỏi. Trong bài viết này chúng ta sẽ đề cập đến một hằng đẳng thức cơ bản nhưng có nhiều ứng dụng trong giải toán sau: (a −b)(a +b) = a 2 −b 2 . Bài 1. Giải phương trình: (x +3)  2x 2 +1 =x 2 +x +3 (1) Lời giải: Điều kiện x ≥−3. Nhận thấy x =−3 không là nghiệm của phương trình, viết lại phương trình dạng:  2x 2 +1 = x 2 +x +3 x +3 ⇔  2x 2 +1 −1 = x 2 x +3 (1  ) Vì  2x 2 +1 +1 >0. Nhân  2x 2 +1 +1 vào hai vế của phương trình (1  ) ta được:   2x 2 +1 −1   2x 2 +1 +1  = x 2 x +3   2x 2 +1 +1  ⇔2x 2 = x 2 x +3 (  2x 2 +1 +1) Nhận thấy x =0 là một nghiệm của phương trình (1), xét x =0, chia cả hai vế của phương trình cho x 2 ta được: 2(x +3) =  2x 2 +1 +1 ⇔2x +5 =  2x 2 +1 Giải phương trình này ta tìm được hai nghiệm x =−5 +  13 và x =−5 −  13 (loại) Vậy phương trình (1) có hai nghiệm x =0 và x =−5 +  13. Bài 2. Giải phương trình:  x 2 +3 = 3x 2 +2x +3 3x +1 (2) Lời giải: Điều kiện x >− 1 3 . Phương trình (2) tương đương với:  x 2 +3 −2x = 3x 2 +2x +3 3x +1 −2x ⇔  x 2 +3 −2x = −3x 2 +3 3x +1 (2  ) Vì x >− 1 3 ⇒  x 2 +3 +2x >0 Nhân  x 2 +3 +2x vào hai vế của phương trình (2  ) ta thu được: −3x 2 +3 = −3x 2 +3 3x +1   x 2 +3 +2x  Nếu −3x 2 +3 =0 ⇔ x =1 hoặc x =−1(loại) Nếu −3x 2 +3 =0, chia cả hai vế của phương trình cho −3x 2 +3 ta được: 3x +1 =  x 2 +3 +2x Giải phương trình này ta được x =1. Vậy phương trình (2) có nghiệm duy nhất x =1. Bài 3. Giải phương trình:  x +3 = 1 2 x − 7 2x +5 (3) Lời giải: Điều kiện x ≥−3và x =0. editor latex ChauNgocHung 1 Phương trình (3) tương đương với:  x +3 −2 = 1 2 (x −1)  1 + 7 x  (3  ) Vì  x +3 +2 >0, nhân  x +3 +2 vào hai vế của phương trình (3  ) ta thu được: x −1 = 1 2 (x −1)  1 + 7 x    x +3 +2  + Nếu x −1 =0 ⇔ x =1 + Nếu x −1 =0, chia cả hai vế của phương trình cho x −1 ta được: 2 =  1 + 7 x    x +3 +2  ⇔−14 =(x +7)  x +3 >0 (vì x ≥−3) Vậy phương trình (3) có nghiệm duy nhất x =1. Bài 4. Giải phương trình: (x +3)  x 2 +x +2 =x 2 +3x +4 (4) Lời giải: Điều kiện x ≥−3. Nhận thấy x =−3 không phải là nghiệm của phương trình (4), viết lại phương trình dạng:  x 2 +x +2 = x 2 +3x +4 x +3 ⇔  x 2 +x +2 −2 = x 2 +x −2 x +3 (4  ) Vì  x 2 +x +2 +2 >0, nhân  x 2 +x +2 +2 vào hai vế của phương trình (4  ) ta thu được: x 2 +x −2 = x 2 +x −2 x +3   x 2 +x +2 +2  +Nếu x 2 +x −2 =0 ⇔ x =1 hoặc x =−2. +Nếu x 2 +x −2 =0, chia cả hai vế của phương trình cho x 2 +x −2 ta được: x +3 =  x 2 +x +2 +2 Giải phương trình này ta được x =1. Vậy phương trình có hai nghiệm x =1 và x =−2. Sau đây là một số bài toán dành cho bạn đọc: Giải các phương trình sau: ) 1  x 2 −x +1 +  x +x 2 = x + 1 x +1. ) 3  x 2 −1 +  x −3 +  x +1 +x = x +3 x 2 −6 +5. )  x +9 x 2 +x +2 + 2  x 2 −3 = x 2 +1 4 . )  x 2 +x +1 = 5x 2 +x −1 x +1 . Tiếp theo, tôi xin giới thiệu với các bạn ứng dụng của phương pháp này để giải một số bài toán phương trình có phần "nhỉnh" hơn một chút Ở đây vẫn trình bày dưới dạng các ví dụ minh họa cho từng dạng Bài 5. (Phương trình chứa căn ở mẫu) Giải phương trình: 1  x −1 + 2 x 2 + 1 2x = 7 4 (5) Lời giải: Điều kiện: x >1 Phương trình (5) tương đương với: editor latex ChauNgocHung 2 1  x −1 −1 + 2 x 2 + 1 2x − 3 4 =0 (5  ) Vì 1  x −1 +1 >0. Ta có: (5  ) ⇔  1  x −1 −1  1  x −1 +1  1  x −1 +1 + 2 x 2 + 1 2x − 3 4 =0 ⇔ 1 x −1 −1 1  x −1 +1 +  2 x −1  1 x + 3 4  =0 ⇔ 2 −x (x −1)  1  x −1 +1  + (2 −x)  1 x + 3 4  x =0 Nhận thấy x =2 là một nghiệm của phương trình, xét x =2, chia cả hai vế của phương trình cho (2−x) ta được: ⇔ 1 (x −1)  1  x −1 +1  + 1 x + 3 4 x =0 Dễ thấy V T >0∀x >1. Vậy phương trình (5) có nghiệm duy nhất x =2. Bài 6. (Phương trình chứa nhiều loại căn thức) Giải phương trình: 3  x +8 +  x 2 +1 +  x +x 2 = 1 x +1 +2 (6) Lời giải: Điều kiện: x ≥0 (6) ⇔ 3  x +8 −2+  x 2 +1 −1 +  x +x 2 = 1 x +1 −1 (6  ) Vì 3  (x +8) 2 +2 3  x +8 +4 >0,  x 2 +1 +1 >0. Ta có: (6  ) ⇔  3  x +8 −2  3  (x +8) 2 +2 3  x +8 +4  3  (x +8) 2 +2 3  x +8 +4 +   x 2 +1 −1   x 2 +1 +1   x 2 +1 +1 +  x  1 +x.  x  = −x x +1 ⇔ x 3  (x +8) 2 +2 3  x +8 +4 + x 2  x 2 +1 +1 +  x(1+x.  x) = −x x +1 Nhận thấy x =0 là một nghiệm của phương trình, xét x =0, chia cả hai vế của phương trình cho  x ta được: ⇔  x 3  (x +8) 2 +2 3  x +8 +4 + x  x  x 2 +1 +1 +1 +x  x +  x x +1 =0. Dễ thấy V T >0∀x >0. Vậy phương trình (6) có nghiệm duy nhất x =0. Bài 7. (Phương trình không có nghiệm hữu tỉ ) Giải phương trình:  x 2 +x +1 x +4 + x 2 2 = 1  x 2 +1 +2 (7) Lời giải: Điều kiện x ≥−4 editor latex ChauNgocHung 3 (7) ⇔  x 2 +x +1 x +4 −1 + x 2 2 − 3 2 = 1  x 2 +1 − 1 2 ⇔ x 2 −3  x 2 +x +1 x +4 +1 + x 2 −3 2 = 3 −x 2 1  x 2 +1 + 1 2 Nhận thấy x =  3 và x =−  3 là các nghiệm của phương trình. Xét x 2 −3 =0. Chia cả hai vế của phương trình cho (x 2 −3) ta được: ⇔ 1  x 2 +x +1 x +4 +1 + 1 2 + 1 1  x 2 +1 + 1 2 =0 Dễ thấy V T >0∀x ≥−4. Vậy phương trình (7) có hai nghiệm x =  3 và x =−  3. Chú ý: Mấu chốt của bài toán này là nhận ra x =  3 là nghiệm Bài 8. (Tìm nhân tử chung !) Giải phương trình:  2x 2 −3x +1 = x 2 −1 2x −3 (8) Lời giải: Điều kiện: 2x 2 −3x +1 ≥0, x 2 −1 2x −3 ≥, 2x −3 =0 (8) ⇒  2x 2 −3x +1 −x = −x 2 +3x −1 2x −3 ⇒ x 2 −3x +1  2x 2 −3x +1 +x = −x 2 +3x −1 2x −3 Nếu x 2 −3x +1 =0 ⇔x = 3 +  5 2 và x = 3 −  5 2 Xét x 2 −3x +1 =0. Chia cả hai vế của phương trình cho (x 2 −3x +1) ta được: 1  2x 2 −3x +1 +x = −1 2x −3 ⇒3 −3x =  2x 2 −3x +1 ⇒7x 2 −15x +8 =0 ⇔(x −1)(7x −8) =0 ⇔ x =1 và x = 8 7 (loại!). Vậy phương trình (8) có ba nghiệm x = 3 +  5 2 , x = 3 −  5 2 và x =1. Chú ý: Mấu chốt của bài toán này là nhận ra x 2 −3x +1 là nhân tử chung Sau đây là một số bài toán dành cho bạn đọc: Giải các phương trình sau: ) 1  x 2 −x +1 +  x +x 2 = x + 1 x +1. ) 3  x 2 −1 +  x −3 +  x +1 +x = x +3 x 2 −6 +5. )  x +9 x 2 +x +2 + 2  x 2 −3 = x 2 +1 4 . )  x 2 +x +1 = 5x 2 +x −1 x +1 . Qua những ví dụ và bài tập nêu trên, chắc có lẻ các bạn cũng đã nhận thấy được phần nào về sự hiểu quả của công cụ này trong việc giải các bài toán phương trình chứa căn thức. Không dừng lại ở đó, hôm nay mình xin trình bày những vấn đề tiếp Theo xung quanh phương pháp này. Tin rằng đây sẽ là một phương pháp thực sự hiểu quả để hỗ trợ các bạn trong việc giải các bài toán phương trình chứa căn thức. Để tăng tính thuyết phục và hơn hết là làm nổi bật cái hay, cái đẹp của phương pháp này. Mình xin phép được lấy các bài toán trong các kì thi học sinh giỏi và các kì thi olympic để làm ví editor latex ChauNgocHung 4 dụ minh họa. Qua đó chúng ta cũng thấy được tính ứng dụng rộng rãi và hiệu quả của nó. Bài 9. (Đề chính thức Olympic 30 - 4 năm 2006) Giải phương trình: (x +1)  x 2 −2x +3 = x 2 +1 (9) Lời giải: Vì x =−1 không là nghiệm của phương trình (9) ta viết phương trình dưới dạng:  x 2 −2x +3 = x 2 +1 x +1 ⇔  x 2 −2x +3 −2 = x 2 −2x −1 x +1 Vì  x 2 −2x +3 +2 >0. Suy ra: (9  ) ⇔ (  x 2 −2x +3 −2)(  x 2 −2x +3 +2)  x 2 −2x +3 +2 = x 2 −2x −1 x +1 ⇔ x 2 −2x −1  x 2 −2x +3 +2 = x 2 −2x −1 x +1 Nếu x 2 −2x −1 =0 ⇔x =1 +  2 và x =1 −  2 Nếu x 2 −2x −1 =0. Suy ra:  x 2 −2x +3 +2 =x +1 ( Phương trình này vô nghiệm) Vậy phương trình (9) có 2 nghiệm là: x =1 +  2 và x =1 −  2. Mấu chốt của lời giải trên là nhận ra lượng liên hợp (  x 2 −2x +3+2) để tìm ra nhân tử chung là (x 2 −2x −1). Vậy làm cách nào để nhận ra được điều này. Sau đây, mình xin trình bày một phương pháp để tìm ra lượng nhân tử chung trên. Xét phương trình:  x 2 −2x +3 = x 2 +1 x +1 (9  ) ⇔  x 2 −2x +3 −m = x 2 +1 x +1 −m (m >0) ⇔  x 2 −2x +3 −m = x 2 −mx −m +1 x +1 Vì  x 2 −2x +3 +m >0. Suy ra: (9  ) ⇔ (  x 2 −2x +3 −m )(  x 2 −2x +3 +m )  x 2 −2x +3 +m = x 2 −mx −m +1 x +1 ⇔ x 2 −2x +3 −m 2  x 2 −2x +3 +m = x 2 −mx −m +1 x +1 Bây giờ ta chỉ cần xác định m sao cho: x 2 −2x +3 −m 2 =0 ⇔x 2 −mx −m +1 =0. Suy ra: −2 =−m và 3 −m 2 =−m +1 ⇒m =2 Từ đó ta suy ra lời giải toán của bài toán như đã trình bày. Bài 10. (Đề đề nghị, Olympic 30 - 4 năm 2007) Giải phương trình: 2(x 2 +2) =5  x 3 +1 (10) Lời giải: Điều kiện: x ≥−1 (10) ⇔2(x 2 +2) =5  (x +1)(x 2 −x +1) Vì x =−1 không là nghiệm của phương trình (10) ta viết dưới dạng: 2(x 2 +2) =5  (x +1) 2 (x 2 −x +1) x +1 ⇔ 2(x 2 +2) 5(x +1) =  x 2 −x +1 x +1 (10  ) Bằng phương pháp đã nêu trên ta tìm được m =2. Vậy: (10  ) ⇔ 2(x 2 +2) 5(x +1) −2 =  x 2 −x +1 x +1 −2 Vì  x 2 −x +1 x +1 +2 >0. Suy ra: (10  ) ⇔ 2x 2 −10x −6 5(x +1) =   x 2 −x +1 x +1 −2   x 2 −x +1 x +1 +2   x 2 −x +1 x +1 +2 ⇔ 2x 2 −10x −6 5(x +1) = x 2 −5x −3 (x +1)   x 2 −x +1 x +1 +2  editor latex ChauNgocHung 5 Nếu x 2 −5x −3 =0 ⇔x = 5 +  37 2 và x = 5 −  37 2 Nếu x 2 −5x −3 =0. Suy ra: 5 2 =  x 2 −x +1 x +1 +2 ( Phương trình này vô nghiệm) Vậy phương trình (10) có 2 nghiệm là: x = 5 +  37 2 và x = 5 −  37 2 . Bài 11. (Thi HSGQG, năm 1995, bảng A) Giải phương trình: x 3 −3x 2 −8x +40 −8 4  4x +4 =0 (11) Lời giải: Điều kiện: x ≥−1 (11) ⇔ x 3 −3x 2 −8x +40 8 = 4  4x +4 (11  ) ⇔ x 3 −3x 2 −8x +24 8 = 4  4x +4 −2 Vì 4  4x +4 +2 >0. Suy ra: (11  ) ⇔ (x −3)(x 2 −8) 8 =  4x +4 −4 4  4x +4 +2 Vì  4x +4 +4 >0. Suy ra: (11  ) ⇔ (x −3)(x 2 −8) 8 = 4x −12  4  4x +4 +2   4x +4 +4  Nếu x −3 =0 ⇔ x =3. Nếu x −3 =0. Suy ra: x 2 −8 32 = 1  4  4x +4 +2   4x +4 +4  (11  ) Suy ra: x 2 −8 >0 hay x >2  2 ( vì x ≥1) Dễ thấy vế trái của phương trình (11  ) liên tục và luôn đồng biến trên (2  2; +∞), vế phải của phương trình (11  ) liên tục và luôn nghịch biến trên (2  2; +∞). Lại có x = 3 là nghiệm vậy x =3 cũng là nghiệm duy nhất của phương trình (11  ). Nghiệm này loại vì x =3. Vậy phương trình (11) có nghiệm duy nhất x =3. Bài 12. (Toán học và tuổi trẻ 365/2007) Giải phương trình:  2(x 2 +8) =  x 3 +8 (12) Lời giải: Điều kiện: x ≥−2 (12) ⇔  2(x 2 +8) =5  (x +2)(x 2 −2x +4) Vì x =−2 không là nghiệm của phương trình (12) ta viết phương trình dưới dạng:  2(x 2 +8) =5  (x +2) 2 x +2 .(x −2x +4) ⇔ x 2 +8 5(x +2) =  x 2 −2x +4 2x +4 (12  ) ⇔ x 2 +8 5(x +2) −2 =  x 2 −2x +4 2x +4 −2 Vì  x 2 −2x +4 2x +4 +2 >0. Suy ra: editor latex ChauNgocHung 6 o (12  ) ⇔ x 2 −10x −12 5(x +2) =   x 2 −2x +4 2x +4 −2   x 2 −2x +4 2x +4 +2   x 2 −2x +4 2x +4 +2 ⇔ x 2 −10x −12 5(x +2) = x 2 −10x −12 (2x +4)   x 2 −2x +4 2x +4 +2  Nếu x 2 −10x −12 =0 ⇔x =5 +  37 và x =5 −  37 Nếu x 2 −10x −12 =0. Suy ra: 5 2 =  x 2 −2x +4 2x +4 +2 ( Phương trình này vô nghiệm) Vậy phương trình (12) có 2 nghiệm là x =5 +  37 và x =5 −  37. Sau đây là một số bài tập dành cho bạn đọc Giải các phương trình sau: )  x 2 +5 +5 =3x +  x 2 +15 ( Đề đề nghị Olympic 30-4) ) x 2 +(3 −  x 2 +2)x =1 +2  x 2 +2 ( Đề đề nghị Olympic 30-4) ) 2(x 2 −3x +2) =3  x 3 +8 ( Đề đề nghị Olympic 30-4) ) 2x 2 +5x −1 =7  x 3 −1 ( Đề đề nghị Olympic 30-4) ) x 3 −3x 2 +2  (x +2) 3 −6x =0 ( Toán học và tuổi trẻ) ) 2x 2 −11x +21 −3 3  4x −4 =0 ( Thi HSGQG, năm 1995, bảng B) editor latex ChauNgocHung 7 . MỘT PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỈ Nguyễn Đức Tuấn Ở đây tôi xin trình bày một phương pháp mà theo tôi nó cũng là một trong những phương pháp mới, sáng tạo và là một công cụ hữu hiệu để giải. trình cho −3x 2 +3 ta được: 3x +1 =  x 2 +3 +2x Giải phương trình này ta được x =1. Vậy phương trình (2) có nghiệm duy nhất x =1. Bài 3. Giải phương trình:  x +3 = 1 2 x − 7 2x +5 (3) Lời giải: Điều. +2 =x +1 ( Phương trình này vô nghiệm) Vậy phương trình (9) có 2 nghiệm là: x =1 +  2 và x =1 −  2. Mấu chốt của lời giải trên là nhận ra lượng liên hợp (  x 2 −2x +3+2) để tìm ra nhân tử chung là