Tài liệu hướng dẫn tự học môn Đại số và giải tích 11 Tài liệu lưu hành nội bộ 1 MỘT SỐ KÍ HIỆU THÔNG DỤNG Kí hiệu Tên gọi Diễn giải P n Số các hoán vò của n phần tử Permutation k n A Số các chỉnh hợp chập k của n phần tử k n C Số các tổ hợp chập k của n phần tử Combinatory P(A) Xác suất của biến cố A Probability n ulim Giới hạn của dãy số (u n ) Limit )(lim 0 xf xx Giới hạn của hàm số f(x) khi x dần tới x 0 )(lim xf x  Giới hạn của hàm số f(x) khi x dần tới âm vô cực )(lim xf x  Giới hạn của hàm số f(x) khi x dần tới dương vô cực )(lim 0 xf xx   Giới hạn bên phải của hàm số f(x) khi x dần tới x 0 )(lim 0 xf xx   Giới hạn bên trái của hàm số f(x) khi x dần tới x 0 y' hoặc f'(x) Đạo hàm của hàm số y = f(x) y'' hoặc f''(x) Đạo hàm cấp hai của hàm số y = f(x) y (n) hoặc f (n) (x) Đạo hàm cấp n của hàm số y = f(x) dy hoặc df(x) Vi phân của hàm số y = f(x) Differenttial n(A) hoặc A Số phần tử hữu hạn của tập A Võ Thanh Hùng - THPT Trần Quốc Toản - Đồng Tháp Tài liệu hướng dẫn tự học môn Đại số và giải tích 11 Tài liệu lưu hành nội bộ 2 CHƯƠNG I. ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT HÀM SỐ oOo  CHUẨN BỊ KIẾN THỨC: 1. Các giá trò lượng giác của cung (góc) :  sin luôn xác đònh  R và sin( + k2) = sin cos luôn xác đònh  R và cos( + k2) = cos  - 1  sin  1 (sin 1). - 1  cos  1 (cos  1).  tan xác đònh khi     k 2 và tan(k) = tan; cot xác đònh khi   k và cot( + k) = cot.  Dấu của các giá trò lượng giác của góc  2. Bảng các giá trò lượng giác đặc biệt:  0 (0 0 ) 6  (30 0 ) 4  (45 0 ) 3  (60 0 ) 2  (90 0 ) sin 0 2 1 2 2 2 3 1 cos 1 2 3 2 2 2 1 0 tan 0 3 1 1 3 kxđ cot kxđ 3 1 3 1 0 3. Công thức lượng giác cơ bản:  sin 2  + cos 2  = 1    2 2 cos 1 tan1  (    k 2 , k  Z).    2 2 sin 1 cot1  (  k, k  Z).  tan.cot = 1 ( 2   k , k  Z). 4. Giá trò lượng giác của các cung có liên quan đặc biệt: Cung đối:(-) và  sin(-) = -sin cos(-) = cos tan(-) = -tan cot(-) = -cot Cung bù:( - ) và  sin( - ) = sin cos( - ) = -cos tan( - ) = -tan cot( - ) = -cot Cung phụ:( 2  - ) và  sin( 2  - ) = cos cos( 2  - ) = sin tan( 2  - ) = cot cot( 2  - ) = tan Cung hơn kém : ( + ) và  sin( + ) = -sin cos( + ) = -cos tan( + ) = tan cot( + ) = cot Phần tư Giá trò lượng giác I II III IV sin + + - - cos + - - + tan + - + - cot + - + - Tài liệu hướng dẫn tự học môn Đại số và giải tích 11 Tài liệu lưu hành nội bộ 3 5. Các công thức lượn giác thường sử dụng: Công thức cộng: cos(a - b) = cosacosb + sinasinb cos(a + b) = cosacosb - sinasinb sin(a - b) = sinacosb - cosasinb sin(a + b) = sinacosb + cosasinb ba ba ba tantan1 tantan )tan(    ba ba ba tantan1 tantan )tan(    Công thức nhân đôi: sin2a = 2sinacosa cos2a = cos 2 a - sin 2 a = 2 cos 2 a - 1 = 1 - 2sin 2 a atan1 2tana 2tan 2  a Công thức hạ bậc: 2 2cos1 cos 2 a a   2 2cos1 sin 2 a a   a a a 2cos1 2cos1 tan 2    Công thức biến tích thành tổng: cosacosb = 2 1 [cos(a + b) + cos(a - b)] sinasinb =- 2 1 [cos(a + b) - cos(a - b)] sinacosb = 2 1 [sin(a + b) + sin(a - b)] Công thức biến đổi tổng thành tích: cosu + cosv = 2cos 2 vu  cos 2 vu  cosu - cosv = -2sin 2 vu  sin 2 vu  sinu + sinv = 2sin 2 vu  cos 2 vu  sinu - sinu = 2cos 2 vu  sin 2 vu   Công thức nhân ba: sin3a = 3sina - 4sin 3 a cos3a = 4cos 3 a - 3cosa  Công thức sina + cosa: sina + cosa = 2 sin(a + 4  ) sina - cosa = 2 sin(a - 4  ) sina + cosa = 2 cos(a - 4  ) sina - cosa = - 2 cos(a + 4  )  Ghi chú: Tài liệu hướng dẫn tự học môn Đại số và giải tích 11 Tài liệu lưu hành nội bộ 4 §1. HÀM SỐ LƯNG GIÁC I- ĐỊNH NGHĨA: 1. Hàm số sin và hàm số côsin: a) Hàm số sin: x y x sinx B' A' B O A M x y x sinx M' O  Quy tắc đặt tương ứng mỗi số thực x với số thực sinx sin: R  R x  y = sinx được gọi là hàm số sin, kí hiệu là y = sinx  Tập xác đònh của hàm số sin là: D = R. b) Hàm số côsin: x y x cosx B' A' B O A M x y cosx x O M''  Quy tắc đặt tương ứng mỗi số thực x với số thực cosx cos: R  R x  y = cosx được gọi là hàm số côsin, kí hiệu là y = cosx  Tập xác đònh của hàm số côsin là: D = R. 2. Hàm số tang và hàm số côtang: a) Hàm số tang:  Hàm số tang là hàm số được xác đònh bởi công thức y = x x cos sin (cosx ≠ 0), kí hiệu là y = tanx.  Tập xác đònh của hàm số y = tanx là: D = R\{ 2  + k, k  Z}. b) Hàm số côtang:  Hàm số côtang là hàm số được xác đònh bởi công thức y = x x sin cos (sinx ≠ 0), kí hiệu là y = cotx.  Tập xác đònh của hàm số y = cotx là: D = R\{k, k  Z}.  Nhắc lại đònh nghóa hàm số chẵn, hàm số lẻ. Xét tính chẵn, lẻ của các hàm số y = sin(x), y = cos(x), y = tan(x) và y = cot(x). Tài liệu hướng dẫn tự học môn Đại số và giải tích 11 Tài liệu lưu hành nội bộ 5 * Nhận xét: Hàm số y = sinx là hàm số lẻ, hàm số y = cosx là hàm số chẵn, từ đó suy ra các hàm số y = tanx và y = cotx đều là những hàm số lẻ. II- TÍNH TUẦN HOÀN CỦA HÀM SỐ LƯNG GIÁC:  Giải nghóa từ tuần hoàn, lấy ví dụ thực tế đời sống. Tìm những số T sao cho f(x + T) = f(x) với mọi x thuộc tập xác đònh của các hàm số: a) y = sinx; b) y = tanx.  Hàm số y = sinx là hàm số tuần hoàn với chu kì 2.  Hàm số y = cosx là hàm số tuần hoàn với chu kì 2.  Hàm số y = tanx và y = cotx cũng là hàm số tuần hoàn, với chu kì . III- SỰ BIẾN THIÊN VÀ ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐ LƯNG GIÁC: 1. Hàm số y = sinx:  Hàm số y = sinx xác đònh với mọi x  R và -1  sinx  1;  Là hàm số lẻ;  Là hàm số tuần hoàn với chu kì 2. a) Sự biến thiên và đồ thò hàm số y = sinx trên đoạn [0; ]: sin x 2 sin x 1 1 x 1 x 2 x 3 x 4 sin x 2 sin x 1  y x x y  2 x 4 x 3 x 2 x 1 A' B' A B O O Hàm số y = sinx đồng biến trên [0; 2  ] và nghòch biến trên [ 2  ; ]. Bảng biến thiên: x 0 2   y = sinx 1 0 0 * Chú ý: Vì hàm số y = sinx là hàm số lẻ nên lấy đối xứng đồ thò hàm số trên đoạn [0; ] qua gốc tọa độ O, ta được đồ thò hàm số trên đoạn [-; 0].  2 -  2  -  -1 1 O x y b) Đồ thò hàm số y = sinx trên R: 2  2  5  2 3  2 - 3  2 - 5  2 -2   2 -  2  -  -1 1 O x y Tài liệu hướng dẫn tự học môn Đại số và giải tích 11 Tài liệu lưu hành nội bộ 6 c) Tập giá trò của hàm số y = sinx: Tập giá trò của hàm số y = sinx là T = [-1; 1]. 2. Hàm số y = cosx:  Hàm số y = cosx xác đònh với mọi x  R và -1  cosx  1;  Là hàm số chẵn;  Là hàm số tuần hoàn với chu kì 2;  Hàm số y = cosx đồng biến trên [-; 0] và nghòch biến trên [0; ].  Bảng biến thiên: x - 0  y = cosx 1 -1 -1  Đồ thò hàm số y = cosx: 2  5  2 3  2 - 3  2 - 5  2 -2   2 -  2  -  -1 1 O x y  Tập giá trò của hàm số y = cosx là T = [-1; 1]. Đồ thò hàm số y = sinx, y = cosx được gọi chung là các đường hình sin. 3. Hàm số y = tanx:  Tập xác đònh: D = R\{   k 2 , k  Z};  Là hàm số lẻ;  Là hàm số tuần hoàn với chu kì ; a) Sự biến thiên của hàm số y = tanx trên nửa khoảng [0; 2  ): tan x 1 tan x 2 x 2 x 1  2 A B B' A' M 2 M 1 T 2 T 1 y x O O Hàm số y = tanx đồng biến trên nửa khoảng [0; 2  ). Tài liệu hướng dẫn tự học môn Đại số và giải tích 11 Tài liệu lưu hành nội bộ 7 Bảng biến thiên: x - 4  2  y = tanx + 1 0 * Nhận xét: Khi x càng gần 2  thì đồ thò hàm số y = tanx càng gần đường thẳng x = 2  . b) Đồ thò hàm số y = tanx trên D:  Đồ thò hàm số y = tanx trên ) 2 ; 2 (   :  2 -  2 O x y  Đồ thò hàm số y = tanx trên D: -3  2 3  2 -    2 -  2 O x y  Tập giá trò của hàm số y = tanx là T = (-; +). 4. Hàm số y = cotx:  Tập xác đònh: D = R\{k, k  Z};  Là hàm số chẵn;  Là hàm số tuần hoàn với chu kì ; a) Sự biến thiên và đồ thò hàm số y = cotx trên khoảng (0; ): Hàm số y = cotx nghòch biến trên khoảng (0; ). x 0 2   y = tanx + 0 - Tài liệu hướng dẫn tự học môn Đại số và giải tích 11 Tài liệu lưu hành nội bộ 8  2  O x y b) Đồ thò hàm số y = cotx trên D: 2  -2  -3  2 3  2 -    2 -  2 O x y  Tập giá trò của hàm số y = cotx là T = (-; +).  Ghi chú: Tài liệu hướng dẫn tự học môn Đại số và giải tích 11 Tài liệu lưu hành nội bộ 9 BÀI TẬP RÈN LUYỆN 1. Bài tập cơ bản: Bài 1: Hãy xác đònh các giá trò của x trên đoạn [-; 2 3  ] để hàm số y = tanx: a) Nhận giá trò bằng 0; b) Nhận giá trò bằng 1; c) Nhận giá trò dương; d) Nhận giá trò âm. Bài 2: Tìm tập xác đònh của các hàm số: a) y = x x sin cos1 ; b) y = x x cos1 cos1   ; c) y = ) 3 tan(  x ; d) y = ) 6 cot(  x . Bài 3: Dựa vào đồ thò hàm số y = cosx, tìm các giá trò của x để cosx = 2 1 . Bài 4: Dựa vào đồ thò hàm số y = sinx, tìm các khoảng giá trò của x để hàm số đó nhận giá trò dương. Bài 5: Dựa vào đồ thò hàm số y = cosx, tìm các khoảng giá trò của x để hàm số đó nhận giá trò âm. Bài 6: Tìm giá trò lớn nhất của các hàm số: a) y = 2 xcos + 1; b) y = 3 - 2sinx. Bài 7: Dựa vào đồ thò của hàm số y = sinx, hãy vẽ đồ thò của hàm số y = sinx. Bài 8: Chứng minh rằng sin2(x + k) = sin2x với mọi số nguyên k. Từ đó vẽ đồ thò hàm số y = sin2x. 2. Bài tập nâng cao: Bài 1: Xét tính chẵn - lẻ của mỗi hàm số sau: a) y = -2sinx; b) y = 3sinx - 2; c) y = sinx - cosx; d) y = sinxcos 2 x + tanx. Bài 2: Tìm giá trò lớn nhất và giá trò nhỏ nhất của mỗi hàm số sau: a) y = 2cos(x + 3  ) + 3; b) y = )sin(1 2 x - 1; c) y = 4sin x . CÂU HỎI CHUẨN BỊ BÀI Tài liệu hướng dẫn tự học môn Đại số và giải tích 11 Tài liệu lưu hành nội bộ 10 §2. PHƯƠNG TRÌNH LƯNG GIÁC CƠ BẢN 1. Phương trình sinx = a: Xét phương trình sinx = a (a  R) (1) Trường hợp a > 1: phương trình (1) vô nghiệm Trường hợp a  1: sinx = sin  )( 2 2 Zk kx kx         sinx = a sinx = a        )( 2arcsin 2arcsin Zk kax kax   côsin sin a -1 -1 1 1 K M' B' A' B O A M * Chú ý: ]sin)([sin sin)(sin 0     xu xu  )( ]360180[2)( ]360[2)( 000 00 Zk kkxu kkxu          sinu(x) = a (-1  a  1) ))((sin )(sin axu axu    )( ]360arcsin180[2arcsin)( ]360[arcsin2arcsin)( 00 0 Zk kakaxu kakaxu          Tổng quát: sin[f(x)] = sin[g(x)]  )( 2)()( 2)()( Zk kxgxf kxgxf          Đặc biệt: sin[f(x)] = 1  f(x) = 2  + k2, k  Z sin[f(x)] = -1  f(x) = - 2  + k2, k  Z sin[f(x)] = 0  f(x) = k, k  Z. Ví dụ: Giải các phương trình sau: a) sinx = 2 1 ; b) sinx = 5 1 ; c) sin2x = 1; d) sin(x + 45 0 ) = - 2 2 . Giải: [...]... 24 - Tài liệu lưu hành nội bộ - Tài liệu hướng dẫn tự học môn Đại số và giải tích 11 BÀI TẬP RÈN LUYỆN 1 Bài tập cơ bản: Bài 1: Từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6 lập các số tự nhiên gồm 6 chữ số khác nhau Hỏi: a) Có tất cả bao nhiêu số? b) Có bao nhiêu số chẵn, bao nhiêu số lẻ? c) Có bao nhiêu số bé hơn 432000? Bài 2: Có bao nhiêu cách sắp xếp chỗ ngồi cho mười người khách vào mười ghế kê... hiệu C A 3 Dấu hiệu chia hết:  Số chia hết cho 2 là những số có chữ số tận cùng là 0; 2; 4; 6; 8  Số chia hết cho 5 là những số có chữ số tận cùng là 0 hoặc 5  Số chia hết cho 3 là những số có tổng các chữ số chia hết cho 3  Số chia hết cho 9 là những số có tổng các chữ số chia hết cho 9 4 Số và chữ số: số có ba chữ số 128  Ghi chú: chữ số ... 2 Số các tổ hợp: Kí hiệu C n là số các tổ hợp chập k của n phần tử Ta có: k Cn  n! (0  k  n) (n, k  N) k!(n  k )! - Tài liệu lưu hành nội bộ - 23 Tài liệu hướng dẫn tự học môn Đại số và giải tích 11 Ví dụ: Một tổ gồm có 10 người gồm 6 nam và 4 nữ Cần lập một đoàn đại biểu gồm 5 người Hỏi: a) Có tất cả bao nhiêu cách lập? b) Có bao nhiêu cách lập đoàn đại biểu, trong đó có ba nam, hai nữ Giải: ... 20 - Tài liệu lưu hành nội bộ - Tài liệu hướng dẫn tự học môn Đại số và giải tích 11 §1.QUY TẮC ĐẾM Số phần tử hữu hạn của tập hợp A được kí hiệu n(A) hoặc A a) Nếu A = {a, b, c} thì số phần tử của tập hợp A là 3, ta viết n(A) = 3 hoặc A = 3 b) Nếu A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} và B = {2, 4, 6, 8} thì A\ B = {1, 3, 5, 7} - Số phần tử của tập hợp A là n(A) = 9 - Số phần tử của tập... - Tài liệu lưu hành nội bộ - 25 Tài liệu hướng dẫn tự học môn Đại số và giải tích 11 §3 NHỊ THỨC NEWTON I- CÔNG THỨC NHỊ THỨC NEWTON:  Khai triển hằng đẳng thức (a + b)3 và viết lại các hệ số dưới dạng tổ hợp chập k của 3 phần tử? Trong khai triển đó thành phần nào là số hạng? thành phần nào là hệ số của số hạng? 0 1 2 k n n (a  b)n  Cn a n  Cn a n1b... Ví dụ 2: Một hộp chứa 20 quả cầu đánh số từ 1 đến 20 Lấy ngẫu nhiên một quả Tính xác suất của các biến cố sau: a) A: "Nhận được quả cầu ghi số chẵn"; b) B: "Nhận được quả cầu ghi số chia hết cho 3"; c) A  B; d) C: "Nhận được quả cầu ghi số không chia hết cho 6" Giải: 32 - Tài liệu lưu hành nội bộ - Tài liệu hướng dẫn tự học môn Đại số và giải tích 11 ... - Tài liệu lưu hành nội bộ - 13 Tài liệu hướng dẫn tự học môn Đại số và giải tích 11 BÀI TẬP RÈN LUYỆN 1 Bài tập cơ bản: Bài 1: Giải các phương trình sau: 1 a) sin(x + 2) = ; b) sin3x = 1; 3 2x  1 3  )=- ; c) sin( d) sin(x + 200) = 3 3 2 2 Bài 2: Với những giá trò nào của x thì giá trò của các hàm số y = sin3x và y = sinx bằng nhau? Bài 3: Giải các phương trình sau: 2... - Tài liệu lưu hành nội bộ - 19 Tài liệu hướng dẫn tự học môn Đại số và giải tích 11 CHƯƠNG II TỔ HP - XÁC SUẤT - oOo -  CHUẨN BỊ KIẾN THỨC: 1 Tập hợp:  Tập rỗng:  là tập hợp không chứa phần tử nào  Tập con: A B A  B  x : x  A  x  B )  Số tập con của tập có n phần tử là 2n 2 Các phép toán trên tập hợp: Giao Hợp  A = B  A  B và B  A  Tính chất: a) A ... 16 - Tài liệu lưu hành nội bộ - Tài liệu hướng dẫn tự học môn Đại số và giải tích 11 BÀI TẬP RÈN LUYỆN 1 Bài tập cơ bản: Bài 1: Giải các phương trình sau: a) sin2x - sinx = 0; b) 2cos2x - 3cosx + 1 = 0; c) 2tan2x + 3tanx + 1 = 0 Bài 2: Giải các phương trình sau: a) cosx - 3 sinx = 2 ; b) 3 sin3x - cos3x = 2 ; c) 2sinx + 2cosx - 2 = 0; d) 5cos2x + 12sin2x - 13 = 0 Bài 3: Giải các phương... 18 - Tài liệu lưu hành nội bộ - Tài liệu hướng dẫn tự học môn Đại số và giải tích 11 BÀI TẬP RÈN LUYỆN 1 Bài tập cơ bản: Bài 1: a) Hàm số y = cos3x có phải là hàm số chẵn không? Tại sao? b) Hàm số y = tan(x . Tài liệu hướng dẫn tự học môn Đại số và giải tích 11 Tài liệu lưu hành nội bộ 4 §1. HÀM SỐ LƯNG GIÁC I- ĐỊNH NGHĨA: 1. Hàm số sin và hàm số côsin: a) Hàm số sin: x y x sinx B' A' B O A M . đònh nghóa hàm số chẵn, hàm số lẻ. Xét tính chẵn, lẻ của các hàm số y = sin(x), y = cos(x), y = tan(x) và y = cot(x). Tài liệu hướng dẫn tự học môn Đại số và giải tích 11 Tài liệu lưu hành. Tài liệu hướng dẫn tự học môn Đại số và giải tích 11 Tài liệu lưu hành nội bộ 1 MỘT SỐ KÍ HIỆU THÔNG DỤNG Kí hiệu Tên gọi Diễn giải P n Số các hoán vò của n phần