ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC Vũ Trọng Hiền MỘT SỐ BÀI TOÁN TỐI ƯU PHI TUYẾN QUY ĐƯỢC VỀ BÀI TOÁN QUI HOẠCH TUYẾN TÍNH LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thái Nguyên - 2013 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC Vũ Trọng Hiền MỘT SỐ BÀI TOÁN TỐI ƯU PHI TUYẾN QUY ĐƯỢC VỀ BÀI TOÁN QUI HOẠCH TUYẾN TÍNH Chuyên ngành: TOÁN ỨNG DỤNG Mã số: 60.46.01.12 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: GS. TS. Trần Vũ Thiệu Thái Nguyên - 2013 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 1 Mục lục Lời nói đầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 1. Kiến thức cơ sở về qui hoạch tuyến tính 4 1.1. Bài toán qui hoạch tuyến tính và tính chất . . . . . . . 4 1.1.1. Nội dung bài toán qui hoạch tuyến tính . . . . . . 4 1.1.2. Tính chất bài toán qui hoạch tuyến tính . . . . . 6 1.2. Qui hoạch tuyến tính đối ngẫu . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.2.1. Cặp bài toán đối ngẫu . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.2.2. Các quan hệ đối ngẫu . . . . . . . . . . . . . . . 10 1.3. Phương pháp đơn hình . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 1.3.1. Cơ sở của phương pháp . . . . . . . . . . . . . . . 11 1.3.2. Thuật toán đơn hình . . . . . . . . . . . . . . . . 14 2. Bài toán tối ưu không lồi dạng đặc biệt 17 2.1. Nội dung bài toán và ý nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . 17 2.2. Bài toán quy hoạch tuyến tính tương đương . . . . . . . 18 2.3. Thuật toán nới lỏng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 2.4. Ví dụ minh họa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 3. Bài toán mở rộng 29 3.1. Nội dung bài toán . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 3.2. Bài toán tuyến tính tương đương . . . . . . . . . . . . . 30 3.3. Một số trường hợp riêng . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 Kết luận 45 Tài liệu tham khảo 46 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 2 LỜI NÓI ĐẦU Qui hoạch tuyến tính (Linear Programming) là bài toán tối ưu đơn giản nhất. Đó là bài toán tìm cực tiểu (hay cực đại) của một hàm tuyến tính với các ràng buộc đẳng thức hay bất đẳng thức tuyến tính. Qui hoạch tuyến tính có nhiều ứng dụng rộng rãi trong lý thuyết và thực tiễn. Phương pháp đơn hình (do G. B. Dantzig đề xuất năm 1947) là phương pháp quen thuộc, có hiệu quả để giải bài toán qui hoạch tuyến tính và các bài toán đưa được về qui hoạch tuyến tính. Một số bài toán tối ưu phi tuyến, nói riêng là bài toán tối ưu lồi, có thể quy được về bài toán qui hoạch tuyến tính, nhờ đó việc giải bài toán được dễ dàng hơn. Chẳng hạn, bài toán có hàm mục tiêu là tổng (với hệ số dương) giá trị tuyệt đối của các biến (hàm mục tiêu lồi) có thể đưa được về bài toán với hàm mục tiêu tuyến tính, bằng cách thêm vào bài toán ban đầu các biến phụ. Luận văn này nhằm mục đích tìm hiểu và trình bày một số bài toán tối ưu phi tuyến không lồi dạng đặc biệt có thể giải được bằng các phương pháp của qui hoạch tuyến tính. Phát biểu nội dung bài toán và nêu cách đưa bài toán về qui hoạch tuyến tính, từ đó có thể áp dụng phương pháp đơn hình Dantzig để giải bài toán được xét. Luận văn gồm lời nói đầu, ba chương, kết luận và danh mục các tài liệu tham khảo. Chương 1 với tiêu đề "Kiến thức cơ sở về qui hoạch tuyến tính" trình bày nội dung và các tính chất cơ bản của bài toán qui hoạch tuyến tính, khái niệm bài toán đối ngẫu và các quan hệ đối ngẫu trong qui hoạch tuyến tính. Phương pháp đơn hình Dantzig giải bài toán qui hoạch tuyến tính được nhắc lại ở chương này, với đầy đủ cơ sở lý luận và ví dụ bằng số để minh họa. Chương 2 với tiêu đề "Bài toán không lồi dạng đặc biệt" xét một lớp bài toán tối ưu phi tuyến không lồi dạng đặc biệt: giới thiệu nội dung và ý nghĩa thực tế của bài toán, trình bày bài toán qui hoạch tuyến tính Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 3 tương đương, nêu thuật toán nới lỏng giải bài toán ban đầu và cuối cùng đưa ra ví dụ số minh họa cho thuật toán giải. Chương 3 với tiêu đề "Bài toán mở rộng" xét một dạng mở rộng của bài toán tối ưu phi tuyến không lồi đã đề cập tới ở Chương 2. Nghiên cứu một số tính chất nghiệm của bài toán và trình bày cách đưa bài toán về bài toán qui hoạch tuyến tính tương đương. Cuối chương nêu một số trường hợp riêng của bài toán. Do thời gian và kiến thức còn hạn chế nên chắc chắn luận văn còn có những thiếu sót nhất định, kính mong quý thầy cô và các bạn đóng góp ý kiến để tác giả tiếp tục hoàn thiện luận văn này. Nhân dịp này, tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến thầy hướng dẫn GS. TS. Trần Vũ Thiệu đã tận tình giúp đỡ trong suốt quá trình làm Luận văn. Tác giả trân trọng cảm ơn các thầy cô giáo Trường Đại học Khoa học – Đại học Thái Nguyên, Viện Toán học – Viện Hàn lâm Khoa học và Công nghệ Việt Nam, đã giảng dạy và tạo mọi điều kiện thuận lợi trong quá trình tác giả học tập và nghiên cứu. Tác giả cũng xin trân thành cảm ơn Ban Giám hiệu, tổ Khoa học Tự nhiên trường THPT Kim Ngọc – Bắc Quang – Hà Giang và tập thể bạn bè đồng nghiệp cùng gia đình đã quan tâm giúp đỡ, động viên tác giả hoàn thành tốt Luận văn này. Thái Nguyên, tháng 3 năm 2013 Tác giả Vũ Trọng Hiền Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 4 Chương 1. Kiến thức cơ sở về qui hoạch tuyến tính Chương này trình bày những kiến thức cơ sở về qui hoạch tuyến tính: các dạng bài toán qui hoạch tuyến tính, bài toán qui hoạch tuyến tính đối ngẫu, các quan hệ đối ngẫu trong qui hoạch tuyến tính và phương pháp đơn hình quen thuộc giải qui hoạch tuyến tính. Các kiến thức này sẽ cần đến ở chương sau. Nội dung của chương được tham khảo chủ yếu từ các tài liệu [1], [2] và [4]. 1.1. Bài toán qui hoạch tuyến tính và tính chất 1.1.1. Nội dung bài toán qui hoạch tuyến tính a) Bài toán tổng quát Bài toán này có dạng: Tìm các biến số x 1 , x 2 , , x n thỏa mãn điều kiện                    n  j=1 a ij x j ≤ b i , i = 1, , m 1 , (1.1) n  j=1 a ij x j ≥ b i , i = m 1 + 1, , m 1 + m 2 , (1.2) n  j=1 a ij x j = b i , i = m 1 + m 2 + 1, , m, (1.3) x j ≥ 0, j = 1, , n 1 , x j ≤ 0, j = n 1 + 1, , n 1 + n 2 ≤ n. (1.4) sao cho hàm f(x) = n  j=1 c j x j đạt cực tiểu. Ở đây a ij , b i , c j là các hằng số thực cho trước. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 5 Trong bài toán trên, f gọi là hàm mục tiêu, mỗi hệ thức ở (1.1) - (1.4) gọi là một ràng buộc. Mỗi ràng buộc (1.1) - (1.3) gọi là một ràng buộc chính (dạng đẳng thức hay bất đẳng thức), mỗi ràng buộc x j ≥ 0 hay x j ≤ 0 gọi là một ràng buộc về dấu. Điểm x = (x 1 , x 2 , , x n ) ∈ R n thỏa mãn mọi ràng buộc gọi là một điểm chấp nhận được hay một phương án. Tập hợp tất cả các phương án, ký hiệu là D, gọi là miền ràng buộc hay miền chấp nhận được. Một phương án đạt cực tiểu của hàm mục tiêu gọi là một phương án tối ưu hay một lời giải của bài toán đã cho. Bài toán có ít nhất một phương án tối ưu gọi là bài toán có lời giải. Bài toán không có phương án (miền ràng buộc rỗng D = Ø) hoặc có phương án nhưng không có phương án tối ưu, do hàm mục tiêu giảm vô hạn (bài toán tìm min) hoặc tăng vô hạn (bài toán tìm max), gọi là bài toán không có lời giải. b) Dạng chính tắc và dạng chuẩn tắc Người ta thường xét bài toán qui hoạch tuyến tính ở hai dạng sau đây • Dạng chính tắc            f(x) ≡ n  j=1 c j x j → min, n  j=1 a ij x j = b i , i = 1, 2, , m, x j ≥ 0, j = 1, , n (ràng buộc chính chỉ là các đẳng thức và mọi biến đều không âm). • Dạng chuẩn hay chuẩn tắc            f(x) ≡ n  j=1 c j x j → min, n  j=1 a ij x j ≥ b i , i = 1, 2, , m, x j ≥ 0, j = 1, , n. (ràng buộc chính chỉ gồm các bất đẳng thức ≥ đối với bài toán min hoặc ≤ đối với bài toán max và mọi biến đều không âm). Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 6 Để viết bài toán gọn hơn, ta dùng các ký hiệu véctơ và ma trận sau: A =      a 11 a 12 · · · a 1n a 21 a 22 · · · a 2n . . . . . . . . . . . . a m1 a m2 · · · a mn      , A j =      a 1j a 2j . . . a mj      , b =      b 1 b 2 . . . b m      , c =      c 1 c 2 . . . c n      , x =      x 1 x 2 . . . x n      , 0 =      0 0 . . . 0      . (A là ma trận m × n gồm các hệ số ở vế trái ràng buộc chính, A j là véctơ cột thứ j của ma trận A tương ứng với biến x j , b là véctơ các hệ số ở vế phải ràng buộc chính, c là véctơ các hệ số ở hàm mục tiêu, x là véctơ các ẩn số, 0 là véctơ không. Tất cả các véctơ này đều là các véctơ cột). Với các ký hiệu trên, bài toán qui hoạch tuyến tính chính tắc có dạng (với b ≥ 0): min {f(x) = c, x : Ax = b, x ≥ 0} hay max {f(x) = c, x : Ax = b, x ≥ 0} (c, x là tích vô hướng của hai véctơ c và x). Bài toán qui hoạch tuyến tính chuẩn tắc có dạng (không đòi hỏi b ≥ 0): min {f(x) = c, x : Ax ≥ b, x ≥ 0} hay max {f(x) = c, x : Ax ≤ b, x ≥ 0} . 1.1.2. Tính chất bài toán qui hoạch tuyến tính Định lý 1.1. Tập hợp D các phương án của bài toán qui hoạch tuyến tính (dạng bất kỳ) là một tập hợp lồi. Hơn nữa, đó là một tập hợp lồi đa diện (khúc lồi). Định lý 1.2. Nếu một qui hoạch tuyến tính có ít nhất một phương án và hàm mục tiêu bị chặn dưới trong miền ràng buộc (đối với bài toán Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 7 min) thì bài toán chắc chắn có phương án tối ưu. Định lý 1.3. Nếu x 0 là một phương án tối ưu của bài toán qui hoạch tuyến tính (dạng bất kỳ) và nếu x 1 , x 2 (x 1 = x 2 ) là phương án thỏa mãn x 0 = λx 1 + (1 − λ)x 2 , 0 < λ < 1, thì x 1 , x 2 cũng là các phương án tối ưu. Định nghĩa 1.1. Một lời giải chấp nhận được x ∈ D mà đồng thời là một đỉnh của D gọi là một phương án cực biên hay một lời giải cơ sở, nghĩa là x không thể biểu diễn dưới dạng tổ hợp lồi của bất kỳ hai phương án (lời giải chấp nhận được) khác của D. Định lý 1.4. Để một phương án x 0 =  x 0 1 , x 0 2 , , x 0 n  của bài toán qui hoạch tuyến tính dạng chính tắc là phương án cực biên thì cần và đủ là các véctơ cột A j của ma trận A ứng với các thành phần x 0 j > 0 là độc lập tuyến tính. Định lý 1.5. Nếu bài toán qui hoạch tuyến tính dạng chính tắc có ít nhất một phương án thì nó cũng có phương án cực biên (miền ràng buộc D có đỉnh). Định lý 1.6. Nếu bài toán qui hoạch tuyến tính dạng chính tắc có phương án tối ưu thì cũng có phương án cực biên tối ưu. 1.2. Qui hoạch tuyến tính đối ngẫu 1.2.1. Cặp bài toán đối ngẫu Cho một qui hoạch tuyến tính, ký hiệu (P ), dưới dạng chuẩn (P ) f(x) = c 1 x 1 + c 2 x 2 + + c n x n → min, a i1 x 1 + a i2 x 2 + + a in x n ≥ b i , i = 1, 2, , m, x j ≥ 0, j = 1, 2, , n, Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 8 trong đó a ij , b i , c j là các hệ số cho trước; x = (x 1 , x 2 , , x n ) ∈ R n là véctơ biến cần tìm. Ta gọi đối ngẫu của (P ) là qui hoạch tuyến tính, ký hiệu (Q), có dạng: (Q) g(y) = b 1 y 1 + b 2 y 2 + + b m y m → max, a 1j y 1 + a 2j y 2 + + a mj y m ≤ c j , j = 1, 2, , n, y i ≥ 0, i = 1, 2, , m, ở đây y = (y 1 , y 2 , , y m ) ∈ R m là véctơ biến cần tìm. Dùng ký hiệu véctơ và ma trận, ta có thể viết Bài toán gốc: Bài toán đối ngẫu: f(x) = c, x → min, g(y) = b, y → max, Ax ≥ b, A T y ≤ c, x ≥ 0. y ≥ 0. (A T là ma trận chuyển vị của A, a, b là tích vô hướng của hai véctơ a và b). Tương tự, ta định nghĩa đối ngẫu của qui hoạch tuyến tính dạng chính tắc f(x) = c 1 x 1 + c 2 x 2 + + c n x n → min, a i1 x 1 + a i2 x 2 + + a in x n = b i , i = 1, 2, , m, x j ≥ 0, j = 1, 2, , n, là bài toán g(y) = b 1 y 1 + b 2 y 2 + + b m y m → max, a 1j y 1 + a 2j y 2 + + a mj y m ≤ c j , j = 1, 2, , n, Ở đây, do các ràng buộc chính có dấu = nên các biến đối ngẫu tương ứng không có ràng buộc về dấu (các biến y i có dấu tùy ý). Dưới dạng véctơ - ma trận, ta có thể viết Bài toán gốc: Bài toán đối ngẫu: Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn [...]... toán tối ưu phi tuyến không lồi đã xét ở Chương 2 Khảo sát một số tính chất đáng chú ý về nghiệm của bài toán và nêu cách đưa bài toán về bài toán qui hoạch tuyến tính tương đương Cuối chương xét một số trường hợp riêng của bài toán Nội dung của chương được tham khảo chủ yếu từ các tài liệu [3], [4] và [6] 3.1 Nội dung bài toán Xét bài toán tối ưu không lồi sau đây Tìm cực tiểu cT z (Q) với điều kiện... α, β + là số thực (α ≤ β) Qui hoạch tuyến tính tương đương được giải bằng thuật toán nới lỏng thích hợp Thuật toán được minh họa bằng ví dụ số đơn giản Chương sau sẽ đề cập tới mô hình mở rộng của bài toán đã xét ở chương này Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 29 Chương 3 Bài toán mở rộng Chương này trình bày một mở rộng của bài toán tối ưu phi tuyến không... của nó thì bài toán đối ngẫu không có bất kỳ một phương án nào c) Nếu hàm mục tiêu của bài toán đối ngẫu không bị chặn trên trong miền ràng buộc của nó thì bài toán gốc không có bất kỳ một phương án nào d) Nếu x∗ là một phương án của bài toán gốc, y ∗ là một phương án của bài toán đối ngẫu và f (x∗ ) = g(y ∗ ) thì x∗ là phương án tối ưu của bài toán gốc và y ∗ là phương án tối ưu của bài toán đối ngẫu... nhận được bảng 3 Trong bảng này mọi δk ≤ 0, nên phương án x2 = (1; 1; 0; 2; 0; 0) là tối ưu với fmin = f (x2 ) = −8 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 17 Chương 2 Bài toán tối ưu không lồi dạng đặc biệt Chương này đề cập tới một lớp bài toán tối ưu phi tuyến không lồi dạng đặc biệt: giới thiệu nội dung và ý nghĩa thực tế của bài toán, trình bày bài toán qui hoạch. .. bài toán tuyến tính tương đương Sau khi nhận được nghiệm tối ưu z ∗ của bài toán tương đương ∗ ta có thể dễ dàng xác định được x∗ , y ∗ sao cho zi∗ = x∗ yi với mọi i = i 1, 2, , p, bằng cách giải một hệ bất đẳng thức tuyến tính hoặc nhờ các tính toán đơn giản trong trường hợp biết tường minh các ràng buộc của bài toán tương đương Kỹ thuật giải nêu ở chương này đặc biệt có hiệu quả đối với các bài toán. .. tất cả các ràng buộc của bài toán mà có thể xây dựng dần từng ràng buộc, khi cần đến trong quá trình giải 2.2 Bài toán quy hoạch tuyến tính tương đương Trong mục này ta sẽ nêu cách đưa bài toán (P) về bài toán qui hoạch tuyến tính tương đương Muốn thế, ta phân chia các hệ số di (i = 1, 2, , n) thành hai tập con rời nhau: I + = {i : di ≥ 0} và I − = {i : di < 0} (I + ∩ I − = Ø) Số hóa bởi Trung tâm Học... thành biến phi cơ sở đối với x1 Định lý 1.15 Nếu bài toán qui hoạch tuyến tính có phương án và mọi phương án cực biên của bài toán đều không suy biến thì thuật toán đơn hình sẽ có phương án tối ưu (hữu hạn hay vô cực) sau một số hữu hạn lần thay đổi phương án cực biên 1.3.2 Thuật toán đơn hình Thuật toán đơn hình xuất phát từ một đỉnh của tập ràng buộc D Tiếp đó kiểm tra xem đỉnh đó đã tối ưu chưa,... trùng lặp trong dãy nghiệm tối ưu z 1 , z 2 , , z k , do thuật toán nới lỏng sinh ra trong quá trình giải (L) Do tập C gồm một số hữu hạn phần tử (mỗi phần tử là một tập con I ⊂ {1, 2, , n}) nên thuật toán phải dừng và cho nghiệm tối ưu của bài toán (L) sau một số hữu hạn vòng lặp Như đã chỉ ra trong chứng minh Định lý 2.1, khi đã nhận được nghiệm tối ưu z của (L) ta dễ dàng tìm được x ∈ X, y ∈ Y, α ≤... ứng các yêu cầu của kế hoạch đề ra và phù hợp với khả năng vật tư, nguồn vốn hiện có (tức z ∈ S) với tổng chi phí nhỏ nhất (tức cT z đạt cực tiểu)? Do các ràng buộc zi = xi yi , i = 1, 2, , n nên cấu trúc tuyến tính của bài toán bị phá vỡ và (P) trở thành bài toán tối ưu phi tuyến không lồi theo các biến x, y và z Về thực chất (P) có thể xem như bài toán qui hoạch song tuyến tính với các ràng buộc... θ0 , j = s Tập chỉ số mới J1 = (J0 \ {ir }) ∪ {s} Tính các hệ số khai triển mới theo zik = zrk zis , i = r zrs (i = 1, 2, , m, m + 1; k = 0, 1, , n) zrk zrs , i=r zik − Trở lại thực hiện Bước 1 và tiếp tục thuật toán cho tới khi nhận được phương án tối ưu (Bước 1) hoặc phát hiện bài toán không có phương án tối ưu (Bước 2) thì dừng quá trình giải Ví dụ Giải bài toán qui hoạch tuyến tính sau đây: f = . giải bài toán qui hoạch tuyến tính và các bài toán đưa được về qui hoạch tuyến tính. Một số bài toán tối ưu phi tuyến, nói riêng là bài toán tối ưu lồi, có thể quy được về bài toán qui hoạch tuyến. Hiền MỘT SỐ BÀI TOÁN TỐI ƯU PHI TUYẾN QUY ĐƯỢC VỀ BÀI TOÁN QUI HOẠCH TUYẾN TÍNH LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thái Nguyên - 2013 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC Vũ Trọng Hiền MỘT SỐ BÀI TOÁN. hoạch tuyến tính 4 1.1. Bài toán qui hoạch tuyến tính và tính chất . . . . . . . 4 1.1.1. Nội dung bài toán qui hoạch tuyến tính . . . . . . 4 1.1.2. Tính chất bài toán qui hoạch tuyến tính . .