Đang tải... (xem toàn văn)
Bài tập tuyển sinh vào lớp 10 ( nâng cao )A Phần đại số :Câu 1. Cho biểu thức . TÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc Q = Câu 2. Gi¶i ph¬ng tr×nh : Câu 3. Gi¶i hÖ ph¬ng tr×nh : Câu 4. T×m tÊt c¶ c¸c sè nguyªn d¬ng a tho¶ m•n ®¼ng thøc sau : Câu 5a. Giải phương trình: .b. Giải hệ phương trình: Câu 6 a. Chứng minh rằng: , với a, b là hai số dương.b. Cho a, b là hai số dương thỏa mãn . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: Câu 7 a) Cho x, y, z, a, b, c là các số dương. Chứng minh rằng: .b) Từ đó suy ra : Câu 8a) Giải phương trình: .b) Giải hệ phương trình: Câu 9.Tìm tất cả các số nguyên x, y, z thỏa mãn :3x2 + 6y2 +2z2 + 3y2z2 18x = 6.Câu 10. a) Cho x, y, z là 3 số thực thỏa: . Chứng minh rằng .b) Giải phương trình: .Câu 11 a) Giải phương trình: b) Giải bất phương trình: |2x7| < x2 + 2x + 2c) Giải hệ phương trình: Câu 12 a) Cho , tính giá trị của biểu thức: b) Tìm số tự nhiên n sao cho là số chính phương.Câu 13Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: Câu 14. Câu 15 .Cho phương trình ( 3) có hai nghiệm . Hãy lập phương trình bậc hai ẩn y có hai nghiệm và Bài 16.a) Giải phương trình .b) Giải hệ phương trình Bài 17.a) Chứng minh rằng nếu thì .b) Cho . Chứng minh rằng .Câu 18. Giải phương trình: Câu 19. Cho hai số dương a, b thỏa mãn: a + b . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P = .Câu 20.1)Giải phương trình .Giải hệ phương trình .Câu 21.1)Phân tích đa thức sau thành nhân tử .2)Cho x, y thỏa mãn . Tính giá trị của biểu thức .Câu 22.Cho 3 số a, b, c thỏa mãn . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức .Câu 23Cho phương trình ( với )Chứng minh rằng là một nghiệm của phương trình đã cho.Câu 24 Giải hệ phương trình ( với ).Câu 25a)Giải hệ phương trình: b)Giải phương trình: .Câu 26. Cho là các số thực dương thỏa mãn . Chứng minh: Câu 27.1.Giải phương trình: Giải hệ phương trình: Bài 28. :Tìm nghiệm nguyên của phương trình: .BPhần hình học :Câu 1: Cho đường tròn tâm O đường kính AB. Vẽ dây cung CD vuông góc với AB tại I (I nằm giữa A và O ). Lấy điểm E trên cung nhỏ BC ( E khác B và C ), AE cắt CD tại F. Chứng minh: a) BEFI là tứ giác nội tiếp đường tròn. b) AE.AF = AC2. c) Khi E chạy trên cung nhỏ BC thì tâm đường tròn ngoại tiếp ∆CEF luôn thuộc một đường thẳng cố định.Câu 2: Từ một điểm A nằm ngoài đường tròn (O;R) ta vẽ hai tiếp tuyến AB, AC với đường tròn (B, C là tiếp điểm). Trên cung nhỏ BC lấy một điểm M, vẽ MI AB, MK AC (I AB,K AC) a) Chứng minh: AIMK là tứ giác nội tiếp đường tròn. b) Vẽ MP BC (P BC). Chứng minh: . c) Xác định vị trí của điểm M trên cung nhỏ BC để tích MI.MK.MP đạt giá trị lớn nhất.Câu 3: Cho tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp trong đường tròn (O;R). Các đường cao BE và CF cắt nhau tại H. a) Chứng minh: AEHF và BCEF là các tứ giác nội tiếp đường tròn. b) Gọi M và N thứ tự là giao điểm thứ hai của đường tròn (O;R) với BE và CF. Chứng minh: MN EF. c) Chứng minh rằng OA EF.Câu 4: Cho đường tròn (O;R); AB và CD là hai đường kính khác nhau của đường tròn. Tiếp tuyến tại B của đường tròn (O;R) cắt các đường thẳng AC, AD thứ tự tại E và F. a) Chứng minh tứ giác ACBD là hình chữ nhật. b) Chứng minh ∆ACD ∆CBE c) Chứng minh tứ giác CDFE nội tiếp được đường tròn. d) Gọi S, S1, S2 thứ tự là diện tích của ∆AEF, ∆BCE và ∆BDF. Chứng minh: . Câu 5. Cho hình vuông ABCD và tứ giác MNPQ có bốn đỉnh thuộc bốn cạnh AB, BC, CD, DA của hình vuông.a) Chứng minh rằng SABCD (MN + NP + PQ + QM).b) Xác định vị trí của M, N, P, Q để chu vi tứ giác MNPQ nhỏ nhất.Câu 6. Cho tam giác đều ABC cạnh a. Trên các cạnh AB, BC, CA lần lượt lấy các điểm D, E, F sao cho D không trùng với A, B và .a) Chứng minh rằng AF.BE = AD.DB.b) Chứng minh . Điểm D ở vị trí nào thì dấu đẳng thức xảy ra?Câu 7. Cho đường tròn (O;R), đường kính AB. Gọi C là trung điểm của OB, O’ là tâm đường tròn đường kính AC. Đường thẳng d qua A cắt đường tròn (O) tại D ( ) và cắt đường tròn (O’) tại K ( ). BK cắt CD tại H. a) Tính tỷ số .b) Khi d quay quanh A, điểm H chạy trên đường nào?Câu 8.Cho hai điểm A, B cố định. Một điểm C khác B di chuyển trên đường tròn (O) đường kính AB sao cho . Tiếp tuyến của đường tròn (O) tại C cắt tiếp tuyến tại A ở D, cắt AB ở E. Hạ AH vuông góc với CD tại H.a) Chứng minh rằng .b) Chứng minh rằng là một hằng số.c) Giả sử đường thẳng đi qua E, vuông góc với AB cắt AC, BD lần lượt tại F, G. Gọi I là trung điểm AE. Chứng minh rằng trực tâm tam giác IFG là một điểm cố định.Câu 9.Cho tam giác ABC vuông tại A có AB < AC ngoại tiếp đường tròn tâm O. Gọi D, E, F lần lượt là tiếp điểm của (O) với các cạnh AB, AC, BC; BO cắt EF tại I. M là điểm di chuyển trên đoạn CE.1)Tính .2)Gọi H là giao điểm của BM và EF. Chứng minh rằng nếu AM = AB thì tứ giác ABHI nội tiếp.3)Gọi N là giao điểm của BM với cung nhỏ EF của (O), P và Q lần lượt là hình chiếu của N trên các đường thẳng DE, DF. Xác định vị trí của điểm M để PQ lớn nhất.Bài 10.Cho A và M là hai điểm trên đường tròn tâm O, bán kính R; B là điểm đối xứng của O qua A và D là trung điểm của OA 1.Chứng minh hai tam giác và đồng dạng. 2.Tính độ dài MB khi .3.Cho C là điểm cố định nằm ngoài đường tròn, xác định vị trí của M trên đường tròn để tổng 2MC + MB đạt giá trị nhỏ nhất.Câu 11 : a) Từ một điểm A nằm ngoài (O;R) kẻ hai tiếp tuyến AM, AN (M,N (O;R)). Trên cung nhỏ MN lấy điểm P khác M và N. Tiếp tuyến tại P cắt AM tại B, cắt AN tại C. Cho A cố định và AO = a. Chứng minh chu vi tam giác ABC không đổi khi P di động trên cung nhỏ MN. Tính giá trị không đổi ấy theo a và R.b) Cho tam giác ABC có diện tích bằng 36 (đơn vị diện tích). Trên cạnh BC và cạnh CA lần lượt lấy điểm D và E sao cho DC = 3DB và EA = 2EC; AD cắt BE tại I. Tính diện tích tam giác BID.Câu 12: Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Gọi M là hình chiếu của H trên AB, N là hình chiếu của H trên AC.a) Chứng minh rằng AM.AB = AN.ACb) Tam giác vuông ABC có thêm điều kiện gì thì tứ giác AMHN có diện tích lớn nhất? Biết BC = a (Không đổi). Câu 13Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp đường tròn (O), AB < AC. Các tiếp tuyến tại B và C của đường tròn (O) cắt nhau tại E; AE cắt đường tròn (O) tại D (khác điểm A). Kẻ đường thẳng (d) qua điểm E và song song với tiếp tuyến tại A của đường tròn (O), đường thẳng (d) cắt các đường thẳng AB, AC lần lượt tại P và Q. Gọi M là trung điểm của đoạn thẳng BC. Đường thẳng AM cắt đường tròn (O) tại N (khác điểm A).a. Chứng minh rằng: và .b. Chứng minh các đường tròn ngoại tiếp của ba tam giác ABC, EBP, ECQ cùng đi qua một điểm.c. Chứng minh E là tâm đường tròn ngoại tiếp của tứ giác BCQP.d. Chứng minh tứ giác BCND là hình thang cân.Câu 14. Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đường tròn (O), có AB < AC. Hạ các đường cao BE và CF vµ AQ chóng c¾t nhau t¹i H , M là giao điểm của EF và AH. Vẽ đường kính AK cắt cạnh BC tại N. Gäi S , R , T lÇn lît lµ h×nh chiÕu cña H trªn c¸c c¹nh EF , FQ , QE . Gäi I , P theo thø tù lµ h×nh chiÕu cña M vµ H trªn c¹nh AK.a)Chøng minh tØ sè : Chứng minh ®¼ng thøc : MI.AH2 = HP.AM2
Bi tp tuyn sinh vo lp 10 ( nõng cao ) A- Phn i s : Cõu 1. Cho biu thc 01 2 = xx . Tính giá trị của biểu thức Q = 201333 201333 236 3456 + ++ xxxx xxxx Cõu 2. Giải phơng trình : ( ) ( ) [ ] 1131124 2 2 222 ++++=+++ xxxxxx Cõu 3. Giải hệ phơng trình : +=+ =+ 4 2 2 23 9 723 19327 y x yx yxy Cõu 4. Tìm tất cả các số nguyên dơng a thoả mãn đẳng thức sau : ( ) ( ) ( ) 2 13 2 224 2 132 22112222 +++++=+++++ aaaa aaaaa Cõu 5 a. Gii phng trỡnh: 1 5 4 3 2 4x x x x+ + = + + . b. Gii h phng trỡnh: 2 ( 2 2)(2 ) 2 (5 2) 2 7 3 x y x y x y y x y + + = = Cõu 6 a. Chng minh rng: 3 3 ( )a b ab a b+ + , vi a, b l hai s dng. b. Cho a, b l hai s dng tha món 1a b + . Tỡm giỏ tr nh nht ca biu thc: ( ) ( ) 2 3 3 2 2 3 . 2 F a b a b ab= + + + + Cõu 7 a) Cho x, y, z, a, b, c l cỏc s dng. Chng minh rng: 3 3 3 abc + xyz (a + x)(b + y)(c + z) . b) T ú suy ra : 3 3 3 3 3 3 3 3 3 2 3+ + Câu 8 a) Giải phương trình: x + 3 + 6 - x (x + 3)(6 - x) = 3− . b) Giải hệ phương trình: 2 x + y + z = 1 2x + 2y - 2xy + z = 1 Câu 9.Tìm tất cả các số nguyên x, y, z thỏa mãn : 3x 2 + 6y 2 +2z 2 + 3y 2 z 2 -18x = 6. Câu 10. a) Cho x, y, z là 3 số thực thỏa: 0x y z+ + = . Chứng minh rằng 3 3 3 3x y z xyz+ + = . b) Giải phương trình: ( ) ( ) ( ) 3 3 3 1005 1007 2 - 2012 0x x x- + - + = . Câu 11 a) Giải phương trình: 2 2 2 8 3 4 8 18x x x x − − − − = b) Giải bất phương trình: |2x-7| < x 2 + 2x + 2 c) Giải hệ phương trình: =+− =−+ 85))(( 45))(( 22 22 yxyx yxyx Câu 12 a) Cho 0a b c + + = , tính giá trị của biểu thức: 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 P b c a a c b a b c = + + + − + − + − b) Tìm số tự nhiên n sao cho 2 6A n n = + + là số chính phương. Câu 13Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 2221616 2 10 2 10 )1()( 4 1 2 1 yxyx x y y x Q +−++ += Câu 14. Câu 15 . Cho phương trình 2 2012 x 2011 1 0x− + = ( 3) có hai nghiệm 1 2 ,x x . Hãy lập phương trình bậc hai ẩn y có hai nghiệm 2 1 1 1y x= + và 2 2 2 1y x= + Bài 16. a) Giải phương trình 7 5 1 3 13 3 x x x − − − + = . b) Giải hệ phương trình 2 2 2 2 2 3 2 3 x xy y y x y + = − + − = Bài 17. a) Chứng minh rằng nếu 1x y≥ ≥ thì 1 1 x y x y + ≥ + . b) Cho 1 , , 2a b c≤ ≤ . Chứng minh rằng ( ) 1 1 1 10a b c a b c + + + + ≤ ÷ . C â u 18. Giải phương trình: 7 2 (2 ) 7x x x x+ − = + − Câu 19. Cho hai số dương a, b thỏa mãn: a + b ≤ 2 2 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P = 1 1 a b + . Câu 20. 1) Giải phương trình 2 4 2 (x - 4x+11)(x - 8x +21) 35 = . Giải hệ phương trình ( ) ( ) 2 2 2 2 x+ x +2012 y+ y +2012 2012 x + z - 4(y+z)+8 0 = = . Câu 21. 1) Phân tích đa thức sau thành nhân tử 2 2 2 a (b-2c)+b (c-a)+2c (a-b)+abc . 2) Cho x, y thỏa mãn 2 2 3 3 x y- y +1+ y+ y +1 = . Tính giá trị của biểu thức 4 3 2 2 A x +x y+3x +xy- 2y +1 = . Câu 22. Cho 3 số a, b, c thỏa mãn 0 a b c 1 ≤ ≤ ≤ ≤ . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức 1 1 1 B (a+b+c+3) + + a+1 b+1 c+1 ÷ = . Câu 23 Cho phương trình 4 2 16 32 0x x− + = ( với x R ∈ ) Chứng minh rằng 6 3 2 3 2 2 3x = − + − + + là một nghiệm của phương trình đã cho. Câu 24 Giải hệ phương trình 2 ( 1)( 1) 6 2 ( 1)( 1) yx 6 x x y xy y y x + + + = − + + + = ( với ,x R y R∈ ∈ ). Câu 25 a) Giải hệ phương trình: ( ) 1 5 , , z 2 xy x y yz y z x y z x z x = + + = + + ∈ = + + ¡ b) Giải phương trình: ( ) 2 2 3 2 1 6 3 1 2 2 2 1 ,x x x x x x x + + + − + = + + + + − ∈ ¡ . Câu 26. Cho , ,a b c là các số thực dương thỏa mãn 1abc = . Chứng minh: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 3 1 1 1 1 1 1 4 a b c a b b c c a + + ≥ + + + + + + Câu 27. 1. Giải phương trình: 2 2 2 4 4 4x x x+ − = − Giải hệ phương trình: 3 3 3 2 2 4( ) 1 x y x y x y + = + + = Bài 28. :Tìm nghiệm nguyên của phương trình: 3 3 2 2 5x y x y xy+ − − = . B-Phần hình học : Câu 1: Cho đường tròn tâm O đường kính AB. Vẽ dây cung CD vuông góc với AB tại I (I nằm giữa A và O ). Lấy điểm E trên cung nhỏ BC ( E khác B và C ), AE cắt CD tại F. Chứng minh: a) BEFI là tứ giác nội tiếp đường tròn. b) AE.AF = AC 2 . c) Khi E chạy trên cung nhỏ BC thì tâm đường tròn ngoại tiếp ∆CEF luôn thuộc một đường thẳng cố định. Câu 2: Từ một điểm A nằm ngoài đường tròn (O;R) ta vẽ hai tiếp tuyến AB, AC với đường tròn (B, C là tiếp điểm). Trên cung nhỏ BC lấy một điểm M, vẽ MI ⊥ AB, MK ⊥ AC (I ∈ AB,K ∈ AC) a) Chứng minh: AIMK là tứ giác nội tiếp đường tròn. b) Vẽ MP ⊥ BC (P ∈ BC). Chứng minh: · · MPK MBC= . c) Xác định vị trí của điểm M trên cung nhỏ BC để tích MI.MK.MP đạt giá trị lớn nhất. Câu 3: Cho tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp trong đường tròn (O;R). Các đường cao BE và CF cắt nhau tại H. a) Chứng minh: AEHF và BCEF là các tứ giác nội tiếp đường tròn. b) Gọi M và N thứ tự là giao điểm thứ hai của đường tròn (O;R) với BE và CF. Chứng minh: MN // EF. c) Chứng minh rằng OA ⊥ EF. Câu 4: Cho đường tròn (O;R); AB và CD là hai đường kính khác nhau của đường tròn. Tiếp tuyến tại B của đường tròn (O;R) cắt các đường thẳng AC, AD thứ tự tại E và F. a) Chứng minh tứ giác ACBD là hình chữ nhật. b) Chứng minh ∆ACD ~ ∆CBE c) Chứng minh tứ giác CDFE nội tiếp được đường tròn. d) Gọi S, S 1 , S 2 thứ tự là diện tích của ∆AEF, ∆BCE và ∆BDF. Chứng minh: 1 2 S S S+ = . Câu 5. Cho hình vuông ABCD và tứ giác MNPQ có bốn đỉnh thuộc bốn cạnh AB, BC, CD, DA của hình vuông. a) Chứng minh rằng S ABCD AC 4 ≤ (MN + NP + PQ + QM). b) Xác định vị trí của M, N, P, Q để chu vi tứ giác MNPQ nhỏ nhất. Câu 6. Cho tam giác đều ABC cạnh a. Trên các cạnh AB, BC, CA lần lượt lấy các điểm D, E, F sao cho D không trùng với A, B và · 0 60EDF = . a) Chứng minh rằng AF.BE = AD.DB. b) Chứng minh 2 . 4 a AF BE ≤ . Điểm D ở vị trí nào thì dấu đẳng thức xảy ra? Câu 7. Cho đường tròn (O;R), đường kính AB. Gọi C là trung điểm của OB, O’ là tâm đường tròn đường kính AC. Đường thẳng d qua A cắt đường tròn (O) tại D ( D A≠ ) và cắt đường tròn (O’) tại K ( K A≠ ). BK cắt CD tại H. a) Tính tỷ số HC CD . b) Khi d quay quanh A, điểm H chạy trên đường nào? Câu 8. Cho hai điểm A, B cố định. Một điểm C khác B di chuyển trên đường tròn (O) đường kính AB sao cho AC BC> . Tiếp tuyến của đường tròn (O) tại C cắt tiếp tuyến tại A ở D, cắt AB ở E. Hạ AH vuông góc với CD tại H. a) Chứng minh rằng . .AD CE CH DE= . b) Chứng minh rằng .OD BC là một hằng số. c) Giả sử đường thẳng đi qua E, vuông góc với AB cắt AC, BD lần lượt tại F, G. Gọi I là trung điểm AE. Chứng minh rằng trực tâm tam giác IFG là một điểm cố định. Câu 9. Cho tam giác ABC vuông tại A có AB < AC ngoại tiếp đường tròn tâm O. Gọi D, E, F lần lượt là tiếp điểm của (O) với các cạnh AB, AC, BC; BO cắt EF tại I. M là điểm di chuyển trên đoạn CE. 1) Tính · BIF . 2) Gọi H là giao điểm của BM và EF. Chứng minh rằng nếu AM = AB thì tứ giác ABHI nội tiếp. 3) Gọi N là giao điểm của BM với cung nhỏ EF của (O), P và Q lần lượt là hình chiếu của N trên các đường thẳng DE, DF. Xác định vị trí của điểm M để PQ lớn nhất. Bài 10. Cho A và M là hai điểm trên đường tròn tâm O, bán kính R; B là điểm đối xứng của O qua A và D là trung điểm của OA 1. Chứng minh hai tam giác OMD∆ và OBM∆ đồng dạng. 2. Tính độ dài MB khi · 0 60MOA = . 3. Cho C là điểm cố định nằm ngoài đường tròn, xác định vị trí của M trên đường tròn để tổng 2MC + MB đạt giá trị nhỏ nhất. Câu 11 : a) Từ một điểm A nằm ngoài (O;R) kẻ hai tiếp tuyến AM, AN (M,N ∈ (O;R)). Trên cung nhỏ MN lấy điểm P khác M và N. Tiếp tuyến tại P cắt AM tại B, cắt AN tại C. Cho A cố định và AO = a. Chứng minh chu vi tam giác ABC không đổi khi P di động trên cung nhỏ MN. Tính giá trị không đổi ấy theo a và R. b) Cho tam giác ABC có diện tích bằng 36 (đơn vị diện tích). Trên cạnh BC và cạnh CA lần lượt lấy điểm D và E sao cho DC = 3DB và EA = 2EC; AD cắt BE tại I. Tính diện tích tam giác BID. Câu 12: Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Gọi M là hình chiếu của H trên AB, N là hình chiếu của H trên AC. a) Chứng minh rằng AM.AB = AN.AC b) Tam giác vuông ABC có thêm điều kiện gì thì tứ giác AMHN có diện tích lớn nhất? Biết BC = a (Không đổi). Cõu 13 Cho tam giỏc ABC nhn ni tip ng trũn (O), AB < AC. Cỏc tip tuyn ti B v C ca ng trũn (O) ct nhau ti E; AE ct ng trũn (O) ti D (khỏc im A). K ng thng (d) qua im E v song song vi tip tuyn ti A ca ng trũn (O), ng thng (d) ct cỏc ng thng AB, AC ln lt ti P v Q. Gi M l trung im ca on thng BC. ng thng AM ct ng trũn (O) ti N (khỏc im A). a. Chng minh rng: 2 .EB ED EA= v BA CA BD CD = . b. Chng minh cỏc ng trũn ngoi tip ca ba tam giỏc ABC, EBP, ECQ cựng i qua mt im. c. Chng minh E l tõm ng trũn ngoi tip ca t giỏc BCQP. d. Chng minh t giỏc BCND l hỡnh thang cõn. Cõu 14. Cho tam giỏc nhn ABC ni tip ng trũn (O), cú AB < AC. H cỏc ng cao BE v CF và AQ chúng cắt nhau tại H , M l giao im ca EF v AH. V ng kớnh AK ct cnh BC ti N. Gọi S , R , T lần lợt là hình chiếu của H trên các cạnh EF , FQ , QE . Gọi I , P theo thứ tự là hình chiếu của M và H trên cạnh AK. a) Chứng minh tỉ số : ( ) 2013 671 = ++ HR HTHRHS Chng minh đẳng thức : MI.AH 2 = HP.AM 2 . + 3y 2 z 2 -18x = 6. Câu 10. a) Cho x, y, z là 3 số thực thỏa: 0x y z+ + = . Chứng minh rằng 3 3 3 3x y z xyz+ + = . b) Giải phương trình: ( ) ( ) ( ) 3 3 3 100 5 100 7 2 - 2012 0x x x- + -. (khỏc im A). K ng thng (d) qua im E v song song vi tip tuyn ti A ca ng trũn (O), ng thng (d) ct cỏc ng thng AB, AC ln lt ti P v Q. Gi M l trung im ca on thng BC. ng thng AM ct ng trũn (O) ti. cho 2 6A n n = + + là số chính phương. Câu 13Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 2221616 2 10 2 10 )1()( 4 1 2 1 yxyx x y y x Q +−++ += Câu 14. Câu 15 . Cho phương trình 2