Số hóa bởi trung tâm học liệu http://lrc.tnu.edu.vn/ ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC  NGUYỄN VĂN HÙNG BÀI TOÁN QUI HOẠCH PHÂN TUYẾN TÍNH LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thái Nguyên - 2013 Số hóa bởi trung tâm học liệu http://lrc.tnu.edu.vn/ ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC  NGUYỄN VĂN HÙNG BÀI TOÁN QUI HOẠCH PHÂN TUYẾN TÍNH Chuyên ngành: TOÁN ỨNG DỤNG Mã số : 60.46.01.12 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: GS. TS. TRẦN VŨ THIỆU Thái Nguyên - 2013 Mục lục Mở đầu 3 1 Kiến thức chuẩn bị 5 1.1 Tập lồi và tập lồi đa diện . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.2 Hàm lồi, hàm lõm và mở rộng . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.3 Cực tiểu địa phương và tồn cục . . . . . . . . . . . . . . . . 11 2 Bài tốn qui hoạch phân tuyến tính 15 2.1 Bài tốn và tính chất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 2.2 Dạng chính tắc và dạng tổng qt . . . . . . . . . . . . . . . 18 2.3 Liên hệ với quy hoạch tuyến tính . . . . . . . . . . . . . . . . 20 2.4 Bài tốn hai biến số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 2.4.1 Lời giải tối ưu duy nhất . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 2.4.2 Nhiều lời giải tối ưu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 2.4.3 Lời giải tối ưu hữu hạn và vơ cực . . . . . . . . . . . . 23 2.4.4 Lời giải tối ưu tiệm cận . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 3 Phương pháp giải qui hoạch phân tuyến tính 27 3.1 Biến đổi Charnes và Cooper . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 3.2 Thuật tốn Gilmore và Gomory . . . . . . . . . . . . . . . . 31 3.3 Thuật tốn Dinkelbach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 3.4 Thuật tốn Béla Martos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 3.4.1 Tiêu chuẩn tối ưu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 3.4.2 Các bước thuật tốn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 Kết luận 44 Tài liệu tham khảo 45 1 Số hóa bởi trung tâm học liệu http://lrc.tnu.edu.vn/ LỜI CẢM ƠN Luận văn này được hồn thành tại trường Đại học Khoa học, Đại học Thái Ngun dưới sự hướng dẫn tận tình của Giáo sư Tiến sĩ Trần Vũ Thiệu. Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành và sâu sắc về sự tận tâm và nhiệt tình của Thầy trong suốt q trình tác giả thực hiện luận văn. Trong q trình học tập và làm luận văn, từ bài giảng của các Giáo sư, Phó Giáo sư cơng tác tại Viện Tốn học, Viện Cơng nghệ Thơng tin thuộc Viện Hàn lâm Khoa học Việt Nam, các Thầy, cơ trong Đại học Thái Ngun, tác giả đã trau dồi thêm rất nhiều kiến thức phục vụ cho việc nghiên cứu và cơng tác của bản thân. Từ đáy lòng mình, tác giả xin bày tỏ lòng cảm ơn sâu sắc tới các Thầy cơ. Tác giả xin chân thành cám ơn Ban Giám hiệu, phòng Đào tạo Khoa học và Quan hệ quốc tế, Khoa Tốn - Tin trường Đại học Khoa học, Đại học Thái Ngun đã quan tâm và giúp đỡ tác giả trong suốt thời gian học tập tại trường. Tác giả xin chân thành cảm ơn Sở Giáo dục và Đào tạo tỉnh Hòa Bình, Ban giám hiệu, các tổ chức Đồn thể, tổ chun mơn, nhóm tốn trường THPT Lạc Thủy B cùng bạn bè đồng nghiệp và gia đình đã tạo mọi điều kiện giúp đỡ, động viên tác giả hồn thành luận văn này. Tác giả Nguyễn Văn Hùng 2 Số hóa bởi trung tâm học liệu http://lrc.tnu.edu.vn/ MỞ ĐẦU Qui hoạch tuyến tính (Linear Programming) là bài tốn tối ưu đơn giản nhất. Đó là bài tốn tìm cực đại (hay cực tiểu) của một hàm tuyến tính với các ràng buộc (đẳng thức hay bất đẳng thức) tuyến tính. Qui hoạch tuyến tính có nhiều ứng dụng rộng rãi trong lý thuyết và thực tiễn. Phương pháp đơn hình (do G. B. Dantzing đề xuất năm 1974) là phương pháp quen thuộc, có hiệu quả để giải bài tốn qui hoạch tuyến tính và các bài tốn được đưa về qui hoạch tuyến tính. Mơ hình tốn học của bài tốn qui hoạch tuyến tính (chính tắc) có dạng như sau: Tìm các biến số x j (j = 1, 2, . . . , n) sao cho c 1 x 1 + c 2 x 2 + . . . + c n x n → min, với điền kiện a i1 x 1 + a i2 x 2 + . . . + a in x n = b i , i = 1, 2, . . . , m, x j ≥ 0, j = 1, 2, . . . , n, trong đó a ij , b i và c j là những hằng số cho trước (m, n ngun dương). Có thể xét mở rộng bài tốn qui hoạch tuyến tính theo nhiều cách khác nhau, như xét bài tốn với các biến số bị chặn, bài tốn với hàm mục tiêu phi tuyến (phân tuyến tính, tồn phương, lồi hay lõm), qui hoạch tuyến tính với các hệ số mục tiêu hay vế phải ràng buộc phụ thuộc tham số (qui hoạch tham số), v.v Đáng chú ý là mở rộng trực tiếp sau đây: tìm cực đại (hay cực tiểu) của một hàm phân thức tuyến tính (tỉ số của hai hàm tuyến tính) với các ràng buộc (đẳng thức hay bất đẳng thức) tuyến tính. Bài tốn mở rộng này gọi là qui hoạch hypecbolic, hay qui hoạch phân tuyến tính (Linear- Fractional Programming, thường viết tắt là LFP). Bài tốn qui hoạch phân tuyến tính nảy sinh từ thực tiễn, khi có nhu cầu tối ưu hóa hiệu quả của một hoạt động nào đó. Chẳng hạn, cực đại hóa lợi nhuận thu được của cơng ty trên một đơn vị hao phí lao động, cực tiểu chi phí sản xuất trên một đơn vị sản phẩm làm ra, cực đại lượng chất dinh dưỡng thu được trên số tiền bỏ ra mua thực phẩm, v.v Hiện nay, do nguồn tài ngun thiên nhiên có hạn nên việc sử dụng một tiêu chuẩn cụ thể nào đó ngày càng trở nên phổ biến. Vì thể ứng dụng qui hoạch phân tuyến tính giải các bài tốn thực tế về tối ưu hóa hiệu quả hoạt động cũng hữu ích như qui hoạch tuyến tính. Luận văn này nhằm mục đích tìm hiểu và trình bày các kết quả đã có về 3 Số hóa bởi trung tâm học liệu http://lrc.tnu.edu.vn/ bài tốn qui hoạch phân tuyến tính, một mở rộng trực tiếp của bài tốn qui hoạch tuyến tính. Đặc biệt là các tính chất đặc thù rất đáng chú ý và các phương pháp quen thuộc giải bài tốn qui hoạch phân tuyến tính. Luận văn gồm lời nói đầu, ba chương, kết luận và danh mục các tài liệu tham khảo. Chương 1 với tiêu đề "Kiến thức chuẩn bị" trình bày một số kiến thức về tập lồi (tập lồi da diện), hàm lồi (hàm lõm), các hàm lồi mở rộng và tính chất cực trị của các hàm này. Các kiến thức này sẽ được dùng đến khi xét bài tốn tối ưu với hàm mục tiêu phân tuyến tính, với các ràng buộc tuyến tính. Chương 2 với tiêu đề "Bài tốn qui hoạch phân tuyến tính" đề cập tới bài tốn qui hoạch phân tuyến tính, đó là bài tốn tìm cực đại (hay cực tiểu) của một hàm phân thức tuyến tính (tỉ số của hai hàm tuyến tính) với các ràng buộc (đẳng thức hay bất đẳng thức) tuyến tính. Hàm phân thức có tính chất đơn điệu (tăng hoặc giảm) theo từng phương và cực trị địa phương ln là cực trị tồn cục. Từ đó cực trị của hàm phân thức trên một đa diện lồi ln đạt tại một đỉnh của nó. Phần đầu nêu nội dung và ý nghĩa thực tiến của bài tốn, các dạng hay gặp của bài tốn và nêu mối liên hệ giữa bài tốn qui hoạch phân tuyến tính và bài tốn qui hoạch tuyến tính. Cuối chương, xét tính chất nghiệm của bài tốn hai biến số. Chương 3 với tiêu đề "Phương pháp giải qui hoạch phân tuyến tính" đề cập tới các phương pháp tiêu biểu giải bài tốn qui hoạch phân tuyến tính. Khi tập ràng buộc của bài tốn là tập đa diện lồi (tập lồi đa diện bị chặn), thuật tốn Charnes và Cooper (1962) đưa về giải bài tốn quy hoạch tuyến tính tương đương. Tiếp đó là thuật tốn Gilmore và Gomory (1960), chuyển từ đỉnh nọ tới đỉnh kia của đa diện cho đến khi đạt tới đỉnh tối ưu và thuật tốn Dinketbach (1962) dựa trên qui hoạch tham số. Cuối chương, xét thuật tốn kiểu đơn hình của Béla Martos (1960). Do thời gian và kiến thức còn hạn chế nên chắc chắn luận văn còn có những thiếu sót nhất định, kính mong q thầy cơ và các bạn đóng góp ý kiến để tác giả tiếp tục hồn thiện luận văn này. 4 Số hóa bởi trung tâm học liệu http://lrc.tnu.edu.vn/ Chương 1 Kiến thức chuẩn bị Chương này nhắc lại một số kiến thức cơ sở về tập lồi, tập lồi đa diện, hàm lồi (hàm lõm) và các mở rộng, tính chất cực trị của các hàm này. Các kiến thức này sẽ cần đến khi xét bài tốn tối ưu với hàm mục tiêu phân tuyến tính (tỉ số của hai hàm tuyến tính) và với các ràng buộc tuyến tính. Nội dung của chương được tham khảo chủ yếu từ các tài liệu [2], [4] và [5]. 1.1 Tập lồi và tập lồi đa diện Tập lồi là một khái niệm quan trọng được dùng rộng rãi trong tối ưu hóa. Tập lồi có nhiều tính chất đáng chú ý, đặc biệt là tập lồi đa diện. Định nghĩa 1.1. Tập con C trong R n được gọi là một tập lồi nếu nó chứa trọn đoạn thẳng nối hai điểm bất kỳ thuộc nó. Nói cách khác, tập C là lồi nếu λa + (1 − λ)b ∈ C với mọi a, b ∈ C và mọi 0 ≤ λ ≤ 1. Nói riêng tập rỗng, tập gồm duy nhất một phần tử và tồn bộ khơng gian R n là các tập lồi. Ví dụ 1.1. Các tập sau đây đều là các tập lồi: a) Tập afin, tức là tập hợp chứa trọn đường thẳng đi qua hai điểm bất kỳ thuộc nó. b) Siêu phẳng, tức là tập có dạng H = {x ∈ R n : a T x = α, a ∈ R n \{0}, với α ∈ R} c) Các nửa khơng gian đóng H 1 = {x ∈ R n : a T x ≤ α}, H 2 = {x ∈ R n : a T x ≥ α} d) Các nửa khơng gian mở K 1 = {x ∈ R n : a T x < α}, K 2 = {x ∈ R n : a T x > α} e) Hình cầu đóng B(a,r)={x ∈ R n : x − a ≤ r}, (a ∈ R n và với r > 0 cho trước) 5 Số hóa bởi trung tâm học liệu http://lrc.tnu.edu.vn/ • Từ định nghĩa tập lồi trực tiếp suy ra một số tính chất đơn giản sau đây: a) Giao của một họ bất kỳ các tập lồi là một tập lồi (nhưng hợp khơng đúng!) b) Tổng của hai tập lồi và hiệu của hai tập lồi cũng là các tập lồi. c) Nếu C ⊂ R m , D ⊂ R n thì tích C × D = {(x, y) : x ∈ C, y ∈ D} là tập lồi trong R m+n (Có thể mở rộng cho tích nhiều tập lồi). d) Tập M là một tập afin khi và chỉ khi M = a + L với a ∈ M và L là một khơng gian con, gọi là khơng gian con song song với M, hay tương đương: M là một tập afin khi và chỉ khi M là tập nghiệm của một hệ phương trình tuyến tính, tức có biểu diễn M = {x ∈ R n : Ax = b, A ∈ R m×n , b ∈ R m }. Giao của bất kỳ các tập afin là tập afin. Định nghĩa 1.2. a) Điểm x ∈ R n có dạng x = λ 1 a 1 + λ 2 a 2 + . . . + λ k a k với a i ∈ R n , λ i ≥ 0, λ 1 + λ 2 + . . . λ k = 1, gọi là một tổ hợp lồi của các điểm a 1 , a 2 , . . . , a k . b) Điểm x ∈ R n có dạng x = λ 1 a 1 + λ 2 a 2 + . . . + λ k a k với a i ∈ R n , λ 1 + λ 2 + . . . λ k = 1, gọi là một tổ hợp afin của các điểm a 1 , a 2 , . . . , a k . c) Điểm x ∈ R n có dạng x = λ 1 a 1 + λ 2 a 2 + . . . + λ k a k với a i ∈ R n , λ i ≥ 0, gọi là một tổ hợp tuyến tính khơng âm hay tổ hợp nón của các điểm a 1 , a 2 , . . . , a k . Định nghĩa 1.3. Cho E là một tập bất kỳ trong R n . a) Giao của tất cả các tập afin chứa E gọi là bao afin của E, kí hiệu là affE. Đó là tập afin nhỏ nhất chứa E. b) Giao của tất cả các tập lồi chứa E gọi là bao lồi của E, ký hiệu là convE. Đó là tập lồi nhỏ nhất chứa E. Định nghĩa 1.4. a) Thứ ngun (hay số chiều) của một tập afin M, ký hiệu là dimM, là thứ ngun (số chiều) của khơng gian con song song với nó. Quy ước dimφ = −1. b) Thứ ngun (hay số chiều) của một tập lồi C, ký hiệu dimC, là thứ ngun hay số chiều của bao afin affC của nó. Một tập lồi C trong R n gọi là có thứ ngun đầy đủ nếu dimC = n. Tập lồi đa diện là một dạng tập lồi có cấu trúc đơn giản và rất hay gặp trong lý thuyết tối ưu tuyến tính. Định nghĩa 1.5. Một tập lồi mà là giao của một số hữu hạn các nửa khơng gian đóng gọi là một tập lồi đa diện (polyhedral convex set). Nói cách khác, đó là tập nghiệm của một hệ hữu hạn các bất phương trình tuyến tính. a i1 x 1 + a i2 x 2 + . . . + a in x n ≤ b i , i = 1, 2, . . . , m. 6 Số hóa bởi trung tâm học liệu http://lrc.tnu.edu.vn/ nghĩa là tập các x ∈ R n nghiệm đúng Ax ≤ b với A = (a ij ) ∈ R m×n , b = (b 1 , . . . , b m ) T Nhận xét 1.1. Do một phương trình tuyến tính có thể biểu diễn tương đương bằng hai bất phương trình tuyến tính, nên tập nghiệm của một hệ phương trình và bất phương trình tuyến tính cũng là một tập lồi đa diện: a i1 x 1 + a i2 x 2 + . . . + a in x n = b i , i = 1, 2, . . . , p, a i1 x 1 + a i2 x 2 + . . . + a in x n ≤ b i , i = p + 1, . . . , m, Một tập lồi đa diện có thể khơng bị chặn (khơng giới nội). Một tập lồi đa diện bị chặn còn được gọi là một đa diện lồi (polytope). Các đa giác lồi theo nghĩa thơng thường trong R 2 là những ví dụ cụ thể về đa diện lồi. Cho D = {x ∈ R n : Ax = b, x ≥ 0}, tức D là tập nghiệm khơng âm của một hệ phương trình tuyến tính. Theo định nghĩa, D là một tập lồi đa diện. Tập này khơng chứa trọn đường thẳng nào (do x ≥ 0) nên D có đỉnh. Các phương cực biên (đã chuẩn hóa) của D là các nghiệm cơ sở của hệ Ay = 0, e T y = 1, y ≥ 0 trong đó e = (1, . . . , 1) T . Ta có định lý biểu diễn sau đây, hay được dùng trong các chứng minh. Định lý 1.1. Mỗi điểm của tập lồi đa diện D = {x ∈ R n : Ax = b, x ≥ 0} có thể biểu diễn dưới dạng một tổ hợp lồi của một tập hữu hạn các đỉnh của D cộng với một tổ hợp tuyến tính khơng âm của một tập hữu hạn các phương cực biên của D. Ví dụ 1.2. Ví dụ này nhằm minh họa cho cách biểu diễn một điểm thuộc một tập lồi đa diện dưới dạng một tổ hợp lồi của một tập hữu hạn các đỉnh cộng với một tổ hợp tuyến tính khơng âm của một tập hữu hạn các phương cực biên chuẩn hóa, như đã được chứng minh trong Định lý 1.1 .Cho tập lồi đa diện: D = {x ∈ R 2 : x 1 + x 2 ≥ 2, x 1 ≥ 0, x 2 ≥ 0}, như vẽ ở Hình 1.1. Từ hình vẽ này ta thấy Hình 1.1: Minh họa định lý biểu diễn 7 Số hóa bởi trung tâm học liệu http://lrc.tnu.edu.vn/ Các đỉnh của D gồm có u 1 = (2, 0) T và u 2 = (0, 2) T . Các cạnh vơ hạn của D : (x 1 ≥ 2, x 2 = 0) và (x 1 = 0, x 2 ≥ 2). Các phương cực biên của D gồm có v 1 = (1, 0) T và v 2 = (0, 1) T . Với ví dụ này, Định lý 1.1 nói rằng mỗi điểm x ∈ D có thể viết dưới dạng: x = α 1  2 0  + α 2  0 2  + β 1  1 0  + β 2  0 1  , trong đó α 1 +α 2 = 1, α 1 ≥ 0, α 2 ≥ 0, β 1 ≥ 0, β 2 ≥ 0. Chẳng hạn, x = (1, 3) T có biểu diễn trên với α 1 = 0, α 2 = 1, β 1 = β 2 = 1 hoặc α 1 = α 2 = 0, 5, β 1 = 0, β 2 = 2 hoặc một tổ hợp lồi bất kỳ của hai biểu diễn này. 1.2 Hàm lồi, hàm lõm và mở rộng Định nghĩa 1.6. a) Hàm f : S → [−∞, +∞] xác định trên một tập lồi S ⊆ R n gọi là một hàm lồi trên S nếu với mọi x 1 , x 2 ∈ S và mọi số thực λ ∈ [0, 1] ta có f[λx 1 + (1 − λ)x 2 ] ≤ λf(x 1 ) + (1 − λ)f(x 2 ) mỗi khi vế phải xác định, nghĩa là hệ thức trên cần được thỏa mãn trừ khi f(x 1 ) = −f(x 2 ) = ±∞ (vì biểu thức +∞; −∞ khơng có nghĩa). b) Hàm f được gọi là hàm lồi chặt trên S nếu với mọi x 1 , x 2 ∈ S, x 1 = x 2 và mọi số thực λ ∈ (0, 1) ta có f[λx 1 + (1 − λ)x 2 ] < λf(x 1 ) + (1 − λ)f(x 2 ). Hiển nhiên, một hàm lồi chặt là hàm lồi, nhưng điều ngược lại khơng đúng. Định nghĩa 1.7. a) Hàm f gọi là hàm lõm (hàm lõm chặt) trên S nếu −f là hàm lồi (hàm lồi chặt) trên S. b) Hàm f gọi là hàm tuyến tính afin (hay đơn giản là hàm afin) trên S nếu f hữu hạn và vừa lồi, vừa lõm trên S. Một hàm afin trên R n có dạng f(x) = a T x + α với a ∈ R n , α ∈ R bởi vì với mọi x 1 , x 2 ∈ R n và mọi λ ∈ [0, 1] ta có f[λx 1 + (1 − λ)x 2 ] = λf(x 1 ) + (1 − λ)f(x 2 ) Hàm tuyến tính là trường hợp riêng của hàm afin, khi α = 0. Tuy nhiên, hàm afin (nói riêng, hàm tuyến tính) khơng lồi chặt hay lõm chặt. 8 Số hóa bởi trung tâm học liệu http://lrc.tnu.edu.vn/ [...]... qui hoạch phân tuyến tính Chương này xét bài tốn tối ưu với hàm mục tiêu là tỉ số của hai hàm tuyến tính (hàm phân tuyến tính) và với các ràng buộc (đẳng thức hay bất đẳng thức) tuyến tính Các bài tốn như thế gọi là bài tốn qui hoạch phân tuyến tính Phần đầu trình bày nội dung và ý nghĩa thực tiễn của bài tốn, các dạng hay gặp của bài tốn và nêu mối quan hệ giữa bài tốn qui hoạch phân tuyến tính và bài. .. biệt, bài tốn qui hoạch phân tuyến tính suy biến thành bài tốn qui hoạch tuyến tính Bài tốn qui hoạch phân tuyến tính có thể có nhiều lời giải tối ưu (hữu hạn, vơ cực hay tiệm cận) 26 Số hóa bởi trung tâm học liệu http://lrc.tnu.edu.vn/ Chương 3 Phương pháp giải qui hoạch phân tuyến tính Chương này đề cập tới một số phương pháp tiêu biểu giải bài tốn qui hoạch phân tuyến tính Khi tập ràng buộc của bài. .. tương tự như trên cho thấy nếu (y, z) là phương án tối ưu y của bài tốn qui hoạch tuyến tính vừa mơ tả thì x = sẽ là phương án tối z ưu của bài tốn qui hoạch phân tuyến tính ban đầu Như vậy, ta đã chỉ ra rằng có thể đưa bài tốn qui hoạch phân tuyến tính về bài tốn qui hoạch tuyến tính có thêm một biến và thêm một ràng buộc Dạng bài tốn qui hoạch tuyến tính sẽ tùy thuộc vào mẫu số trong hàm mục tiêu:... nên bài tốn tìm max có thể đưa về bài tốn tìm min và ngược lại Vì thế, đơi khi ta chỉ cần xét bài tốn tìm min là đủ 2.3 Liên hệ với quy hoạch tuyến tính Rõ ràng là nếu mọi qj = 0, (j = 1, 2, , n) và β = 1 thì bài tốn qui hoạch phân tuyến tính (2.1) − (2.3) trở thành bài tốn qui hoạch tuyến tính: min{p(x) : x ∈ S} Vì thế, có thể thấy qui hoạch phân tuyến tính là sự mở rộng của qui hoạch tuyến tính. .. xuất năm 1962 là một trong những chiến thuật tổng qt và hay được dùng nhất đối với các bài tốn qui hoạch phân thức (khơng nhất thiết là phân thức tuyến tính) Với qui hoạch phân tuyến tính, phương pháp này qui việc giải bài tốn ban đầu về giải một dãy các bài tốn qui hoạch tuyến tính Xét bài tốn qui hoạch phân tuyến tính (LF P ) min{ p(x) pT x + α = T : Ax ≤ b, x ≥ 0} q(x) q x+β (3.4) Kí hiệu S = {x :... học này của bài tốn qui hoạch phân tuyến tính có thể áp dụng cho bài tốn có số biến n bất kỳ và số ràng buộc chính m bất kỳ, miễn là hệ ràng buộc của bài tốn có thể rút gọn thành hai biến số độc lập, tức là n − m = 2 Tóm lại, chương này đã đề cập tới bài tốn qui hoạch phân tuyến tính, đó là bài tốn tìm cực tiểu (hay cực đại) của một hàm là tỉ số của hai hàm tuyến tính với các ràng buộc tuyến tính Trong... tốn qui hoạch tuyến tính Cuối chương, xét tính chất nghiệm của bài tốn với hai biến số Nội dung của chương được tham khảo chủ yếu từ các tài liệu [3], [4] và [6] 2.1 Bài tốn và tính chất Nhà tốn học Hung-ga-ri Béla Martos (1960) đã nêu ra và nghiên cứu bài tốn sau đây, gọi là bài tốn qui hoạch hypecbolic, trong tài liệu tiếng Anh gọi là bài tốn qui hoạch phân tuyến tính Ở dạng chung nhất, bài tốn này... liệu [1], [3] và [4] 3.1 Biến đổi Charnes và Cooper A.Charnes và W.Cooper (1962) đã chỉ ra rằng bài tốn qui hoạch phân tuyến tính với tập ràng buộc bị chặn có thể đưa được về bài tốn qui hoạch tuyến tính, nhờ phép đổi biến số, gọi là biến đổi Charnes và Cooper Xét bài tốn qui hoạch phân tuyến tính, ký hiệu bài tốn (LFP): (LF P ) pT x + α : Ax ≤ b, x ≥ 0} min{f (x) = T q x+β (3.1) Giả thiết tập S = {x... Cooper Bài tốn qui hoạch tuyến tính tương đương có dạng y1 − 2y2 + 2z → min với các điều kiện −y1 + 2y2 − 8z ≤ 0, y1 + y2 − 10z ≤ 0, y1 − y2 − 4z ≤ 0, 2y1 + y2 + z = 1, y1 ≥ 0, y2 ≥ 0, z ≥ 0 29 Số hóa bởi trung tâm học liệu http://lrc.tnu.edu.vn/ 4 1 Có thể kiểm tra lại rằng y1 = 0, y2 = , z = là phương án tối ưu của bài 5 5 tốn tuyến tính trên Do đó phương án tối ưu của bài tốn qui hoạch phân y1 y2 tuyến. .. vài trường hợp cá biệt, bài tốn qui hoạch phân tuyến tính có thể được thay thế bằng bài tốn qui hoạch tuyến tính thích hợp: 1 Nếu qj = 0 với mọi j = 1, 2, , n và β = 0 thì hàm mục tiêu f (x) trở thành hàm tuyến tính n f (x) = j=1 pj α p(x) xj + = β β β Trong trường hợp này cực tiểu (cực đại) của hàm mục tiêu ban đầu f (x) p(x) được thay bằng cực tiểu (cực đại) của hàm tuyến tính trên cùng tập β ràng . " ;Bài tốn qui hoạch phân tuyến tính& quot; đề cập tới bài tốn qui hoạch phân tuyến tính, đó là bài tốn tìm cực đại (hay cực tiểu) của một hàm phân thức tuyến tính (tỉ số của hai hàm tuyến tính) với. HỌC  NGUYỄN VĂN HÙNG BÀI TOÁN QUI HOẠCH PHÂN TUYẾN TÍNH Chuyên ngành: TOÁN ỨNG DỤNG Mã số : 60.46.01.12 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học:. http://lrc.tnu.edu.vn/ bài tốn qui hoạch phân tuyến tính, một mở rộng trực tiếp của bài tốn qui hoạch tuyến tính. Đặc biệt là các tính chất đặc thù rất đáng chú ý và các phương pháp quen thuộc giải bài tốn qui hoạch