PHẦN I: MỞ ĐẦU I. Lí do chọn đề tài Toán học là công cụ giúp học tốt các môn học khác, chính vì vậy nó đóng một vai trò vô cùng quan trọng trong nhà trường. Bên cạnh đó nó còn có tiềm năng phát triển các năng lực tư duy và phẩm chất trí tuệ,giúp học sinh hoạt động có hiệu quả trong mọi lĩnh vực của đời sống sản xuất. Toán học mang sẵn trong đó chẳng những phương pháp quy nạp thực nghiệm, mà cả phương pháp suy diễn lôgic. Nó tạo cho người học có cơ hội rèn luyện khả năng suy đoán và tưởng tượng. Toán học còn có tiềm năng phát triển phẩm chất đạo đức, góp phần hình thành thế giới quan khoa học cho học sinh. Toán học ra đời từ thực tiễn và lại quay trở về phục vụ thực tiễn. Toán học còn hình thành và hoàn thiện những nét nhân cách như say mê và có hoài bão trong học tập, mong muốn được đóng góp một phần nhỏ của mình cho sự nghiệp chung của đất nước, ý chí vượt khó, bảo vệ chân lý, cảm nhận được cái đẹp, trung thực, tự tin, khiêm tốn,…. Biết tự đánh giá mình, tự rèn luyện để đạt tới một nhân cách hoàn thiện toàn diện hơn. Mặt khác toán học còn có nhiệm vụ hình thành cho HS những kỹ năng: - Kỹ năng vận dụng tri thức trong nội bộ môn toán để giải các bài tập toán - Kỹ năng vận dụng tri thức toán học để học tập các môn học khác. - Kỹ năng vận dụng tri thức toán học vào đơì sống, kỹ năng đo đạc, tính toán, sử dụng biểu đồ, sử dụng máy tính…. - Tuy nhiên cả ba kỹ năng trên đều có quan hệ mật thiết với nhau. Kỹ năng thứ nhất là cơ sở để rèn luyện hai kỹ năng kia. Chính vì vậy kỹ năng vận dụng kiến thức để giải bài tập toán là vô cùng quan trọng đối với học sinh. Trong đó việc trình bày lời giải một bài toán chính là thước đo cho kỹ năng trên. để có một lời giải tốt thì học sinh cần có kiến thức, các kỹ năng cơ bản và 3 ngược lại có kiến thức, có các kỹ năng cơ bản thì học sinh sẽ trình bày tốt lời giải một bài toán. Là giáo viên dạy toán, đã có 20 năm gắn bó với nghề trong quá trình giảng dạy tôi luôn học hỏi đồng nghiệp và tìm tòi những phương pháp thích hợp để giúp các em học sinh yêu thích và học tốt môn toán hơn, vững bước vào các kỳ thi, kiểm tra và có kĩ năng vận dụng vào cuộc sống. Vì vậy, tôi chọn đề tài “Phân dạng bài tập phần so sánh phân số nhằm nâng cao kết quả học tập môn Toán của học sinh” II. Mục tiêu nghiên cứu Nghiên cứu mong muôn sẽ giúp học sinh khắc phục được những yếu điểm nêu về toán học từ đó đạt được kết quả cao khi giải bài toán nói riêng và đạt kết quả cao trong quá trình học tập nói chung. Ý nghĩa rất quan trọng mà đề tài đặt ra là: Tìm được một phương pháp tối ưu nhất để trong quỹ thời gian cho phép hoàn thành được một hệ thống chương trình quy định và nâng cao thêm về mặt kiến thức, kỹ năng, kỹ xảo trong việc giải các bài toán. Từ đó phát huy, khơi dậy, sử dụng hiệu quả kiến thức vốn có của học sinh, gây hứng thú học tập cho các em. III. Nhiệm vụ nghiên cứu Sáng kiến kinh nghiệm có nhiệm vụ giải đáp các câu hỏi khoa học sau đây:- Kỹ năng là gì? Cơ chế hình thành kỹ năng là như thế nào? 4 - Những tình huống điển hình nào thường gặp trong quá trình giải quyết những vấn đề liên quan. - Trong quá trình giải quyết các vấn đề liên quan, học sinh thường gặp những khó khăn và sai lầm nào? - Những biện pháp sư phạm nào được sử dụng để rèn luyện cho học sinh kỹ năng giải quyết các vấn đề liên quan? - Kết quả của thực nghiệm sư phạm là như thế nào? IV. Đối tượng nghiên cứu, phạm vi nghiên cứu: - Các dạng toán về so sánh phân số và phương pháp giảng dạy toán để giúp nâng cao hứng thú và kết quả học tập của học sinh. - Học sinh lớp trường THCS XXX V. Phương pháp nghiên cứu: Trong quá trình nghiên cứu, sáng kiến kinh nghiệm sử dụng những phương pháp sau: Nghiên cứu lý luận, điều tra quan sát thực tiễn, thực nghiệm sư phạm. Trên cơ sở phân tích kỹ nội dung chương trình của Bộ giáo dục và Đào tạo, phân tích kỹ đối tượng học sinh (đặc thù, trình độ tiếp thu…). Bước đầu mạnh dạn thay đổi ở từng tiết học, sau mỗi nội dung đều có kinh nghiệm về kết quả thu được (nhận thức của học sinh, hứng thú nghe giảng, kết quả kiểm tra,…) và đi đến kết luận. Lựa chọn các ví dụ các bài tập cụ thể phân tích tỉ mỉ những sai lầm của học sinh vận dụng hoạt động năng lực tư duy và kỹ năng vận dụng kiến thức của học sinh để từ đó đưa ra lời giải đúng của bài toán. 5 PHẦN II. NỘI DUNG Để so sánh 2 phân số, tùy theo một số trường hợp cụ thể của đặc điểm các phân số, ta có thể sử dụng nhiều cách tính nhanh và hợp lí. Tính chất bắc cầu của thứ tự thường được sử dụng ( & a c c m a m thì b d d n b n > > > ), trong đó phát hiện ra một số trung gian để làm cầu nối là rất quan trọng. Sau đây tôi xin giới thiệu một số phương pháp so sánh phân số CÁC PHƯƠNG PHÁP SO SÁNH I/CÁCH 1: Quy đồng mẫu dương rồi so sánh các tử: tử nào lớn hơn thì phân số đó lớn hơn Ví dụ : So sánh 11 17 & 12 18 − − ? Ta viết : 11 33 17 17 34 & 12 36 18 18 36 − − − − = = = − 33 34 11 17 36 36 12 18 Vì − − − > ⇒ > − Chú ý :Phải viết phân số dưới mẫu dương . II/CÁCH 2: Quy đồng tử dương rồi so sánh các mẫu có cùng dấu “+” hay cùng dấu “-“: mẫu nào nhỏ hơn thì phân số đó lớn hơn . Ví dụ 1 : 2 2 5 4; 5 4 vì> − < − − − 3 3 7 5 7 5 vì> > Ví dụ 2: So sánh 2 5 & 5 7 ? Ta có : 2 10 5 10 & 5 25 7 24 = = 10 10 2 5 25 24 5 7 Vì < ⇒ < 6 Ví dụ 3: So sánh 3 6 & 4 7 − − ? Ta có : 3 3 6 6 6 & 4 4 8 7 7 − − = = = − − − 6 6 3 6 8 7 4 7 Vì − − > ⇒ > − − Chú ý : Khi quy đồng tử các phân số thì phải viết các tử dương . III/CÁCH 3: (Tích chéo với các mẫu b và d đều là dương ) +Nếu a.d>b.c thì a c b d > + Nếu a.d<b.c thì a c b d < + Nếu a.d=b.c thì a c b d = Ví dụ 1: 5 7 5.8 7.6 6 8 vì< < Ví dụ 2: 4 4 4.8 4.5 5 8 vì − − < − < − Ví dụ 3: So sánh 3 4 & ? 4 5− − Ta viết 3 3 4 4 & 4 4 5 5 − − = = − − Vì tích chéo –3.5 > -4.4 nên 3 4 4 5 > − − Chú ý : Phải viết các mẫu của các phân số là các mẫu dương vì chẳng hạn 3 4 4 5 − < − do 3.5 < -4.(-4) là sai IV/CÁCH 4: Dùng số hoặc phân số làm trung gian . 1) Dùng số 1 làm trung gian: a) Nếu 1&1 a c a c b d b d > > ⇒ > b) Nếu 1; 1 a c M N b d − = − = mà M > N thì a c b d > 7 • M,N là phần thừa so với 1 của 2 phân số đã cho . • Phân số nào có phần thừa lớn hơn thì phân số đó lớn hơn. c) Nếu 1; 1 a c M N b d + = + = mà M > N thì a c b d < • M,N là phần thiếu hay phần bù đến đơn vị của 2 phân số đó. • Phân số nào có phần bù lớn hơn thì phân số đó nhỏ hơn.  Bài tập áp dụng : Bài tập 1: So sánh 19 2005 & ? 18 2004 Ta có : 19 1 2005 1 1& 1 18 18 2004 2004 − = − = 1 1 19 2005 18 2004 18 2004 Vì > ⇒ > Bài tập 2: So sánh 72 98 & ? 73 99 Ta có : 72 1 98 1 1& 1 73 73 99 99 + = + = 1 1 72 98 73 99 73 99 Vì > ⇒ < Bài tập 3 : So sánh 7 19 & ? 9 17 Ta có 7 19 7 19 1 9 17 9 17 < < ⇒ < 2) Dùng 1 phân số làm trung gian:(Phân số này có tử là tử của phân số thứ nhất , có mẫu là mẫu của phân số thứ hai) Ví dụ : Để so sánh 18 15 & 31 37 ta xét phân số trung gian 18 37 . 8 Vì 18 18 18 15 18 15 & 31 37 37 37 31 37 > > ⇒ > *Nhận xét : Trong hai phân số , phân số nào vừa có tử lớn hơn , vừa có mẫu nhỏ hơn thì phân số đó lớn hơn (điều kiện các tử và mẫu đều dương ). *Tính bắc cầu : & a c c m a m thì b d d n b n > > >  Bài tập áp dụng : Bài tập 1: So sánh 72 58 & ? 73 99 -Xét phân số trung gian là 72 99 , ta thấy 72 72 72 58 72 58 & 73 99 99 99 73 99 > > ⇒ > -Hoặc xét số trung gian là 58 73 , ta thấy 72 58 58 58 72 58 & 73 73 73 99 73 99 > > ⇒ > Bài tập 2: So sánh * 1 & ;( ) 3 2 n n n N n n + ∈ + + Dùng phân số trung gian là 2 n n + Ta có : * 1 1 & ;( ) 3 2 2 2 3 2 n n n n n n n N n n n n n n + + < < ⇒ < ∈ + + + + + + Bài tập 3: (Tự giải) So sánh các phân số sau: a) 12 13 & ? 49 47 e) 456 123 & ? 461 128 b) 64 73 & ? 85 81 f) 2003.2004 1 2004.2005 1 & ? 2003.2004 2004.2005 − − c) 19 17 & ? 31 35 g) 149 449 & ? 157 457 d) 67 73 & ? 77 83 h) 1999.2000 2000.2001 & ? 1999.2000 1 2000.2001 1+ + 9 (Hướng dẫn : Từ câu a → c :Xét phân số trung gian. Từ câu d → h :Xét phần bù đến đơn vị ) 3) Dùng phân số xấp xỉ làm phân số trung gian. Ví dụ : So sánh 12 19 & ? 47 77 Ta thấy cả hai phân số đã cho đều xấp xỉ với phân số trung gian là 1 4 . Ta có : 12 12 1 19 19 1 12 19 & 47 48 4 77 76 4 47 77 > = < = ⇒ >  Bài tập áp dụng : Dùng phân số xấp xỉ làm phân số trung gian để so sánh : 11 16 58 36 12 19 18 26 ) & ; ) & ; ) & ; ) & 32 49 89 53 37 54 53 78 13 34 25 74 58 36 ) & ; ) & ; ) & . 79 204 103 295 63 55 a b c d e f h V/ CÁCH 5:Dùng tính chất sau với m ≠ 0 : * 1 a a a m b b b m + < ⇒ < + * 1 . a a a m b b b m + = ⇒ = + Bài tập 1: So sánh 11 10 12 11 10 1 10 1 & ? 10 1 10 1 A B − + = = − + Ta có : 11 12 10 1 1 10 1 A − = < − (vì tử < mẫu) ⇒ 11 11 11 10 12 12 12 11 10 1 (10 1) 11 10 10 10 1 10 1 (10 1) 11 10 10 10 1 A B − − + + + = < = = = − − + + + Vậy A < B . Bài tập 2: So sánh 2004 2005 2004 2005 & ? 2005 2006 2005 2006 M N + = + = + 10 Ta có : 2004 2004 2005 2005 2006 2005 2005 2006 2005 2006  >   +   >  +  Cộng theo vế ta có kết quả M > N. Bài tập 3:So sánh 37 3737 & 39 3939 ? Giải: 37 3700 3700 37 3737 39 3900 3900 39 3939 + = = = + (áp dụng . a c a c b d b d + = = + ) VI/CÁCH 6: Đổi phân số lớn hơn đơn vị ra hỗn số để so sánh : +Hỗn số nào có phần nguyên lớn hơn thì hỗn số đó lớn hơn. +Nếu phần nguyên bằng nhau thì xét so sánh các phân số kèm theo. Bài tập 1:Sắp xếp các phân số 134 55 77 116 ; ; ; 43 21 19 37 theo thứ tự tăng dần. Giải: đổi ra hỗn số : 5 13 1 5 3 ;2 ;4 ;3 43 21 19 37 Ta thấy: 13 5 5 1 2 3 3 4 21 43 37 19 < < < nên 55 134 116 77 21 43 37 19 < < < . Bài tập 2: So sánh 8 8 8 8 10 2 10 & ? 10 1 10 3 A B + = = − − Giải: 8 8 3 3 1 & 1 10 1 10 3 A B= = − − mà 8 8 3 3 10 1 10 3 A B< ⇒ < − − Bài tập 3: Sắp xếp các phân số 47 17 27 37 ; ; ; 223 98 148 183 theo thứ tự tăng dần. Giải: Xét các phân số nghịch đảo: 223 98 148 183 ; ; ; 47 17 27 37 , đổi ra hỗn số là : 35 13 13 35 4 ;5 ;5 ;4 47 17 27 37 Ta thấy: 13 13 35 35 5 5 4 4 17 27 37 47 > > > ⇒ 17 27 37 47 ( ) 98 148 183 223 a c b d vì b d a c < < < < ⇒ > 11 Bài tập 4: So sánh các phân số : 3535.232323 3535 2323 ; ; 353535.2323 3534 2322 A B C= = = ? Hướng dẫn giải: Rút gọn A=1 , đổi B;C ra hỗn số ⇒ A<B<C. Bài tập 5: So sánh ( ) 2 2 5 11.13 22.26 138 690 & ? 22.26 44.54 137 548 M N − − = = − − Hướng dẫn giải:-Rút gọn 5 1 138 1 1 & 1 . 4 4 137 137 M N M N= = + = = + ⇒ > ( Chú ý: 690=138.5&548=137.4 ) Bài tập 6: (Tự giải) Sắp xếp các phân số 63 158 43 58 ; ; ; 31 51 21 41 theo thứ tự giảm dần. CÁC BÀI TẬP TỔNG HỢP . Bài tập 1: So sánh các phân số sau bằng cách hợp lý: 7 210 11 13 31 313 53 531 25 25251 ) & ; ) & ) & ) & ) & 8 243 15 17 41 413 57 571 26 26261 a b c d e (Gợi ý: a) Quy đồng tử c) Xét phần bù , chú ý : 10 100 100 41 410 413 = > d)Chú ý: 53 530 57 570 = Xét phần bù đến đơn vị e)Chú ý: phần bù đến đơn vị là: 1 1010 1010 26 26260 26261 = > ) Bài tập 2: Không thực hiện phép tính ở mẫu , hãy dùng tính chất của phân số để so sánh các phân số sau: 244.395 151 423134.846267 423133 ) & 244 395.243 423133.846267 423134 a A B − − = = + + Hướng dẫn giải:Sử dụng tính chất a(b + c)= ab + ac +Viết 244.395=(243+1).395=243.395+395 +Viết 423134.846267=(423133+1).846267=… 12 [...]... học tập khi giải toán để các em có thể tránh được những sai lầm trong khi làm bài tập và nâng cao hứng thú, kết quả học tập môn toán nói riêng, nâng cao kết quả học tập của học sinh nói chung 3 Với PHHS - Quan tâm việc tự học, tự làm bài tập ở nhà của con cái Thường xuyên kiểm tra sách, vở và việc so n bài trước khi đến trường của các con 18 ... và (2) suy ra: đpcm 16 PHẦN III : KẾT LUẬN - KIẾN NGHỊ 1 KẾT LUẬN Sáng kiến kinh nghiệm đã thu được một số kết quả sau đây: 1 Đã hệ thống hóa, phân tích, diễn giải được khái niệm kĩ năng và sự hình thành kĩ năng học và giải bài tập toán cho học sinh 2 Thống kê được một số dạng toán điển hình liên quan đến nội dung chuyên đề thực hiện 3 Chỉ ra một số sai lầm thường gặp của học sinh trong quá trình giải... hoàn thành và giả thuyết khoa học là chấp nhận được Trong quá trình giảng dạy môn Toán tại trường, từ việc áp dụng các hình thức rèn luyện cách trình bày lời giải bài toán cho học sinh đã có kết quả rõ rệt, bản thân tôi rút ra được nhiều bài học kinh nghiệm về phương pháp rèn luyện cách trình bày lời giải bài toán cho học sinh đó là : 1 – Trình bày bài giải mẫu 2 – Trình bày bài giải nhưng các bước sắp... = 4 2 7 7 7 7 7 7 Từ đó kết luận dễ dàng : A < B Bài tập 5 :So sánh M = 1919.171717 18 &N = ? 191919.1717 19 Gợi ý: 1919=19.101 & 191919=19.10101 ; Kết quả ⇒ M>N Mở rộng : 123123123=123.1001001 ;… Bài tập 6: So sánh 17 1717 & ? 19 1919 Gợi ý: +Cách 1: Sử dụng a c a+c 17 1700 = = ; chú ý : = b d b+d 19 1900 +Cách 2: Rút gọn phân số sau cho 101… Bài tập 7: Cho a,m,n ∈ N* Hãy so sánh : A = Giải:  10 9... Vậy P = Q Bài tập 9: So sánh M = 7.9 + 14.27 + 21.36 37 &N = ? 21.27 + 42.81 + 63.108 333 Giải: Rút gọn M= 7.9 + 14.27 + 21.36 7.9.(1 + 2.3 + 3.4) 37 : 37 1 = &N = = 21.27 + 42.81 + 63.108 21.27.(1 + 2.3 + 3.4) 333 : 37 9 Vậy M = N Bài tập 10: Sắp xếp các phân số 21 62 93 ; & theo thứ tự tăng dần ? 49 97 140 Gợi ý: Quy đồng tử rồi so sánh 14 1 x y 1 < < < ? 18 12 9 4 Bài tập 11: Tìm các số nguyên... bài giải nhưng các bước sắp xếp chưa hợp lý 3 - Đưa ra bài toán có gợi ý giải 4 - Đưa ra bài giải sẵn có chứa sai sót để yêu cầu học sinh tìm chỗ sai và sửa lại cho đúng Cũng qua thực tế kinh nghiệm giảng dạy của bản thân, với nội dung và phương pháp nêu trên đã giúp học sinh có cái nhìn toàn diện hơn về Toán học nói 17 chung Vấn đề tôi thấy học sinh khá, giỏi rất hứng thú với việc làm mà giáo viên... +Kết quả A=B=1 b) M = 53.71 − 18 54.107 − 53 135.269 − 133 ;N = ;P = ? 71.52 + 53 53.107 + 54 134.269 + 135 (Gợi ý: làm như câu a ở trên ,kết quả M=N=1,P>1) Bài tập 3: So sánh A = 33.103 3774 &B = 3 3 2 5.10 + 7000 5217 Gợi ý: 7000=7.103 ,rút gọn A = 4 7 Bài tập 4: So sánh A = + 5 + Gợi ý: Chỉ tính 33 3774 :111 34 &B = = 47 5217 :111... nữa đến việc bồi dưỡng chuyên môn, nghiệp vụ cho giáo viên dạy toán Nên tổ chức các hội thảo chuyên đề chuyên sâu cho giáo viên trong tỉnh 2 Với BGH nhà trường - Hiện nay, nhà trường đã có một số sách tham khảo tuy nhiên có vẻ như chưa đầy đủ Vì vậy nhà trường cần quan tâm hơn nữa về việc trang bị thêm sách tham khảo môn Toán để học sinh được tìm tòi, học tập khi giải toán để các em có thể tránh được... 101 101 100 tức là M.M < 1 1 1 ⇒ M< 10 10 10 15 Bài tập 14: Cho tổng : S = 1 1 1 3 4 + + + Chứng minh: < S < 31 32 60 5 5 Giải: Tổng S có 30 số hạng , cứ nhóm 10 số hạng làm thành một nhóm Giữ nguyên tử , nếu thay mẫu bằng một mẫu khác lớn hơn thì giá trị của phân số sẽ giảm đi Ngược lại , nếu thay mẫu bằng một mẫu khác nhỏ hơn thì giá trị của phân số sẽ tăng lên  Ta có : S =  1 1 1   1 1 1 ... 10 9  1 ÷+ n & B =  m + n ÷+ m a  a  a a 13 1 1 bằng cách xét các trường hợp n & a am Muốn so sánh A & B ,ta so sánh sau: a) Với a=1 thì am = an ⇒ A=B b) Với a ≠ 0: • Nếu m= n thì am = an ⇒ A=B • Nếu m< n thì am < an ⇒ 1 1 > n ⇒A < B m a a • Nếu m > n thì am > an ⇒ 1 1 < n ⇒ A >B m a a Bài tập 8: So sánh P và Q, biết rằng: P = 31 32 33 60 & Q = 1.3.5.7 59 2 2 2 2 31 32 33 60 31.32.33 60 (31.32.33.60).(1.2.3 . khảo môn Toán để học sinh được tìm tòi, học tập khi giải toán để các em có thể tránh được những sai lầm trong khi làm bài tập và nâng cao hứng thú, kết quả học tập môn toán nói riêng, nâng cao kết. nghiên cứu, phạm vi nghiên cứu: - Các dạng toán về so sánh phân số và phương pháp giảng dạy toán để giúp nâng cao hứng thú và kết quả học tập của học sinh. - Học sinh lớp trường THCS XXX V. Phương. nhằm nâng cao kết quả học tập môn Toán của học sinh II. Mục tiêu nghiên cứu Nghiên cứu mong muôn sẽ giúp học sinh khắc phục được những yếu điểm nêu về toán học từ đó đạt được kết quả cao khi giải bài