PHẦN I MỞ ĐẦU I LÍ DO CHỌN ĐỀ TÀI Tốn học chìa khố ngành khoa học Mơn tốn mơn khoa học tự nhiên khơng thể thiếu đời sống người Với xã hội mà khoa học kỹ thuật ngày phát triển mơn tốn lại đóng vai trị quan trọng việc nghiên cứu khoa học Qua việc học toán, đặc biệt qua hoạt động giải tập toán giúp học sinh hồi tưởng, nhớ lại, biết lựa chọn, kết hợp, vận dụng kiến thức học cách thích hợp Qua rèn trí thơng minh sáng tạo, tính tích cực hoạt động nhằm phát triển lực trí tuệ cho học sinh Qua thực tế giảng dạy mơn Tốn lớp tơi thấy tính chất chia hết tổng (một hiệu, tích) cung cấp lượng kiến thức nhỏ lại ứng dụng rộng rãi để giải nhiều tập Vì vậy, chọn đề tài “Hướng dẫn học sinh áp dụng tính chất chia hết tổng vào giải toán nhằm nâng cao kết học tập mơn tốn học sinh lớp 6" II Mục tiêu nghiên cứu Nghiên cứu mong muôn giúp học sinh khắc phục yếu điểm nêu tốn học từ đạt kết cao giải tốn nói riêng đạt kết cao q trình học tập nói chung Ý nghĩa quan trọng mà đề tài đặt là: Tìm phương pháp tối ưu để quỹ thời gian cho phép hoàn thành hệ thống chương trình quy định nâng cao thêm mặt kiến thức, kỹ năng, kỹ xảo việc giải tốn Từ phát huy, khơi dậy, sử dụng hiệu kiến thức vốn có học sinh, gây hứng thú học tập cho em III Nhiệm vụ nghiên cứu Sáng kiến kinh nghiệm có nhiệm vụ giải đáp câu hỏi khoa học sau đây: - Kỹ gì? Cơ chế hình thành kỹ nào? - Những tình điển hình thường gặp trình giải vấn đề liên quan - Trong trình giải vấn đề liên quan, học sinh thường gặp khó khăn sai lầm nào? - Những biện pháp sư phạm sử dụng để rèn luyện cho học sinh kỹ giải vấn đề liên quan? - Kết thực nghiệm sư phạm nào? IV Đối tượng nghiên cứu, phạm vi nghiên cứu: - Các dạng tốn áp dụng tính chất chia hết tổng phương pháp giảng dạy toán áp dụng tính chất chia hết tổng để giúp nâng cao hứng thú kết học tập học sinh - Học sinh lớp trường THCS XXX V Phương pháp nghiên cứu: Trong trình nghiên cứu, sáng kiến kinh nghiệm sử dụng phương pháp sau: Nghiên cứu lý luận, điều tra quan sát thực tiễn, thực nghiệm sư phạm Trên sở phân tích kỹ nội dung chương trình Bộ giáo dục Đào tạo, phân tích kỹ đối tượng học sinh (đặc thù, trình độ tiếp thu…) Bước đầu mạnh dạn thay đổi tiết học, sau nội dung có kinh nghiệm kết thu (nhận thức học sinh, hứng thú nghe giảng, kết kiểm tra,…) đến kết luận Lựa chọn ví dụ tập cụ thể áp dụng tính chất chia hết tổng có phân tích tỉ mỉ sai lầm học sinh vận dụng hoạt động lực tư kỹ vận dụng kiến thức học sinh để từ đưa lời giải toán PHẦN II NỘI DUNG I CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN Tính chất chia hết tổng học 10 chương I số học lớp Đây sở lý luận để giải thích dấu hiệu chia hết cho 2, 3, 5, Nó cịn vận dụng để giải lượng lớn tập liên quan đến chia hết Để giải tập người học sinh phải nắm vận dụng kiến thức cách linh hoạt, uyển chuyển, qua mà học sinh có khả phát triển tư duy, đặc biệt tư sáng tạo Tính chất chia hết tổng không ứng dụng tập hợp số tự nhiên mà mở rb ộng tập hợp số nguyên Vì muốn nắm tính chất tập hợp số tự nhiên học sinh vận dụng để giải nhiều tập trương trình THCS Qua tham khảo số tài liệu cố gắng hệ thống lại số dạng tập liên quan đến tính chất chia hết tổng (một hiệu ) Ngồi mở rộng tích chương I số học lớp Mỗi dạng tập có ví dụ minh hoạ ví dụ kèm theo.Tuy nhiên việc mắc phải sai sót điều khơng tránh khỏi II THỰC TRẠNG VIỆC HỌC TỐN CỦA HỌC SINH LỚP Học sinh khối khối bắt đầu cách học cấp THCS Các em quen với tính tốn số tự nhiên dấu phép toán cụ thể Năng lực tư logic em chưa phát triển cao Do việc áp lý thuyết để làm tập toán em điều khó Hầu hết có học sinh khá, giỏi tự làm hướng yêu cầu tốn Cịn hầu hết học sinh khác lúng túng khơng biết cách làm thực phép tốn Phần kiến thức tính chất chia hết tổng phần kiến thức quan trọng lớp nói riêng bậc trung học sở nói chung Nhưng nhiều em thuộc lý thuyết toán lại chưa biết áp dụng vào tập cụ thể nào, em chưa biết tư để từ kiến thức tổng quát vào tập cụ thể Do giáo viên cần hướng dẫn để em hiểu áp dụng tính chất học vào làm tập cụ thể Mặt khác tính tự giác học tập học sinh lớp chưa cao, cần cho em áp dụng kiến thức học vào tập cụ thể hướng dẫn giáo viên để em hiểu nắm kiến thức học cách có hệ thống để giúp em học tốt năm học sau III KIẾN THỨC CƠ BẢN Định nghĩa: - Cho hai số tự nhiên a b, b ≠ 0, có số tự nhiên x cho b.x = a ta nói a chia hết cho b ta có phép chia hết a : b = x Tính chất chia hết tổng hiệu: a ) a  ; b  ⇒ ( a + b)  m m m a  ; b  ⇒ ( a − b)  m m m / b) a  ; b m ⇒ ( a + b) m m / / a  ; b m ⇒ ( a − b) m m / c )(a + b)  ; a  ⇒ b  m m m ( a + b)  ; b  ⇒ a  m m m Tính chất chia hết tích: a Nếu thừa số tích chia hết cho m tích chia hết cho m b Nếu a chia hết cho m, b chia hết cho n a.b chia hết cho m.n a  m ⇒b  n a m  b  n c)a  ⇒ n  n b a b IV CÁC DẠNG BÀI TẬP DẠNG 1: Bài tập trắc nghiệm nhằm củng cố lí thuyết Bài tập 1: Điền dấu '' X '' vào thích hợp câu sau: CÂU ĐÚNG SAI a) Nếu số hạng tổng chia hết cho tổng chia hết cho b) Nếu số hạng tổng khơng chia hết cho tổng khơng chia hết cho c) Nếu tổng hai số chia hết cho hai số chia hết cho số cịn lại chia hết cho d) Nếu hiệu hai số chia hết cho hai số chia hết cho số cịn lại chia hết cho Bài tập 2: Khoanh tròn trước câu trả lời 1) Xét biểu thức 864 + 14 a) Giá trị biểu thức chia hết cho b) Giá trị biểu thức chia hết cho c) Giá trị biểu thức chia hết cho d) Giá trị biểu thức chia hết cho 2) Nếu a chia hết cho b chia hết cho (a + b) chia hết cho? a) 2, 3, b) 3, c) 6, d) 6, 18 3) Nếu a chia hết cho b, b chia hết cho c thì: a) a = c b) a chia hết cho c c) khơng kết luận d) a không chia hết cho c DẠNG : Khơng tính tốn , xét xem tổng (hiệu) có chia hết cho số hay không ? Bài tập 1: Áp dụng tính chất chia hết xét xem tổng (hiệu) sau có chia hết cho khơng? a) 48 + 56 + 112 b) 160 – 47 Giải Áp dụng tính chất chia hết tổng (hiệu) ta có: 48   56   ⇒ (48 + 56 + 112)  8 112   8 160  8  ⇒ (160 − 47)  47   Bài tập 2: Không thực phép tính chứng tỏ rằng: a) 34.1991 chia hết cho 17 b) 2004 2007 chia hết cho c) 1245 2002 chia hết cho15 d) 1540 2005 chia hết cho 14 Hướng dẫn: Ta có tính chất sau: a  ; a, b, c ∈ N (c ≠ 0) ⇒ a.b  c c Chỉ cần có thừa số tích chia hết cho số tích chia hết cho số Bài tập 3: Tổng (hiệu) sau có chia hết cho không? a) 1.2.3.4.5.6 + 42 b) 1.2.3.4.5.6 - 32 Hướng dẫn: * Nhận xét tích 1.2.3.4.5.6 có chứa thừa số tích chia hết cho Từ xét thừa số cịn lại xem có chia hết cho không? Dẫn đến cách giải tương tự tập Bài tập 4: Tổng (hiệu) sau số nguyên tố hay hợp số: a) 3.4.5 + 6.7 b) 7.9.11.13 – 2.3.4.7 c) 3.5.7 + 11.13.17 d) 164354 + 67541 *Nhận xét: Để chứng tỏ tổng (hiệu) hợp số ta cần tổng (hiệu) chia hết cho số khác Giải: 3.4.5  a)  ⇒ (3.4.5 + 6.7 )  5.6   Mà tổng lớn nên suy tổng hợp số Gợi ý: b) Hiệu chia hết cho hiệu lớn c) Tích 3.5.7 số lẻ, tích 11.13.17 số lẻ, mà tổng hai số lẻ số chẵn nên suy tổng chia hết cho tổng lớn d) Tổng có chữ số tận Vậy chia hết cho lớn Bài tập 5: Chứng tỏ rằng: (49.a + )  ; a ∈ N Giải: Ta có: 49.a  , a ∈ N  7  ⇒ ( 49.a + )  ; a ∈ N   DẠNG 3: Tìm số x (hoặc tìm chữ số x) Bài tập 1: Cho tổng A = (12 + 14 + 16 + x) với x thuộc N Tìm x để: a) A chia hết cho b) A không chia hết cho *Nhận xét: số hạng tổng A chia hết cho Muốn tổng A chia hết cho x phải số chia hết cho Muốn tổng A khơng chia hết cho x phải số khơng chia hết cho Bài tập 2: Tìm chữ số x để: (3x − 12)  *Nhận xét: Hiệu phải chia hết cho mà 12 chia hết cho Vậy 3x 4 Từ dựa vào dấu hiệu chia hết cho để tìm chữ số x *Giải: Ta có: (3x − 12)   3  ⇒ 3x  12   Bài tập 3: Tìm số tự nhiên x thoả mãn: [ 21 +13.( x + 2)] biết 32 ≤ x ≤ 49 Giải Ta có: {21 +13.( x + 2)}  7  ⇒13.( x + 2)   21 / 13 7 ⇒ ( x + 2) 7   ⇒ x + ∈ { 35;42;49} 32 ≤ x ≤ 49 ⇒ 34 ≤ x + ≤ 51 { x ∈ 33; 40; 47} Vậy: x ∈ { 33;40;47} Bài tập 4: Tìm số tự nhiên x cho : ( x + 260)  148 − x) ( Hướng dẫn (148 − x)  148 − x) (  ⇒ [ (148 − x) + ( x + 26)] (148 − x) ( x + 26)  148 − x)  ( ⇒ 174 (148 − x)  ≤ x ≤ 148  Từ ta tìm x Bài tập 5: Tìm số tự nhiên x cho : (2 x + 7) (3x + 1) Hướng dẫn: Ta thấy ( x + 2)  x + 2) ⇒ 2.( x + 2)  x + 2) ( ( ⇒ ( x + 4)  x + 2)  ( ( [ ( x + 7) − (2 x + 4)]  x + 2) ( x + )  x + 2)  ( ⇒  x + 2) ( Từ ta tìm x Bài tập 6: Tìm số tự nhiên x cho : (5 x + 7) (3x + 1) Hướng dẫn Muốn biến đổi hệ số x số bị chia số chia giống ta cần tìm bội chung nhỏ hai hệ số Ta có: (3x + 1) (3x + 1) ⇒ 5.(3x + 1)(3x + 1) ⇒ (15 x + 5)(3x + 1)(*) (5 x + 7)(3x + 1) ⇒ 3.(5 x + 7)(3x + 1) ⇒ (15 x + 21)(3x + 1)(**) Từ (*) (**) suy [ (15x + 21) − (15x + 5)] (3x + 1) ⇒ 16 (3x + 1) Từ ta tìm x BÀI TẬP TƯƠNG TỰ Bài tập 7: Tìm số tự nhiên x để a )( x + 4)  ; ( x ≠ 0) [ ] c)[( x + 2) − 4] x + 2) ( d )[( x +15) − 42] x +15) ( b) ( x −1) +  x −1); ( x ≠1) ( 2 MỘT SỐ BÀI TẬP NÂNG CAO Bài tập 1: Tìm số tự nhiên n cho: (18n + 3) 7 Giải 10 Cách1: 18n + 3 14  n + n + 3 ⇔ 14  n ⇒4n + 3 ⇒4n + −  ⇒4n −  ⇒4.( n −1)  Vì (4,7) =1 nên (n - 1) chia hết cho Vậy n = 7k +1 (k thuộc N) Cách 2: 18n +3 ⇔18n +3 − 21 ⇔18n −18 ⇔18.( n −1)  Vì (18,7) =1 nên (n-1) chia hết cho Vậy n = 7k +1 (k thuộc N) * Nhận xét: Việc thêm bớt bội hai cách giải nhằm đến biểu thức chia hết cho mà hệ số n Bài tập 2: Cho biết (a + 4b) chia hết cho 13, ( a; b thuộc N) Chứng minh (10a + b) chia hết cho 13 Giải Đặt : a + 4b = x 10a + b = y Ta biết x chia hết cho 13 cần chứng minh y chia hết cho 13 Cách 1: Xét biểu thức 10x – y = 10 ( a + 4b ) – ( 10a + b ) = 11 10a + 40b – 10a – b = 39b Vậy 10 x − y  13 Do x 13 ⇒ 10 x  13 ⇒ y 13 Hay 10 a + b  13 Cách 2: Xét biểu thức 4y – x = ( 10a + b ) – ( a + 4b ) = 40a + 4b – a – 4b = 39a Vậy 4x − y  13 Do x 13 ⇒ 4y  13 Hay 10 a + b  13 Cách 3: Xét biểu thức 3x + y = ( a + 4b ) + ( 10a + 4b ) = 3a + 12b +10a + 4b = 13a + 13b Suy 13 x + y  13 Do x  13 ⇒ x  13 ⇒ y  13 Hay 10 a + b  13 Cách 4: Xét biểu thức x + 9y = a + 4b + ( 10a + b ) = a + 4b + 90a + 9b = 91a + 13b Suy x + 9y  13 Do x  13 ⇒ y  13 Ta co ( ; 13 ) = ⇒ y  13 Hay 10 a + b  13 12 * Nhận xét: Trong cách giải ta đưa biểu thức mà sau rút gọn có số hạng chia hết cho 13 Khi số hạng thứ hai (nếu có) bội 13 Hệ số a x 1, hệ số a y 10 nên xét biểu thức (10x – y) nhằm khử a tức làm cho hệ số a Xét biểu thức (3x – y) nhằm tạo hệ số a 13 Hệ số b x 4, hệ số b y Nên xét biểu thức (4x – y) nhằm khử b Xét biểu thức (x + 9y) nhằm tạo hệ số b 13 Bài tập 3: Tìm số tự nhiên nhỏ chia cho dư 1, chia cho dư Giải Gọi n số chia cho dư chia cho dư Cách 1: Vì n khơng chia hết cho 35 nên n có dạng 35k + r (k, n số tự nhiên, r < 35 ) Trong r chia cho dư 1, r chia cho dư Số nhỏ 35 chia cho dư 5, 12, 19, 26, 33 có 26 chia cho dư Vậy r = 26 Số nhỏ có dạng 35k + 26 26 Cách 2: Ta có n − 5 ⇒ n − + 10 5 ⇒ n + 5 n − 7 ⇒ n − + 14 7 ⇒ n + 7 Số nhỏ thoả mãn hai điều kiện số 26 Cách 3: n = 5x + = 7y + suy 5x = 5y + 2y + suy ( y + ) chia hết cho suy y + chia hết cho Giá trị nhỏ y suy giá trị nhỏ n 7.3 + = 26 Bài tập 4: Tìm số tự nhiên n có bốn chữ số cho chia n cho 131 dư 112, chia n cho 132 dư 98 Giải 13 Cách 1: Ta có 131x + 112 = 132y + 98 suy 131x = 131y + y – 14 suy y – 14 chia hết cho 131 suy y = 131k + 14 (k thuộc N ) suy n = 132 (131k + 14 ) + 98 suy n = 132 131k + 1946 Do n có bốn chữ số nên k Vậy n = 1946 Cách 2: Từ 131x = 131y + y – 14 suy 131 ( x – y ) = y – 14 Nếu x > y y – 14 ≥ 131 suy y ≥ 145 Suy n có nhiều bốn chữ số Vậy x = y y = 14 ; n = 1946 Cách 3: Ta có n = 131x + 112 nên 132n = 131.132x + 14784 (1) mà n = 132y + 98 nên 131n = 131.132y + 12838 (2) Từ (1) (2) suy 132n – 131n = 131.132 ( x – y ) + 1946 Hay n = 131.132 (x – y ) + 1946 Vì n có bốn chữ số nên n = 1946 Bài tập 5: a) Chứng tỏ hiệu sau không chia hết cho ( 10k + 8k + 6k ) – ( 9k + 7k + 5k ) ( k ∈ N* ) 14 b) Chứng tỏ tổng sau chia hết cho 2001k + 2002k + 2003k ( k ∈ N* ) c) Xét xem hiệu sau có chia hết cho 10 không ? 200012010 - 19172000 Hướng dẫn a) 10k, 8k, 6k số chẵn nên ( 10k + 8k + 6k ) số chẵn chia hết cho ; 9k, 7k, 5k số lẻ nên ( k + 7k + 5k ) số lẻ không chia hết cho Vậy ( 10k + 8k + 6k ) – ( 9k + 7k + 5k ) không chia hết cho b)2001k số lẻ; 2003k số lẻ nên 2001k + 2003k số chẵn chia hết cho 2002k số chẵn nên chia hết cho Vậy 2001k + 2002k + 2003k chia hết cho c) 20012010 có chữ số tận 19172000 = (19174 )500 có chữ số tận Vậy 200012010 - 19172000 có chữ số tận 200012010 - 19172000 chia hết cho 10 * Trên số tập tiêu biểu lựa chọn phân dạng cụ thể Qua việc áp dụng tính chất chia hết tổng để giải tập học sinh nắm kiến thức cách chắn, rèn luyện cho học sinh khả tư tốn cách logic, có cứ, đồng thời gây hứng thú học tập , thúc đẩy khả tìm tịi sáng tạo học sinh mơn tốn nói riêng mơn học khác nói chung Đồng thời giúp em biết cách xử lý cách linh hoạt, tối ưu tình thực tế đời sống hàng ngày IV CÁC BIỆN PHÁP THỰC HIỆN Do yêu cầu phương pháp dạy học có thay đổi so với phương pháp cũ, phải đảm bảo tính chủ đạo thày, chủ động trị đồng thời kích 15 thích hứng thú học tập lứa tuổi học sinh lớp Để áp dụng tốt tính chất chia hết tổng vào làm tập cần sử dụng hợp lý tất phương pháp dạy học : Đặt vấn đề, đàm thoại, gợi mở, trực quan … để học sinh tiếp thu kiến thức cách tốt Biện pháp chủ yếu cho em làm tập lý thuyết, luỵện tập với dạng tập cụ thể đa dạng từ dễ đến khó có hướng dẫn gợi mở giấo viên Có thể tổ chức thi làm nhanh tổ để kích thích tính tích cực, ganh đua học tập Đồng thời cần có biện pháp để kiểm tra sát việc học làm học sinh để đảm bảo chất lượng học tập trung 16 PHẦN III KẾT LUẬN, KIẾN GHỊ I KẾT LUẬN Xuất phát từ nhiệm vụ người giáo viên với mục đích cuối nâng cao chất lượng giáo dục mặt Bản thân giáo viên trẻ kinh nghiệm chưa nhiều song qua trình dạy học thân, qua đồng nghiệp qua bạn bè, qua việc tìm hiểu tham khảo sách tơi cố gắng lựa chọn tập tiêu biểu để áp dụng, qua giúp học sinh nắm trắc kiến thức, sâu kiến thức Trong sách giáo khoa toán tập sau tiết lý thuyết khơng có tiết luyện tập tính chất chia hết tổng nên việc vận dụng lý thuyết vào làm tập hạn chế, chưa mở rộng nâng cao, chí có học sinh dừng lại mặt lý thuyết cịn việc vận dụng khó khăn Do lực tư em hạn chế việc chuyển từ lý thuyết sang làm tập việc khó khăn Tính chất chia hết tổng thuộc phần phép chia hết lớp 6, nội dung qua trọng kiến thức có liên quan chặt chẽ, tiền đề cho học sinh học tốt kiến thức sau đặc biệt ứng dụng nhiều Do vậy, trước hết cần cho học sinh nắm thật vững định nghĩa phép chia hết, tính chất chia hết tổng, hiệu tích Để học sinh nắm vững hứng thú học tập, cần chọn lọc hệ thống tập theo mức độ tăng dần từ dễ đến khó Cần rèn luyện nhiều cách lập luận trình bày học sinh học sinh đầu cấp Với dạng khơng có quy tắc tổng quát, song sau giải giáo viên nên đặc điểm, hướng giải để gặp tương tự, học sinh tự liên hệ II KIẾN NGHỊ Với Sở GD&ĐT, Phòng GD&ĐT 17 - Quan tâm đến việc bồi dưỡng chuyên môn, nghiệp vụ cho giáo viên dạy toán Nên tổ chức hội thảo chuyên đề chuyên sâu cho giáo viên tỉnh Với BGH nhà trường - Hiện nay, nhà trường có số sách tham khảo nhiên chưa đầy đủ Vì nhà trường cần quan tâm việc trang bị thêm sách tham khảo mơn Tốn để học sinh tìm tịi, học tập giải tốn để em tránh sai lầm làm tập nâng cao hứng thú, kết học tập mơn tốn nói riêng, nâng cao kết học tập học sinh nói chung Với PHHS - Quan tâm việc tự học, tự làm tập nhà Thường xuyên kiểm tra sách, việc soạn trước đến trường 18 ... dạng tốn áp dụng tính chất chia hết tổng phương pháp giảng dạy toán áp dụng tính chất chia hết tổng để giúp nâng cao hứng thú kết học tập học sinh - Học sinh lớp trường THCS XXX V Phương pháp nghiên... xem tổng (hiệu) có chia hết cho số hay không ? Bài tập 1: Áp dụng tính chất chia hết xét xem tổng (hiệu) sau có chia hết cho khơng? a) 48 + 56 + 112 b) 160 – 47 Giải Áp dụng tính chất chia hết tổng. .. không chia hết cho tổng khơng chia hết cho c) Nếu tổng hai số chia hết cho hai số chia hết cho số cịn lại chia hết cho d) Nếu hiệu hai số chia hết cho hai số chia hết cho số lại chia hết cho Bài tập