I- Tóm tắt đề tài……………………………………………………… II- Giới thiệu……………………………………………………………4 III- Phương pháp……………………………………………………… Khách thể nghiên cứu……………………………………… .5 Thiết kế……………………………………………………… Quy trình nghiên cứu……………………………………… Đo lường…………………………………………… ….… 13 IV- Phân tích liệu kết quả.…………………………………… 13 V- Bàn luận…………………………………………………….……….14 VI- Kết luận khuyến nghị………………………………………… 15 VII- Tài liệu tham khảo……………………………………….……….15 VIII- Phụ lục……………………………………………….……….… 16 ĐỀ TÀI NGHIÊN CỨU KHSPƯD “SỬ DỤNG HẰNG ĐẲNG THỨC RÚT GỌN BIỂU THỨC CÓ CHỨA CĂN THỨC BẬC HAI’ ĐỂ RÈN KĨ NĂNG, PHƯƠNG PHÁP GIẢI TỐN CHO HỌC SINH LỚP TRƯỜNG THCS I.TĨM TẮT Qua năm giảng dạy ở trường THCS Tôi nhận thấy rằng các em học sinh, nhất là lớp phải chịu nhiều áp lực việc thi cử vào các trường chuyên, trường công để định hướng cho tương lai cuả mình sau này Mà ở các kỳ thi đó, nội dung đề thi thường rơi vào phần kiến thức bản không thể thiếu đó là chương thức bậc hai cho dưới dạng rút gọn biểu thức và thực hiện phép tính Phần lớn các em không làm được bài làm không trọn vẹn tập phần • Các nguyên nhân: Về học sinh: - Chưa nắm vững đẳng thức học lớp - Kỹ vận dụng đẳng thức học dạng biểu thức chứa dấu lớp chưa thành thạo - Kỹ biến đổi, tính tốn, giải tốn thức bậc hai đa số học sinh yếu Về giáo viên: - Thường sử dụng PPDH truyền thống, chưa đầu tư thích đáng PPDH, sử dụng phương tiện dạy học để rèn luyện kỹ vận dụng đẳng thức học dạng biểu thức chứa dấu lớp kỹ biến đổi, tính tốn, giải toán thức bậc hai cho học sinh * Các giải pháp Giáo viên thực dẫn đến trạng - Vì học sinh chưa nắm vững đẳng thức học lớp vận dụng đẳng thức học dạng biểu thức chứa dấu lớp chưa thành thạo nên giáo viên thường hướng dẫn giải chi tiết Đây thường hình thức hướng dẫn giải tập cụ thể mà khơng có định hướng phương pháp sở kiến thức vận dụng vào tập Do học sinh khơng có kỹ làm dẫn đến đa số học sinh hứng thú giải toán thức bậc hai * Giải pháp đưa là: Hướng dẫn học sinh có kĩ năng, phương pháp giải tốn chứa thức bậc hai, cụ thể là: "Sử dụng hằng đẳng thức rút gọn biểu thức có chứa thức bậc hai " Nghiên cứu tiến hành nhóm tương đương lớp 9A (lớp thực nghiệm) lớp 9B (lớp đối chứng) trường THCS Xxx, Xxx, Xxx năm học 20102011 Kết cho thấy tác động có ảnh hưởng rõ rệt đến kết học tập học sinh Lớp 9A (lớp thực nghiệm) đạt kết học tập cao so với lớp 9B (lớp đối chứng) Kết điểm kiểm tra đầu lớp thực nghiệm 9A sau: với phép kiểm chứng T-test độc lập tính p = 0,02 < 0,05 có nghĩa có khác biệt lớn điểm trung bình lớp 9A lớp 9B mức độ ảnh hưởng lớn (0,75) Kết thống kê chứng minh rằng: "Sử dụng hằng đẳng thức rút gọn biểu thức có chứa thức bậc hai" có rèn luyện kỹ , phương pháp giải toán chứa thức bậc hai cho học sinh lớp II GIỚI THIỆU: Trong chương trình Tốn lớp 9, Sách giáo khoa lớp và sách bài tập, t ập 1, đưa rất nhiều bài tập về rút gọn biểu thức chứa thức bậc hai khó, địi hỏi học sinh phải nắm vững đẳng thức học lớp vận dụng đẳng thức học dạng biểu thức chứa dấu lớp để biến đổi rút gọn Đa số học sinh lớp trường THCS Xxx, Xxx, Xxx chưa có kỹ làm học yếu phần Qua khảo sát thực tế trước nghiên cứu, tác động phần lớn giáo viên dạy học phương pháp truyền thống, chưa ý định hướng phương pháp hướng dẫn sử dụng đẳng thức học vào biến đổi rút gọn biểu thức chứa thức bậc hai học sinh khơng có kỹ làm gây hứng thú việc học Giải pháp thay thế: Hướng dẫn học sinh có kĩ năng, phương pháp giải toán chứa thức bậc hai, cụ thể là: "Sử dụng hằng đẳng thức rút gọn biểu thức có chứa thức bậc hai " Vấn đề nghiên cứu: Việc sử dụng hằng đẳng thức rút gọn biểu thức có chứa thức bậc hai chương trình Tốn lớp có rèn luyện kĩ năng, phương pháp giải toán chứa thức bậc hai cho học sinh lớp trường THCS Xxx, Xxx, Xxx hay không? Giả thuyết nghiên cứu: Có, việc sử dụng hằng đẳng thức rút gọn biểu thức có chứa thức bậc hai chương trình Tốn lớp có rèn luyện kĩ năng, phương pháp giải toán chứa thức bậc hai cho học sinh lớp trường THCS Xxx, Xxx, Xxx III PHƯƠNG PHÁP Đề tài "Sử dụng hằng đẳng thức rút gọn biểu thức chứa thức bậc hai " nghiên cứu năm học 2010-2011 áp dụng vào giảng dạy lớp Trong q trình nghiên cứu, áp dụng, tơi sử dụng phương pháp thống kê, phân loại phương pháp so sánh kết thực nghiệm (các phiếu học tập, kiểm tra) hai lớp 9A lớp 9B Bên cạnh tơi so sánh, đối chiếu với phương pháp giảng dạy năm học trước để hồn chỉnh đề tài với mong muốn tiếp tục áp dụng vào giảng dạy cho năm học sau Qua đề tài này, tự trang bị cho phương pháp giảng dạy đáp ứng yêu cầu đổi phương pháp dạy học Khách thể nghiên cưú Đối tượng tham gia thực nghiệm đề tài học sinh lớp 9A đối tượng đối chứng học sinh lớp 9B Các em học sinh hai lớp có phương pháp học phù hợp Nhiều em có ý thức học tập tốt, chịu khó suy nghĩ tìm tịi khám phá Đồ dùng sách tư liệu cần thiết em chuẩn bị đầy đủ Tuy nhiên trình thực tiết dạy tơi chia học sinh lớp thành nhóm khác (Các nhóm thực nghiệm nhóm kiểm chứng lựa chọn thường có khả nhận thức ngang nhau) Thiết kế nghiên cứu Trong đề tài thiết kế nghiên cứu cách dựa sở kiến thức lý thuyết phương pháp dạy học tích cực kiến thức lý thuyết kỹ thuật dạy học áp dụng thực tiễn giảng dạy Đề tài sử dụng thiết kế nghiên cứu kiểm tra trước sau tác động nhóm tương đương hai lớp 9A 9B Thời gian thực nghiệm để kiểm chứng diễn vòng ba tháng Dùng kiểm tra đầu năm làm kiểm tra trước tác động, kết điểm trung bình lớp có khác tơi sử dụng phép kiểm chứng T-test độc lập để kiểm chứng chênh lệch điểm trung bình nhóm trước tác động Kết quả: Lớp thực nghiệm – 9A Lớp đối chứng – 9B 6,4 6,33 Điểm trung bình Kiểm chứng T-test độc lập p = 0,44 Với p = 0,44 > 0,05 chênh lệch điểm trung bình lớp khơng có ý nghĩa, lớp coi tương đương Thiết kế kiểm tra trước sau tác động với nhóm tương đương: Nhóm Lớp 9A (15 Hs) Lớp 9B (15 Hs) Kiểm tra trước tác động O1 O2 Tác động Dạy học có hướng dẫn sử dụng đẳng thức học Dạy học không hướng dẫn sử dụng đẳng thức Kiểm tra sau tác động O3 O4 Quy tr ình nghi ên c ứu 3.1.Cơ sở lí luận : Trên sở mục tiêu giáo dục " Nâng cao dân trí- Đào tạo nhân lựcBồi dưỡng nhân tài" đào tạo người tự chủ, động, sáng tạo, có lực giải vấn đề thực tiễn đặt ra, đáp ứng yêu cầu Công nghiệp hoá, đại hoá đất nước Muốn đào tạo người vào đời người tự chủ, động sáng tạo phương pháp giáo dục phải hướng vào việc khơi dậy, rèn luyện phát triển khả nghĩ làm cách tự chủ, động sáng tạo học lập, lao động nhà trường Vì cần phải đổi phương pháp dạy học, áp dụng phương pháp , bồi dưỡng cho học sinh lực tư sáng tạo, lực tự giải vấn đề, lực chủ động chiếm lĩnh tri thức Đặc biệt mơn Tốn giáo viên cần chọn lọc hệ thống tập phương pháp giảng dạy phù hợp có vai trị định đến việc phát huy tính tích cực, sáng tạo học sinh 3.2 Thực tế tổ chức day học Để khắc phục vấn đề đã nêu ở , ta cần cho học sinh học kỷ bảy hằng đẳng thức đã học ở lớp ( theo thứ tự ): 1) 2) 3) 4) 5) 6) 7) Bình phương một tổng : Bình phương một hiệu : Hiệu hai bình phương : Lập phương một tổng : Lập phương một hiệu : Tổng hai lập phương : Hiệu hai lập phương : ( a + b )2 = a2 + 2ab + b2 ( a - b )2 = a2 - 2ab + b2 a2 – b2 = ( a + b ).( a – b ) ( a + b )3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 ( a - b )3 = a3 - 3a2b + 3ab2 - b3 a3 + b3 = ( a + b).( a2 - ab + b2 ) a3 - b3 = ( a - b).( a2 + ab + b2 ) Biết vận dụng nó để đưa những hằng đẳng thức đáng nhớ ở lớp (theo thứ tự ) viết dưới dạng có dấu : 1) a + ab + b = a + b ( 2) a − a + = ( ) ) a −1 2 ( a ) − ( b ) = ( a + b ) ( 3 4) a a + b b = ( a ) + ( b ) = ( a + 3 5)1 − a a = ( 1) − ( a ) = (1 − a ).( + 3) a − b = a− b ) ( b ) a − ab + b a +a ) ) 6) a b + b a = ab ( a + b ) 7) a + a = a ( a + 1) Chú ý : +a;b>0 + Hằng đẳng thức số ; ở lớp ít được sử dụng ở lớp , nên không đưa vào phần ghi nhớ ở lớp Khi làm được điều này học sinh sẽ có cứ để giải bài tập rút gọn biểu thức có chứa thức bậc hai BIỆN PHÁP THỰC HIỆN : Sách giáo khoa lớp và sách bài tập , tập đưa rất nhiều bài tập về rút gọn biểu thức chứa thức bậc hai Sau số tập lựa chọn giảng dạy cho học sinh: Bài tập 64/33 sgk : Chứng minh các đẳng thức sau :    a)  − a a + a ÷ − a ÷ =  1− a ÷ − a ÷    ( a ≥ 0; a ≠ 1) Nhận xét đề bài : Bài toán cho gồm có các hằng đẳng thức sau : − a a = 13 − a = − a + a + a ( ) ( )( − a = 12 − ( a ) = ( − a ) ( + a ) ) tương tự hđt (hằng đẳng thức) số ; lớp Áp dụng vào bài toán , ta biến đổi vế trái : Giải  1− a a  − a VT =  + a ÷  1− a ÷ − a   ( )(  ÷ ÷  )  1− a 1+ a + a    1− a  = + a .    1+ a 1− a  1− a     ( ( )( ) )   = + a + a  ÷  1+ a  Đến ta lại thấy xuất hiện hđt : ( + a + a ) = ( + a ) tương tự hđt số lớp Tiếp tục biến đổi ta được kết quả : b) a+b a 2b =a b2 a + 2ab + b ( VT = + a ) ( 1+ a ) = = VP ðpcm với a+b >0 b ≠ Nhận xét : a2 + 2ab + b2 = ( a + b )2 hđt số lớp Áp dụng vào bài toán ta biến đổi vế trái : Giải VT = a+b a b4 a+b = 2 2 b a + 2ab + b b a b4 ( a + b) 2 a + b ab a+b b a = = = a = VP a+b a+b b b ðpcm Vi a + b > Bài 65 /34 sgk : Rút gọn rồi so sánh giá trị của M với , biết :  a +1  M = + ÷: a −1  a − a +1 a− a ( a > va # a ≠ 1) Nhận xét : a − a = a ( a − 1) a − a +1 = ( ) a −1 có dạng hđt số và lớp Áp dụng vào bài toán : Giải    1  a +1 1 ÷  M = + = + : ÷: a −1 a − a +1  a a −1 a −1÷ a− a   (   1+ a ÷ M = :  a a −1 ÷   ( a −1 M = a ) ( = 1− a ) Bài 75 / 41 sgk : Chứng minh các đẳng thức sau c) a b +b a : = a − b ( a, b > ; a ≠ b) ab a− b  a+ a   a− a  d ) 1 + ÷ 1 − ÷= 1− a  a +1 ÷  a −1 ÷    ( a ≥ va # a ≠ 1) Nhận xét : Hai câu gồm có các hđt số & lớp : a b + b a = ab a± a = a ( ( a+ b ) ) a ±1 Áp dụng vào bài toán , ta biến đổi vế trái còn gặp thêm dạng hđt số lớp : Giải : c)VT = a b +b a ab : a− b ab ( a+ b  a+ a   a− d )VT =  + ÷ 1 − ÷  a +1 ÷  a −1 ÷      ( )( ) = + a − a = 12 − ) ) ( a) −( b) ab  a ( a + 1)   a ( a − 1)  a  ÷ 1 − ÷ = 1+ = ( a) ( a +1 = − a = VP a− b = ÷  a −1 = a − b = VP ðpcm ÷  ðpcm Bài 86 / 16 sbt : Cho biểu thức : 1   a +1 a +2 − ÷:   a − − a −1 ÷ ÷ a   a −1   Q= (a > 0; a ≠ ; a ≠ 1) a) Rút gọn Q b) Tìm giá trị của a để Q dương Nhận xét : Sau quy đồng mẫu thức , ta thấy xuất hiện dạng hđt số lớp Giải : 1   a +1 a +2 − − ÷ ÷:  a   a −2 a −1 ÷  a −1    a)Q =  ( ) ( )( ) ( )( )(  a − a −1   a + a −1 − a + a − ÷:  Q=  a a −1 ÷  a − a −1       a −1 − a −    ) ( ) ÷=  1  ÷:  ( ÷. Q=  a a −1 ÷  a − ÷  a a −1 ÷  a −1       ( ) ( ( ) ( )( ( a − 2) > ⇔ vi b) Q > ⇔ a ) ) ( ) ) ÷ ( ÷  a −2 )( ) ÷= ( a −1  ÷  a −2 ) a a > 0(a > 0) ⇒ a − > ⇔ a > ⇔ a > Bài 105 / 20 sbt :Chứng minh các đẳng thức ( với a,b không âm và a ≠ b ) a+ b a− b 2b b − − = a −2 b a +2 b b−a a− b  a a +b b  a + b  b)  − ab ÷ =1  ÷ a − b ÷ ÷ a+ b    a) Nhận xét : Bài toán cho dưới dạng hđt số & lớp kết hợp với quy tắc đổi dấu Áp dụng vào bài toán , biến đổi vế trái : Giải : a )VT = ( = = a+ b a− b 2b a+ b a− b 2b − − = − + a − b a + b b − a 2( a − b ) 2( a + b ) a − b a+ b ) −( a− b 2( a − b) ab + 4b = ( a − b) b ( ) ( + 4b = a+ b a+ b )( ) ( a + ab + b) − (a − ab + b) + 4b ( a − b) a− b ) (  a a +b b  a + b b)VT =  − ab ÷  ÷ a − b a+ b    =   ( a+ b )(a− ab + b a+ b )−   = a − ab + b  ÷ =  a− b ( )  ab ÷ ÷  ( b = a+ b ) − ab a− b − ðpcm  ÷ ÷  (  ÷ a− b ÷  a+ b a+ b a− b ) ( )( a− b Bài 106 / 20 sbt : Cho biểu thức : ( A= = VP ) a− b a b +b a ab a) Tìm điều kiện để A có nghĩa 10 ) ) = = VP ðpcm b) Khi A có nghĩa Chứng tỏ giá trị của A không phụ thuộc vào a Nhận xét : Bài toán cho dưới dạng hằng đẳng thức sau : a ± ab + b = ( a± b ) Áp dụng vào bài toán ta có lời giải: a b + b a = ab ( a + b ) A= ( a+ b ) Giải : − ab a− b aĐK a b; > a; ≠ ) : b ( b) A = = a+ b ) a b +b a ab − − ab − a− b a b +b a ab ab a + ab + b − ab − a− b A= ( = A= a − ab + b − a− b a− b ( ) a− b ( a+ b ( a+ b ) ab ) − ( ) ( a− b − a+ b ) ) a + b = a − b − a − b = −2 b Biểu thức A không phụ thuộc vào a Bài 107 / 20 sbt : Cho biểu thức :   2x +1   + x3 x  ÷ B= − − x÷ ÷  x + x + ÷ + x  x −1   ( x ≥ ; x ≠ 1) a) Rút gọn B b) Tìm x để B = Nhận xét : Bài toán cho gồm có hằng đẳng thức sau : ( x −1) ( x + x3 = ( + x ) ( − x3 − = 1+ ) x + x) x +1 Áp dụng vào bài toán ta có : Giải :   2x +1   + x3 x ÷ − − x÷ ÷  x + x + ÷ + x  x −1   a) B =  11  B = ( )( ) )  1− ÷( )÷     x +1 − x x −1 B =  x −1 x + x +1   x +1 − x + x B =  x −1 x + x +1   x + x +1 B =  x −1 x + x +1  ( ( ( ( )( )  + x − x + x  x +1 x ÷ − − x÷ ÷ 1+ x x −1 x + x +1 x + x +1 ÷ ( )( )( ( ) ) )( )   x +x− x )  ÷ 1− x + x ÷   ÷ 1− x = x −1 ÷  ( ) ( ) B = ⇔ x −1 = ⇔ x = ⇔ x =16 b) Bài / 148 sbt : Rút gọn : P= x x+y y − x+ y ( x x+y y ( x− y ) ( x ≥ ; y ≥ ; x + y > 0) Nhận xét : bài toán có hđt sau : x x + y y = ( x + y ) ( x − xy + y ) Áp dụng vào bài toán Giải : P= ( x+ y − x− y ) ) ( = ( x+ y )(x− x+ ) xy + y y )− ( x −2 xy + y P = x − xy + y − x − xy + y = x − xy + y − x + xy − y = ) xy Bài / 148 sbt : Chứng minh đẳng thức  a +1 a −1  + =  ÷: a −1  a − a +1 a a− a ( a > ; a ≠ 1) Nhận xét : bài toán cho gồm có hđt sau : a− a = a ( a − a +1 = ) a −1 ( ) a −1 Áp dụng vào bài toán , ta biến đổi vế trái : Giải :    a +1 1 ÷  VT =  + : = + : ÷ a −1  a − a +  a a −1 a −1 ÷ a− a   (   1+ a ÷ VT =  :  a a −1 ÷   ( ) ( )   a +1 1+ a ÷ =  a a −1 ÷ a −1   ( ) ) ( Bài 7/148 sbt : Rút gọn biểu thức :  x −2 x +  (1 − x) P= − ÷  x −1 x + x +1÷   12 ) a −1 a +1 ( a +1 ) a −1 2 = a −1 = VTđpcm a ( ) Nhận xét : bài toán cho gồm có hđt sau : x −1 = ( )( ) x −1 x + x +1 = ( x +1 ) x +1 Áp dụng vào bài toán ta có lời giải : Giải : ĐK : x ≥ ; x ≠   x −2 x +  ( 1− x) x −2 P= − = − ÷  x −1 x + x + ÷  x −1 x +1      x −2 x +1 − x + x −1  ( − x )  ÷ P=  ÷  ÷ x −1 x +1      x + x − x − − x + x − x + ÷ ( − x ) P=  ÷  ÷ x −1 x +1   ( ( )( ( ) ( )( ) ( )( = − x =− x ( ( ( ( ) ( ) )  −2 x P=  ( x − 1) x +  )( x +1 ) ) )( )(  x + ÷ ( 1− x) ÷ ÷ x +1  )  1− x − x x −1 ) = ( ) ÷ ( ÷ x +1  ( ) ) x −1 x +1 ) ( x −1 = x 1− x ) Đo lường Dùng kiểm tra đầu năm làm kiểm tra trước tác động Bài kiểm tra sau tác động kiểm tra 20 phút cuối chương I, gồm tập rút gọn tính giá trị biểu thức chứa thức bậc hai (thang điểm 10) IV PHÂN TÍCH DỮ LIỆU VÀ KẾT QUẢ So sánh điểm trung bình kiểm tra sau tác động lớp 9A,9B Lớp thực Lớp đối nghiệm – 9A chứng – 9B Điểm trung bình 8,2 7,4 Độ lệch chuẩn 0,94 1,06 Kiểm chứng T-test độc lập p = 0,02 Chênh lệch giá trị trung 0,75 bình chuẩn (SMD) Bảng thống kê chứng minh kết lớp trước tác động tương đương Sau tác động phép kiểm chứng T-test độc lập cho kết p = 0,02 b > 0) ÷: 2  a − a −b a) Rút gọn Q b) Xác định giá trị của Q a = 3b Bài 2: Cho biểu thức P= x +1 x 2+5 x + + 4− x x −2 x +2 ( x ≥ 0; x ≠ 4) a) Rút gọn P b) Tìm x để P = * Phụ lục 2: Đáp án biẻu điểm đề kiểm tra 20 phút Đáp án Điểm Bài Nhận xét : Bài toán cho có dạng hđt số lớp Áp dụng vào bài toán ta rút gọn câu a : Giải :  a a − 1 + a − b2  a − b2  a)Q =  b ÷: ÷ 2  a − a −b   2 2 a  a − b + a ÷ a − a − b Q= −  ÷ b a2 − b2  a − b2  2 −  a − b2  a  ÷ a a a − a + b2   = Q= − − a2 − b2 b a − b2 a − b2 b a − b2 2 a −b a b a −b a −b Q= − = = = a + b a − b a+b a2 − b2 b a − b2 a − b2 ( 1,0 0,75x2 ) 0,5x4 b) Khi a = 3b Ta co : Q= a −b 3b − b = = = a+b 3b + b 2 0,5 Bài 2: Nhận xét : Bài toán cho có hằng đẳng thức : − x = ( + x ) ( − x ) và dùng quy tắc đổi dấu để rút gọn biểu thức P Giải : 16 a) P = P= ( x +1 x +5 x + + = 4−x x −2 x +2 )( x +1 ) x +2 +2 x ( x +1 x +5 x + − x −4 x −2 x +2 ) ( x −2 − +5 x x −4 x + x + x + + 2x − x − − x P= x −4 x x −2 3x − x x P= = = x −4 x −2 x +2 x +2 ( ( b) P = ⇔ ( ) )( ) ( x = 2( x = ⇔3 x +2 ) ) 0,75 0,75 0,75 ) x + 2) ⇔ 0,5x3 x = ⇔ x = 16 0,25x5 * Ph lc bảng điểm LP THC NGHIM 9A TT 10 11 12 13 14 15 Họ tên Điểm kiểm tra trước tác động 8 6 7 LỚP ĐỐI CHỨNG 9B 17 Điểm kiểm tra sau tác động 10 9 8 TT 10 11 12 13 14 15 Họ tên Điểm kiểm tra trước tác động 6 7 7 Điểm kiểm tra sau tác động 7 7 9 8 Người viết: XXX 18 ... KHSPƯD “SỬ DỤNG HẰNG ĐẲNG THỨC RÚT GỌN BIỂU THỨC CÓ CHỨA CĂN THỨC BẬC HAI? ?? ĐỂ RÈN KĨ NĂNG, PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN CHO HỌC SINH LỚP TRƯỜNG THCS I.TÓM TẮT Qua năm giảng dạy ở trường THCS Tôi... bậc hai khó, địi hỏi học sinh phải nắm vững đẳng thức học lớp vận dụng đẳng thức học dạng biểu thức chứa dấu lớp để biến đổi rút gọn Đa số học sinh lớp trường THCS Xxx, Xxx, Xxx chưa có kỹ làm học. .. cứu: Có, việc sử dụng hằng đẳng thức rút gọn biểu thức có chứa thức bậc hai chương trình Tốn lớp có rèn luyện kĩ năng, phương pháp giải toán chứa thức bậc hai cho học sinh lớp trường THCS