Bài Giảng LÝ THUYẾT XÁC SUẤT – THỐNG KÊ TOÁN HỌC PROBABILITY THEORY AND MATHEMATICAL STATISTICS Chương CÁC KHÁI NiỆM CÁC CƠNG THỨC CƠ BẢN §1 PHÉP THỬ - BIẾN CỐ KHÔNG GIAN MẪU CÁC KHÁI NiỆM CÁC PHÉP TOÁN TRÊN CÁC BIẾN CỐ MỐI QUAN HỆ GIỮA CÁC BIẾN CỐ KHÔNG GIAN MẪU CÁC TÍNH CHẤT CÁC KHÁI NiỆM   Phép thử xem việc thực số điều kiện định đó, quan sát hay thí nghiệm, q trình làm phát sinh liệu… Thường ta xét phép thử có nhiều kết cục, kết cục phép thử gọi biến cố CÁC KHÁI NiỆM Các loại biến cố • Biến cố chắn, ký hiệu Ω, biến cố thiết xảy phép thử thực • Biến cố khơng thể có, ký hiệu Ø, biến cố thiết không xảy phép thử thực • Biến cố ngẫu nhiên biến cố xảy không xảy ra, ta thường dùng ký tự A, B, C… để ký hiệu biến cố CÁC KHÁI NiỆM Phép thử ngẫu nhiên phép thử mà ta kết cục xảy trước thực phép thử (mặc dù biết tất kết cục xảy nó) CÁC PHÉP TỐN TRÊN CÁC BIẾN CỐ τ Xét phép thử , A, B biến cố • Tổng hai biến cố A B biến cố, ký hiệu A U B (hoặc A + B ), biến cố xảy (và khi) có hai biến cố A, B xảy • Tích hai biến cố A B biến cố, ký hiệu A ⋂ B (hoặc A.B), biến cố xảy (và khi) A xảy B xảy CÁC PHÉP TOÁN TRÊN CÁC BIẾN CỐ Ví dụ Xem hai xạ thủ bắn vào bia, người bắn viên Gọi A biến cố “xạ thủ thứ bắn trúng bia” A’ biến cố “xạ thủ thứ bắn không trúng bia” B biến cố “xạ thủ thứ hai bắn trúng bia” B’ biến cố “xạ thủ thứ hai bắn khơng trúng bia” Khi đó: A U B biến cố “bia trúng đạn” A’ ⋂ B’ biến cố “bia không trúng đạn” SỰ LIÊN HỆ GIỮA CÁC BIẾN CỐ τ Xét phép thử ; A, B biến cố  Biến cố A gọi kéo theo biến cố B, ký hiệu A ⊂ B, A xảy B xảy  Biến cố A B gọi tương đương, ký hiệu A = B, A kéo theo B B kéo theo A SỰ LIÊN HỆ GIỮA CÁC BIẾN CỐ    Hai biến cố A B gọi xung khắc A ⋂ B = Ø Biến cố đối lập với biến cố A, ký hiệu , A xung khắc A A A AU = Ω (biến cố chắn) Đôi ta sử dụng ký hiệu A\B để B biến cố A ⋂ CÔNG THỨC CỘNG (Trường hợp đối lập) ( ) P(A) = - P A CÔNG THỨC CỘNG (Trường hợp đối lập) Ví dụ Trong đợt khuyến mại dành cho khách hàng thân thiết, công ty phát hành 100 vé có 10 vé có thưởng Một khách hàng tặng ngẫu nhiên vé Tính xác suất để vé có vé trúng thưởng XÁC SUẤT CÓ ĐIỀU KIỆN Định nghĩa Cho không gian mẫu S, định nghĩa biến cố, xác suất biến cố A, B hai biến cố với P(B) > Khi xác suất có điều kiện biến cố A với điều kiện biến cố B xảy ra, ký hiệu P(A| B), xác định B) P(A ∩ P(A B) = P(B) XÁC SUẤT CĨ ĐIỀU KIỆN Ví dụ Một cơng ty có lơ hàng gồm 100 sản phẩm có 60 sản phẩm phân xưởng sản xuất, 40 sản phẩm phân xưởng sản xuất Số sản phẩm đạt tiêu chuẩn phân xưởng 1, phân xưởng 55; 35 Chọn ngẫu nhiên sản phẩm từ lô hàng Biết sản phẩm chọn sản phẩm đạt tiêu chuẩn, tính xác suất để sản phẩm phân xưởng sản xuất CÔNG THỨC NHÂN P(A ∩ B) = P(A)P ( B A ) = P(B)P ( A B ) CƠNG THỨC NHÂN Ví dụ Một lơ hàng gồm 20 sản phẩm có phế phẩm Người ta lấy lần sản phẩm để kiểm tra (khơng hồn lại) phát đủ phế phẩm dừng a) Tính xác suất để việc kiểm tra dừng lần thứ hai b) Tính xác suất để việc kiểm tra dừng lần thứ ba Hai biến cố A B gọi độc lập    với P(A) = P(A|B) hay P(B) = P(B|A) Việc xảy hay không xảy biến cố không ảnh hưởng đến khả xảy biến cố Từ định nghĩa ta suy ra: Hai biến cố A B độc lập với P(AB) = P(A).P(B) SỰ ĐỘC LẬP CỦA CÁC BIẾN CỐ Ví dụ Một lơ hàng có hai kiện sản phẩm Mỗi kiện có 20 sản phẩm Kiện có 18 sản phẩm tốt phế phẩm Kiện có 16 sản phẩm tốt phế phẩm Lấy ngẫu nhiên từ kiện sản phẩm Tính xác suất để sản phẩm lấy có sản phẩm tốt SỰ ĐỘC LẬP CỦA CÁC BIẾN CỐ Ví dụ Một hệ thống gồm phận hoạt động độc lập với Xác suất để phận bị hỏng ngày 0,05; 0,1; 0,15 Hệ thống ngừng hoạt động có phận bị hỏng Tính xác suất để hệ thống hoạt động tốt (không bị ngừng hoạt động) ngày CÔNG THỨC XÁC SUẤT ĐẦY ĐỦ Cho không gian mẫu S A1, A2, …, An, B biến cố  Các biến cố A1, A2, …, An gọi hệ đầy đủ biến cố xung khắc đôi chúng thỏa mãn hai điều kiện: (a) A1 ∪ A ∪ ∪ A n =Ω (biến cố chắn) (b) A i ∩ A j = ∅ với i ≠ j i, j (biến cố khơng thể có) ∈ {1, 2, …, n} CÔNG THỨC XÁC SUẤT ĐẦY ĐỦ Ví dụ Một lớp học có 100 sinh viên có 60 nam 40 nữ Số sinh viên đạt mơn Tốn cho bảng sau: Đạt Nam Nữ Không đạt 46 34 14 Chọn ngẫu nhiên sinh viên lớp học Tính xác suất để chọn sinh viên đạt mơn Tốn CÔNG THỨC BAYES TỪ CÔNG THỨC NHÂN VÀ CÔNG THỨC XÁC SUẤT ĐỦ TA CÓ : P(A i B) = P(A i )P(B A i ) P(A1 )P(B A1 ) + P(A )P(B A ) + + P(A n )P(B A n ) VÍ DỤ Một cơng ty có phân xưởng I, II, III sản xuất loại sản phẩm Tỷ lệ phế phẩm phân xưởng I, II, III 2%, 3%, 5% Một lơ hàng cơng ty có 48% sản phẩm phân xưởng I, 22% sản phẩm phân xưởng II, 30% sản phẩm phân xưởng III Tính tỷ lệ phế phẩm lơ hàng Chọn ngẫu nhiên sản phẩm từ lô hàng, sản phẩm phế phẩm khả thuộc phân xưởng cao nhất? VÍ DỤ Bộ phận nghiên cứu thị trường công ty khảo sát đánh giá triển vọng chuỗi cửa hàng công ty trung tâm thương mại Bộ phận nghiên cứu chia cửa hàng thành nhóm : cửa hàng có doanh thu cao cửa hàng có doanh thu chưa cao Đánh giá triển vọng cửa hàng theo mức độ A, B, C : - Loại A gồm cửa hàng cần ưu tiên đầu tư - Loại B gồm cửa hàng cần trì thời gian đề xem xét thêm - Loại C gồm cửa hàng loại bỏ thời gian gần lý đó, chẳng hạn vị trí, hợp đồng … VÍ DỤ Trong cửa hàng có doanh thu cao, tỷ lệ cửa hàng loại A, loại B, loại C 65%, 25%, 10% Trong cửa hàng có doanh thu chưa cao, tỷ lệ cửa hàng loại A, loại B, loại C 12%, 36%, 52% Biết có 70% cửa hàng có doanh thu cao, 30% cửa hàng có doanh thu chưa cao a) Chọn ngẫu nhiên cửa hàng chuỗi cửa hàng này, tính xác suất để chọn cửa hàng loại A b) Giả sử chọn cửa hàng loại A, tính xác suất để cửa hàng cửa hàng có doanh thu cao ... phòng cháy Một hệ thống báo phát lửa hệ thống báo phát khói Qua thực nghiệm thấy xác suất chuông báo lửa 0,96, xác suất chng báo khói 0,93, xác suất hai chng báo 0,9 Tính xác suất để có chng báo... NGHA XÁC SUẤT Định nghĩa xác suất theo cách cổ điển Định nghĩa xác suất theo thống kê Xét phép thử τ A biến cố n : số trường hợp đồng khả xảy m : số trường hợp đồng khả thuận lợi cho biến cố A Xác. .. tuyển có 20 người nữ Tính xác suất để người tuyển có trợ lý giám đốc nữ 2 ĐỊNH NGHĨA XÁC SUẤT THEO THỐNG KÊ Ví dụ • Người ta tung đồng xu cân đối 10.000 lần tính tần suất biến cố mặt ngửa xuất