Chương ƯỚC LƯỢNG THAM SỐ ĐẶC TRƯNG CỦA ĐẠI LƯỢNG NGẪU NHIÊN §1 ƯỚC LƯỢNG ĐIỂM ĐỊNH NGHĨA CÁC TIÊU CHUẨN CỦA ƯỚC LƯỢNG ĐỊNH NGHĨA Một đại lượng thống kê $ θ(X1 , X , , Xn ) gọi hàm ước lượng θ (còn gọi ước lượng điểm θ , hay vắn tắt ước lượng θ ) ƯỚC LƯỢNG ĐIỂM Ví dụ Gọi X chiều cao sinh viên Đại học Kinh tế chọn ngẫu nhiên Khi n X = ∑ X i hàm ước n i =1 lượng µ = E(X) ƯỚC LƯỢNG ĐIỂM Với mẫu cụ thể có kích thước n = 100, ta có: Chiều cao (m) Số sinh viên 1,45 – 1,50 – 1,50 1,55 11 1,55 – 1,60 – 1,65 – 1,60 1,65 1,75 39 32 10 x = 1, 59 giá trị ước lượng μ CÁC TIÊU CHUẨN CỦA ƯỚC LƯỢNG Định nghĩa $ $ Hàm ước lượng θ = θ(X1 , X , , Xn ) θ gọi ước lượng không chệch ( ) $ , X , , X ) = θ Eθ(X n CÁC TIÊU CHUẨN CỦA ƯỚC LƯỢNG Ví dụ Trung bình mẫu X , phương sai mẫu S , tần suất mẫu F ước lượng không chệch E(X) =μ , Var(X) =σ , p CÁC TIÊU CHUẨN CỦA ƯỚC LƯỢNG Định nghĩa $ $ θ = θ(X1 , X , , Xn ) Hàm ước lượng θ gọi ước lượng vững với ε > ta có $ lim P θ(X , X , , X ) − θ < ε = n →∞ ( n ) P $ , X , , X )  θ ) → (nói cách khác θ(X1 n §2 ƯỚC LƯỢNG KHOẢNG ĐỊNH NGHĨA ƯỚC LƯỢNG KHOẢNG CỦA GIÁ TRỊ TRUNG BÌNH ƯỚC LƯỢNG KHOẢNG CỦA TỶ LỆ ƯỚC LƯỢNG KHOẢNG CỦA PHƯƠNG SAI ĐỊNH NGHĨA (1/3) $ $ θ = θ(X1 , X , , Xn ) đại lượng thống kê mẫu α ∈ (0;1) cho trước µ µ θ1 (X1 , X , , Xn ), θ (X1 , X , , X n ) ( ) Pθ $ θ < θ $ = - α < thỏa mãn ƯỚC LƯỢNG KHOẢNG CỦA GIÁ TRỊ TRUNG BÌNH - KHOẢNG TIN CẬY ĐỐI XỨNG – KHOẢNG TIN CẬY BÊN TRÁI – KHOẢNG TIN CẬY BÊN PHẢI (3) TRƯỜNG HỢP CHƯA BIẾT PHƯƠNG SAI s (n ³ 30) , MẪU LỚN s Cũng tương tự trường hợp (1), có s điểm khác n lớn, ta thay - ước lượng , người ta xem mộtα  s  µ khoảng với độ tin s cậy ; x + zα  x − zα ÷ n n  2 ƯỚC LƯỢNG KHOẢNG CỦA GIÁ TRỊ TRUNG BÌNH - KHOẢNG TIN CẬY ĐỐI XỨNG – KHOẢNG TIN CẬY BÊN TRÁI – KHOẢNG TIN CẬY BÊN PHẢI  Một ước lượng khoảng bên trái µ với độ tin cậy 1− α s    −∞; x + z α ÷ n   Một ước lượng khoảng bên phải µ với độ tin cậy 1− α s   ; + ∞÷  x − z α n   ƯỚC LƯỢNG KHOẢNG CỦA GIÁ TRỊ TRUNG BÌNH - KHOẢNG TIN CẬY ĐỐI XỨNG – KHOẢNG TIN CẬY BÊN TRÁI – KHOẢNG TIN CẬY BÊN PHẢI (3) TRƯỜNG HỢP CHƯA BIẾT PHƯƠNG s SAI , MẪU(n < 30) NHỎ Giả sử X có phân phối chuẩn Xμ − đại lượng ngẫu nhiên T = S n có phân phối Student với n – bậc tự ƯỚC LƯỢNG KHOẢNG CỦA GIÁ TRỊ TRUNG BÌNH - KHOẢNG TIN CẬY ĐỐI XỨNG – KHOẢNG TIN CẬY BÊN TRÁI – KHOẢNG TIN CẬY BÊN PHẢI (1/2) Cho độ tin cậy 1− α , ta có:  Một ước lượng khoảng µ (khoảng tin cậy đối xứng)  s s  ; x + tα  x − tα ÷ n n  2 ƯỚC LƯỢNG KHOẢNG CỦA GIÁ TRỊ TRUNG BÌNH KHOẢNG TIN CẬY ĐỐI XỨNG – KHOẢNG TIN CẬY BÊN TRÁI – KHOẢNG TIN CẬY BÊN PHẢI (2/2) ● Một ước lượng khoảng bên s   trái µ  −∞; x + t α ÷ n  ● Một ước lượng khoảng bên s   ; +∞ ÷ phải µ  x − t α n   ƯỚC LƯỢNG KHOẢNG CỦA TỶ LỆ   Xét tổng thể, phần tử có khơng có tính chất τ mà ta quan tâm Gọi p tỷ lệ phần tử có tính chất τ tồn tổng thể, ta chưa biết p n Chúng ta biết F = ∑ X i n i=1 ước lượng không chệch vững p ƯỚC LƯỢNG KHOẢNG CỦA TỶ LỆ F−p : N (0,1) p (1 − p ) n thay p ước lượng f , xem ước lượng khoảng p với độ tin cậy Khi n lớn ta xem 1− α f (1 − f ) f − zα n < p < f + zα f (1 − f ) n ƯỚC LƯỢNG KHOẢNG CỦA TỶ LỆ  Một ước lượng khoảng bên trái p với độ tin cậy − α  f (1 − f )   −∞; f + z α ÷  n ÷   f + zα f(1 - f) n p dùng để ước lượng ƯỚC LƯỢNG KHOẢNG CỦA TỶ LỆ  Một ước lượng khoảng bên phải p với độ tin cậy − α   f (1 − f ) ; + ∞÷  f − zα  ÷ n   f − zα f(1 - f) n p dùng để ước lượng §3 XÁC ĐỊNH KÍCH THƯỚC MẪU XÁC ĐỊNH KÍCH THƯỚC MẪU TRONG ƯỚC LƯỢNG KHOẢNG CHO TRUNG BÌNH (VỚI CÁC GIẢ THIẾT Ở §2.2) XÁC ĐỊNH KÍCH THƯỚC MẪU TRONG ƯỚC LƯỢNG KHOẢNG CHO TỶ LỆ XÁC ĐỊNH KÍCH THƯỚC MẪU Từ biểu thức độ xác ε , ta có liên hệ độ xác, độ tin cậy kích thước mẫu n, với đại lượng cho trước ta xác định đại lượng cịn lại §3 ƯƠC LƯỢNG KHOẢNG CỦA PHƯƠNG SAI X ~ N(µ , σ ) Ta cần ước lượng σ Giả sử    (X1, X2, …, Xn) mẫu ngẫu nhiên kích thước n thành lập từ X (n − 1)S ~ χ (n − 1) Ta biết σ2 Với độ tin cậy 1− α , ta có:   (n − 1)S Pχ α < < χα ÷= − α 1− ,n −1 ,n −1 σ  2  §3 ƯƠC LƯỢNG KHOẢNG CỦA PHƯƠNG SAI  Qua vài biến đổi đơn giản, ta có   2 (n − 1)S ÷  (n − 1)S P ÷= − α  χ α ,n −1 ÷   Từ xác định khoảng tin cậy σ2 bên phải §3 ƯƠC LƯỢNG KHOẢNG CỦA PHƯƠNG SAI  Ấn định độ tin cậy − α Ta có  (n − 1)S  P > χ1−α ,n −1 ÷ = − α  σ   (n − 1)S  P  σ < ÷= − α  χ1−α ,n −1 ÷   Từ xác định khoảng tin cậy σ2 bên trái ...§1 ƯỚC LƯỢNG ĐIỂM ĐỊNH NGHĨA CÁC TIÊU CHUẨN CỦA ƯỚC LƯỢNG ĐỊNH NGHĨA Một đại lượng thống kê $ θ(X1 , X , , Xn ) gọi hàm ước lượng θ (còn gọi ước lượng điểm θ , hay vắn tắt ước lượng θ ) ƯỚC LƯỢNG... §2.2) XÁC ĐỊNH KÍCH THƯỚC MẪU TRONG ƯỚC LƯỢNG KHOẢNG CHO TỶ LỆ XÁC ĐỊNH KÍCH THƯỚC MẪU Từ biểu thức độ xác ε , ta có liên hệ độ xác, độ tin cậy kích thước mẫu n, với đại lượng cho trước ta xác. .. 1,50 1,55 11 1,55 – 1,60 – 1,65 – 1,60 1,65 1,75 39 32 10 x = 1, 59 giá trị ước lượng μ CÁC TIÊU CHUẨN CỦA ƯỚC LƯỢNG Định nghĩa $ $ Hàm ước lượng θ = θ(X1 , X , , Xn ) θ gọi ước lượng không chệch