CHUYÊN ĐỀ: ĐẬI SỐ TỔ HỢP BÙI QUÝ MƯỜI CHUYÊN ĐỀ ĐẠI SỐ TỔ HỢP I/ LÝ THUYẾT CƠ BẢN 1) Quy tắc cộng: Có n 1 cách chọn đối tượng A 1 . n 2 cách chọn đối tượng A 2 . A 1 ∩ A 2 = ∅ ⇒ Có n 1 + n 2 cách chọn một trong các đối tượng A 1 , A 2 . 2) Quy tắc nhân: Có n 1 cách chọn đối tượng A 1 . Ứng với mỗi cách chọn A 1 , có n 2 cách chọn đối tượng A 2 . ⇒ Có n 1 .n 2 cách chọn dãy đối tượng A 1 , A 2 . 3) Hoán vị: − Mỗi cách sắp thứ tự n phần tử gọi là một hoán vị của n phần tử. − Số hoán vị: P n = n!. 4) Chỉnh hợp: − Mỗi cách lấy ra k phần tử từ n phần tử (0 < k ≤ n) và sắp thứ tự của chúng gọi là một chỉnh hợp chập k của n phần tử. − Số các chỉnh hợp: k n n! A (n k)! = − 5) Tổ hợp: − Mỗi cách lấy ra k phần tử từ n phần tử (0 ≤ k ≤ n) gọi là một tổ hợp chập k của n phần tử. − Số các tổ hợp: k n n! C k!(n k)! = − − Hai tính chất k n k n n C C − = k 1 k k n 1 n 1 n C C C − − − + = 6) Nhị thức Newton n n k n k k n k 0 0 n 1 n 1 n n n n n (a b) C a b C a C a b C b − = − + = = + + + ∑ − Số hạng tổng quát (Số hạng thứ k + 1): k n k k k 1 n T C a b − + = − Đặc biệt: n 0 1 2 2 n n n n n n (1 x) C xC x C x C+ = + + + + II / MỘT SỐ VÍ DỤ 1. Bài toán đếm. 1.1 Đếm các số tự nhiênđược thành lập. Ví dụ 1. Từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 lập được bao nhiêu số tự nhiên gồm 5 chữ số sao cho a) Các chứ số đều khác nhau. b) Chữ số đầu tiên là 3. c)Các chữ số khác nhau và không tận cùng bằng chữ số 4. Giải Tổ Toán Trương THPT HTK 1 CHUYÊN ĐỀ: ĐẬI SỐ TỔ HỢP BÙI QUÝ MƯỜI a) Mỗi số có 5 chữ số khác nhau được thành lập tương ứng với một chỉnh hợp chập 5 của 7 phần tử ⇒ Có 5 7 A = 2520 số b) Gọi số cần thiết lập là abcde Chữ số đàu tiên là 3 ⇒ a có 1 cách chọn b, c, d, e đều có 7 cách chọn ⇒ Có 1.7.7.7.7 = 2401 số. c) Gọi số cần thiết lập là abcde Chữ số cuối cùng khác 4 ⇒ e có 6 cách chọn (trừ số 4) a có 6 cách chọn b có 5 cách chọn c có 4 cách chọn d có 3 cách chọn ⇒ Có 6.6.5.4.3 = 2160 số. Ví dụ 2.(ĐH An ninh 97) Từ bảy chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 thành lập được bao nhiêu số chẵn có 5 chữ số khác nhau Giải Gói số cần thiết lập là abcde Xét hai trường hợp + Trường hợp 1: Chọn e = 0 ⇒ e có 1 cách chọn Khi đó a có 6 cách chọn b có 5 cách chọn c có 4 cách chọn d có 3 cách chọn ⇒ Có 6.5.4.3 = 360 số. + Trường hợp 2: Chọn e ∈ { 2, 4, 6 } ⇒ e có 3 cách chọn Khi đó a có 5 cách chọn trừ số 0 và e b có 5 cách chọn c có 4 cách chọn d có 3 cách chọn ⇒ Có 3.5.5.4.3 = 900 số Vậy có 360 + 900 = 1260 số Ví dụ 3. Từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 lập được bao nhiêu số có 4 chữ số sao cho số tạo thành gồm các chữ số khác nhau và nhất thiết có chữ số 5. Giải Cách 1: Thành lập số có 3 chữ số khác nhau và không có mặt chữ số 5 ⇒ Có 3 6 A = 120 số Với mỗi số vừa thành lập có 4 vị trí để xen số 5 tạo thành số có 4 chữ số khác nhau và có mặt chữ số 5. ⇒ Có 120.4 = 480 số. Tổ Toán Trương THPT HTK 2 CHUYÊN ĐỀ: ĐẬI SỐ TỔ HỢP BÙI QUÝ MƯỜI Cách 2: − Số cần tìm có 1 trong bốn dạng 5bcd,a5bc,ab5d,abc5 − Mỗi dạng có 120 số ⇒ có 480 số Ví dụ 4: Có bao nhiêu số tự nhiên gồm 2008 chữ số sao cho tổng các chữ số bằng 3. Giải Xét các trường hợp + Trườnghợp 1: Số tạo thành gồm 1 chữ số 3 và 2007 chữ số 0 ⇒ Chỉ có 1 số 3000…000 (2007 chữ số 0) + Trường hợp 2: Số tạo thành gồm 1 chữ số 1, 1 chữ số 2 và 2006 chữ số 0 Chọn chữ số đầu tiên có 2 cách chọn số 1 hoặc 2 Chữ số còn lại có 2007 vị trí để đặt, còn các vị trí khác đặt số 0 ⇒ Có 2.2007 = 4014 số + Trường hợp 3: Số tạo thành gồm 3 chữ số 1 và 2005 chữ số 0 Chọn chữ số đầu tiên là 1 Chọn 2 trong 2007 vị trí để đặt chữ số 1 ⇒ có 2 2007 C = 2007.1003 = 2013021 Vậy có 1 + 4014 + 2013021 = 2017036 số Ví dụ 5(ĐHQG TPHCM 2001) Có bao nhiêu số tự nhiên gồm bảy chữ số biết rằng chữ số 2 có mặt đúng hai lần, chữ số ba có mặt đúng ba lần, các chữ số còn lại có mặt không quá một lần. Giải + Coi một dãy gồm 7 chữ số tương ứng với một số gồm 7 chữ số (Kể cả bắt đầu bằng 0). Khi đó ta thành lập số bằng cách xếp các chữ số vào 7 vị trí Chọn 2 trong 7 vị trí để xếp chữ số 2: có 2 7 C cách Chọn 3 trong 5 vị trí còn lại để xếp chữ số 3: có 3 5 C cách Chọn 2 trong 8 chữ số 0, 1, 4, 5, 6, 7, 8, 9 để đặt vào 2 vị trí còn lại có 2 8 A cách ⇒ Có 2 7 C . 3 5 C . 2 8 A = 11 760 cách. + Cần phải loại các trường hợp chữ số 0 đứng đầu. Lập luận tương tự cho 6 vị trí ⇒ có 2 6 C . 3 4 C . 1 7 A = 420 số Vậy có 11 760 − 420 = 11 340 số. 1.2 Đếm số phương án. Ví dụ 6: (ĐH Thái nguyên 99) Một lớp học có 25 nam và 15 nữ. Cần chọn một nhóm gồm ba học sinh. Hỏi có bao nhiêu cách: a) Chọn 3 học sinh bất kì. b) Chọn 3 học sinh gồm 2 nam và một nữ. c) Chọn 3 học sinh trong đó có ít nhất 1 nam. Tổ Toán Trương THPT HTK 3 CHUYÊN ĐỀ: ĐẬI SỐ TỔ HỢP BÙI QUÝ MƯỜI Giải a) Mỗi cách chọn là một tổ hợp chập3 của 40 ⇒ Số cách chọn là: 3 40 C 9880= cách. b) Chọn 1 nam có 1 25 C 25= cách Chọn 2 nữ có 2 15 C 105= cách ⇒ Có 25.105 = 2625 cách chọn c) Chọn 3 học sinh bất kì có 9880 cách Chọn 3 học sinh nữ có 3 15 C 455= cách ⇒ Có 9880 − 455 = 9425 cách chọn có ít nhất 1 nam. Ví dụ 7: (ĐHSP Quy Nhơn 97) Cho hai đường thẳng song song a và b. Trên a lấy 17 điểm phân biệt, trên b lấy 20 điểm phân biệt. Tính số tam giác có các đỉnh là 3 trong số 37 điểm đã chọn ở trên. Giải Cách 1 Mỗi tam giác được hình thành bởi ba điểm không thẳng hàng Số bộ ba điểm từ 37 điểm trên là: 3 37 C Số bộ ba điểm thẳng hàng trên a là: 3 17 C Số bộ ba điểm thẳng hàng trên b là: 3 20 C Vậy số tam giác tạo thành là: 3 37 C − 3 17 C − 3 20 C = 11 340 tam giác Cách 2: Mỗi tam giác được tạo thành bởi một điểm trên đường thẳng này và hai điểm trên đường thẳng kia. Xét 2 trường hợp + TH1: Tam giác tạo thành bởi 1 điểm trên a và 2 điểm trên b: có 2 20 17.C + TH2: Tam giác tạo thành bởi 2 điểm trên a và 1 điểm trên b: có 2 17 20.C ⇒ Số tam giác là: 2 20 17.C + 2 17 20.C = 11 340 Ví dụ 8: (ĐH Cảnh sát nhân dân) Cho tam giác ABC. Xét bộ gồm 4 đường thẳng song song với AB, 5 đường thẳng song song với BC và 6 đường thẳng song song với CA trong đó không có ba đường thẳng nào đồng quy. Hỏi các đường thẳng trên tạo được bao nhiêu tam giác và bao nhiêu tứ giác (không kể hình bình hành). Giải a) Mỗi tam giác được tạo thành bởi ba đường thẳng thuộc ba nhóm khác nhau ⇒ Số tam giác là 4.5.6 = 120 Tổ Toán Trương THPT HTK 4 CHUYÊN ĐỀ: ĐẬI SỐ TỔ HỢP BÙI QUÝ MƯỜI b) Mỗi hình thang không phải hình bình hành được tạo thành bởi hai đường thẳng thuộc nhóm này và một đường thẳng thuộc mỗi nhóm còn lại ⇒ Số hình thang là 2 1 1 1 2 1 1 1 2 4 5 6 4 5 6 4 5 6 C .C .C C .C .C C .C .C 720+ + = hình thang 2. Giải phương trình, bất phương trình và hệ đại số tổ hợp Ví dụ 1: (CĐSP TPHCM99) Tìm k thỏa mãn: k k 2 k 1 C C 2C 14 14 14 + + + = Giải ĐK k N k 12 ∈   ≤  Phương trình tương đương với 14! 14! 2.14! k!(14 k)! (k 2)!(12 k)! (k 1)!(13 k)! + = − + − + − ⇔ 1 1 2 (14 k)(13 k) (k 2)(k 1) (k 1)(13 k) + = − − + + + − ⇔ (k + 2)(k + 1) + (14 − k)(13 − k) = (k + 2)(14 − k) ⇔ k 2 − 12k + 32 = 0 ⇔ k = 4, k = 8 (Thỏa mãn) Vậy phương trình có nghiệm: k = 4, k = 8 Ví dụ 2: (ĐH Hàng hải 99) Giải bất phương trình: n 3 C 1 n 1 4 14P A 3 n 1 − − > + Giải ĐK: 4≤ n+1 ⇔ n ≥ 3, n nguyên dương n 3 C 1 n 1 4 14P A 3 n 1 − − > + ⇔ . n 3 4 14.P C A 3 n 1 n 1 > − − + ⇔ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) n 1 ! 14.3! n 1 .n. n 1 . n 2 n 3 !2! − > + − − − ⇔ 2 n n 42 0+ − < ⇔ ( ) ( ) n 6 . n 7 0− + < ⇔ −7 < n < 6 Kết hợp với Đk n≥ 3 được tập nghiệm của bất phương trình là: {3, 4, 5}. Ví dụ 3: (ĐHBK HN2001) Tổ Toán Trương THPT HTK 5 CHUYÊN ĐỀ: ĐẬI SỐ TỔ HỢP BÙI QUÝ MƯỜI Giải hệ phương trình: y y 2.A 5.C 90 x x y y 5.A 2.C 80 x x    −   + = = Giải ĐK: x, y ∈ N * , y ≤ x Đạt y y x x u A , v C= = ⇒ u, v ∈N * ta có hệ u 2.u 5.v 90 5. 2.v 80   −  + = = ⇔ u 20 v 10    = = Thay vào ta có y A 20 x y C 10 x      = = ⇔ x! (x y)! x! y!(x y)! 20 10   −     −  = = ⇔ y! 2 x! (x y)! 20 =     −  = ⇔ y 2 x! (x 2)! 20 =     −  = ⇔ x(x 1) 20 y 2 − =   =  ⇔ x 5,x 4 y 2 = = −   =  Kết hợp điều kiện ⇒ Hệ phương trình có nghiệm x 5 y 2 =   =  3) Xác định một số hạng của khai triển Newuton. Ví dụ 1: (ĐH Kinh tế quốc dân, 1997) Tìm số hạng không chứa x trong khai triển Newton của 12 1 x x       + Giải Số hạng tổng quát k k 12 k k 12 2k k 1 12 12 1 T C .x C .x x − − +   = =     . Số hạng không chứa x tương ứng với 12 − 2k = 0 ⇔ k = 6. Đáp số:số hạng không chứa x phải tìm là: 12.11.10.9.8.7 6 0 C .x 924 12 1.2.3.4.5.6 = = Ví dụ 2:(ĐH và CĐ, khối A, 2003). Tìm hệ số của số hạng chứa 8 x trong khai triển nhị thức Niutơn của n 1 5 x 3 x         + , biết rằng ( ) n 1 n C C 7 n 3 n 4 n 3 + − = + + + Tổ Toán Trương THPT HTK 6 CHUYÊN ĐỀ: ĐẬI SỐ TỔ HỢP BÙI QUÝ MƯỜI Giải Ta có ( ) (n 4)! (n 3)! n 1 n C C 7 n 3 7(n 3) n 4 n 3 (n 1)!.3! (n)!.3! + + + − = + ⇔ − = + + + + ⇔ (n 4)(n 3)(n 2) (n 3)(n 2)(n 1) 42(n 3)+ + + − + + + = + ⇔ (n 4)(n 2) (n 2)(n 1) 42+ + − + + = ⇔ 3n = 36 ⇔ n = 12 Số hạng tổng quát 12 k 5k k 36 3k 1 k 5 k 2 T C . x C .x 12 12 k 1 3 x               − − + = = + . Số hạng chứa x 8 tương ứng với 5k 36 3k 8 2 − + = ⇔ 11k = 88 ⇔ k = 8. Đáp số:Hệ số của số hạng chứa x 8 phải tìm là: 8 C 495 12 = Tổ Toán Trương THPT HTK 7 CHUYÊN ĐỀ: ĐẬI SỐ TỔ HỢP BÙI QUÝ MƯỜI Ví dụ 3: Khai triển đa thức: P(x) = ( ) 12 1 2x+ thành dạng : ( ) 12 0 1 2 12 P x a a x a x a x= + + + + Tìm max ( ) 1 2 12 a ,a , ,a Giải Số hạng tổng quát ( ) k k 2x . k k k T C . C .2 x 12 12 k 1 = = + . Xét hai hệ số liên tiếp k k a C .2 12 k = và k 1 k 1 a C .2 12 k 1 + + = + . Giả sử a k < a k + 1 ⇔ k k 1 k k 1 C .2 C .2 12 12 + < + ⇔ 12! 12! k!.(12 k)! (k 1)!.(11 k)! .2 < − + − ⇔ 23 k 8 3 < < Vậy a 0 < a 1 < … < a 8 . Tương tự như trên ⇒ a 8 > a 9 > … > a 12 . Vậy hệ số lớn nhất là: 8 8 8 a C 2 126720 12 = = 4) Tính tổng hoặc chứng minh đẳng thức. Ví dụ 1 : Chứng minh rằng ∀ n, k ∈ N * và n ≥ k ≥ 1 thì: k k 1 n n 1 kC nC − − = Giải Thật vậy ∀ n, k ∈ N * và n ≥ k ≥ 1 ta có: k n n! n(n 1)! kC k k!(n k)! (k 1)!(n k)! − = = − − − = (n 1)! n (k 1)!(n k)! − − − = 1 1 k n nC − − (đpcm) Lưu ý :(Đây là một kết quả có nhiều ứng dụng trong các bài tập chứng minh đẳng thức tổ hợp khi chưa có công cụ đạo hàm và tích phân) Ví dụ 2 : (ĐH Quốc gia Hà Nội, khối D, 1997) Tính tổng 6 7 8 9 10 11 11 11 11 11 11 11 S C C C C C C= + + + + + Giải Do 6 5 7 4 11 11 11 11 C C ,C C , = = nên 5 4 3 2 1 0 0 1 2 10 11 11 11 11 11 11 11 11 11 11 11 11 S C C C C C C 2S C C C C C= + + + + + → = + + + + (1) Áp dụng khai triển Niu tơn ( ) n n k k n k 0 x 1 C .x = + = ∑ với x = 1, n = 11 được ( ) 11 11 k 0 1 2 10 11 11 11 11 11 11 11 k 0 1 1 C C C C C C = + = = + + + + + ∑ (2) Từ (1), (2) suy ra 11 10 2S 2 S 2 1024.= → = = Đáp số : 10 S 2 1024= = Ví dụ 3 : (ĐH Bách Khoa Hà Nội, 1999) Tổ Toán Trương THPT HTK 8 CHUYÊN ĐỀ: ĐẬI SỐ TỔ HỢP BÙI QUÝ MƯỜI Cho n là số tự nhiên lớn hơn 2, tính tổng : 1 2 3 4 n 1 n S C 2.C 3.C 4.C ( 1) .n.C n n n n n − = − + − + + − Giải Cách 1: (Sử dụng kết quả ví dụ 1) Áp dụng kết quả ví dụ 1 ta có: 0 2 1 n 1 n n 1 n 1 n n n 1 C .C n n 1 2.C .C n n 1 ( 1) n.C ( 1) .C n n 1 − − − = = − = − − − − − − Cộng theo vế các đẳng thức trên ta được 0 1 2 3 n 1 n 1 n 1 n 1 n 1 n 1 n 1 n 1 n(C C C C ,,, ( 1) C ) n(1 1) 0 1 2 3 4 n 1 n S C 2.C 3.C 4.C ( 1) .n.C n n n n n − − − − − − − − = − + − + + − = − = − = − + − + + − Cách 2: (Sử dụng đạo hàm) Xét khai triển n 0 1 2 2 n n n n n n (1 x) C xC x C x C+ = + + + + ⇒ n 1 1 2 n 1 n n n n n.(1 x) C 2xC nx C − − + = + + + Chọn x = − 1 ⇒ n 1 1 2 n n n n n n.(1 1) C 2C ( 1) .nC − − = − + + − Vậy : S = 0 Ví dụ 4: (ĐHDL Duy Tân, khối A, 2001) Tính tổng sau : 0 1 2 3 n n n n n n 1 1 1 1 n 1 1 S .C .C C C C 1 2 3 4 + = + + + + + Giải Cách 1( Sử dụng kết quả ví dụ 1) Âp dụng kết quả ví dụ 1 ta có: k k 1 n n 1 kC nC − − = ⇔ k 1 k n 1 n (k 1)C (n 1)C + + + = + ⇔ k k 1 n n 1 1 1 C C k 1 n 1 + + = + + Thay k = 0, 1, 2 … , n ta có 0 1 n n 1 1 2 n n 1 2 3 n n 1 n n 1 n n 1 1 1 C C 1 n 1 1 1 C C 2 n 1 1 1 C C 3 n 1 1 1 C C n 1 n 1 + + + + + = + = + = + = + + Tổ Toán Trương THPT HTK 9 CHUYÊN ĐỀ: ĐẬI SỐ TỔ HỢP BÙI QUÝ MƯỜI 0 1 2 3 n n n n n n 1 2 3 n 1 n 1 n 1 n 1 n 1 n 1 1 1 1 n 1 1 (C C C C ) n 1 1 (2 1) n 1 1 S .C .C C C C 1 2 3 4 + + + + + + + = + + + + + = − + ⇒ = + + + + + Vậy n 1 1 (2 1) n 1 S + − + = Cách 2:(Sử dụng tích phân) Xét khai triển n 0 1 2 2 3 3 n n n n n n n (1 x) C xC x C x C x C+ = + + + + + 1 1 n 0 1 2 2 3 3 n n n n n n n 0 0 (1 x) dx (C xC x C x C x C )dx⇒ + = + + + + + ∫ ∫ Ta có: 1 0 1 n 1 n 1 n 0 (1 x) 2 1 (1 x) dx n 1 n 1 + + + − + == = + + ∫ n 1 2 1 n 1 + − ⇒ = + 0 0 2 1 3 2 4 3 n 1 n 1 n n n n n 1 1 1 x n 1 1 .C .x C x C x C x C 1 2 3 4 +     +   + + + + + 0 1 2 3 n n n n n n 1 1 1 n 1 1 .C .C C C C 1 2 3 4 = + + + + + + Vậy Vậy n 1 1 (2 1) n 1 S + − + = Ví dụ 5: Chứng minh đẳng thức sau: 7 7 3 2 7 6 5 4 3 2 2 2 2 2 2 2 1 0 1 2 3 4 5 6 .C .C C C C C C 6 6 6 6 6 6 6 1 2 3 4 5 6 7 − =+ + + + + + Giải Xét khai triển 6 6 0 5 1 4 2 2 3 3 3 2 4 4 5 5 6 6 6 6 6 6 6 6 6 (2 x) 2 C 2 xC 2 x C 2 x C 2 x C 2x C x C+ = + + + + + + 1 1 6 6 0 5 1 4 2 2 3 3 3 2 4 4 5 5 6 6 6 6 6 6 6 6 6 0 0 (2 x) dx (2 C 2 xC 2 x C 2 x C 2 x C 2x C x C )dx⇒ + = + + + + + + ∫ ∫ 7 2 3 4 5 6 7 6 0 5 1 4 2 3 3 2 4 5 6 6 6 6 6 6 6 6 1 1 (2 x) 0 7 1 x x x x x x (2 C x 2 C 2 C 2 C 2 C 2 C C ) 0 2 3 4 5 6 7 ⇔ + = + + + + + + ⇔ 7 7 3 2 7 6 5 4 3 2 2 2 2 2 2 2 1 0 1 2 3 4 5 6 .C .C C C C C C 6 6 6 6 6 6 6 1 2 3 4 5 6 7 − = + + + + + + Tổ Toán Trương THPT HTK 10 [...]... nhiêu số gồm 6 chữ số trong đó số 1 có mặt hai lần các số còn lại mỗi số có mặt đúng một lần? 20) Có bao nhiêu số tự nhiên gồm 6 chữ số khác nhau biết rằng: a) các số này chia hết cho 5? b) trong các số này phải có mặt ba chữ số 0,1,2 ? CHUYÊN ĐỀ: ĐẬI SỐ TỔ HỢP 32) Với sáu số 2,3,5,6,7,8, ta muốn thành lập những số gồm bốn chữ số khác nhau a) Có bao nhiêu số nhỏ hơn 5000 ? b) Có bao nhiêu số chẵn nhỏ hơn... được bao nhiêu số có 6 chữ số được lấy từ các số đã cho sao cho: a) Số đầu và số cuối giống nhau, các số giữa khác nhau b) 2 chữ số đầu và 2 chữ số cuối giống nhau 14) Cho các số: 0,1,2,3,4,5,6,7 a) Có thể lập được bao nhiêu số gồm 10 chữ số sao cho số 0 có mặt 2 lần, số 3 có mặt 2 lần Các số khác có mặt một lần b) Có thể lập được bao nhiêu số gồm 6 chữ số sao cho số 2 có mặt 2 lần, các số khác có mặt... nhiêu số gồm 4 chữ số khác nhau được lấy từ các số đã cho, sao cho: a) Số đó chẵn b) Số đó chia hết cho 5 c) Luôn có mặt chữ số 1 và 3 10) Cho các số: 0,1,2,3,4,5,6,7 Có thể lập được bao nhiêu số gồm 5 chữ số khác nhau được lấy từ các chữ số đã cho sao cho các số lẻ luôn đứng liền nhau 11) Cho các số : 0,1,2,3,4,5,6 a) Có thể lập được bao nhiêu số gồm 9 chữ số được lấy từ các số đã cho sao cho số 3... các số khác có mặt đúng 1 lần Tổ Toán 12 Trương THPT HTK BÙI QUÝ MƯỜI b) Có thể lập được bao nhiêu số có 5 chữ số được lấy từ các số đã cho sao cho số 3 có mặt 1 lần, các số khác có mặt một vài lần 12) Cho các số: 0,1,2,3,4,5 Có thể lập được bao nhiêu số từ 4 số khác nhau được lấy từ các số đã cho Sao cho: a) Luôn có mặt chữ số 5 b) Số đó chia hết cho 3 c) Không bắt đầu từ chữ số 3 13) Cho các số: ... nữ, cần thành lập một tổ công tác gồm 8 người Có bao nhiêu cách lập sao cho trong tổ có đúng 2 nữ 22) Trong không gian cho một tập hợp gồm 9 điểm trong đó không có 4 điểm nào đồng phẳng Hỏi có thể lập được bao nhiêu hình tứ diện với đỉnh thuộc tập hợp đã cho Tổ Toán 13 Trương THPT HTK BÙI QUÝ MƯỜI 23) Một bộ đề thi có 15 câu hỏi Mỗi thí sinh phải rút ra 4 câu (4 câu rút ra là “ đề thi ” của thí sinh...BÙI QUÝ MƯỜI CHUYÊN ĐỀ: ĐẬI SỐ TỔ HỢP 6 5 4 3 2 7 7 Vậy 2 C0 + 2 C1 + 2 C2 + 2 C3 + 2 C4 + 2 C5 + 1 C6 = 3 − 2 (đpcm) 1 6 2 6 3 6 4 6 5 6 6 6 7 6 7 Tổ Toán 11 Trương THPT HTK BÙI QUÝ MƯỜI CHUYÊN ĐỀ: ĐẬI SỐ TỔ HỢP BÀI TÂP T Ự L ƯY ỆN : 1) Có bao nhiêu cách sắp xếp 5 người khách gồm 3 nam và 2 nữ ngồi vào một hàng... 9 học sinh ra làm 3 nhóm gồm 4, 3, và 2 học sinh Có bao nhiêu cách chia? CHUYÊN ĐỀ: ĐẬI SỐ TỔ HỢP Cho một đa giác lồi có n đỉnh ( n ≥ 4 ) a) Tính số đường chéo của đa giác này; b) Biết rằng ba đường chéo không cùng đi qua một đỉnh thì không đồng quy, hãy tính số các giao điểm ( không phải là đỉnh ) của các đường chéo ấy 30) Một tổ trực gồm 8 nam sinh và 6 nữ sinh Giáo viên trực muốn chọn một nhóm 5... 2 3  ( n là số        3 1 nguyên dương ) Biết rằng trong khai triển đó Cn = 5Cn và số hạng thứ tư bằng 20n, tìm n và x 64) (ĐH-A-2005) C Tổ Toán 1 2 n +1 − 2.2C 2 2 n +1 Tìm số nguyên dương n sao cho: + 3.2 C 2 3 2 n +1 4 2 − 4.23 C2 n +1 + + ( 2n + 1) 22 n C2 nn++1 = 2005 1 16 Trương THPT HTK BÙI QUÝ MƯỜI CHUYÊN ĐỀ: ĐẬI SỐ TỔ HỢP 65) (ĐH-B-2003) Cho n là số nguyên dương Tính tổng: 2 −1 1... trung bình, dễ ) và số câu hỏi dễ không ít hơn 2? Tổ Toán Trương THPT HTK 14 BÙI QUÝ MƯỜI 35) (ĐH-B-2005) Một đội thanh niên tình nguyện có 15 người gồm 12 nam và 3 nữ Hỏi có bao nhiêu cách phân công đội thanh niên tình nguyện đó về giúp đỡ 3 tỉnh miền núi, sao cho mỗi tỉnh có 4 nam và 1 nữ? k k −1 k −2 k 36) Chứng minh rằng: Cn + 2Cn + Cn = Cn + 2 ( 2 ≤ k ≤ n ) CHUYÊN ĐỀ: ĐẬI SỐ TỔ HỢP 37) 38) 39) Chứng... A0 + A1 x + A2 x 2 + + A11 x11 Tính A7 =? Tổ Toán Trương THPT HTK 15 BÙI QUÝ MƯỜI CHUYÊN ĐỀ: ĐẬI SỐ TỔ HỢP 52) Khi khai triển và rút gọn các đơn thức đồng dạng từ biểu thức ( 1 + x 2 − x3 ) Ta được 9 một đa thức: Px = A0 + A1 x 2 + A2 x2 + Tính A7 Tìm hệ số của x8 trong khai triển của biểu thức: 1 + x 2 ( 1 − x )    8 53) (ĐH-A-2004) 54) Tìm hệ số của x3 trong khai triển của biểu thức: P( . cho tổng các chữ số bằng 3. Giải Xét các trường hợp + Trườnghợp 1: Số tạo thành gồm 1 chữ số 3 và 2007 chữ số 0 ⇒ Chỉ có 1 số 3000…000 (2007 chữ số 0) + Trường hợp 2: Số tạo thành gồm 1 chữ số. chữ số khác nhau và không có mặt chữ số 5 ⇒ Có 3 6 A = 120 số Với mỗi số vừa thành lập có 4 vị trí để xen số 5 tạo thành số có 4 chữ số khác nhau và có mặt chữ số 5. ⇒ Có 120.4 = 480 số. Tổ. CHUYÊN ĐỀ: ĐẬI SỐ TỔ HỢP BÙI QUÝ MƯỜI CHUYÊN ĐỀ ĐẠI SỐ TỔ HỢP I/ LÝ THUYẾT CƠ BẢN 1) Quy tắc cộng: Có n 1 cách chọn đối tượng