Đại học thái nguyên Tr-ờng đại học s- phạm Giáp Xuân Tr-ờng Về môđun đối đồng điều địa ph-ơng cấp cao nhất Luận văn thạc sĩ toán học Thỏi Nguyờn, 2012 H d I (M) H d I (M) H d I (M) Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn1 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn2 (R, m) M R Ann R (M/pM) = p p ⊇ Ann R M. R A Ann R (0 : A p) = p p ⊇ Ann R A. (∗) R m R R A A dim(R/ Ann R A) H d m (M) R/ Ann R H d m (M) i R R H i m (M) i Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn3 H d I (M) H d I (M) Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn4 (R, m) A R R A A A ⊇ A 1 ⊇ . . . ⊇ A n ⊇ . . . A n 0 ∈ N A n = A n 0 n ≥ n 0 . A R A A A Γ A Γ A 1 ∈ Γ A 1 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn5 A 2 ∈ Γ A 1 ⊃ A 2 A 1 = A 2 . A 1 ⊃ A 2 ⊃ . . . ⊃ A n ⊃ . . . A A A A 1 ⊇ A 2 ⊇ ··· ⊇ A n ⊇ . . . A Γ = {A i | i ≥ 1} A n 0 A n = A n 0 n ≥ n 0 A 0 → A  → A → A  → 0 R A A  , A  A  A A  = A/A  A  A A  A  1 ⊇ . . . ⊇ A  n ⊇ . . . A  A A  A 1 ⊇ . . . ⊇ A n ⊇ . . . A  i = A i /A  i A A 1 ⊇ . . . ⊇ A n ⊇ . . . A  1 ⊇ . . . ⊇ A  n ⊇ . . . A  A  , A  A 1 ⊇ . . . ⊇ A n ⊇ . . . A A 1 ∩ A  ⊇ . . . ⊇ A n ∩ A  ⊇ . . . (A 1 + A  )/A  ⊇ . . . ⊇ (A n + A  )/A  ⊇ . . . A  A  A  A  k t A n ∩A  = A k ∩A  n ≥ k (A n +A  )/A  = (A t +A  )/A  n ≥ t n 0 = max{t, k} (A n + A  )/A  ∼ = A n /(A n ∩A  ) Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn6 n ≥ n 0 A n /(A n ∩A  ) = A n+1 /(A n+1 ∩A  ) A n ∩A  = A n+1 ∩A  A n = A n+1 n ≥ n 0 A I I R n (0 : A I n ) = {x ∈ A | I n x = 0} (0 : A I n ) A Γ I (A) =  n0 (0 : A I n ) A I A I A = Γ I (A) a ∈ R A Ra A  , A  A A  ⊆ A  a i (0 : A  a i+1 ) = a i (0 : A  a i+1 ) i A  = A  A Ra A  Ra A  =  i≥0 (0 : A  a i ) (0 : A  a i ) ⊆ A  i ≥ 0 i i = 0 a 0 (0 : A  a) = a 0 (0 : A  a) (0 : A  a) = (0 : A  a) ⊆ A  i = 0 i > 0 i (0 : A  a i ) ⊆ A  z ∈ (0 : A  a i+1 ) a i z ∈ a i (0 : A  a i+1 ) = a i (0 : A  a i+1 ). z  ∈ (0 : A  a i+1 ) a i z = a i z  a i (z − z  ) = 0 z −z  ∈ (0 : A  a i ) ⊆ A  z = (z −z  )+z  ∈ A  (0 : A  a i+1 ) ⊆ A  (0 : A  a i ) ⊆ A  i A  = A  Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn7 A I (0 : A I) A I A I (0 : A I) A x ∈ A Rx R Rx A (Rx) < ∞. n m n x = 0 x ∈ (0 : A m n ) A m I R (0 : A I) A =  n≥0 (0 : A I n ) I t A t t = 0 I = 0 A = (0 : A I) t = 1 I = Ra L 1 ⊇ L 2 ⊇ . . . ⊇ L n ⊇ . . . A i L A x ∈ a i (0 : L a i+1 ) y ∈ (0 : L a i+1 ) x = a i y ax = a(a i y) = a i+1 y = 0 ax = 0 x ∈ (0 : A a) a i (0 : L a i+1 ) ⊆ (0 : A a) a i (0 : L n a i+1 ) ⊇ a i+1 (0 : L n a i+2 ) i x ∈ a i+1 (0 : L n a i+2 ) y ∈ (0 : L n a i+2 ) x = a i+1 y y ∈ (0 : L n a i+2 ) a i+2 y = 0 a i+1 (ay) = 0 ay ∈ (0 : L n a i+1 ) z ∈ (0 : L n a i+1 ) ay = z x = a i+1 y = a i z x ∈ a i (0 : L n a i+1 ) a i (0 : L n a i+1 ) ⊇ a i+1 (0 : L n a i+2 ) n ≥ 1 (0 : A a) (0 : L n a) ⊇ . . . ⊇ a i (0 : L n a i+1 ) ⊇ a i+1 (0 : L n a i+2 ) ⊇ . . . (0 : A a) k n ∈ N E n = a k n (0 : L n a k n +1 ) = a i (0 : L n a i+1 ); ∀i ≥ k n . E n = a k n +k n+1 (0 : L n a k n +k n+1 +1 ) ⊇ a k n +k n+1 (0 : L n+1 a k n +k n+1 +1 ) = E n+1 . Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn8 E 1 ⊇ . . . ⊇ E n ⊇ . . . (0 : A a) n 0 E n = E n 0 n ≥ n 0 i ≥ k n 0 , n ≥ n 0 E n 0 = a k n 0 (0 : L n 0 a k n 0 +1 ) ⊇ a i  0 : L n 0 a i+1  ⊇ a i  0 : L n a i+1  ⊇ E n = E n 0 . E n 0 = a i  0 : L n a i+1  ; ∀n ≥ n 0 i ≥ k n 0 i = 0, 1, , k n 0 − 1 a i  0 : L 1 a i+1  ⊇ ⊇ a i  0 : L n a i+1  ⊇ a i  0 : L n+1 a i+1  ⊇ (0 : A a) u ≥ n 0 a i  0 : L n a i+1  = a i  0 : L u a i+1  ; ∀n ≥ u, 0  i  k n 0 − 1. L n = L n+1 n ≥ u A t > 1 I = (a 1 , . . . , a t ) J = (a 1 , . . . , a t−1 ) B = (0 : A J) B Ra t (0 : B a t ) = (0 : A I) (0 : A I) (0 : B a t ) B Ra t t = 1 B A I A J B = (0 : A J) J t − 1 A (R, m) A R i) x ∈ R n x n A = 0 x A xA = A x A Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn9 [...]... cơ sở của môđun đối đồng điều địa phương như tính triệt tiêu, tính Artin phục vụ chứng minh các kết quả ở Chương 3 2.1 Khái niệm môđun đối đồng điều địa phương Trong tiết này ta nhắc lại khái niệm và tính chất cơ sở của môđun đối đồng điều địa phương Các thuật ngữ ở đây được tham khảo trong cuốn sách [BS] của M Brodmann và R Y Sharp Định nghĩa 2.1.1 Cho I là iđêan của R và M , N là các R -môđun Đặt... có dãy khớp ngắn fi gi i1 i1 i1 0 HI (M )/xHI (M ) HI (M/xM ) (0 :HIi (M ) x) 0 với mỗi i 0 Định lý sau khẳng định môđun đối đồng điều địa phương cấp cao nhất (với giá I tuỳ ý) là Artin (xem [M2]) Định lý 2.3.2 Với mỗi iđêan I , môđun đối đồng điều địa phương cấp cao d nhất HI (M ) là Artin S húa bi Trung tõm Hc liu i hc Thỏi Nguyờn http://www.lrc-tnu.edu.vn20 21 Chứng minh Ta sẽ chứng minh bằng... là Artin nên (0 :Hm (M ) là môđun 1.1.6, i x) là Artin Vì Hm (M ) i m-xoắn và x m nên Hm (M ) cũng là Rx-xoắn Theo Định lý i Hm (M ) là môđun Artin S húa bi Trung tõm Hc liu i hc Thỏi Nguyờn http://www.lrc-tnu.edu.vn22 Chương 3 Về môđun đối đồng điều địa phương cấp cao nhất Trong chương này, luôn giả thiết một iđêan của (R, m) là vành Noether địa phương, I là R và M là R -môđun hữu hạn sinh với dim... R -môđun hữu hạn sinh Khi đó HI (M ) = 0 với mọi i > dim M Chiều của môđun M cũng được đặc trưng thông qua tính triệt tiêu của môđun đối đồng điều địa phương như sau Mệnh đề 2.2.8 Nếu M là hữu hạn sinh và (R, m) là vành địa phương với i iđêan cực đại duy nhất m thì dim M = max{i | Hm (M ) = 0} S húa bi Trung tõm Hc liu i hc Thỏi Nguyờn http://www.lrc-tnu.edu.vn19 20 2.3 Tính Artin của môđun đối đồng. .. 0 hoặc A có biểu diễn thứ cấp thì A là biểu diễn được Tiếp theo ta chỉ ra mỗi biểu diễn thứ cấp đều có thể quy về tối thiểu Bổ đề 1.2.2 Các phát biểu sau là đúng: i) Môđun thương khác 0 của môđun p-thứ cấp là p-thứ cấp ii) Tổng trực tiếp của hữu hạn môđun p-thứ cấp là p-thứ cấp iii) Tổng của hữu hạn môđun con p-thứ cấp của A là p-thứ cấp Chứng minh (i) Giả sử A là p-thứ cấp và B = A/Q = 0 Nếu x p... là giải nội xạ của M , tác động hàm tử I () ta có đối phức u 0 u 1 0 I (E0 ) I (E1 ) I (E2 ) Khi đó n HI (M ) = Ker u / Im u , với n 0, là môđun đối đồng điều n n1 thứ n của đối phức trên, môđun này không phụ thuộc vào việc chọn giải nội xạ của M Sau đây là một số tính chất cơ sở của môđun đối đồng điều địa phương Mệnh đề 2.1.3 Cho M là R -môđun Các phát biểu sau là đúng 0 (i) HI (M ) I (M... Rad(AnnR (0 :HId (M ) I)) = Rad(I + AnnR HI (M )) Vì d HI (M ) là Artin nên môđun con (0 :HId (M ) I) của nó cũng là Artin Theo [DM, Định lí 3], môđun đối đồng điều địa phương cấp cao nhất d HI (M ) luôn là I -đối hữu hạn (I -cofinite) Do đó (0 :HId (M ) I) là R- môđun hữu hạn sinh Vì thế là môđun Noether Suy ra (0 :HId (M ) I) vừa là môđun Artin, vừa (0 :HId (M ) I) có độ dài hữu hạn Vì vậy AnnR (0 :HId... gợi ý cho chúng ta định nghĩa khái niệm đối giá của môđun đối đồng điều địa phương cấp cao nhất như sau Định nghĩa 3.5.2 kí hiệu là Cho d N như trong Kí hiệu 3.3.1 Đối giá của HI (M ), d CosR (HI (M )), được định nghĩa như sau ddim(R/p) d CosR (HI (M )) = {p Spec(R) | HpRp Với (M/N )p = 0} M là hữu hạn sinh ta luôn có SuppR M = Var(AnnR M ) Tuy nhiên đối với môđun Artin Bổ đề 3.5.3 d HI (M ) ta chỉ... húa bi Trung tõm Hc liu i hc Thỏi Nguyờn http://www.lrc-tnu.edu.vn19 20 2.3 Tính Artin của môđun đối đồng điều địa phương Trong tiết này ta luôn giả thiết iđêan của (R, m) là vành Noether địa phương, I là R và M là R -môđun hữu hạn sinh với dim M = d Để xét tính Artin của môđun đối đồng điều địa phương trước hết ta cần mệnh đề sau Mệnh đề 2.3.1 Cho x I là một phần tử M -chính quy Khi đó với mọi i N... có điều phải chứng minh S húa bi Trung tõm Hc liu i hc Thỏi Nguyờn http://www.lrc-tnu.edu.vn30 31 3.4 Tập iđêan nguyên tố gắn kết của d HI (M ) Ta có kết quả sau đây về tập iđêan nguyên tố gắn kết của môđun đối đồng điều địa phương cấp cao nhất với giá cực đại (xem [BS]) d AttR Hm (M ) = {p AssR M | dim(R/p) = d} Sử dụng Định lý 3.3.2 và Hệ quả 3.3.6 ta mô tả được tập iđêan nguyên tố gắn kết của môđun . thái nguyên Tr-ờng đại học s- phạm Giáp Xuân Tr-ờng Về môđun đối đồng điều địa ph-ơng cấp cao nhất Luận văn thạc sĩ toán học Thỏi