- - 1 A. ĐẶT VẤN ĐỀ LÍ DO CHỌN ĐỀ TÀI Phƣơng trình, bất phƣơng trình vô tỉ là phƣơng trình, bất phƣơng trình có ẩn dƣới dấu căn thức là các bài toán về phƣơng trình bất phƣơng trình siêu việt, cũng nhƣ phƣơng trình, bất phƣơng trình lƣợng giác thƣờng đƣa về phƣơng trình, bất phƣơng trình vô tỉ để giải. Chính vì thế việc khảo sát phƣơng trình , bất phƣơng trình vô tỉ là rất cần thiết. Trong những năm gần đây, phƣơng trình, bất phƣơng trình vô tỉ thƣờng xuất hiện trong các đề thi Đại học- Cao đẳng và đề thi Học sinh giỏi. Do đó, việc biên soạn một hệ thống các bài tập và phƣơng giải cho dạng toán này sẽ giúp ích cho học sinh khi ôn luyện để thi học sinh giỏi và thi vào các trƣờng đại học –Cao đẳng B. GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ I. CƠ SỞ LÍ LUẬN Một trong những trọng tâm của đổi mới chƣơng trình và sách giáo khoa giáo dục phổ thông là tập trung vào đổi mới phƣơng pháp dạy học, thực hiện việc dạy học dựa vào hoạt động tích cực, chủ động của học sinh với sự tổ chức và hƣớng dẫn của giáo viên nhằm phát triển tƣ duy độc lập, sáng tạo, góp phần hình thành phƣơng pháp và nhu cầu tự học, bồi dƣỡng hứng thú học tập, tạo niềm tin và niềm vui trong học tập cho học sinh.Tiếp tục tận dụng các ƣu điểm của phƣơng pháp truyền thống và dần dần làm quen với những phƣơng pháp dạy học mới. Khi giải một bài toán, học sinh thƣờng cố gắng tìm ra một phƣơng pháp tối ƣu, đẹp nhất, chặt chẽ, chính xác nhất trong nhiều cách giải bài toán đó. Với cách học đó giúp các em tích lũy đƣợc nhiều kinh nghiệm giải toán và giải toán sáng tạo. Để bổ sung cho học sinh phƣơng pháp giải phƣơng trình, bất phƣơng trình vô tỉ tôi giới thiệu đề tài: “Một số phương pháp giải phương trình, bất phương trình vô tỉ” II. THỰC TRẠNG CỦA VẤN ĐỀ 1. Thuận lợi: Đa số học sinh đều thích học môn Toán, các em học Toán để chuẩn bị cho các kì thi Tốt nghiệp phổ thông, Đại học, Cao đẳng và thi học sinh giỏi. Ngoài ra, đƣợc sự động viên, quan tâm và giúp đỡ của Ban Giám Hiệu cũng nhƣ của đồng nghiệp đã tạo điều kiện thuận lợi cho tôi thực hiện đề tài này. 2. Khó khăn: Học sinh chủ yếu là con em nông thôn, gia đình ở xa trƣờng, điều kiện kinh tế khó khăn, ngoài thời gian học ở trƣờng các em còn phải làm giúp gia đình. Đa số điểm đầu vào của học sinh còn thấp, vì thế cũng có phần khó khăn cho việc lĩnh hội kiến thức. - - 2 III. GIẢI PHÁP VÀ TỔ CHỨC THỰC HIỆN Một số phƣơng trình, bất phƣơng trình vô tỉ khi giải bằng phƣơng pháp thông thƣờng sẽ gặp rất nhiều khó khăn, vì có nhiều phƣơng trình, bất phƣơng trình chứa nhiều dấu căn khá phức tạp. Ở đây tôi nêu ra ba phƣơng pháp để giải phƣơng trình , bất phƣơng vô tỉ là phƣơng pháp biến đổi tƣơng đƣơng, đặt ẩn phụ và phƣơng pháp vectơ. 1) Phương pháp biến đổi tương đương Khi giải các phƣơng trình, bất phƣơng trình vô tỉ ,đầu tiên ta phải đặt điều kiện cho bài toán có nghĩa sau đó tìm cách tách căn thức và khử nó, có một số phép biến đổi tƣơng đƣơng quan trọng sau : Giả sử k là một số nguyên dƣơng 2 2 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 k k f x g x f x g x gx        21 21 ( ) ( ) ( ) ( ) k k f x g x f x g x      22 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 kk f x g x f x g x fx        2 1 2 1 ( ) ( ) ( ) ( ) kk f x g x f x g x     Ví dụ 1: Giải phƣơng trình x - 2x 3 0 (1) Giải : ta có x - 2x 3 = 0 22 0 00 3 1 2x 3 2x 3 3 x xx x x xx x                          Ví dụ 2: Giải phƣơng trình 1 8 3x 1x     (2) - - 3 Giải: (2) 2 2 2 2 1 0 1 3 1 3x 1 8 3x 1 0 3x 4x 1 31 2x 4x 2 2 ( 1)(3x 1) 64 1 31 32 3x 4x 1 961 124x 4x 1 31 8 32 128x 960 0 x x x x x x x x                                                       Ví dụ 3: Giải phƣơng trình 2 2 2 1 1 4x x x      (3) KD -2005 Giải: Điều kiện : x  -1 , (3)  2 2 ( 1 1) 1 4 2( 1 1) 1 4 1 2 3 x x x x xx                 Ví dụ 4: Giải bất phƣơng trình 2 2 2 3x 2 4x 3 2 5x 4x x x        (4) Giải : Điều kiện 2 2 2 3x 2 0 4 4x 3 0 1 5x 4 0 x x x x x                      Nếu x 4 Ta viết (4) dƣới dạng ( 1)( 2) ( 1)( 3) 2 ( 1)( 4) ( 1)( 2 3) 2 1 4 2 3 2 4 2 4 4 3 x x x x x x x x x x x x x x x x x x                               Vì x 4 nên vế trái dƣơng còn vế phải âm bất phƣơng trình nghiệm đúng Vậy x  4  Nếu x 1 Ta viết (4) dƣới dạng (1 )(2 ) (1 )(3 ) 2 (1 )(4 ) 1 ( 2 3 ) 2 1 4 x x x x x x x x x x x                 Khả năng 1: x=1 là nghiệm - - 4 Khả năng 2 : x<1 thì (4) 2 3 2 4 2 4 4 3 x x x x x x x              Vế trái âm, vế phải dƣơng , (4) vô nghiệm Vậy x=1 hoặc x 4 Bài tập: 1/ Giải các phƣơng trình 33 3 2 3 2 2 / 34 3 1 / (1 ) 2(1 ) 3 / 2 1 2 1 2 / 5 5 a x x b x x x x x c x x x x d x x                   2/ Giải bất phƣơng trình 22 42 2 / ( 3) 4 9 / 2 1 / 2x 1 1 / 2x 6x 1 2 a x x x b x x x c x x dx                 2) Đặt ẩn phụ để đưa về hệ phương trình. Đối với phƣơng pháp này ta có thể đƣa về hệ hai ẩn khác ẩn của phƣơng trình hoặc có thể chỉ đặt một ẩn và ẩn còn lại của hệ là ẩn của phƣơng trình ban đầu. a) Đặt một ẩn phụ. Ta tìm phƣơng pháp chung để giải các phƣơng trình dạng     2 ax b cx dx e và      3 32 ax b cx dx ex f Dạng 1 :        2 1 ( 0, 0, )ax b mx c x d a m m a . Xét hàm số    2 1 ()f x x cx d a . Ta có  2 '( )f x x c a ,    '( ) 0 2 ac f x x . Đặt  2 ac ax b y , ta đƣa phƣơng trình dạng 1 về hệ đối xứng quen thuộc. Ví dụ 1: Giải phƣơng trình    2 55xx . Làm nháp: Xét hàm số  2 ( ) 5f x x . Ta có    '( ) 2 , '( ) 0 0f x x f x x . - - 5 Giải Đặt   5 ( 0)x y y , ta đƣợc hệ phƣơng trình        2 2 5 5 xy yx Hệ này là hệ đối xứng loại 2. Giải hệ ta đƣợc            1 21 2 1 21 2 x y (loại) hoặc            1 21 2 1 21 2 x y hoặc            1 17 2 1 21 2 x y hoặc            1 17 2 1 21 2 x y (loại) Vậy phƣơng trình có hai nghiệm     1 21 1 17 , 22 xx . Ví dụ 2: Giải phƣơng trình     2 1 61 29 3 3 36 6 x x x . Làm nháp: Xét hàm số    2 29 ( ) 3 6 f x x x . Ta có       1 '( ) 6 1, '( ) 0 6 f x x f x x . Giải Đặt      1 61 1 1 () 3 36 6 6 x y y , ta đƣợc hệ phƣơng trình            2 2 35 35 y y x x x y Suy ra             22 3( ) ( ) ( )(3 3 2) 0y x y x x y x y y x y x hoặc   32 3 x y . *Với yx , ta có     2 5 35 3 y y x . - - 6 *Với   32 3 x y , ta có              22 3 2 3 126 3 5 9 6 13 0 39 x x x x x x .Từ đây ta tìm đƣợc y và kết luận nghiệm của phƣơng trình. Dạng 2 :        2 1 ( 0, 0, )ax b cx dx e a c a c . Xét hàm số    2 ()f x cx dx e . Ta có '( ) 2f x cx d ,    '( ) 0 2 d f x x c . Đặt   2ax b cy d , ta đƣa phƣơng trình dạng 2 về hệ đối xứng quen thuộc. Ví dụ 3: Giải phƣơng trình     2 9 5 3 2 3x x x . Làm nháp: Xét hàm số    2 ( ) 3 2 3f x x x . Ta có       1 '( ) 6 2, '( ) 0 3 f x x f x x . Giải Đặt      1 9 5 3 1( ) 3 x y y , ta đƣợc hệ phƣơng trình            2 2 3 2 3 2 3 2 3 2 y y x x x y Từ đây ta có thể dễ dàng giải tiếp . Dạng 3 :         3 32 1 ( 0, 0, )ax b cx dx ex f a c a c . Xét hàm số            3 2 2 ( ) '( ) 3 2 ''( ) 6 2f x cx dx ex f f x cx dx e f x cx d .    ''( ) 0 3 d f x x c . Đặt  3 3 d ax b y c , ta đƣa pt dạng 3 về hệ đối xứng quen thuộc. Ví dụ 4: Giải phƣơng trình    3 3 1 2 2 1xx . Làm nháp: Xét hàm số  3 11 () 22 f x x . Ta có      2 3 '( ) , ''( ) 3 , ''( ) 0 0 2 f x x f x x f x x . - - 7 Giải Đặt  3 21yx , ta đƣợc hệ phƣơng trình        3 3 12 12 xy yx Trừ hai phƣơng trình của hệ vế theo vế, ta đƣợc :    33 22x y y x                 22 22 ( )( 2) 0 2 0( ) yx y x y xy x y xy x VN Thay xy vào phƣơng trình ban đầu ta đƣợc :    3 2 1 0xx     15 1, 2 xx . Dạng 4 :         3 32 1 ( 0, 0, )ax b cx dx ex f a c a c . Xét hàm số            3 2 2 ( ) '( ) 3 2 ''( ) 6 2f x cx dx ex f f x cx dx e f x cx d .    ''( ) 0 3 d f x x c . Đặt    3 3ax b cy d , ta đƣa pt dạng 4 về hệ đối xứng quen thuộc. Ví dụ 5: Giải phƣơng trình      3 32 4 81 8 2 2 3 x x x x . Làm nháp: Xét hàm số     32 4 ( ) 2 2 3 f x x x x . Ta có         2 42 '( ) 3 4 , ''( ) 6 4, ''( ) 0 33 f x x x f x x f x x . Giải Đặt    3 81 8 3 2xy , ta đƣợc hệ phƣơng trình              32 32 4 32 3 4 32 3 y x x x x y y y Đáp số :   3 2 6 0; 3 xx . - - 8 BÀI TẬP TƢƠNG TỰ Giải các phƣơng trình sau : 1)    2 22xx 2)     2 4 3 5x x x 3)    3 3 2 3 3 2xx ; 4)      2 3 1 4 13 5x x x 5)     2 1 4 5x x x 6)    2 19 77 7 28 x x x . b) Đặt hai ẩn phụ. Khi biểu thức dƣới dấu căn có mối liên hệ với nhau, ta đặt hai ẩn phụ để đƣa về hệ phƣơng trình. Ví dụ 6: Giải phƣơng trình       22 3 2 1x x x x Giải Đặt    2 3u x x và     2 2 ( , 0)v x x u v , ta đƣợc hệ phƣơng trình :                         2 2 2 11 2 1 5 2 0 u v u v u v u v v v hoặc        1 2 u v (loại) Đáp số :   15 2 x . Ví dụ 7: Giải phƣơng trình     33 34 3 1xx Giải Đặt  3 34ux và  3 3vx , ta đƣợc hệ phƣơng trình :                                  3 3 2 2 2 2 1 1 1 37 ( )( ) 37 ( 1) ( 1) 37 u v u v u v u v u v u uv v v v v v 2 1 4 3 12 0 uv u v vv                hoặc        3 4 u v . Khi đó        3 3 34 3 34 x x hoặc        3 3 34 3 34 x x Giải ra đƣợc   30, 61xx . Ví dụ 8:Giải phƣơng trình      3 2 3 2 3 6 5 8 0xx (ĐH Khối A- 2009) Giải Đặt  3 32ux và   6 5( 0)v x v , ta đƣợc hệ phƣơng trình : - - 9                           32 3 2 2 8 2 8 2 2 3 8 33 5 3 8 15 4 32 40 0 ( 2)(15 26 20) 0 uu uv vv uv u u u u u u        2 4 u v .Giải hệ          3 3 2 2 6 5 4 x x ta đƣợc 2x . BÀI TẬP TƢƠNG TỰ Giải các phƣơng trình 1/     2 49 7 7 ( 0) 28 x x x x .ĐS:   5 2 6 4 x 2/     4 4 47 2 35 2 4xx .ĐS:   17; 23xx . 3/    3 31xx .ĐS: 1; 2 2xx . 4/    2 64x x x .ĐS:      3 17 5 13 ; 22 xx 5/     3 2 1 1xx .ĐS:   1; 2; 10.x x x 6/    32 5 1 2( 2)xx .ĐS:   5 37 2 x . 3) Vận dụng kiến thức vectơ để giải phương trình, bất phương trình vô tỉ Một số kiến thức vận dụng : ●        u v u v ●             ( 0)u v u v u kv k ●        u v u v ● ( 0)u v u v u kv k            ●           . . ( 0)u v u v u kv k Ví dụ 9: Giải phƣơng trình       22 2 5 6 10 5x x x x Giải Phƣơng trình        22 ( 1) 4 ( 3) 1 5xx Trong mặt phẳng tọa độ Oxy ,chọn các vectơ có tọa độ nhƣ sau :   ( 1;2)ux   ( 3;1)vx Ta có :   (2;1)uv   5uv - - 10         22 ( 1) 4 ( 3) 1u v x x Vì             ( 0)u v u v u kv k nên      1 25 3 x x x . Vậy nghiệm của phƣơng trình là  5x . Ví dụ 10: Giải phƣơng trình       22 2 10 6 13 41x x x x Giải Phƣơng trình đã cho        22 ( 1) 9 (3 ) 4 41xx Trong mặt phẳng tọa độ Oxy ,chọn các vectơ có tọa độ nhƣ sau :   ( 1;3)ux   (3 ;2)vx Ta có :   (4;5)uv   41uv         22 ( 1) 9 ( 3 ) 4u v x x Vì             ( 0)u v u v u kv k nên      1 3 7 3 2 5 x x x . Vậy nghiệm của phƣơng trình là  7 5 x . Ví dụ 11: Giải phƣơng trình         23 (3 ) 1 5 2 40 34 10x x x x x x Giải Điều kiện:  5 1 2 x . PT          23 (3 ) 1 5 2 40 34 10x x x x x x          2 (3 ) 1 5 2 [(3 ) 1](4 )x x x x x Trong mặt phẳng tọa độ Oxy ,chọn các vectơ có tọa độ nhƣ sau :   (3 ;1)ux     ( 1; 5 2 )v x x Ta có :       . (3 ) 1 5 2u v x x x          2 2 3 . (3 ) 1. 4 40 34 10u v x x x x x Vì           . . ( 0)u v u v u kv k nên           32 31 2 17 49 46 0 2 1 5 2 x x x x x xx . Vậy nghiệm của phƣơng trình là  2x . [...]... thuyết cơ bản về hình học và đại số- nhận dạng đƣợc các loại bài tập –phƣơng pháp giải từng loại bài tập có hệ thống nhƣ trên thì sẽ giúp cho các em giải quyết đƣơc bài toán giải phƣơng trình, bất phƣơng trình vô tỉ trong các đề thi Đại học-Cao đẳng một cách nhanh chóng - Kết quả cho thấy: đa số HS biết ứng dụng và giải đƣợc các bài toán về giải phƣơng trình, bất phƣơng trình vô tỉ C KẾT LUẬN VÀ ĐỀ XUẤT... việc ôn thi đại học của học sinh Nó giúp học sinh thấy đƣợc cách giải quyết vấn đề nhanh chóng và hiệu quả khi nắm vững phƣơng pháp Tôi rất mong đƣợc hội đồng chuyên môn nhà trƣờng góp ý, bổ sung để đề tài đƣợc hoàn thiện hơn và có thể triển khai áp dung rộng rãi để giảng dạy cho học sinh lớp 12 chuẩn bị thi Đại học-Cao đẳng Trong quá trình biên soạn đề tài tôi đã có nhiều cố gắng, tuy nhiên cũng không...BÀI TẬP TƢƠNG TỰ Giải các phƣơng trình 1/ x  3  4  x  x  8  6 x  1  1 ĐS: 5  x  10 2/ x 2  8x  816  x 2  10x  267  2003 56 ĐS: x   31 3/ x  2  4  x  x 2  6x  11 ĐS: x  3 4/ x 2  2x  5  x 2  2x  . nghiệm giải toán và giải toán sáng tạo. Để bổ sung cho học sinh phƣơng pháp giải phƣơng trình, bất phƣơng trình vô tỉ tôi giới thiệu đề tài: Một số phương pháp giải phương trình, bất phương trình. Phƣơng trình, bất phƣơng trình vô tỉ là phƣơng trình, bất phƣơng trình có ẩn dƣới dấu căn thức là các bài toán về phƣơng trình bất phƣơng trình siêu việt, cũng nhƣ phƣơng trình, bất phƣơng trình. phƣơng trình, bất phƣơng trình vô tỉ để giải. Chính vì thế việc khảo sát phƣơng trình , bất phƣơng trình vô tỉ là rất cần thiết. Trong những năm gần đây, phƣơng trình, bất phƣơng trình vô tỉ