LUYỆN THI ĐH – CĐ CHUYÊN ĐỀ HÌNH HỌC TỌA ĐỘ KHÔNG GIAN 1  PHẦN I: TÓM TẮT LÝ THUYẾT.  Hệ trục tọa độ : z - Nếu : kzjyixOM ++= ; thì tọa độ điểm M là : M ( x;y;z) - Trục ox là trục hoành ; trên đó có véc tơ )0;0;1(=i - Tr ụ c oy là tr ụ c tung ; trên đ ó có véc t ơ )0;01;0(=j x y - Tr ụ c oz là tr ụ c cao ; trên đ ó có véc t ơ )1;0;0(=k - Đ i ể m O là g ố c t ọ a độ ; O ( 0;0;0)  o Điểm nằm trên các trục tọa độ - Nếu điểm M nằm trên trục hoành ox ; thì tọa độ M(x; 0;0) -Nếu điểm M nằm trên trục tung oy ; thì tọa độ M(0; y;0) -Nếu điểm M nằm trên trục cao oz ; thì tọa độ M(0; 0;z) o Điểm nằm trên các mặt phẳng tọa độ -Nếu điểm M nằm trong mặt phẳng (oxy) ; thì tọa độ M(x; y;0) -Nếu điểm M nằm trong mặt phẳng (oyz) ; thì tọa độ M(0; y;z) -Nếu điểm M nằm trong mặt phẳng (oxz) ; thì tọa độ M(x; 0;z)          !"  !" !"  !"   • Cho hai đ i ể m );;( 111 zyxA và );;( 222 zyxB ; khi đ ó ta có công th ứ c tính t ọ a độ c ủ a vecto AB là : ( ) 121212 ;; zzyyxxAB −−−= • Cho hai vecto: ( ) 321 ;; aaaa = và ( ) 321 ;; bbbb = ; khi dó ta có các công th ứ c tính nh ư sau : Ct1 : Tọa độ vecto tổng và vecto hiệu của các vecto ( ) 332211 ;; babababa +++=+ và ( ) 332211 ;; babababa −−−=− Ct2 : Tọa độ vecto tích một số thực với một vecto ( ) 321 ;; kakakaka = (v ớ i k là m ộ t s ố th ự c b ấ t k ỳ ) Ct3 : Tích vô hướng hai vecto 332211 babababa ++= Ct4 : Hai vecto cùng phương 3 3 2 2 1 1 // b a b a b a bkaba ==⇔=⇔ Ct5 : Hai vecto vuông góc 0 0 332211 =++⇔=⇔⊥ bababababa Chú ý : Vận dụng hai vecto vuông góc để chứng minh : -Tam giác vuông -Hai đường thẳng vuông góc Ct6 : Hai vecto bằng nhau      = = = ⇔= 33 22 11 ba ba ba ba ( Hai vecto b ằ ng nhau ) LUYỆN THI ĐH – CĐ CHUYÊN ĐỀ HÌNH HỌC TỌA ĐỘ KHÔNG GIAN 2 Chú ý : Vận dụng hai vecto bằng nhau để : -Tìm tọa độ điểm ; khi biết tứ giác đó là một hình bình hành Ct7 : Tính góc của hai vecto ( ) 2 3 2 2 2 1 2 3 2 2 2 1 332211 . ;cos bbbaaa bababa ba ba ba ++++ ++ ==   3.Tọa độ trung điểm của một đoạn thẳng ; trong tâm của tam giác và của tứ diện *T ọ a độ trung đ i ể m M c ủ a đ o ạ n th ẳ ng AB ; v ớ i );;( 111 zyxA và );;( 222 zyxB Thì t ọ a độ trung đ i ể m M là :       +++ 2 ; 2 ; 2 212121 zzyyxx M * T ọ a độ tr ọ ng tâm G c ủ a tam giác ABC ; v ớ i );;( 111 zyxA ; );;( 222 zyxB ; );;( 333 zyxC . Thì t ọ a độ tr ọ ng tâm G       ++++++ 3 ; 3 ; 3 321321321 zzzyyyxxx G * T ọ a độ tr ọ ng tâm G c ủ a t ứ di ệ n ABCD ; v ớ i );;( 111 zyxA ; );;( 222 zyxB ; );;( 333 zyxC ; );;( 444 zyxD Thì t ọ a độ trung đ i ể m G là :       +++++++++ 4 ; 4 ; 4 432143214321 zzzzyyyyxxxx G o Công thức tính độ dài của một đoạn thẳng Cho hai đ i ể m : );;( 111 zyxA và );;( 222 zyxB thì ta có : ( ) ( ) ( ) 2 12 2 12 2 12 zzyyxxAB −+−+−= Chú ý : dùng công thức tính độ dài đoạn thẳng để tính chu vi của một tam giác ; tứ giác ; khoảng cách từ một điểm đến một điểm   4. Tích có hướng của hai véc tơ trong không gian và ứng dụng: o Khái niệm: Trong không gian Oxyz, tích có h ướ ng c ủ a hai véct ơ a và b là m ộ t véct ơ vuông góc v ớ i c ả a và b . Kí hi ệ u : [ ba; ] Cho : ( ) 321 ;; aaaa = ( ) 321 ;; bbbb = ( ) 2 2 1 1 1 1 3 3 3 3 2 2 ;;];[ a b a b a b a b a b a b ba =⇒ Nh ớ : b ỏ c ộ t 1 ; b ỏ c ộ t 2 đổ i chi ề u ; b ỏ c ộ t 3   #$%& #$%&#$%& #$%&'()*+,-!.*#*#/*0 !"1 '()*+,-!.*#*#/*0 !"1'()*+,-!.*#*#/*0 !"1 '()*+,-!.*#*#/*0 !"1  2 3#4 2 3#42 3#4 2 3#45*+67#45*+8 5*+67#45*+85*+67#45*+8 5*+67#45*+8  · Tích có hướng : 1. chọn MODE 8 (Vector), 2. chọn 1 cho vector A, hoặc chọn 2 cho vector B,hoặc chọn 3 cho chọn vector C 3. hiện ra VctA(m) khi chọn vector A, VctB(m) khi chọn vector B, tương tự vector C, chọn 1 cho tọa độ không gian Oxyz, và chọn 2 cho trục tọa độ Oxy 4. khi chọn vector nào điền tọa độ vào 5. sau đó, nhấn AC tiếp theo chọn shift 5 (VECTOR) các thuật ngữ Mẫu chọn Yêu cầu ( ) 0 90;0. >⇔< baba ( ) 0 90;0. =⇔= baba ( ) 0 90 ; 0 . < ⇔ > b a b a LUYỆN THI ĐH – CĐ CHUYÊN ĐỀ HÌNH HỌC TỌA ĐỘ KHÔNG GIAN 3 1 Dim Gọi VctA, VctB, VctC để ấn định chiều (mặt phẳng hay không gian) cho các vector này 2 Data Gọi VctA, VctB, VctC để hiện tọa độ và chỉnh sữa tọa độ 3 VctA Nhập "VctA" 4 VctB Nhập "VctB" 5 VctC Nhập "VctC" 6 VctAns Nhập "VctAns" 7 Dot Nhập dấu . (để lấy tích vô hướng 2 vector) 6 . chọn Dim rồi chọn VctB hay VctC cũng tương tự VctA chọn 1hay 2 rồi nhập tọa độ vector thứ 2 hay thứ 3. 7. rồi nhấn AC, gọi lai nhân shift 5 chọn 3 gọi vector A, chọn 4 gọi vector B và C tương tụ. 8. Nếu muốn nhân 2 vector hữu hướng thì chọn dấu nhân (X) giữa 2 vector. VD nhân vector A và Vector B nếu có hướng thì chọn shift 5 ( Vector ) 3 rồi chọn dấu nhân(x) rồi chọn shift 5 chọn 4. 9. cuối cùng nhấn dấu bằng (=) hiện ra kq. o Ứng dụng:    ];[ 2 1 ACABS ABC = ∆    / . ].;[ //// AAADABV DCBAABCD =    ADACABV ABCD ].;[ 6 1 =    cbacba ,,0].;[ ⇒= đồng phẳng.    baba ,0];[ ⇒= cùng phương. 9 99 9: :: :    ;< ;<;< ;<       = >  ? @  ABC ADA  E  1 Chứng minh 3 điểm A;B;C thẳng hàng hay không thẳng hàng Lập 2 véc tơ ; AB AC uuur uuur .Nếu hai vecto trên cùng phương thì 3 điểm thẳng hàng .Nếu hai vecto trên không cùng phương thì 3 điểm trên không thẳng hàng hay lập thành 1 tam giác 2 Tìm D để tứ giác ABCD là hình bình hành Vẽ hình, kí hiệu chính xác Gọi D(x; y; z) ABCD là hbh    AD BC = uuur uuur      = = = ⇔= 33 22 11 ba ba ba ba 3 Tìm các điểm còn lại của một hình hộp Vẽ hình kí hiệu điểm chính xác Dùng vecto bằng nhau để tìm      = = = ⇔= 33 22 11 ba ba ba ba 4 Tìm C Ox ∈ để ABC là tam giác cân tại C Gọi ( ;0;0) C x Ox ∈ ABC ∆ cân tại C    CA= CB Hai vecto bằng nhau LUYỆN THI ĐH – CĐ CHUYÊN ĐỀ HÌNH HỌC TỌA ĐỘ KHÔNG GIAN 4 o      = = = ⇔= 33 22 11 ba ba ba ba 5 Tìm C Oxy ∈ để ABC ∆ đều Gọi ( ; ;0) C x y Oxy ∈ ABC ∆    CA CB CA AB =   =       = = = ⇔= 33 22 11 ba ba ba ba 6 Tìm C Ox ∈ để ABC là tam giác vuông tại C Gọi ( ;0;0) C x Ox ∈ ABC ∆ vuông tại C    . 0 CACB = uuur uuur 7 Tìm chân đường cao A’ hạ từ A của ABC ∆ Gọi A’(x;y;z) Giải hệ: ' ' / / AA BC BA BC  ⊥     uuur uuur uuur uuur 8 Tìm trực tâm H của ABC ∆ Viết ptmp (ABC) Gọi H(x;y;z) Giải hệ ( ) H ABC AH BC BH AC ∈   ⊥   ⊥  uuur uuur uuur uuur 9 Tìm M trên trục Ox cách đều A và B Tìm M trên trục Oy cách đều A và B Tìm M trên trục Oz cách đều A và B Gọi M(x,0,0) giải MA=MB Gọi M(0,y,0) giải MA=MB Gọi M(0,0,z) giải MA=MB 10 Tìm M trên mpOxy cách đều 3 điểm A, B, C Tìm M trên mpOxz cách đều 3 điểm A, B, C Tìm M trên mpOyz cách đều 3 điểm A, B, C Gọi ( ; ;0) C x y Oxy ∈ Giải hệ MA=MB=MC Gọi ( ;0; ) C x z Oxz ∈ Giải hệ MA=MB=MC Gọi (0; ; ) C y z Oyz ∈ Giải hệ MA=MB=MC 11 Tìm M trên mp(P) cách đều 3 điểm A; B; C Gọi M(x;y;z) Giải hệ ( ) M P MA MB MA MC ∈   =   =       = = = ⇔= 33 22 11 ba ba ba ba • TỌA ĐỘ ĐIỂM TRONG KHÔNG GIAN VÍ DỤ 1: Cho tam giác ABC với A(1;2;3),B(2;−2;1),C(−1;−2;−3) a) Tìm tọa độ điểm M sao cho AM + 2BA=3CM b) Tìm tọa độ điểm D sao cho ABCD là hình bình hành c) Tìm tọa độ tâm I của hình bình hành ABCD VÍ D 2: Cho góc tam diện vuông Oxyz, trên Ox, Oy, Oz lấy các điêm A, B, C LUYỆN THI ĐH – CĐ CHUYÊN ĐỀ HÌNH HỌC TỌA ĐỘ KHÔNG GIAN 5 sao cho OA=a;OB=b;OC=c,a≤b≤c. Một (d) đi qua O. Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất có thể nhận được của tổng khoảng cách từ các từ các điểm A, B, B đến (d) VÍ DỤ 3: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho hình bình hành ABCD , biết A( − 3; − 2;0);B(3; − 3;1);C(5;0;2) 1. Tìm tọa độ điểm D 2. Tính góc giữa hai vectơ AC và BD BÀI TẬP TỰ RẰNG Bài 1: Trong hệ tọa độ Oxy cho (1; 2;1) a = − r , ( 2;1;1) b = − r , 3 2 c i j k = + − r r r r . Tìm tọa độ các véctơ sau: a) 3 2 u a b = − r r r b) 3 v c b = − − r r r c) w 2 a b c = − + uur r r r d) 3 2 2 x a b c = − + r r r r Bài 2: Trong h ệ t ọ a độ Oxy cho (1; 1;0) a = − r , ( 1;1;2) b = − r , 2 c i j k = − − r r r r , d i = r r a) xác đị nh k để véct ơ (2;2 1;0) u k = − r cùng ph ươ ng v ớ i a r b) xác đị nh các s ố th ự c m, n, p để d ma nb pc = − + r r r r c) Tính , , 2 a b a b + r r r r Bài 3: Cho ( ) ( ) ( ) 2; 5;3 , 3;7; 4 , ; ; 6 A B C x y a) Tìm x, y để ba đ i ể m A, B, C th ẳ ng hàng b) Tìm giao đ i ể m c ủ a đườ ng th ẳ ng AB v ớ i m ặ t ph ẳ ng yOz. Tính độ dài đ o ạ n AB c) Xác đị nh t ọ a độ đ i ể m M trên mp Oxy sao cho MA MB + nh ỏ nh ấ t. Bài 4 : Trong h ệ t ọ a độ Oxy cho 1 (1; 2; ) 4 a = − r , ( 2;1;1) b = − r , 3 2 4 c i j k = + + r r r r a) Tính các tích vô h ướ ng . ab r r , . c b r r . Trong ba véct ơ trên có các c ặ p véct ơ nào vuông góc b) Tính os(a,b) C r r , os(a,i) C r r Bài 5: Trong h ệ t ọ a độ Oxy cho: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1; 1;1 , 2; 3;2 , 4; 2;2 , 3;0;1 , 1;2;3 A B C D E − − − a) Ch ứ ng t ỏ r ằ ng ABCD là hình ch ữ nh ậ t. Tính di ệ n tích c ủ a nó. b) Tính cos các góc c ủ a tam giác ABC c) Tìm trên đườ ng th ẳ ng Oy đ i ể m cách đề u hai đ i ể m AB d) Tìm t ọ a độ đ i ể m M th ỏ a 2 0 MA MB MC + − = uuur uuur uuuur r Bài 6: Trong h ệ t ọ a độ Oxy cho: ( ) ( ) ( ) 1; 1;1 , 2; 3;2 , 4; 2;2 . A B C − − − a) Tìm t ọ a độ trung đ i ể m c ủ a đ o ạ n AB b) Tìm t ọ a độ trong tâm tam giác ABC • TÍCH CÓ HƯỚNG HAI VÉCTƠ VÀ CÁC ỨNG DỤNG Bài 1: Trong không gian Oxyz , tính tích có hướng , u v     r r biết rằng: a) (1; 2;1) u = − r , ( 2;1;1) v = − r b) ( 1;3;1) u = − r , (0;1;1) v = r c) 4 u i j = + r r r , 2 v i j k = − − r r r r  Bài 2: Trong không gian Oxyz , tính tích , .w u v     r r uur biết rằng: a) (1; 2;1) u = − r , (0;1;0) v = r , w (1;2; 1) = − uur b) ( 1; 1;1) u = − − r , (0;0;2) v = r , w (1; 2; 1) = − − uur c) 4 u i j = + r r r , 2 v i j k = − − r r r r , w (5;1; 1) = − uur  LUYỆN THI ĐH – CĐ CHUYÊN ĐỀ HÌNH HỌC TỌA ĐỘ KHÔNG GIAN 6 Bài 3: Trong không gian Oxyz , Cho ( ) ( ) ( ) ( ) 1; 1;1 , 2; 3;2 , 4; 2;2 , 1;2;3 A B C D − − − a) Ch ứ ng t ỏ r ằ ng A,B,C không th ẳ ng hàng b) Ch ứ ng t ỏ r ằ ng b ố n đ i ể m A,B,C,D không đồ ng ph ẳ ng c) Tính di ệ n tích tam giác ABC d) Tính th ể tích t ứ di ệ n ABCD.Bi ế t r ằ ng Bài 4 : Trong không gian Oxyz , cho hình chóp S.ABCD có: ( ) ( ) ( ) ( ) 2; 1;1 , 2; 3;2 , 4; 2;2 , 1;2; 1 , A B C D − − − − ( ) 0;0;7 S a) Tính di ệ n tích tam giác SAB b) Tính di ệ n tích t ứ giác ABCD c) Tính th ể tích hình chóp S.ABCD. T ừ đ ó suy ra kho ả ng cách t ừ S đế n mp(ABCD) d) Tính kho ả ng cách t ừ A đế n mp(SCD) Bài 5: Trong không gian Oxyz , cho hình h ộ p ABCD.A’B’C’D’. Bi ế t r ằ ng: ( ) ( ) ( ) ( ) 1;2; 1 , 1;1;3 , 1; 1;2 ’ 2; 2; 3 A B C và D − − − − − − a) Tìm t ọ a độ các đỉ nh còn l ạ i b) Tính th ể tích hình h ộ p c) Tính th ể tích t ứ di ệ n A.A’BC. Tính t ỉ s ố . ' ' ' ' . ' ' ' ABCD A B C D A A B C V V d) Tính th ể tích kh ố i đ a di ệ n ABCDD’    9 99 9:ABCF :ABCF:ABCF :ABCF< << <GH GHGH GH       DẠNG 1: (x-A) 2 + (y-B) 2 + (z-C) 2 =R 2 (1) Tâm I(A;B;C) , bán kính R Yêu cầu: - Có pt đọc được tâm I và bán kính R - Có tâm I(A; B; C), bán kính R viết được phương trình mặt cầu DẠNG 2: x 2 +y 2 + z 2 + 2Ax + 2By + 2Cz + D =0 (2) Yêu cầu: - Đọc được các số A=hệ số x/2; B=hệ số y/2; C=hệ số z/2; D tự do - Lập được điều kiện để pt (2) là pt mặt cầu A 2 +B 2 +C 2 -D>0 - Đọc được tâm I(-A; -B; -C); bán kính 2 2 2 A B C D R = + + − D= D=D= D=>IDBJGA >IDBJGA>IDBJGA >IDBJGA   = >  ? @  ABC ADA E  1 Viết ptmc (S) có tâm I(A; B; C) bk R Thay vào (1) 2 Viết ptmc (S) có tâm I(A; B; C) và đi qua đi ểm A Bán kính R= IA Thay vào (1) 3 Viết ptmc (S) đường kính AB biết 2 điểm A và B Tâm I là trung điểm AB Bk R=AB/2 Thay vào CT (1) 4 Viết ptmc (S) có tâm I và tiếp xúc mp (P) Bán kính R= d( I; (P)) Thay vào (1) 5 Viết ptmc (S) ngoại tiếp tứ diện ABCD hay đi qua 4 điểm A;B;C;D không đồng phẳng Gọi tâm I(A; B; C) Giải hệ 3 pt: 2 2 2 2 2 2 IA IB IA IB IA IC IA IC IA ID IA ID  = =    = ⇔ =     = =   Suy ra tâm I. Bán kính: R=IA LUYỆN THI ĐH – CĐ CHUYÊN ĐỀ HÌNH HỌC TỌA ĐỘ KHÔNG GIAN 7 6 Viết ptmc (S) qua 2 điểm A, B và có tâm I nằm trên trục hay 1 đường thẳng Lấy tọa độ tâm I theo trục hay theo đường thẳng Giải pt IA = IB Suy ra tâm I, bk R=IA 7 Viết ptmc (S) qua 3 điểm A, B,C và có tâm I nằm trên mặt phẳng (P) Gọi tâm I(x;y;z) Giải hệ 1 ( ) IA IB IA IC ptmp P =   =    Suy ra tâm I, bk R=IA 8 Chứng minh điểm A nằm trong, nằm trên hay nằm ngoài mặt cầu (S) Xác định tâm I, bán kính R Tính IA: Nếu IA<R thì A nằm trong Nếu IA=R thì A nằm trên Nếu IA>R thì A nằm ngoài 9 Chứng minh đoạn AB cắt mặt cầu (S) Chứng minh đoạn AB không cắt (S) Ta c/m 1 điểm nằm trong và 1 điểm nằm ngoài mặt cầu Ta c/m A, B cùng nằm trong hoặc ngoài mặt cầu 10 Chứng minh mp(P) cắt hoặc tiếp xúc hoặc không cắt mặt cầu (S) Xác định tâm I, bán kính R của (S) Tính d(I; (P)) Nếu d(I; (P))<R thì (P) cắt (S) Nếu d(I; (P))=R thì (P) tiếp xúc (S) Nếu d(I; (P))>R thì (P) không cắt S    KE KEKE KELACKM9ABCF LACKM9ABCFLACKM9ABCF LACKM9ABCF< << <GH GHGH GH   Bài 1: Trong không gian Oxyz , tìm tâm và bán kính m ặ t c ầ u a) 2 2 2 ( 2) ( 1) ( 2) 9 x y z − + + + − = b) 2 2 2 25 4 5 3 0 4 x y z x y z + + − + + + = Bài 2: Trong không gian Oxyz , cho ( ) ( ) 1;3; 7 , 5; 1;1 A B − − . a) L ậ p ph ươ ng trình m ặ t c ầ u tâm A bán kính AB b) L ậ p ph ươ ng trình m ặ t c ầ u đườ ng kính AB c) L ậ p ph ươ ng trình m ặ t c ầ u tâm B ti ế p xúc v ớ i m ặ t ph ẳ ng Oxy Bài 3: Trong không gian Oxyz , cho ( ) ( ) ( ) ( ) 1;1;1 , 1;2;1 , 1;1;2 , 2;2;1 A B C D a) Vi ế t ph ươ ng trình m ặ t c ầ u đ i qua b ố n đ i ể m A, B, C, D b) Tìm hình chi ế u c ủ a tâm m ặ t c ầ u ở câu a) lên các mp , Oxy Oyz Bài 4: Trong không gian Oxyz , hãy l ậ p ph ươ ng trình m ặ t c ầ u đ i qua 3 đ i ể m: ( ) 1;2; 4 , A − ( ) ( ) 1; 3;1 , 2;2;3 B C − và có tâm n ằ m trên mp Oxy Bài 5: Trong không gian Oxyz , cho ( ) ( ) ( ) ( ) 2; 1;6 , 3; 1; 4 , 5; 1;0 , 1;2;1 A B C D − − − − − a) Ch ứ ng t ỏ r ằ ng ABCD là m ộ t t ứ di ệ n b) Vi ế t ph ươ ng trình m ặ t c ầ u ngo ạ i ti ế p t ứ di ệ n ABCD c) Vi ế t ph ươ ng trình m ặ t c ầ u c ắ t mp(ABC) theo thi ế t di ệ n là m ộ t đườ ng tròn có bán kính l ớ n nh ấ t. Bài 6: Ch ứ ng t ỏ r ằ ng ph ươ ng trình: 2 2 2 2 4 2 4 4 0 x y z mx my z m m + + + − + + + = luôn luôn là ph ươ ng trình c ủ a m ộ t m ặ t c ầ u. Tìm m để bán kính m ặ t c ầ u là nh ỏ nh ấ t. LUYỆN THI ĐH – CĐ CHUYÊN ĐỀ HÌNH HỌC TỌA ĐỘ KHÔNG GIAN 8 Bài 7: Ch ứ ng t ỏ r ằ ng ph ươ ng trình: 2 2 2 2 2 os . 2sin . 4 4 4sin 0 x y z c x y z α α α + + + − + − − = luôn là ph ươ ng trình c ủ a m ộ t m ặ t c ầ u. Tìm m để bán kính m ặ t c ầ u là l ớ n nh ấ t.      NOAKEIDABCF NOAKEIDABCFNOAKEIDABCF NOAKEIDABCF< << <GH GHGH GH ( Tác giả: Trần Sĩ Tùng ) Dạng 1: Viết phương trình mặt cầu bằng cách xác định tâm và bán kính 1. Trong không gian v ớ i h ệ t ọ a độ Oxyz, cho đ i ể m I (1; 2;3) − . Vi ế t ph ươ ng trình m ặ t c ầ u tâm I và ti ế p xúc v ớ i tr ụ c Oy. • G ọ i M là hình chi ế u c ủ a I (1; 2;3) − lên Oy, ta có: M (0; 2;0) − . IM R IM ( 1;0; 3) 10 = − − ⇒ = = uuur là bán kính m ặ t c ầ u c ầ n tìm. K ế t lu ậ n: PT m ặ t c ầ u c ầ n tìm là x y z 2 2 2 ( 1) ( 2) ( 3) 10 − + + + − = . 2. Trong không gian v ớ i h ệ to ạ độ Oxyz, cho hai đườ ng th ẳ ng: (d 1 ) : { x t y t z 2 ; ; 4 = = = và (d 2 ) : { 3 ; ; 0 = − = = x t y t z . Ch ứ ng minh (d 1 ) và (d 2 ) chéo nhau. Vi ế t ph ươ ng trình m ặ t c ầ u (S) có đườ ng kính là đ o ạ n vuông góc chung c ủ a (d 1 ) và (d 2 ). • G ọ i MN là đườ ng vuông góc chung c ủ a (d 1 ) và (d 2 ) ⇒ M N (2; 1; 4); (2; 1; 0) ⇒ Ph ươ ng trình m ặ t c ầ u (S): x y z 2 2 2 ( 2) ( 1) ( 2) 4. − + − + − = Câu h ỏ i t ươ ng t ự : a) x y z d 1 2 1 : 1 1 2 − − = = − , x t d y z t 2 2 2 : 3  ′ = −  =   ′ =  . Đ S: S x y z 2 2 2 11 13 1 5 ( ): 6 6 3 6       − + − + + =             b) x y z x y z d d 1 2 2 1 2 4 2 ( ): ,( ): 1 2 2 1 6 2 − − − + − = = = = − ĐS: S x y z 2 2 2 5 9 ( ) :( 2) ( 3) 2 4   − + − + − =     3. Trong không gian v ớ i h ệ t ọ a độ Oxyz, cho hai đườ ng th ẳ ng: x y z d 1 4 1 5 : 3 1 2 − − + = = − − và 2 2 : 3 3 = +   = − +   =  x t d y t z t . Vi ế t ph ươ ng trình m ặ t c ầ u có bán kính nh ỏ nh ấ t ti ế p xúc v ớ i c ả hai đườ ng th ẳ ng d 1 và d 2 . • M ặ t c ầ u nh ậ n đ o ạ n vuông góc chung c ủ a hai đườ ng th ẳ ng là đườ ng kính. Câu h ỏ i t ươ ng t ự : a) x t d y t z 1 2 : 4  =  =   =  , x t d y t z 2 3 : 0  = −  =   =  . Đ S: S x y z 2 2 2 ( ):( 2) ( 1) ( 2) 4 − + − + − = 4. Trong không gian v ớ i h ệ to ạ độ Oxyz, cho đườ ng th ẳ ng 1 ( ) ∆ có ph ươ ng trình { x t y t z 2 ; ; 4 = = = ; 2 ( ) ∆ là giao tuy ế n c ủ a 2 m ặ t ph ẳ ng x y ( ): 3 0 α + − = và x y z ( ): 4 4 3 12 0 β + + − = . Ch ứ ng t ỏ hai đườ ng th ẳ ng 1 2 , ∆ ∆ chéo nhau và vi ế t ph ươ ng trình m ặ t c ầ u nh ậ n đ o ạ n vuông góc chung c ủ a 1 2 , ∆ ∆ làm đườ ng kính. • G ọ i AB là đườ ng vuông góc chung c ủ a 1 ∆ , 2 ∆ : A t t 1 (2 ; ;4) ∆ ∈ , B s s 2 (3 ; ;0) ∆ + − ∈ AB ⊥ ∆ 1 , AB ⊥ ∆ 2 ⇒ A B (2;1;4), (2;1;0) ⇒ Ph ươ ng trình m ặ t c ầ u là: x y z 2 2 2 ( 2) ( 1) ( 2) 4 − + − + − = LUYỆN THI ĐH – CĐ CHUYÊN ĐỀ HÌNH HỌC TỌA ĐỘ KHÔNG GIAN 9 5. Trong không gian v ớ i h ệ to ạ độ Oxyz, cho hình h ộ p ch ữ nh ậ t ABCD.A’B’C’D’ có A ≡ O, B(3;0;0), D(0;2;0), A’(0;0;1). Vi ế t ph ươ ng trình m ặ t c ầ u tâm C ti ế p xúc v ớ i AB’. • K ẻ CH ⊥ AB’, CK ⊥ DC’ ⇒ CK ⊥ (ADC’B’) nên ∆CKH vuông t ạ i K. CH CK HK 2 2 2 49 10 ⇒ = + = . V ậ y ph ươ ng trình m ặ t c ầ u: x y z 2 2 2 49 ( 3) ( 2) 10 − + − + = 6. Trong không gian v ớ i h ệ tr ụ c to ạ độ Oxyz, cho 4 đ i ể m A( 1; –1; 2), B( 1; 3; 2), C( 4; 3; 2), D( 4; –1; 2) và m ặ t ph ẳ ng (P) có ph ươ ng trình: x y z 2 0 + + − = . G ọ i A’ là hình chi ế u c ủ a A lên m ặ t ph ẳ ng Oxy. G ọ i (S) là m ặ t c ầ u đ i qua 4 đ i ể m A′, B, C, D. Xác đị nh to ạ độ tâm và bán kính c ủ a đườ ng tròn (C) là giao c ủ a (P) và (S). • D ễ th ấ y A′( 1; –1; 0). Ph ươ ng trình m ặ t c ầ u ( S): 01225 222 =+−−−++ zyxzyx ⇒ (S) có tâm I 5 ;1;1 2       , bán kính R 29 2 = +) G ọ i H là hình chi ế u c ủ a I lên (P). H là tâm c ủ a đườ ng tròn ( C) +) PT đườ ng th ẳ ng (d) đ i qua I và vuông góc v ớ i (P): d: x t y t z t 5/ 2 1 1  = +  = +   = +  H 5 1 1 ; ; 3 6 6   ⇒     IH 75 5 3 36 6 = = , (C) có bán kính r R IH 2 2 29 75 31 186 4 36 6 6 = − = − = = 7. Trong không gian v ớ i h ệ to ạ độ Oxyz, cho đ i ể m A(1; –2; 3) và đườ ng th ẳ ng d có ph ươ ng trình x y z 1 2 3 2 1 1 + − + = = − . Tính kho ả ng cách t ừ đ i ể m A đế n đườ ng th ẳ ng d. Vi ế t ph ươ ng trình m ặ t c ầ u tâm A, ti ế p xúc v ớ i d. • d(A, (d)) = BA a a , 4 196 100 5 2 4 1 1   + +   = = + + uur r r PT m ặ t c ầ u tâm A (1; –2; 3), bán kính R = 5 2 : x y z 2 2 2 ( –1) ( 2) ( –3) 50 + + + = 8. Trong không gian v ớ i h ệ t ọ a độ Oxyz, cho đườ ng th ẳ ng x y z d 5 7 : 2 2 1 + − = = − và đ i ể m M (4;1;6) . Đườ ng th ẳ ng d c ắ t m ặ t c ầ u (S), có tâm M, t ạ i hai đ i ể m A, B sao cho AB 6 = . Vi ế t ph ươ ng trình c ủ a m ặ t c ầ u (S). • d đ i qua N ( 5;7;0) − và có VTCP u (2; 1;1) = − r ; MN ( 9;6; 6) = − − uuuur . G ọ i H là chân đườ ng vuông góc v ẽ t ừ M đ ên đườ ng th ẳ ng d ⇒ MH = d M d ( , ) 3 = . Bán kính m ặ t c ầ u (S): AB R MH 2 2 2 18 2   = + =     . ⇒ PT m ặ t c ầ u (S): x y z 2 2 2 ( 4) ( 1) ( 6) 18 − + − + − = . 9. Trong không gian v ớ i h ệ to ạ độ Oxyz, cho m ặ t ph ẳ ng ( ) x y z : 2 2 3 0 α − + − = và m ặ t c ầ u ( ) S x y z x y z 2 2 2 : 2 4 8 4 0 + + − + − − = . Xét v ị trí t ươ ng đố i c ủ a m ặ t c ầ u (S) và m ặ t ph ẳ ng ( ) α . Vi ế t ph ươ ng trình m ặ t c ầ u (S′) đố i x ứ ng v ớ i m ặ t c ầ u (S) qua m ặ t ph ẳ ng ( ) α . • ( ) ( ) ( ) S x y z 22 2 ( ) : 1 2 4 25 − + + + − = có tâm ( ) I 1; 2;4 − và R = 5. Kho ả ng cách t ừ I đế n (α) là: ( ) d I R ,( ) 3 α = < ⇒ (α) và m ặ t c ầ u (S) c ắ t nhau. G ọ i J là đ i ể m đố i x ứ ng c ủ a I qua (α). Ph ươ ng trình đườ ng th ẳ ng IJ : x t y t z t 1 2 2 4 2  = +  = − −   = +  LUYỆN THI ĐH – CĐ CHUYÊN ĐỀ HÌNH HỌC TỌA ĐỘ KHÔNG GIAN 10 To ạ độ giao đ i ể m H c ủ a IJ và (α) tho ả ( ) x t t y t x H z t y x y z z 1 2 1 2 1 1; 1;2 4 2 1 2 2 3 0 2   = + = −     = − − = − ⇔ ⇒ − −   = + = −   − + − = =     Vì H là trung đ i ể m c ủ a IJ nên ( ) J 3;0;0 − . M ặ t c ầ u (S ′ ) có tâm J bán kính R ′ = R = 5 nên có ph ươ ng trình: ( ) S x y z 2 2 2 ( ): 3 25 ′ + + + = . 10. Trong không gian v ớ i h ệ to ạ độ Oxyz, l ậ p ph ươ ng trình m ặ t c ầ u (S) bi ế t r ằ ng m ặ t ph ẳ ng Oxy và m ặ t ph ẳ ng (P): 2 z = l ầ n l ượ t c ắ t (S) theo hai đườ ng tròn có bán kính b ằ ng 2 và 8. • T ừ gi ả thi ế t ta có vô s ố m ặ t c ầ u (S) tho ả YCBT. G ọ i (S 0 ) là m ặ t c ầ u có tâm I m 0 (0;0; ) thu ộ c tr ụ c Oz. Khi đ ó mp(Oxy) và mp(P) c ắ t (S 0 ) theo 2 đườ ng tròn tâm O O 1 (0;0;0) ≡ , bán kính R 1 2 = và tâm O 2 (0;0;2) , bán kính R 2 8 = . G ọ i R là bán kính m ặ t c ầ u thì R m m m m R m 2 2 2 2 2 2 2 2 2 4 64 ( 2) 16 8 2   = + ⇒ + = + − ⇒ =  = + −   ⇒ R 2 65 = và I 0 (0;0;16) . Suy ra m ặ t c ầ u (S) có tâm I a b ( ; ;16) (a, b ∈ R), bán kính R 2 65 = . V ậ y ph ươ ng trình m ặ t c ầ u (S): x a y b z 2 2 2 ( ) ( ) ( 16) 260 − + − + − = (a, b ∈ R). 11. Trong không gian v ớ i h ệ t ọ a độ Oxyz, cho m ặ t ph ẳ ng (P): x y z 2 2 2 0 − − − = và đườ ng th ẳ ng d: x y z 1 2 1 2 1 + − = = − . Vi ế t ph ươ ng trình m ặ t c ầ u (S) có tâm I thu ộ c d, I cách (P) m ộ t kho ả ng b ằ ng 2 và (P) c ắ t (S) theo m ộ t đườ ng tròn (C) có bán kính b ằ ng 3. • Gi ả s ử I t t t d ( ;2 1; 2) − − + ∈ , R là bán kính c ủ a (S), r là bán kính c ủ a (C). Ta có: d I P t ( ,( )) 2 6 5 6 = ⇔ − − = ⇔ t t 1 6 11 6  =    = −  . ( ) R d I P r 2 2 2 ( ,( ) 13 = + = + V ớ i t 1 6 = ⇒ I 1 2 13 ; ; 6 3 6   − −     ⇒ (S): x y z 2 2 2 1 2 13 13 6 3 6       + + + + − =             + V ớ i t 11 6 = − ⇒ I 11 14 1 ; ; 6 3 6   −     ⇒ (S): x y z 2 2 2 11 14 1 13 6 3 6       − + + + − =             12. Trong không gian v ớ i h ệ to ạ độ Oxyz, cho 2 đ i ể m A(0; 0; 4), B(2; 0; 0) và m ặ t ph ẳ ng (P): x y z 2 5 0 + − + = . L ậ p ph ươ ng trình m ặ t c ầ u (S) đ i qua O, A, B và có kho ả ng cách t ừ tâm I c ủ a m ặ t c ầ u đế n m ặ t ph ẳ ng (P) b ằ ng 5 6 . • Gi ả s ử (S): x y z ax by cz d 2 2 2 2 2 2 0 + + − − − + = . + T ừ O, A, B ∈ (S) suy ra: a c d 1 2 0  =  =   =  ⇒ I b (1; ;2) . + d I P 5 ( ,( )) 6 = ⇔ b 5 5 6 6 + = ⇔ b b 0 10  =  = −  V ậ y (S): x y z x z 2 2 2 2 4 0 + + − − = ho ặ c (S): x y z x y z 2 2 2 2 20 4 0 + + − + − = 13. Trong không gian v ớ i h ệ to ạ độ Oxyz, cho các đ i ể m A B C (1;3;4), (1;2; 3), (6; 1;1) − − và m ặ t ph ẳ ng [...]... khụng gian Oxyz , vit phng trỡnh mt phng i qua im M(2;1;-1) v qua giao tuyn ca hai mt phng x y + z 4 = 0 v 3 x y + z 1 = 0 Bi 15: Trong khụng gian Oxyz , vit phng trỡnh mt phng i qua giao tuyn ca hai mp x + 2 z 4 = 0 v x + y z + 3 = 0 ng thi song song vi mt phng x + y + z = 0 Bi 16: Trong khụng gian Oxyz , vit phng trỡnh mp i qua giao tuyn ca hai mt phng 3 x y + z 2 = 0 v x + 4 y 5 = 0 ng thi. .. B, C sao cho: OA = OB = OC Bi 4: Trong khụng gian Oxyz , vit phng trỡnh mp i qua M(2;2;2) ct cỏc tia Ox, Oy, Oz ti cỏc im A, B, C sao cho th tớch t din OABC nh nht Bi 5: Trong khụng gian Oxyz , vit phng trỡnh mp i qua M(1;1;1) ct cỏc tia Ox, Oy, Oz ln lc ti cỏc im A, B, C sao cho tam giỏc ABC cõn ti A, ng thi M l trng tõm tam giỏc ABC Bi 6: Trong khụng gian Oxyz , cho t din ABCD, bit rng: A ( 2; 1;6... Bi 11: Trong khụng gian Oxyz , cho hai mt phng ( ) : 2 x 2 y + z 5 = 0 v mt cu ( x 1) 2 + ( y + 1) 2 + ( z 2) 2 = 25 24 (C) LUYN THI H C CHUYấN HèNH HC TA KHễNG GIAN a) Lp phng trỡnh tip din ca mt cu song song vi Ox v vuụng gúc vi mt phng ( ) b) Tớnh gúc gia mp ( ) vi Ox c) Lp phng trỡnh mp i qua hai A(1;0;1) im B(1;-2;2) v hp vi mt phng ( ) mt gúc 60 0 Bi 13: Trong khụng gian Oxyz , cho bn... trũn thit din Ta cú: 2 r = 8 r = 4 11 LUYN THI H C CHUYấN HèNH HC TA KHễNG GIAN Suy ra bỏn kớnh mt cu: R 2 = r 2 + d 2 = 25 (S ) : ( x 1)2 + ( y 2)2 + (z + 2)2 = 25 5 5 4 Nhn thy mt cu (S) tip xỳc vi () ti im M ; ; 3 3 3 uuu 2 11 10 r 5 5 4 Do ú: (Q) cha () v tip xỳc vi (S) i qua M ; ; v cú VTPT MI ; ; PT mt 3 3 3 3 3 3 phng (Q): 6 x 33y + 30 z 105 = 0 { 17 Trong khụng gian. .. : 4x+6y+5z+D=0 Để Q tiếp xúc với cầu S thì d(I,Q)= 308 22 LUYN THI H C CHUYấN HèNH HC TA KHễNG GIAN 20 6 65 + D 16 + 36 + 25 D 51 = = 308 23716 = 154 D = 103 D = 205 Vậy có hai mặt phẳng Q cần tìm : 4x+6y+5z-103=0 và 4x+6y+5z+205=0 Ví dụ 9 (Bài 9-tr111-HH12NC ) Cho mặt cầu S có phơng trình : x + y + z 2x 4 y 6z = 0 1.Tìm toạ độ tâm ,bán kính mặt cầu 2.Tuỳ theo giá trị k ,xét vị trí tơng... song song vi mp ( P ) : 2 x y 3 z 2 = 0 23 LUYN THI H C CHUYấN HèNH HC TA KHễNG GIAN c) Vit phng trỡnh mt phng i qua hai im A, B v vuụng gúc vi mt phng (Q) : 2x y + 2z 2 = 0 d) Vit phng trỡnh mt phng i qua A, song song vi trc Oy v vuụng gúc vi mt phng ( R ) : 3x y 3z 1 = 0 e) Vit phng trỡnh mp qua C song song vi mp Oyz Bi 3: Trong khụng gian Oxyz , vit phng trỡnh mp i qua M(2;1;4) v ct cỏc... t = 1; t = 13 15 Trong khụng gian Oxyz, cho ng thng d: Vy: (S ) : ( x 2)2 + ( y + 1)2 + ( z 1)2 = 1 2 2 2 20 19 7 121 hoc (S ) : x + y + + z = 13 13 13 169 16 Trong khụng gian vi h to Oxyz, cho im I (1;2; 2) , ng thng : 2 x 2 = y + 3 = z v mt phng (P): 2 x + 2 y + z + 5 = 0 Vit phng trỡnh mt cu (S) cú tõm I sao cho mt phng (P) ct khi cu theo thit din l hỡnh trũn cú chu vi... 5 81 PT mt cu (S): x + y + z + = 2 2 2 4 Vi t = 1 I (1; 1;2), R = 3 PT mt cu (S): ( x 1)2 + ( y + 1)2 + (z 2)2 = 9 12 LUYN THI H C CHUYấN HèNH HC TA KHễNG GIAN Dng 2: Vit phng trỡnh mt cu bng cỏch xỏc nh cỏc h s ca phng trỡnh 19 Trong khụng gian vi h ta Oxyz, cho 3 im A(3;1;1), B(0;1;4), C(1;3;1) Lp phng trỡnh ca mt cu (S) i qua A, B, C v cú tõm nm trờn mt phng (P): x + y 2z +... phơng trình P chứa hai đờng thẳng d1,d2 b) Mặt phẳng Oxz cắt d1,d2 lần lợt tại A,B.Tính diện tích tam giác OAB (O là gốc toạ độ ) Giải : ur uu r uu 1 1 1 1 1 1 r n1 = (1,1, 1) , n2 = (1, 3, 0 ) u 2 = , , = ( 3, 1, 2 ) a) Ta có 3 0 0 1 1 3 Tìm toạ độ M (x,y,z) thuộc d1, toạ độ của nó là ngiệm của hệ x = 3 x + y z 2 = 0 y = 5 M x + 3 y 12 = 0 z = 0 ur uu r r Qua trên ta thấy u1 = u2 =... r r uuu (Q) i qua A, B v vuụng gúc vi (P) (Q) cú VTPT n = nP , AB = (0; 8; 12) 0 (Q ) : 2 y + 3z 11 = 0 25 LUYN THI H C CHUYấN HèNH HC TA KHễNG GIAN Cõu hi tng t: a) Vi A(1; 0; 1), B(2; 1; 2), ( P ) : x + 2 y + 3z + 3 = 0 S: (Q ) : x 2 y + z 2 = 0 26 Trong khụng gian vi h ta Oxyz, vit phng trỡnh mt phng (P) i qua hai im A(2;1;3), B(1; 2;1) x = 1 + t v song song vi ng thng d : y . LUYỆN THI ĐH – CĐ CHUYÊN ĐỀ HÌNH HỌC TỌA ĐỘ KHÔNG GIAN 1  PHẦN I: TÓM TẮT LÝ THUYẾT.  Hệ trục tọa độ : z - Nếu : kzjyixOM ++= ; thì tọa độ điểm. 2 ( 2) ( 1) ( 2) 4 − + − + − = LUYỆN THI ĐH – CĐ CHUYÊN ĐỀ HÌNH HỌC TỌA ĐỘ KHÔNG GIAN 9 5. Trong không gian v ớ i h ệ to ạ độ Oxyz, cho hình h ộ p ch ữ nh ậ t ABCD.A’B’C’D’. vecto b ằ ng nhau ) LUYỆN THI ĐH – CĐ CHUYÊN ĐỀ HÌNH HỌC TỌA ĐỘ KHÔNG GIAN 2 Chú ý : Vận dụng hai vecto bằng nhau để : -Tìm tọa độ điểm ; khi biết tứ giác đó là một hình bình hành Ct7 :