Chuyên ñề : Tích phân và ứng dụng Biên Soạn : Lê Kỳ Hội Trang 1 1. khái niệm nguyên hàm : - Cho hàm số ( ) f x xác ñịnh trên K . Hàm số ( ) F x ñgl nguyên hàm của hàm của ( ) f x trên K nếu : ( ) ( ) ' , F x f x x K = ∀ ∈ . - Nếu ( ) F x là một nguyên hàm của ( ) f x trên K thì họ nguyên hàm của ( ) f x trên K là : - Mọi hàm số ( ) f x liên tục trên K ñều có nguyên hàm trên K . 2. Tính chất: - ( ) ( ) ' f x dx f x C = + ∫ . - ( ) ( ) ( ) ( ) f x g x dx f x dx g x dx ± = ±     ∫ ∫ ∫ . - ( ) ( ) ( ) 0 kf x dx k f x dx k = ≠ ∫ ∫ . 3. Nguyên hàm của một số hàm số thường gặp:    0 dx C = ∫ .    dx x C = + ∫ .    ( ) 1 , 1 1 x x dx C α α α α + = + ≠ − + ∫ .    1 ln dx x C x = + ∫ .    x x e dx e C = + ∫ .    ( ) 0 1 ln x x a a dx C a a = + < ≠ ∫ .    cos sin xdx x C = + ∫ .    sin -cos xdx x C = + ∫ .    2 1 tan cos dx x C x = + ∫ .    2 1 cot sin dx x C x = − + ∫ .    ( ) 1 0 ax b ax b e dx e C a a + + = + ≠ ∫ .    1 1 ln dx ax b C ax b a = + + + ∫ . Chuyên ñề 1 : Nguyên Hàm. ( ) ( ) , f x dx F x C C = + ∈ ∫ ℝ Chuyên ñề : Tích phân và ứng dụng Biên Soạn : Lê Kỳ Hội Trang 2    ( ) 2 2 1 arctan 0 dx x C a a x a a = + ≠ + ∫ .    2 2 1 ln 2 dx x a C a x a x a + = + − − ∫ .    2 2 2 2 1 ln 2 xdx a x C a x = ± ± + ± ∫ .    2 2 arcsin dx x C a a x = + − ∫ .    ( ) 2 2 2 2 ln 0 dx x x a C a x a = + ± + > ± ∫ .    2 2 2 2 xdx x a C x a = ± ± + ± ∫ .    ( ) 2 2 2 2 2 arcsin 0 2 2 x a x a x dx a x C a a − = − + + > ∫ .    2 2 2 2 2 2 2 ln 2 2 x a x a dx x a x x a C ± = ± ± + ± + ∫ .    ( ) ( ) ( ) 1 cos sin 0 ax b dx ax b C a a + = + + ≠ ∫ .    ( ) ( ) ( ) 1 sin cos 0 ax b dx ax b C a a + = − + + ≠ ∫ . 4. Phương pháp tính nguyên hàm: a. Phương pháp ñổi biến số. N ế u ( ) ( ) f u du F u C = + ∫ và ( ) u u x = có ñạ o hàm liên t ụ c thì : b. Phương pháp tính nguyên hàm từng phần. N ế u , u v là hai hàm s ố có ñạ o hàm liên t ụ c trên K thì : B. Các vấn ñề thường gặp : I. Vấn ñề 1: Xác ñịnh nguyên hàm bằng ñịnh nghĩa. 1. Dạng 1: Chứng minh rằng ( ) F x là một nguyên hàm của hàm số ( ) f x trên ( ) , a b . 1.1. Phương pháp: Ta th ự c hi ệ n theo các b ướ c sau. + Bước 1: Xác ñị nh ( ) ' F x trên ( ) , a b . ( ) ( ) ( ) . ' f u x u x dx F u x C = +         ∫ udv uv vdu = − ∫ ∫ Chuyên ñề : Tích phân và ứng dụng Biên Soạn : Lê Kỳ Hội Trang 3 + Bước 2: Chứng tỏ ( ) ( ) ( ) ' , F x f x x a b = ∀ ∈ . Chú ý: Nếu thay ( ) , a b bằng [ ] , a b thì phải thực hien như sau. + Bước 1: Xác ñịnh ( ) ' F x trên ( ) , a b . - Xác ñịnh ( ) ' F a + - Xác ñị nh ( ) ' F b − + Bước 2: Ch ứ ng t ỏ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ' , , ' ' F x f x x a b F a f a F b f b + −  = ∀ ∈   =   =   1.2. Bài Tập: Bài 1: CMR hàm s ố ( ) ( ) 2 ln F x x x a = + + v ớ i 0 a > là m ộ t nguyên hàm c ủ a hàm s ố ( ) 2 1 f x x a = + trên ℝ . Bài 2: CMR hàm s ố ( ) 2 0 1 0 x e Khi x F x x x Khi x  ≥  =  + + <   là m ộ t nguyên hàm c ủ a hàm s ố ( ) 0 2 1 0 x e Khi x f x x Khi x  ≥ =  + <  trên ℝ . HD: Xét 2 trường hợp 0 x ≠ và 0 x = . Với trường hợp 0 x = thì dùng ñịnh nghĩa ñể tính ñạo hàm bên trái và bên phải của 0. Bài 3: CMR hàm s ố ( ) ( ) 2 ln 1 0 0 0 x Khi x F x x Khi x  +  ≠ =   =  là m ộ t nguyên hàm c ủ a hàm s ố ( ) ( ) 2 2 ln 1 2 0 1 1 0 x Khi x f x x x Khi x  +  − ≠ =  +  =  . Chuyên ñề : Tích phân và ứng dụng Biên Soạn : Lê Kỳ Hội Trang 4 2. Dạng 2: Xác ñịnh các giá trị của tham số ñể ( ) F x là một nguyên hàm của hàm số ( ) f x trên ( ) , a b . 2.1. Phương pháp: Ta thực hiện theo các bước sau. + Bước 1: Xác ñịnh ( ) ' F x trên ( ) , a b . + Bước 2: ðể ( ) F x là một nguyên hàm của hàm số ( ) f x trên ( ) , a b , ñiều kiện là. ( ) ( ) ( ) ' , F x f x x a b = ∀ ∈ . Dùng ñồng nhất của hàm ña thức ñể suy ra giá trị của tham số. Chú ý: Nếu thay ( ) , a b bằng [ ] , a b thì phải thực hien như sau. + Bước 1: Xác ñịnh ( ) ' F x trên ( ) , a b . - Xác ñịnh ( ) ' F a + - Xác ñị nh ( ) ' F b − + Bước 2: Ch ứ ng t ỏ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ' , , ' ' F x f x x a b F a f a F b f b + −  = ∀ ∈   =   =   ⇒ giá tr ị c ủ a tham s ố . 2.2. Bài Tập: Bài 1: Xác ñị nh , , a b c ñể hàm số ( ) ( ) 2 2 x F x ax bx c e − = + + là một nguyên hàm của hàm ( ) ( ) 2 2 2 8 7 x f x x x e − = − − + . Bài 2: Xác ñịnh , a b ñể hàm số ( ) 2 1 1 x khi x F x ax b khi x  ≥ =  + >  là một nguyên hàm của hàm ( ) 2 1 2 1 x khi x f x khi x ≤  =  >  trên ℝ . HD: Xét 2 trường hợp 1 x ≠ và 1 x = . Vớ i tr ườ ng h ợ p 1 x = thì dùng ñị nh ngh ĩ a ñể tính ñạ o hàm bên trái và bên ph ả i c ủ a 0. Bài 3: Xác ñị nh các h ệ s ố , , a b c ñể hàm s ố ( ) ( ) 2 2 3 F x ax bx c x = + + − là m ộ t nguyên hàm Chuyên ñề : Tích phân và ứng dụng Biên Soạn : Lê Kỳ Hội Trang 5 của hàm ( ) 2 20 30 7 2 3 x x f x x − + = − trên khoảng 3 , 2   +∞     . 3. Dạng 3: Tìm hằng số tích phân 3.1. Phương pháp: + Dùng công th ứ c ñ ã h ọ c, tìm nguyên hàm ( ) ( ) ( ) 1 F x G x C= + . + D ự a vào ñề bài ñ a cho tìm h ằ ng s ố C. + Thay giá tr ị C vào ( ) 1 , ta có nguyên hàm c ầ n tìm. 3.2. Bài Tập: Bài 1: Tìm nguyên hàm ( ) F x c ủ a hàm ( ) ( ) 3 2 2 3 3 7 1 x x x f x x + + − = + và bi ế t ( ) 0 8 F = . Bài 2: Tìm nguyên hàm ( ) F x c ủ a hàm ( ) 2 sin 2 x f x = và bi ế t 2 4 F π π   =     . II. Vấn ñề 2: Xác ñịnh nguyên hàm bằng cách sử dụng bảng nguyên hàm. 1. Phương pháp: + Bi ế n ñổ i bi ể u th ứ c hàm s ố ñể s ử d ụ ng ñượ c b ả ng các nguyên hàm c ơ b ả n. Chú ý: ðể s ử d ụ ng ph ươ ng pháp này c ầ n ph ả i : - N ắ m v ữ ng b ả ng các nguyên hàm. - N ắ m v ữ ng phép tính vi phân. 2. Bài Tập: Bài 1: Tìm nguyên hàm c ủ a các hàm s ố sau. 1. ( ) 2 1 3 f x x x x = − + . 2. ( ) 4 2 2 3 x f x x + = . 3. ( ) 2 1 x f x x − = . 4. ( ) ( ) 2 2 2 1 x f x x − = . 5. ( ) 3 4 f x x x x = + + . 6. ( ) 3 1 2 f x x x = − . Chuyên ñề : Tích phân và ứng dụng Biên Soạn : Lê Kỳ Hội Trang 6 7. ( ) 2 tan f x x = . 8. ( ) 2 cos f x x = . 9. ( ) 2 2 1 sin .cos f x x x = . 10. ( ) 2 2 cos2 sin .cos x f x x x = . 11. ( ) 2sin3 cos2 f x x x = . 12. ( ) ( ) 1 x x f x e e = − . 13. ( ) 2 2 cos x x e f x e x −   = +     . 14. ( ) 3 1 x f x e + = . Bài 2: Tìm nguyên hàm ( ) F x c ủ a hàm s ố ( ) f x th ỏ a ñ i ề u ki ệ n cho tr ướ c. 1. ( ) 3 4 5 f x x x = − + bi ế t ( ) 1 3 F = . 2. ( ) 3 5cos f x x = − bi ế t ( ) 2 F π = . 3. ( ) 2 3 5 x f x x − = bi ế t ( ) 1 F e = . 4. ( ) 2 1 x f x x + = bi ế t ( ) 3 1 2 F = . 5. ( ) 1 f x x x x = + bi ế t ( ) 1 2 F = − . 6. ( ) ( ) 3 3 2 3 3 7 1 x x x f x x + + − = + bi ế t ( ) 0 8 F = . 7. ( ) sin 2 cos f x x x = bi ế t ' 0 3 F π   =     . 8. ( ) 4 3 2 3 2 5 x x f x x − + = bi ế t ( ) 1 2 F = . 9. ( ) 2 sin 2 x f x = bi ế t 2 4 F π π   =     . 10. ( ) 3 2 1 x f x x − = bi ế t ( ) 2 0 F − = . Chuyên ñề : Tích phân và ứng dụng Biên Soạn : Lê Kỳ Hội Trang 7 III. Vấn ñề 3: Xác ñịnh nguyên hàm bằng phương pháp ñổi biến số. 1. Dạng 1: Nếu ( ) f x có dạng : ( ) ( ) ( ) . ' f x g u x u x =     thì ta ñặ t ( ) ( ) ' t u x dt u x dx = ⇒ = khi ñ ó ( ) ( ) f x dx g t dt = ∫ ∫ trong ñ ó ( ) g t dt ∫ d ễ dàng tìm ñượ c. Chú ý : Sau khi tính ( ) g t dt ∫ theo t , ta ph ả i thay l ạ i ( ) t u x = . 2. Dạng 2: Th ườ ng g ặ p các tr ườ ng h ợ p sau. 3. Bài Tập: Bài 1: Tìm các nguyên hàm sau (ðổi biến dạng 1) 1. ( ) 5 1 x dx − ∫ . 2. ( ) 5 3 2 dx x − ∫ . 3. 5 2 xdx − ∫ . 4. ( ) 7 2 2 1 x + ∫ . 5. ( ) 4 3 2 5 x x dx + ∫ . 6. 2 5 x dx x + ∫ . 7. 2 1 x x dx + ∫ . 8. 2 3 3 5 2 x dx x + ∫ . 9. ( ) 2 1 dx x x + ∫ . 10. 4 sin cos x xdx ∫ . 11. 5 sin cos x dx x ∫ . 12. 2 tan cos x dx x ∫ . ( ) f x có chứa Cách ñổi biến 2 2 a x − ðặ t sin x a t = v ớ i 2 2 t π π − ≤ ≤ Ho ặ c cos x a t = v ớ i 0 t π ≤ ≤ 2 2 a x + ðặ t tan x a t = v ớ i 2 2 t π π − < < Ho ặ c cos x a t = v ớ i 0 t π < < Chuyên ñề : Tích phân và ứng dụng Biên Soạn : Lê Kỳ Hội Trang 8 13. 3 x x e dx e − ∫ . 14. 2 1 . x x e dx + ∫ . 15. x e dx x ∫ . 16. 3 ln x dx x ∫ . 17. 1 x dx e + ∫ . 18. tan 2 cos x e dx x ∫ . Bài 2: Tìm các nguyên hàm sau ( ðổ i bi ế n d ạ ng 2) 1. ( ) 3 2 1 dx x − ∫ . 2. ( ) 3 2 1 dx x + ∫ . 3. 2 1 x dx − ∫ . 4. 2 4 dx x − ∫ . 5. 2 1 dx x x + + ∫ . 6. 2 2 1 x x dx − ∫ . 7. 2 1 dx x + ∫ . 8. 3 2 1 x x dx + ∫ . 9. 2 2 1 x dx x− ∫ . IV. Vấn ñề 4: Tính nguyên hàm bằng phương pháp tính nguyên hàm từng phần. V ớ i ( ) P x là ñ a th ứ c c ủ a x ta th ườ ng g ặ p các d ạ ng sau. ( ) . x P x e dx ∫ ( ) .cos P x xdx ∫ ( ) .sin P x xdx ∫ ( ) .ln P x xdx ∫ u ( ) P x ( ) P x ( ) P x ln x dv x e dx cos xdx sin xdx ( ) P x 1. Bài Tập: Bài 1: Tìm các nguyên hàm sau. 1. sin x xdx ∫ . 2. cos x xdx ∫ . Chuyên ñề : Tích phân và ứng dụng Biên Soạn : Lê Kỳ Hội Trang 9 3. ( ) 2 5 sin x xdx + ∫ . 4. ( ) 2 2 3 cos x x xdx + + ∫ . 5. sin 2 x xdx ∫ . 6. cos2 x xdx ∫ . 7. x xe dx ∫ . 8. 2 3 x x e dx ∫ . 9. ln xdx ∫ . 10. ln x xdx ∫ . 11. 2 ln xdx ∫ . 12. ( ) 2 ln 1 x dx + ∫ . 13. 2 tan x xdx ∫ . 14. 2 2 cos x xdx ∫ . 15. 2 cos2 x xdx ∫ . 16. ( ) 2 ln 1 x x dx + ∫ . 17. .2 x x dx ∫ . 18. lg x xdx ∫ . 19. x e dx ∫ . 20. ln xdx x ∫ . 21. sin xdx ∫ . 22. cos xdx ∫ . 23. sin x xdx ∫ . 24. 3 sin xdx ∫ . 25. ( ) ln ln x dx x ∫ . 26. ( ) sin ln x dx ∫ . 27. ( ) cos ln x dx ∫ . 28. cos x e xdx ∫ . 29. ( ) 2 1 tan tan x e x dx + + ∫ . 30. sin 2 x e xdx ∫ . 31. ( ) 2 ln cos cos x dx x ∫ . 32. ( ) 2 ln 1 x dx x + ∫ . 33. 2 cos x x x ∫ . 34. ( ) 2 2 ln 1 1 x x x dx x + + + ∫ . 35. 3 2 1 x dx x + ∫ . 36. 2 ln dx x       ∫ . Chuyên ñề : Tích phân và ứng dụng Biên Soạn : Lê Kỳ Hội Trang 10 V. Vấn ñề 5: Tính nguyên hàm bằng phương pháp dùng nguyên hàm phụ. 1. Phương pháp: ðể xác ñịnh nguyên hàm của hàm số ( ) f x , ta cần tìm một hàm ( ) g x sao cho nguyên hàm của các hàm ( ) ( ) f x g x ± dễ xác ñịnh hơn ( ) f x . Từ ñó suy ra nguyên hàm của hàm ( ) f x . + Bước 1: Tìm hàm ( ) g x . + Bước 2: Xác ñịnh nguyên hàm của các hàm ( ) ( ) f x g x ± , nghĩa là : ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 2 1 F x G x A x C F x G x B x C + = +   − = +   . + Bước 2: Từ hệ ( ) 1 , ta suy ra ( ) ( ) ( ) 1 2 F x A x B x C = + +     là nguyên hàm c ủ a hàm ( ) f x . 2. Bài Tập: Bài 1: Tìm các nguyên hàm sau. 1. sin sin cos x dx x x − ∫ . 2. cos sin cos x dx x x − ∫ . 3. sin sin cos x dx x x + ∫ . 4. cos sin cos x dx x x + ∫ . 5. 4 4 4 sin sin cos x dx x x + ∫ . 6. 2 2sin .sin 2 x xdx ∫ . 7. 2 2cos .sin 2 x xdx ∫ . 8. x x x e dx e e − − ∫ . 9. x x x e dx e e − − − ∫ . [...]... 1 x ∫ e ∫ x (e 0 15 −1 2x ) + 3 x + 1 dx Trang 30 Chuyên ñ : Tích phân và ng d ng Biên So n : Lê Kỳ H i IV V n ñ 4: Tính tích phân các hàm s có ch a giá tr tuy t ñ i ð tính tích phân c a hàm s f ( x ) có ch a d u giá tr tuy t ñ i, ta c n xét d u f ( x ) r i s d ng công th c phân ño n ñ tính tích phân trên t ng ño n nh Bài t p: Bài 1: Tính các tích phân sau 2 1 ∫ 2 x − 2 dx 2 0 − x dx ∫x 3 2 + 2... Trong phương pháp tích phân t ng ph n, ta c n ch n sao cho ∫ vdu d tính hơn ∫ udv I V n ñ 1: Tính tích phân b ng cách s d ng b ng nguyên hàm Bi n ñ i bi u th c hàm s ñ s d ng ñư c b ng các nguyên hàm cơ b n Tìm nguyên hàm F ( x ) c a f ( x ) , R i s d ng tr c ti p ñ nh nghĩa tích phân b ∫ f ( x ) dx = F ( b ) − F ( a ) a Chú ý : ð s d ng phương pháp này c n ph i : Trang 25 Chuyên ñ : Tích phân và ng d... ∫x 2 x − x 2 dx 0 III V n ñ 3: Tính tích phân b ng phương pháp tích phân t ng ph n V i P ( x ) là ña th c c a x ta thư ng g p các d ng sau ∫ P ( x ) e dx ∫ P ( x ) cos xdx u P ( x) P ( x) P ( x) ln x dv e x dx cos xdx sin xdx P ( x) x Trang 29 ∫ P ( x ) sin xdx ∫ P ( x ) ln xdx Chuyên ñ : Tích phân và ng d ng Bài t p: Biên So n : Lê Kỳ H i Bài 1: Tính các tích phân sau π π 4 1 2 0 2 0 π2 2π 4 ∫ 3... Trang 22 Chuyên ñ : Tích phân và ng d ng Biên So n : Lê Kỳ H i cos 2 x 4 ∫ dx 1 + sin x cos x 3 ∫ ( tan 2 x + tan 4 x )dx 5 ∫ dx 2sin x + 1 dx 6 ∫ cos x ∫ sin x 8 ∫ sin 3 x 9 ∫ dx cos x 10 11 ∫ cos x cos 2 x cos 3 xdx 12 ∫ cos3 xdx 7 dx 13 ∫ sin 4 xdx Trang 23 1 − sin x dx cos x ∫ dx π  cos x cos  x +  4  Chuyên ñ : Tích phân và ng d ng Biên So n : Lê Kỳ H i Chuyên ñ 2 : Tích phân 1.. .Chuyên ñ : Tích phân và ng d ng VI V n ñ 6: Tính nguyên hàm c a m t s hàm thư ng g p Biên So n : Lê Kỳ H i A D ng 1: f ( x ) là hàm h u t P ( x) 1 D ng f ( x ) = Q ( x) Phương pháp: + N u b c c a P ( x ) ≥ b c c a Q ( x ) thì ta th c hi n phép chia ña th c + N u b c c a P ( x ) < b c c a Q ( x ) và Q ( x ) có d ng tích nhi u nhân t thì ta phân tích f ( x ) thành t ng c a nhi u phân th c... x4 ∫ 1 + x 2 dx 0 1 24 VI V n ñ 6: Tính tích phân các hàm s vô t Xem l i cách tìm nguyên hàm c a các hàm s vô t Bài t p: Bài 1: Tính các tích phân sau 2 2 1 ∫ 1 x x 2 + 1dx 2 3 2 dx x +1 + x 4 dx ∫ 2x +1+ 4x +1 2 6 ∫ 0 10 7 ∫ 5 ∫ 1+ 1 6 5 x2 + 1 0 0 1 ∫ x+ x3 2 ∫ 0 dx x dx x −1 x4 x5 + 1 dx 1 dx x − 2 x −1 8 ∫x 0 Trang 32 3 x 2 + 1dx Chuyên ñ : Tích phân và ng d ng Biên So n : Lê Kỳ H i 7... + 1 dx −1 1 ex dx 0 ln 2 x dx ∫ ln 2 x ln x + 1 ln 2 ∫ 1 ln 3 33 ∫ dx 36 ∫ 0 Trang 33 ex e x + e− x dx Chuyên ñ : Tích phân và ng d ng Biên So n : Lê Kỳ H i VII V n ñ 7: Tính tích phân các hàm s lư ng giác Xem l i cách tìm nguyên hàm c a các hàm s lư ng giác Bài t p: Bài 1: Tính các tích phân sau π π 4 4 1 ∫ sin 2 x cos xdx 2 ∫ tan xdx 0 0 π π 2 3 2 sin x ∫ 1 + 3cos x dx 0 4 ∫ sin 3 xdx 0 π... b] thì di n tích S c a hình thang cong gi i h n b i ñò th y = f ( x ) , tr c Ox và 2 ñư ng th ng x = a, x = b là : b S = ∫ f ( x ) dx a 2 Tính ch t c a tích phân : 0 1 ∫ f ( x ) dx = 0 0 b 2 ∫ a f ( x ) dx = − ∫ f ( x ) dx a b b b a a 3 ∫ kf ( x ) dx =k ∫ f ( x ) dx (k là m t h ng s ) b 4 b b a a a   ∫  f ( x ) ± g ( x ) dx = ∫ f ( x ) dx ± ∫ g ( x ) dx Trang 24 Chuyên ñ : Tích phân và ng d... và ng d ng Biên So n : Lê Kỳ H i Chuyên ñ 2 : Tích phân 1 Khái ni m tích phân : f ( x ) liên t c trên K và a, b ∈ K N u F ( x ) là m t nguyên hàm trên K thì : - Cho hàm s F ( b ) − F ( a ) ñư c g i là tích phân c a hàm f ( x ) t a ñ n b và kí hi u là b ∫ f ( x ) dx a Hay b ∫ f ( x ) dx = F ( b ) − F ( a ) a - ð i v i bi n s l y tích phân, ta có th ch n b t kì m t ch khác thay cho x, t c là b ∫ b b... trư ng h p Trang 27 Chuyên ñ : Tích phân và ng d ng Biên So n : Lê Kỳ H i f ( x ) có ch a Cách ñ i bi n ð t a −x 2 ð t a +x π 2 ≤t≤ π 2 2 Ho c 2 x = a sin t v i − x = a cos t v i 0 ≤ t ≤ π x = a tan t v i − π 2 . hàm Chuyên ñề : Tích phân và ứng dụng Biên Soạn : Lê Kỳ Hội Trang 5 của hàm ( ) 2 20 30 7 2 3 x x f x x − + = − trên khoảng 3 , 2   +∞     . 3. Dạng 3: Tìm hằng số tích phân. + ≠ ∫ .    1 1 ln dx ax b C ax b a = + + + ∫ . Chuyên ñề 1 : Nguyên Hàm. ( ) ( ) , f x dx F x C C = + ∈ ∫ ℝ Chuyên ñề : Tích phân và ứng dụng Biên Soạn : Lê Kỳ Hội Trang 2   . bậc của ( ) P x < bậc của ( ) Q x và ( ) Q x có dạng tích nhiều nhân tử thì ta phân tích ( ) f x thành tổng của nhiều phân thức (Bằng phương pháp hệ số bất ñịnh) Ví dụ : 1.1 (