Đang tải... (xem toàn văn)
Rèn luyện kĩ năng giải toán về hình học phẳng, giúp giải quyết nhanh chóng câu này trong kì thi THPT quốc gia 2015 sắp tới một cách hiệu quả và nhanh nhất. Gồm các bài tập cơ bản đến nâng cao, bám sát các dạng trong đề thi đại học các năm trước và bổ sung thêm nhiều dạng toán mới.
WWW.ToancapBa.Net TUYỂN TẬP CÁC BÀI TẬP HÌNH HỌC PHẲNG HAY NHẤT ( Tài liệu để ôn thi đại học ) Bài Trong mặt phẳng Oxy cho điểm A ( 1;0 ) , B ( −2; ) , C ( −1; ) , D ( 3;5 ) đường thẳng d : 3x − y − = Tìm điểm M d cho hai tam giác MAB, MCD có diện tích Giải - M thuộc d thi M(a;3a-5 ) uu ur x −1 y = ⇔ 4x + 3y − = −3 uu ur x +1 y − ⇔ CD = ( 4;1) ↔ CD = 17; ( CD ) : = ⇔ x − y − 17 = 4a + ( 3a − ) − 13a − 19 a − ( 3a − ) − 17 − 11a = , h2 = = - Tính : h1 = ( M , AB ) = 5 17 17 - Mặt khác : AB = ( −3; ) ⇒ AB = 5, ( AB ) : - Nếu diện tich tam giác : 11 13a − 19 17 − 11a a= 13a − 19 = − 11a 1 AB.h1 = CD.h2 ⇔ = ⇔ ⇔ 12 2 17 13a − 19 = 11a − a = 11 27 - Vậy d có điểm : M ; − ÷, M ( 8;19 ) 12 12 ⇔ Bài Cho hình tam giác ABC có diện tích Biết A(1;0), B(0;2) trung điểm I AC nằm đường thẳng y = x Tìm toạ độ đỉnh C Giải - Nếu C nằm d : y=x A(a;a) suy C(2a-1;2a) - Ta có : d ( B, d ) = 0−2 = 2 = - Theo giả thiết : S = AC.d ( B, d ) = ⇒ AC = 2 ( 2a − ) + ( 2a − ) 1− a = ⇔ = 8a − 8a + ⇔ a − a − = ⇔ 1+ a = 1− 1− 1+ 1+ ; ; - Vậy ta có điểm C : C1 ÷, C2 ÷ 2 ÷ 2 ữ Bi Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho tam giác ABC, với A(1;1) , B(2; 5) , đỉnh C nằm đờng thẳng x = , trọng tâm G tam giác nằm đờng thẳng x y + = TÝnh diÖn tÝch tam gi¸c ABC Giải AB = uu ur - Tọa độ C có dạng : C(4;a) , AB = ( −3; ) ⇒ ( AB ) : x − = y − ⇔ x + y − = −3 WWW.ToancapBa.Net Chun đề : HÌNH HỌC PHẲNG Nguyễn Đình Sỹ -ĐT: 0985.270.218 x A + xB + xC 1− + =1 xG = xG = 3 ⇔ - Theo tính chát trọng tâm ; y = y A + yB + yC y = 1+ + a = a + G G 3 a+6 - Do G nằm : 2x-3y+6=0 , : ⇒ 2.1 − ÷+ = ⇔ a = 4.4 + 3.2 − 1 15 = ⇒ S ABC = AB.d ( C , AB ) = 5.3 = - Vậy M(4;2) d ( C , AB ) = (đvdt) 2 16 + Bi Trong mặt phẳng tọa ®é Oxy cho tam gi¸c ABC, víi A(2;−1) , B(1;− 2) , trọng tâm G tam giác nằm ®êng th¼ng x + y − = Tìm tọa độ đỉnh C biết diện tích tam giác ABC b»ng 13,5 Giải - Ta có : M trung điểm AB 3 1 A(2;1) M ; − ÷ Gọi C(a;b) , theo tính chất 2 a+3 xG = trọng tam tam giác : y = b −3 G M() G d:x+y-2=0 C B(1;-2) - Do G nằm d : a +3 b−3 + − = ⇔ a + b = ( 1) 3 uu ur 3a − b − x − y −1 = ⇔ x − y − = ⇔ h ( C , AB ) = - Ta có : AB = ( 1;3) ⇒ ( AB ) : 10 2a − b − 2a − b − 1 = = 13,5 - Từ giả thiết : S ABC = AB.h ( C , AB ) = 10 2 10 2a − b − = 27 2a − b = 32 ⇔ 2a − b − = 27 ⇔ ⇔ 2a − b − = −27 2a − b = −22 - Kết hợp với (1) ta có hệ : 20 b = − a + b = a + b = 38 2a − b = 32 3a = 38 38 20 ⇔ ⇔ ⇔ a = ⇒ C1 ; − ÷, C2 ( −6;12 ) a + b = a + b = b = 12 2a − b = −22 3a = −18 a = −6 Bài Trong mặt phẳng oxy cho ∆ABC có A(2;1) Đường cao qua đỉnh B có phương trình x- 3y - = Đường trung tuyến qua đỉnh C có phương trình : x + y +1 = Xác định tọa độ B C Tính diện tích ∆ABC Giải - Đường thẳng (AC) qua A(2;1) vng B góc với đường cao kẻ qua B , nên có véc tơ phương x+y+1=0 r x = + t n = ( 1; −3) ⇒ ( AC ) : ( t ∈ R) y = − 3t Trang M C A(2;1) Biên soạn t-6-2012( Tài liệu nội bộ-lưu ) x-3y-7=0 Chuyên đề : HÌNH HỌC PHẲNG Nguyễn Đình Sỹ -ĐT: 0985.270.218 x = + t - Tọa độ C giao (AC) với đường trung tuyến kẻ qua C : ⇒ y = − 3t x + y +1 = Giải ta : t=2 C(4;-5) Vì B nằm đường cao kẻ qua B suy B(3a+7;a) M 3a + a + ; ÷ trung điểm AB ⇒ M - Mặt khác M nằm đường trung tuyến kẻ qua C : 3a + a + + + = ⇔ a = −3 ⇔ B ( 1; −2 ) 2 uu ur 12 x − y −1 = ⇔ 3x − y − = 0, h ( C ; AB ) = - Ta có : AB = ( −1; −3) ⇔ AB = 10, ( AB ) : 10 1 12 = (đvdt) - Vậy : S ABC = AB.h ( C , AB ) = 10 2 10 ⇔ Bài Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho tam giác ABC biết A(5; 2) Phương trình đường trung trực cạnh BC, đường trung tuyến CC’ x + y – = 2x – y + = Tìm tọa độ đỉnh tam giác ABC Giải a+5 b+2 ; ÷ M nằm - Gọi B(a;b) suy M trung tuyến nên : 2a-b+14=0 (1) - B,B đối xứng qua đường trung trực cho x = a + t ( t ∈ R) nên : ( BC ) : y = b +t A(5;2) 2x-y+3=0 M Từ suy tọa độ N : N 6−a −b B t = x = a + t 3a − b − ⇒ x = y = b +t x + y − = 6+b−a y = 3a − b − 6 + b − a ⇔ N ; ÷ Cho nên ta có tọa độ C(2a-b-6;6-a ) 2 C x+y-6=0 - Do C nằm đường trung tuyến : 5a-2b-9=0 (2) 2a − b + 14 = a = 37 ⇔ ⇒ B ( 37;88 ) , C = ( −20; −31) 5a − 2b − = b = 88 - Từ (1) (2) : ⇒ Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho hai đường thẳng ∆ : x + y + = , ∆ ' :3 x − y + 10 = điểm A(-2 ; 1) Viết phương trình đường trịn có tâm thuộc đường thẳng ∆ , qua điểm A tiếp xúc với đường thẳng ∆ ’ Giải Bài x = −2 + 3t ⇒ I ( −2 + 3t ; −2 − t ) y = −2 − t - Gọi tâm đường tròn I , I thuộc ∆ : - A thuộc đường tròn ⇒ IA = ( 3t ) + ( + t ) = R (1) ( −2 + 3t ) − ( −t − ) + 10 - Đường tròn tiếp xúc với ∆ ' ⇒ 2 =R⇔ Biên soạn t-6-2012( Tài liệu nội bộ-lưu ) 13t + 12 = R (2) Trang Chuyên đề : HÌNH HỌC PHẲNG - Từ (1) (2) : ( 3t ) +( 3+t) = Nguyễn Đình Sỹ -ĐT: 0985.270.218 13t + 12 2 ⇔ 25 ( 3t ) + ( + t ) = ( 13t + 12 ) Bài Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho đường tròn hai đường tròn (C ) : x + y – x – y + = 0, (C ') : x + y + x – = qua M(1; 0) Viết phương trình đường thẳng qua M cắt hai đường tròn (C ), (C ') A, B cho MA= 2MB Giải * Cách r x = + at y = bt - Gọi d đường thẳng qua M có véc tơ phương u = ( a; b ) ⇒ d : - Đường tròn ( C1 ) : I1 ( 1;1) , R1 = ( C2 ) : I ( −2;0 ) , R2 = , suy : ( C1 ) : ( x − 1) + ( y − 1) = 1, ( C2 ) : ( x + ) + y = 2 t = → M 2ab 2b C1 ) A : ⇒ ( a + b ) t − 2bt = ⇔ ⇒ A 1 + ; - Nếu d cắt ( 2 ÷ t = 2b a +b a +b a +b t = → M 6a 6ab 2 C2 ) B : ⇒ ( a + b ) t + 6at = ⇔ ⇔ B 1 − ;− - Nếu d cắt ( 6a ÷ t = − a + b2 a +b a +b 2 - Theo giả thiết : MA=2MB ⇔ MA = 4MB ( *) 2 2 2 6a 2 6ab 2ab 2b - Ta có : 2 ÷ + 2 ÷ = 2 ÷ + 2 ÷ a +b a +b a + b a + b 2 b = −6a → d : x + y − = 4b 36a ⇔ = ⇔ b = 36a ⇔ 2 a +b a +b b = 6a → d : x − y − = * Cách 2 - Sử dụng phép vị tự tâm I tỉ số vị tự k= − ( Học sinh tự làm ) Bài Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, viết phương trình cạnh tam giác ABC biết trực tâm H (1;0) , chân đường cao hạ từ đỉnh B K (0; 2) , trung điểm cạnh AB M (3;1) Giải - Theo tính chất đường cao : HK vng góc với AC (AC) qua K(0;2) có véc tơ pháp tuyến uu ur KH = ( 1; −2 ) ⇒ ( AC ) : x − ( y − ) = ⇔ x − y + = A K(0;2 - B nằm u u (BH) qua H(1;0) có véc tơ ur ) M(3;1) H(1;0) phương KH = ( 1; −2 ) ⇒ B ( + t; −2t ) - M(3;1) trung điểm AB A(5-t;2+2t) - Mặt khác A thuộc (AC) : 5-t-2(2+2t)+4=0 , B C suy t=1 Do A(4;4),B(2;-2) - u u C thuộc (AC) suy C(2t;2+t) , Vì ur uu ur BC = ( 2t − 2; + t ) , HA = ( 3; ) Theo tính chất đường cao kẻ từ A : uu uu ur ur ⇒ HA.BC = ⇒ ( 2t − ) + ( + t ) = → t = −1 Vậy : C(-2;1) Trang Biên soạn t-6-2012( Tài liệu nội bộ-lưu ) Chuyên đề : HÌNH HỌC PHẲNG Nguyễn Đình Sỹ -ĐT: 0985.270.218 uu u r r x−4 y−4 = - (AB) qua A(4;4) có véc tơ phương BA = ( 2;6 ) // u = ( 1;3) ⇒ ( AB ) : ⇔ 3x − y − = uu ur - (BC) qua B(2;-2) có véc tơ pháp tuyến HA = ( 3; ) ⇒ ( BC ) : ( x − ) + ( y + ) = ⇔ 3x + y + = Bài 10 Trong hệ tọa độ Oxy, cho hai đường trịn có phương trình ( C1 ) : x + y − y − = ( C2 ) : x + y − x + y + 16 = Lập phương trình tiếp tuyến chung ( C1 ) ( C2 ) Giải - Ta có : ( C1 ) : x + ( y − ) ( C2 ) : ( x − 3) + ( y + ) = ⇒ I ( 3; −4 ) , R2 = - Nhận xét : I1 I = + = 13 < + = ⇒ ( C1 ) không cắt ( C2 ) - Gọi d : ax+by+c =0 ( a + b ≠ ) tiếp tuyến chung , : d ( I1 , d ) = R1 , d ( I , d ) = R2 = ⇒ I1 ( 0; ) , R1 = 3, 2 2b + c = ( 1) 2b + c 3a − 4b + c 3a − 4b + c = 2b + c a + b2 ⇔ ⇒ = ⇔ 2b + c = 3a − 4b + c ⇔ a + b2 a + b2 3a − 4b + c = −2b − c 3a − 4b + c = ( ) a + b2 a = 2b ⇔ Mặt khác từ (1) : ( 2b + c ) = ( a + b ) ⇔ 3a − 2b + 2c = - Trường hợp : a=2b thay vào (1) : ( 2b + c ) = ( 4b + b ) 2b − 5c b = ⇔ 41b − 4bc − c = 0.∆ 'b = 4c + 41c = 45c ⇔ 2+3 c b = ( ) - Do ta có hai đường thẳng cần tìm : ( − ) x + ( − ) y +1 = ⇔ 2 − x + − y + = ( ) ( ) ( + ) x + ( + ) y +1 = ⇔ 2 + x + + y + = d : ( ) ( ) d1 : 2b − 3a 2b + 2b − 3a - Trường hợp : c = , thay vào (1) : = ⇔ 2b − a = a + b 2 2 a +b a b=0→c=− b = 0, a = −2c 2 2 ⇔ ( 2b − a ) = a + b ⇔ 3b − 4ab = ⇔ ⇔ b = 4a , a = −6c 4a a b = →c=− - Vậy có đường thẳng : d3 : x − = , d : x + y − = Bài 11 Trong hệ tọa độ Oxy, viết phương trình hyperbol (H) dạng tắc biết (H) tiếp xúc với đường thẳng d : x − y − = điểm A có hồnh độ Giải - Do A thuộc d : A(4;2) Biên soạn t-6-2012( Tài liệu nội bộ-lưu ) Trang Chuyên đề : HÌNH HỌC PHẲNG Nguyễn Đình Sỹ -ĐT: 0985.270.218 2 x y 16 - Giả sử (H) : − = 1( *) ⇒ A ∈ ( H ) ⇔ − = 1( 1) a b a b - Mặt khác d tiếp xúc với (H) hệ sau có 12 nghiệm : 2 2 2 b x − a ( x − ) = a 2b b x − a y = a 2b ( b − a ) x + 4a x − 4a − a b = ⇔ ⇔ ⇔ y = x − y = x − y = x − 2 2 2 2 4 ⇒ ∆ 'a = 4a + ( b − a ) ( 4a + a b ) = 4a b + a b − a b ⇔ a 2b ( + b − a ) = ⇒ a = b + 16b − 4a = a 2b b − 8b + 16 = b = x2 y ⇔ ⇔ ⇔( H) : − =1 - Kết hợp với (1) : 2 a = b + a = b + a = Bài 12 Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho hình chữ nhật ABCD có phương trình đường thẳng AB: x – 2y + = 0, phương trình đường thẳng BD: x – 7y + 14 = 0, đường thẳng AC qua M(2; 1) Tìm toạ độ đỉnh hình chữ nhật Giải - Dễ nhận thấy B giao BD với AB tọa dộ B nghiệm x-2y+1=0 x − y +1 = 21 13 ⇒ B ; ÷ hệ : 5 x − y + 14 = - Đường thẳng (BC) qua B(7;3) vng góc với (AB) có véc tơ phương: B A I D C x-7y+14=0 M(2;1) 21 r x = + t u = ( 1; −2 ) ⇒ ( BC ) : y = 13 − 2t - Ta có : R ( AC , BD ) = R BIC = 2R ABD = 2ϕ = 2R ( AB, BD ) u u u u r r u u r u r n1.n2 + 14 15 = = r u - (AB) có n1 = ( 1; −2 ) , (BD) có n2 = ( 1; −7 ) ⇒ cosϕ = u ur = 50 10 10 n1 n2 r - Gọi (AC) có n = ( a, b ) ⇒ cos ( AC,BD ) = cos2ϕ = a-7b 9 = cos ϕ − = ÷− = 10 50 a + b 2 - Do : ⇒ a − 7b = 50 a + b ⇔ ( a − 7b ) = 32 ( a + b ) ⇔ 31a + 14ab − 17b = 17 17 a = − 31 b ⇒ ( AC ) : − 31 ( x − ) + ( y − 1) = ⇔ 17 x − 31 y − = - Suy : a = b ⇒ ( AC ) : x − + y − = ⇔ x + y − = 21 x = + t 13 14 - (AC) cắt (BC) C ⇒ y = − 2t ⇔ t = ⇒ C ; ÷ 15 3 x − y − = x − y +1 = x = ⇔ ⇔ A ( 7; ) - (AC) cắt (AB) A : ⇔ x − y − = y = x = + t - (AD) vng góc với (AB) đồng thời qua A(7;4) suy (AD) : y = − 2t Trang Biên soạn t-6-2012( Tài liệu nội bộ-lưu ) Chuyên đề : HÌNH HỌC PHẲNG Nguyễn Đình Sỹ -ĐT: 0985.270.218 x = + t 98 46 ⇒ t = ⇒ D ; ÷ - (AD) cắt (BD) D : y = − 2t 15 15 15 x − y + 14 = - Trường hợp (AC) : 17x-31y-3=0 em làm tương tự Bài 13 Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho tam giác ABC, có điểm A(2; 3), trọng tâm G(2; 0) Hai đỉnh B C nằm hai đường thẳng d1: x + y + = d2: x + 2y – = Viết phương trình đường trịn có tâm C tiếp xúc với đường thẳng BG Giải x = t , C thuộc d' y = −5 − t x = − 2m C: y = m - B thuộc d suy B : A(2;3) x+2y-7=0 G(2;0) - Theo tính chất trọng tâm : ( t − 2m + ) m−t −2 =0 3 m − t = m = ⇔ - Ta có hệ : t − 2m = −3 t = −1 ⇒ xG = = 2, yG = B x+y+5=0 C M r - Vậy : B(-1;-4) C(5;1) Đường thẳng (BG) qua G(2;0) có véc tơ phương u = ( 3; ) , 20 − 15 − 13 x−2 y = ⇔ x − y − = ⇒ d ( C ; BG ) = = =R 5 13 169 2 - Vậy đường trịn có tâm C(5;1) có bán kính R= ⇒ ( C ) : ( x − ) + ( y − 1) = 25 (BG): Bài 14 Tam giác cân ABC có đáy BC nằm đường thẳng : 2x – 5y + = 0, cạnh bên AB nằm đường thẳng : 12x – y – 23 = Viết phương trình đường thẳng AC biết qua điểm (3;1) Giải 2 x − y + = 12 x − y − 23 = - Đường (AB) cắt (BC) B A 12x-y-23=0 Suy : B(2;-1) (AB) có hệ số góc k=12, đường thẳng (BC) có hệ số góc k'= , ta có : M(3;1) H 12 − B C =2 2x-5y+1=0 tan B = Gọi (AC) có hệ số góc m + 12 −m − 5m = ta có : tan C = Vì tam giác ABC cân A tanB=tanC, hay ta có : 2m + 2m 1+ − 5m = 4m + 10 − 5m m = − = ⇔ − 5m = 2 m + ⇔ ⇔ + 2m − 5m = −4m − 10 m = 12 - Trường hợp : m = − ⇒ ( AC ) : y = − ( x − 3) + ⇔ x + y − 35 = - Trường hợp : m=12 suy (AC): y=12(x-3)+1 hay (AC): 12x-y-25=0 ( loại //AB ) Biên soạn t-6-2012( Tài liệu nội bộ-lưu ) Trang Chuyên đề : HÌNH HỌC PHẲNG Nguyễn Đình Sỹ -ĐT: 0985.270.218 - Vậy (AC) : 9x+8y-35=0 Bài 15 Viết phương trình tiếp tuyến chung hai đường tròn : (C1) : (x - 5)2 + (y + 12)2 = 225 (C2) : (x – 1)2 + ( y – 2)2 = 25 Giải : - Ta có (C) với tâm I(5;-12) ,R=15 (C') có J(1;2) R'=5 Gọi d tiếp tuyến chung có phương trình : ax+by+c=0 ( a + b ≠ ) - Khi ta có : h ( I , d ) = 5a − 12b + c = 15 ( 1) , h ( J , d ) = a + 2b + c = ( 2) a + b2 5a − 12b + c = 3a + 6b + 3c - Từ (1) (2) suy : 5a − 12b + c = a + 2b + c ⇔ 5a − 12b + c = −3a − 6b − 3c a − 9b = c ⇔ Thay vào (1) : a + 2b + c = a + b ta có hai trường hợp : −2a + b = c 2 2 2 - Trường hợp : c=a-9b thay vào (1) : ( 2a − 7b ) = 25 ( a + b ) ⇔ 21a + 28ab − 24b = a +b 14 − 10 14 − 10 175 + 10 → d : =0 a = ÷x + y − ÷ 21 21 21 Suy : a = 14 + 10 → d : 14 + 10 x + y − 175 − 10 = ÷ ÷ 21 21 21 2 2 - Trường hợp : c = −2a + b ⇒ ( 1) : ( 7b − 2a ) = 100 ( a + b ) ⇔ 96a + 28ab + 51b = Vô nghiệm ( Phù hợp : IJ = 16 + 196 = 212 < R + R ' = + 15 = 20 = 400 Hai đường tròn cắt ) Bài 16 Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho đường tròn (C) : x + y + 2x − 8y − = Viết phương trình đường thẳng song song với đường thẳng d: 3x+y-2=0 cắt đường tròn theo dây cung có độ dài Giải - Đường thẳng d' song song với d : 3x+y+m=0 B −3 + + m m + = 5 AB 2 - Xét tam giác vng IHB : IH = IB − ÷ = 25 − = 16 - IH khoảng cách từ I đến d' : IH = Trang Biên soạn t-6-2012( Tài liệu nội bộ-lưu ) H A I(-1;4) Chuyên đề : HÌNH HỌC PHẲNG Nguyễn Đình Sỹ -ĐT: 0985.270.218 ( m + 1) = 16 ⇔ m + = 20 ⇒ m = 19 → d ' : 3x + y + 19 = ⇔ m = −21 → d ' : x + y − 21 = 25 Bài 17 Viết phương trình cạnh tam giác ABC biết B(2; -1), đường cao đường phân giác qua đỉnh A, C : (d1) : 3x – 4y + 27 = (d2) : x + 2y– 5=0 Giải - Đường thẳng (BC) qua B(2;-1) vng góc A K x+2y-5=0 x = + 3t B(2;-1) với (AH) suy (BC): , hay : y = −1 − 4t r x − y +1 ⇔ = ⇔ x + y − = ⊥ n = ( 4;3) −4 x = + 3t - (BC) cắt (CK) C : ⇒ y = −1 − 4t → t = −1 ⇔ C ( −1;3) x + y − = r - (AC) qua C(-1;3) có véc tơ pháp tuyến n = ( a; b ) H 3x-4y+27=0 Suy (AC): a(x+1)+b(y-3)=0 (*) Gọi ϕ = R KCB = R KCA ⇒ cosϕ = - Tương tự : cosϕ = a+2b ⇒ a+2b = C 4+6 10 = = 16 + 5 2 ⇔ ( a + 2b ) = ( a + b ) 5 a + b2 a + b2 a = ⇒ b ( y − 3) = ↔ y − = ⇔ 3a − 4ab = ⇔ a = 4b ⇒ ( x + 1) + ( y − 3) = ↔ x + y − = 3 y = y − = x = −5 x − y + 27 = 31 582 ⇔ x = − 31 ⇔ A1 ( −5;3) , A2 = − ; - (AC) cắt (AH) A : ÷ 4 x + y − = 25 25 25 582 3 x − y + 27 = y = 25 - Lập (AB) qua B(2;-1) điểm A tìm ( học sinh tự lập ) Bài 18 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Đềcác vng góc Oxy , xét tam giác ABC vng A, phương trình đường thẳng BC : x – y - = 0, đỉnh A B thuộc trục hoành bán kính đường trịn nội tiếptam giác ABC Tìm tọa độ trọng tâm G tam giác ABC Giải - Đường thẳng (BC) cắt Ox B : Cho y=0 suy x=1 , B(1;0) Gọi A(a;0) thuộc Ox đỉnh góc vng ( a khác ) Đường thẳng x=a cắt (BC) C : a; ( a − 1) ( ) 2 - Độ dài cạnh : AB = a − , AC = a − ⇒ BC = AB + AC ⇒ BC = a − ( ) - Chu vi tam giác : 2p= a − + a − + a − = + a − ⇔ p = Biên soạn t-6-2012( Tài liệu nội bộ-lưu ) ( + ) a −1 Trang Chuyên đề : HÌNH HỌC PHẲNG Nguyễn Đình Sỹ -ĐT: 0985.270.218 S 1 - Ta có : S=pr suy p= (*) Nhưng S= AB AC = a − a − = ( a − 1) Cho nên r 2 a = + 3 3 + a −1 = ( a − 1) ⇒ a − = + ⇔ (*) trở thành : a = −1 − ( ) - Trọng tâm G : ( ( ) ) + +1 + 2a + xG = xG = = 7+4 3+6 3 ⇔ ⇒ ⇔ G1 ; ÷ 3 ÷ ( a − 1) 2+2 y = 3+6 = G yG = 3 −1 − + 2a + 1+ xG = xG = =− 1+ 3 + 3 ⇔ ⇔ ⇒ G2 − ;− ÷ 3 ÷ ( a − 1) −2 − y = 3+6 =− G yG = 3 ( ) ( ) ( ) Bài 19 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy Cho đường tròn (C) : x + y − x − y − = đường thẳng d : x + y + = Tìm điểm M thuộc đường thẳng d cho từ điểm M kẻ đến (C) hai tiếp tuyến hợp với góc 900 Giải - M thuộc d suy M(t;-1-t) Nếu tiếp tuyến vng góc với MAIB hình vng ( A,B tiếp điểm ) Do AB=MI= IA =R = = ( 2−t) - Ta có : MI = A + ( + t ) = 2t + = - Do : ( ) t = − → M − 2; − 2t + = 12 ⇔ t = ⇔ t = → M 2; − − 2 ( ) M x+y+1=0 * Chú ý : Ta cách khác - Gọi d' đường thẳng qua M có hệ số góc k suy d' có phương trình : y=k(x-t)-t-1, hay : kx-y-kt-t-1=0 (1) - Nếu d' tiếp tuyến (C) kẻ từ M d(I;d')=R ⇒ I(2;1) 2k − kt − t − 1+ k B = ⇔ ( − t ) k − t − = ( + k ) ⇔ ( t − 4t − ) k + ( t + ) ( − t ) k + ( t + 4t − ) = t − 4t − ≠ ⇔ ∆ ' = ( − t ) − ( t − − 4t ) ( t − + 4t ) > - Từ giả thiết ta có điều kiện : t + 4t − = −1 t − 4t − t ≠ ± k1 + k2 = ± 2 ⇒ k1 ; k2 ⇔ M - ⇔ ∆ ' = t ( 19 − t ) > ⇒ t = ± ⇒ 2 k k = −1 t = Trang 10 Biên soạn t-6-2012( Tài liệu nội bộ-lưu ) Chuyên đề : HÌNH HỌC PHẲNG Nguyễn Đình Sỹ -ĐT: 0985.270.218 - Tính diện tích tam giác EPFQ ; Bài 71 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho họ đường thẳng phụ thuộc tham số α : (x – 1)cosα + (y – 1)sinα – = a Tìm tập hợp cácđiểm mặt phẳng không thuộc đường thẳng họ b Chứng minh đường thẳng họ tiếp xúc với đường tròn cố định Giải b Gọi I ( x0 ; y0 ) điểm cố định Khoảng cách từ I đến d có giá trị : ( x0 − 1) cosα + ( y0 -1) sin α − −1 x0 − = x0 = ⇔ sin α + cos 2α = =1⇔ ⇔ ⇒ I ( 1;1) y0 − = y0 = - Với kết chứng tỏ d ln tiếp xúc với đường trịn (C) có tâm I bán kính ( 2 Không phụ thuộc vào α (C): ( x − 1) + ( y − 1) = Bài 72 Lập ph trình cạnh ∆ ABC, biết đỉnh A(1 ; 3) hai đường trung tuyến xuất phát từ B C có ph.trình là: x– 2y +1= vaø y –1= Giải Gọi G trọng tâm tam giác tọ độ G x − y +1 = ⇒ G ( 1;1) E(x;y) y −1 = nghiệm hệ thuộc (BC),u u tính chất trọngur tau u : theo tâm có uu ur ur uu ur GA = ( 0; ) , GE = ( x − 1; y − 1) ⇒ GA = −2GE 0 = −2 ( x − 1) ⇔ ⇒ E ( 1;0 ) C thuộc (CN) cho 2 = −2 ( y − 1) nên C(t;1), B thuộc (BM) B(2m-1;m) Do B,C đối xứng qua E ta có hệ A(1;3) N y-1=0 B M x-2y+1=0 G C E A' 2m + t − = t = ⇔ ⇒ B ( 5;1) , C ( −3; −1) Vậy (BC) qua E(1;0) có véc tơ m + = m = −1 uu ur r x −1 y = ⇔ x − y − = Tương tự : phương BC ( −8; −2 ) // u = ( 4;1) ⇒ ( BC ) : uu ur r x −1 y − = ⇔ x + 2y − = (AB) qua A(1;3) có AB = ( 4; −2 ) // u = ( 2; −1) ⇒ ( AB ) : −1 uu ur r x −1 y − = ⇔ x− y+2=0 (AC) qua A(1;3) có AC = ( −4; −4 ) // u = ( 1;1) ⇒ ( AC ) : 1 phương trình : * Chý ý : Hoặc gọi A' đối xứng với A qua G suy A'(1;-1) BGCA' hình bình hành , từ ta tìm tọa độ đỉnh B,C cách lập cạnh Bài 73 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho parabol (P) : y2 = 8x a Tìm tọa độ tiêu điểm viết phương trình đường chuẩn (P) b Viết p.trình tiếp tuyến (P) điểm M thuộc (P) có tung độ c Giả sử đường thẳng (d) qua tiêu điểm (P) cắt (P) hai điểm phân biệt A, B có hoành độ tương ứng x2, x2 Chứng minh:AB = x1 +x2 + Giải a/ Tiêu điểm (P) F(2;0) , đường chuẩn (P) có phương trình : x=-2 Trang 34 Biên soạn t-6-2012( Tài liệu nội bộ-lưu ) Chuyên đề : HÌNH HỌC PHẲNG Nguyễn Đình Sỹ -ĐT: 0985.270.218 b/ M thuộc (P) có tung độ hồnh độ x=2 M(2;4) Vậy tiếp tuyến d (P) M ta áp dụng công thức : yy0 = p ( x + x0 ) ( x0 = 2; y0 = ) ⇒ d : y = ( x + ) ⇔ y = x + c/ Áp dụng cơng thức bán kính qua tiêu : MF= x+ p Gọi A ( x1 ; y1 ) , B ( x2 ; y2 ) với giá trị 2 y12 y2 x1 = , x2 = Ta có : AF=x1 + 2, BF = x2 + ⇒ AB = AF+BF=x1 + x2 + ( đpcm) 8 Bài 74 Trong mặt phẳng Oxy cho Elip (E) : 9x2 + 25y2 = 225 a Viết phương trình tắc xác định tiêu điểm, tâm sai (E) b Một đường tròn (T) có tâm I(0 ; 1) qua điểm A(4 ; 2) Viết phương trình đường tròn chứng tỏ (T) qua hai tiêu điểm (E) c Gọi A, B điểm thuộc (E) cho OA ⊥ OB.chứng minh diện tích tam giác OAB không đổi Giải x2 y2 + = ⇒ a = 5, b = 3, c = ⇔ F1 ( −4;0 ) , F2 ( 4;0 ) , e = 25 b/ Vì (E) chẵn x,y Ox,Oy hai trục đối xứng IF1 = IF2 = 17 (1) Đường trịn a/ (E) : (T) tâm I(0;1) có bán kính R=IA= 42 + ( − 1) = 17 (2) Từ (1) (2) chứng tỏ (T) qua 2 tiêu điểm (E) c/ Gọi A ( x1 ; y1 ) , B ( x2 ; y2 ) ∈ ( E ) ⇒ x12 y12 x2 y2 + = 1, + = 1( *) Và góc hợp OA chiều 25 25 π + α ( OA ⊥ OB ) Khi : π π ⇔ A ( OAcosα ;OAsinα ) , B OBcos + α ÷; OB sin + α ÷ = ( −OB sin α ; OBcosα ) 2 2 2 2 2 2 OA cos α OA sin α OB sin α OA cos α + = 1, + = Từ ta suy : Thay vào (*) : 25 25 25.9 25.9 25 + 34 15 OA2 = , OB = ⇒ = = ⇔ OH = 2 2 25sin α + cos α 25cos α + 9sin α OH 25.9 225 34 Vậy A,B thay đổi khoảng cách từ O đến AB không đổi AB không đổi ( ví OA ln vng góc với OB) diện tích tam giác OAB khơng đổi dương Ox α ⇒ R xOB = Bài 75 Cho ∆ABC có đỉnh A(2 ; –1) hai đường phân giác góc B, góc C có phương trình (dB) : x – 2y + = vaø (dC) : x + y + = Lập phương trình cạnh BC Giải - Gọi A' đối xứng với A qua d B A'' đối xứng với A qua dC A' A'' nằm BC uu u rr 2 ( x − ) + 1( y + 1) = AA'u = 2 x + y = ⇔ x+2 ⇔ ⇒ A ' ( 0;3) +/ Tìm tọa độ A' (x;y): ⇔ y −1 I ∈ dB x − y = −6 − ÷+ = Biên soạn t-6-2012( Tài liệu nội bộ-lưu ) Trang 35 Chuyên đề : HÌNH HỌC PHẲNG Nguyễn Đình Sỹ -ĐT: 0985.270.218 u urr uu ( x − ) − 1( y + 1) = AA''u = x − y = ⇔ x + y −1 ⇔ ⇒ A '' ( −2; −5 ) +/ Tìm tọa độ A'' (x;y) : ⇔ I ∈ dB x + y = −7 + ÷+ = uuu u ur r x y −3 +/ (BC) qua A'(0;3) có véc tơ phương A ' A '' = ( −2; −8 ) // u = ( 1; ) ⇒ ( BC ) : = Bài 76 Tìm điểm M ∈ (H) : 5x2 – 4y2 = 20 (1) nhìn hai tiêu điểm góc 120° Giải x2 y2 x2 y2 − = ⇒ F1 ( −3;0 ) , F2 ( 3;0 ) ⇔ F1 F2 = 6, M ( x; y ) ∈ ( H ) ⇔ − =1 5 MF12 = ( x + 3) + y u ur u ur u ur uu u ur uu uu uu , MF1 MF2 = x + y − (*) - Và : MF1 = ( x + 3; y ) , MF2 = ( x − 3; y ) ⇒ 2 MF2 = ( x − 3) + y 4 - Mặt khác : MF1 = + x , MF2 = − x ⇒ MF1MF2 = ( + x ) ( − x ) = − x 2 - Ta có : (H) : - Tam giác M F1 F2 : ( F1 F2 ) = MF12 + MF22 − 2MF1MF2cos1200 x2 = 1 − x = − x ⇔ 36 = ( − x ) + ( + x ) + − x ⇔ − x = − x ⇔ ⇔ 2 x = 1 − x = x − 2 y = 10 x = 10 10 10 10 ⇔ ⇒ 10 ⇔ M − 6; − ÷, M − 6; ÷, M 6; − ÷, M 6; ÷ 20 ÷ ÷ ÷ 4 y = − ÷ < y = 2 Bài 77 Trong mặt phẳng Oxy cho (E) : x2 + 3y2 = 12 a Tính độ dài trục lớn, trục nhỏ, tọa độ hai tiêu điểm, tâm sai (E) b Cho đường thẳng (D) : mx – 3y + = Tính m để (D) tiếp xúc với (E) c Viết phương trình Parabol có đỉnh trùng với gốc tọa độ có tiêu điểm trùng với tiêu điểm bên trái (E) cho Giải ( ) ( ) x2 y2 + = ⇒ a = 3, b = 2, c = 2 ⇔ F1 −2 2;0 , F2 2;0 12 b/ Điều kiện cần đủ để d tiếp xúc với (E) : a A2 + b B = C 45 15 15 ⇔ 12m + 4.9 = 81 ⇔ 12m = 45 ⇔ m = = ⇔ m= 12 p c/ (P) có dạng : y = px ⇒ F −2 2;0 ⇒ = −2 ⇔ p = −4 2 - Vậy (P) có tiêu điểm trùng với tiêu điểm bên trái (E) : y = −8 x a/ (E) : ( ) Bài 78 Trong mp Oxy, cho Cho (H) có phương trình : 24x2 – 25y2 = 600 (1) M điểm tùy ý (H) a) Tìm tọa độ đỉnh, tọa độ tiêu điểm tính tâm sai (H) b) Tìm tọa độ điểM thuộc (H) có hoành độ x = 10 tính khoảng cách từ điểm đến tiêu điểm c) Chứng minh : OM2 – MF1.MF2 số không đổi d) Tìm giá trị k để đường thẳng y = kx – có điểm chung với (H) Giải Biên soạn t-6-2012( Tài liệu nội bộ-lưu ) Trang 36 Chuyên đề : HÌNH HỌC PHẲNG Nguyễn Đình Sỹ -ĐT: 0985.270.218 2 x y − = ⇒ a = 5, b = 6, c = ⇔ F1 ( −7;0 ) , F2 ( 7;0 ) a/ (H) : 25 24 b/ Khi x=10 thay vào (1) ta có y = 72 ⇔ y = ±6 ⇒ M 0; −6 , M 10;6 ( ) ( ) 7 49 7 MF MF = x − 25 : x > MF1 = + x, MF2 = −5 + x : x > 25 ⇒ c/ Ta có : MF = −5 − x, MF = − x : x < MF MF = − 25 − 49 x : x < ÷ 25 5 x2 y2 49 2 25 − − ÷: x > x + y − 25 x + 25 : x > 25 24 OM − MF1MF2 = = = 24 x + y + 25 − 49 x : x < x2 y2 25 − − ÷: x < ÷ 25 25 24 - Tính khoảng cách : MF1 = + x = + 10 = 19, MF2 = − 10 = d/ Tìm k để phương trình : 24 x − 25 ( kx − 1) − 600 = ( có nghiệm x ) ⇔ ( 24 − 25k ) 24 − 25k = x + 50kx − 575 = ( ∃ : x ) ⇔ 24 − 25k ≠ 2 ∆ ' = 25 + 575 ( 24 − 25k ) k = ± ⇔ k ≠ ± > 577 k ≤ 23 Bài 79 Trong mặt phẳng Oxy cho Hyperbol (H) : 12x2 – 16y2 = 192 điểm P(2 ; 1) Viết phương trình đường thẳng qua P cắt (H) điểm M, N cho P trung điểm MN Giải (H): ( ) ( ) x2 y2 − = ⇒ a = 4, b = 3, c = ⇔ F1 −2 7;0 , F2 7;0 Gọi M(x;y) thuộc (H) 16 12 N đối xứng với M qua P(2;1) N(4-x; 2-y) Để thỏa mãn yêu cầu tốn N phải x2 y ( 1) 16 − 12 = thuộc (H)., ta có hệ : Lấy (2)-(1) ta phương trình rút 2 ( − y) = ( − x) ( ) 16 − 12 gọn : 3x-2y-4=0 Đó phương trình đường thẳng qua P Bài 80 Trong mặt phẳng Oxy cho (E) : 4x2 + y2 = a Tính độ dài trục lớn, trục nhỏ, tọa độ hai tiêu điểm, tâm sai (E) b Tìm giá trị m để đường thẳng y = x + m cắt (E) điểm phân biệt M, N m thay đổi Tìm tập hợp trung điểm MN Giải a/ (E): ( ) ( ) x2 y + = ⇒ a = 1, b = 2, c = ⇒ F1 0; − , F2 0; Tiêu điểm thuộc Oy b/ Đường thẳng y=x+m cắt (E) điểm M,N có tọ độ nghiệm hệ : Biên soạn t-6-2012( Tài liệu nội bộ-lưu ) Trang 37 Chuyên đề : HÌNH HỌC PHẲNG Nguyễn Đình Sỹ -ĐT: 0985.270.218 2 4 x + ( x + m ) = 4 x + y = 5 x + 2mx + m − = ( 1) ⇔ ⇔ ⇔ ( 2) y = x + m y = x + m y = x + m - Như hoành độ M,N nghiệm (1) với điều kiện : ∆ ' = −4m + 20 > , hay : ⇔ m < ( *) Gọi M ( x1 ; y1 ) , N ( x2 ; y2 ) I trung điểm MN ta có tọa độ I : x1 + x2 m xI = m = −5 x I xI = − ⇔ ⇔ ⇔ yI = xI − xI = −4 xI y = y1 + y2 y I = xI + m I Do I chạy đường thẳng : y=-4x - Giới hạn quỹ tích : Từ (*) : m < ⇔ −5 xI < ⇔ xI < 5 - Kết luận : Khi m thay đổi I chạy đường thẳng d: y=-4x ( lấy điểm có hồnh độ nằm khoảng − 5 ; ÷ 5 ÷ Bài 81 Trong mp Oxy cho parabol (P) : y2 = 12x a Tìm tọa độ tiêu điểm F phương trình đường chuẩn (∆) (P) b Một điểm nằm parabol có hoành độ x = Hãy tính khoảng cách từ điểm đến tiêu điểm c Qua điểm I(2 ; 0) vẽ đường thẳng thay đổi cắt (P) A B Chứng minh tích số khoảng cách từ A B đến trục Ox số Giải a/ Với p=6 p/2=3 F(3;0) Đường chuẩn có phương trình : x=-3 b/ Gọi M ∈ (P) có x=2 tung độ M : y = 24 ⇔ y = ±2 ⇒ M 2; −2 , M 2; ( - Khoảng cách từ M đến tiêu điểm : MF=x+ ) ( ) p ⇒ MF1 = − 6, MF2 = + c/ Đường thẳng d qua I(2;0) có dạng : x=2 (//Oy ) cắt (P) điểm hiển nhiên khoảng cách từ điểm tới Ox nhay ( chúng đối xứng qua Ox ) Gọi d có hệ số góc k qua I (2;0) d : y=k(x-2)=kx-2k (1) Nếu d cắt (P) điểm hồnh độ điểm 2 2 2 nghiệm phương trình : ( kx − 2k ) = 12 x ⇔ k x − ( k + 3) x + 4k = 0(1) y - Hoặc tung độ điểm nghiệm phương trình : y = 12 + ÷ k ⇔ ky − 12 y − 2k = ( ) - Tích khoảng cách từ điểm đến trục Ox tích tung độ hai điểm Vậy từ −2 k = −2 số ( đpcm) k x y2 + = , bieát tieáp tuyeán qua A(6 ; Bài 82 Viết phương trình tiếp tuyến (E) : 32 18 ) (2) ta có : y1 y2 = Giải Bài 83 a Cho Parabol (P) có phương trình y2 = x đường thẳng d có phương trình : 2x – y – = Hãy viết phương trình tiếp tuyến (P) giao điểm (P) d Trang 38 Biên soạn t-6-2012( Tài liệu nội bộ-lưu ) Chun đề : HÌNH HỌC PHẲNG Nguyễn Đình Sỹ -ĐT: 0985.270.218 x y2 + =1 b Lập phương trình tiếp tuyến chung (P) : y = 4x vaø (E) : Giải a/ Điểm chung d (P) có tọa độ nghiệm hệ : y2 = x 2 y − y − = 1 1 ⇔ ⇔ A ( 1;1) , B ; − ÷ :⇔ 4 2 2 x = y + 2 x = y + 1 - Phương trình tiếp tuyến có : yy0 = p ( x + x0 ) ⇒ d A :1 y = ( x + 1) ⇔ x − y + = Và 1 1 dB : − y = x + ÷⇔ x + y + = 2 4 b/ Gọi d tiếp tuyến chung (P) (E) có dạng : ax+by+c=0 - d tiếp tuyến (P) : p B =2AC ⇔ b =2ac , hay : b =ac (1) 2 - d tiếp tuyến (E) : 8a + 2b = c ( ) c = −2 a c = 4a 2 2 - Thay b từ (1) thay vào (2) : 8a + ( ac ) − c = ⇔ 8a + 2ac − c = ⇔ - Từ (1) a,c dấu chọn : c=4a hay : b = 2a → d : ax+2ay+4a=0 ↔ x+2y+4=0 ⇔ ac= 4a = b ⇒ b = −2a → d : ax-2ay+4a=0 ↔ x-2y+4=0 Bài 84 Cho tam giác ABC có trung điểm AB I(1;3), trung điểm AC J(-3;1) Điểm A thuộc Oy , đường thẳng BC qua gốc tọa độ O Tìm tọa độ điểm A , phương trình đường thẳng BC đường cao vẽ từ B ? Giải - Do A thuộc Oy A(0;m) (BC) qua gốc tọa độ O (BC): ax+by=0 (1) - Vì IJ trung điểm (AB) (AC) IJ //BC suy (BC) có véc tơ phương : u r r ⇔ IJ = ( −4; −2 ) // u = ( 2;1) ⇒ ( BC ) : x − y = - B thuộc (BC) suy B(2t;t) A(2-2t;6-t) Nhưng A thuộc Oy : 2-2t=0 , t=1 A(0;5) Tương tự C(-6;-3) ,B(0;1) - Đường cao BH qua B(0;1) vng góc với AC uu ur r x có AC = ( −6; −8 ) // u = ( 3; ) ⇒ ( BH ) : = A H J(-3;1) I(1;3) B ax+by=0 C y −1 ⇔ 4x − 3y + = Bài 85 Cho hai điểm A(1;1), B(4;-3) đường thẳng d : x-2y-1=0 a Tìm tọa độ điểm C d cho khoảng cách từ C đến đường thẳng AB=6( ĐHKB-04) b Tìm tọa độ trực tâm tâm đường trịn ngoại tiếp tam giác OAB ?( ĐHKA-2004) Giải r uu ur x −1 y −1 = ⇔ 4x + 3y − = −4 ( 2t + 1) + 3t − - C thuộc : x-2y-1=0 suy C(2t+1;t ) : = ⇔ 11t − = 30 a/ (AB) qua A(1;1) có u = AB = ( 3; −4 ) ⇒ ( AB ) : Biên soạn t-6-2012( Tài liệu nội bộ-lưu ) Trang 39 Chuyên đề : HÌNH HỌC PHẲNG Nguyễn Đình Sỹ -ĐT: 0985.270.218 t = → C1 ( 7;3) ⇔ 27 43 27 t=− → C2 − ; − ÷ 11 11 11 b/ - Đường thẳng qua O vuông góc với AB có phương trình : 3x-4y=0 - Đường thẳng qua B vng góc với OA có phương trình : (x-4)+(y+3)=0 - Đường thẳng qua A vng góc với OB có phương trình : 4(x-1)-3(y-1)=0 hay : 4x-3y-1=0 - Vậy tọa độ trực tâm H nghiệm : 3 x − ( − x ) = 3x − y = x = 4 3 ⇔ x + y −1 = ⇔ y = 1− x ⇔ ⇒H ; ÷ 7 7 4 x − y − = 4 x − y − = y = - Giả sử đường tròn ngoại tiếp tam giác (C): x + y − 2ax − 2by + c = - (C) qua O(0;0) suy c=0 (1) - (C) qua A(1;1) suy : 2-2a-2b=0 , hay : a+b=1 (2) - (C) qua B(4;-3) suy : 25-8a+6b=0 , hay : 8a-6b=25 (3) 31 17 b = − 14 b = − 14 a + b = b = − a ⇔ ⇔ ⇔ - Từ (2) (3) ta có hệ : 8a − 6b = 25 8a − 6(1 − a ) = 25 a = 31 a = 31 14 14 31 17 2 - Vậy (C) : x + y − x + y = Bài 86 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường thẳng d : x+2y-3=0 hai điểm uu uu ur ur A(1;0) ,B(3;-4) Hãy tìm d điểm M cho : MA + 3MB nhỏ Giải uu ur uu ur uu ur - Trên d có M(3-2t;t) suy : MA = ( − 2t; t ) , MB = ( −2t; t + ) ⇒ 3MB = ( −6t + 3t + 12 ) uu uu ur ur uu uu ur ur 2 - Do : MA + 3MB = ( − 8t; 4t + 12 ) ⇒ MA + 3MB = ( − 8t ) + ( 4t + 12 ) uu uu ur ur 676 26 - Hay : f(t)= MA + 3MB = 80t + 64t + 148 = 80 t + ÷ + Dấu đẳng thức xảy ≥ 5 5 26 19 t= − ⇒ M ; − ÷ Khi min(t)= 5 2 Bài 87 Trong mặt phẳng Oxy cho điểm M(2;-1) đường tròn ( C1 ) : x + y = (1) Hãy viết phương trình đường trịn ( C2 ) : có bán kính cắt đường tròn ( C1 ) theo dây cung qua M có độ dài nhỏ Giải Gọi ( C2 ) : có tâm I'(a;b) suy : ( C2 ) : ( x − a ) + ( y − b ) = 16 ⇔ x + y − 2ax − 2by + a + b − 16 = ( 1) Lấy (1) -(2) ta : 2ax + 2by − ( a + b ) + = ( đường thẳng trục đẳng phương ) Dây cung hai đường tròn nằm đường thẳng 2 Ví dây cung qua M(2;-1) lên ta có : 4a − 2b − ( a + b ) + = ⇔ ( a − ) + ( b + 1) = 12 Trang 40 Biên soạn t-6-2012( Tài liệu nội bộ-lưu ) Chun đề : HÌNH HỌC PHẲNG Nguyễn Đình Sỹ -ĐT: 0985.270.218 Bài 88 Trong mặt phẳng Oxy cho điểm A(2;5),B(5;1) Viết phương trình đường thẳng d qua A cho khoảng cách từ B đến d Giải r Đường thẳng d qua A(2;5) có n = ( a; b ) ⇒ d : a ( x − ) + b ( y − ) = ( 1) Theo giả thiết : h ( B, d ) = a ( − 2) + b ( − 5) = ⇔ ( 3a − 4b ) = ( a + b ) a2 + b2 b = → d : a ( x − ) = ↔ x − = ⇔ 7b − 24ab = ⇒ b = 24a → ( x − ) + 24 ( y − ) = ↔ x + 24 y − 114 = 7 Bài 89 Trong (Oxy) cho A(2;5) đường thẳng d : 2x+3y+4=0 Viết phương trình tổng quát đường thẳng d' qua A tạo với d góc 450 Giải r Đường thẳng d' qua A(2;5) có n = ( a; b ) ⇒ d : a ( x − ) + b ( y − ) = ( 1) u r Đường thẳng d có véc tơ pháp tuyến n ' = ( 2;3) Theo giả thiết : 2a + 3b cos450 = 13 a + b 2 = ⇔ ( 2a + 3b ) = 13 ( a + b ) ⇔ 5b + 24ab − 5a = b = −5a → d ' : ( x − ) − ( y − ) = ↔ x − y + 23 = Ta có : ∆ 'b = 169a ⇒ a b = ↔ a = 5b → d ' : ( x − ) + ( y − ) = ↔ x + y − 15 = Bài 90 Trong (Oxy) cho hình chữ nhật ABCD , biết phương trình chứa đường chéo d1 : x + y − = d : x − y + = Viết phương trình đường thẳng chứa cạnh hình chữ nhật , biết đường thẳng qua điểm M(-3;5) Giải 7 x + y − = 1 9 ⇒I ; ÷ 4 4 x − y + = r Gọi d đường thẳng qua M(-3;5 ) có véc tơ pháp tuyến : n ( a; b ) Khi - Tâm hình chữ nhật có tọa độ nghiệm hệ : ⇒ d : a ( x + 3) + b ( y − ) = ( 1) Gọi cạnh hình vng (AB) qua M theo tính chất hình chữ ru r ru u r nn1 nn2 7a + b a −b a = −3b = ⇔ 7a + b = a − b ⇔ r u r nhật : r u = r u ⇔ n n1 n n2 50 a + b 2 a + b2 b = 3a a = −3b → d : −3 ( x + 3) + ( y − ) = ↔ x − y + 14 = Do : b = 3a ↔ ( x + 3) + ( y − ) = ↔ x + y − 12 = Bi 91 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho tam gi¸c ABC, víi A(1;1) , B(−2; 5) , đỉnh C nằm đờng thẳng x = , trọng tâm G tam giác nằm đờng thẳng x y + = TÝnh diƯn tÝch tam gi¸c ABC HD 1− + + + yC y = 1, yG = = + C §iĨm G nằm đờng 3 thẳng x − y + = nªn − − yC + = , vËy yC = , tøc lµ: C = (4; 2) Ta cã C = (4; yC ) Khi ®ã täa ®é G lµ xG = Ta cã AB = (−3; 4) , AC = (3;1) , vËy AB = , AC = 10 , AB AC = −5 Diện tích tam giác ABC S = ( AB AC − AB AC ) = 15 25.10 − 25 = 2 Biên soạn t-6-2012( Tài liệu nội bộ-lưu ) Trang 41 Chun đề : HÌNH HỌC PHẲNG Nguyễn Đình Sỹ -T: 0985.270.218 Bi 92 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho tam gi¸c ABC, víi A(2;−1) , B(1;− 2) , trọng tâm G tam giác nằm đờng thẳng x + y = Tìm tọa độ đỉnh C biết diện tích tam giác ABC 13,5 HD Vì G nằm đờng thẳng x + y = nên G cã täa ®é G = (t ; − t ) Khi ®ã AG = (t − 2;3 − t ) , AB = (−1;−1) VËy diÖn tÝch tam giác ABG S = ( AG AB − AG AB ) = [ ] (t −2) +(3 −t ) −1 = 2t − NÕu diÖn tÝch tam giác ABC 13,5 diện tích tam giác ABG b»ng 13,5 : = 4,5 VËy 2t − = 4,5 , suy t = t = Vậy có hai điểm G : G1 = (6;−4) , G = (−3;−1) Vì G trọng tâm tam giác ABC nên xC = xG − ( xa + xB ) vµ yC = yG − ( ya + y B ) Víi G1 = (6;−4) ta cã C1 = (15;−9) , víi G = ( −3;−1) ta cã C2 = ( −12;18) Bài 93 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho hai đường thẳng ∆ : x + y + = , ∆ ' :3 x − y + 10 = điểm A(-2 ; 1) Viết phương trình đường trịn có tâm thuộc đường thẳng ∆ , qua điểm A tiếp xúc với đường thẳng ∆ ’ Tâm I đường tròn thuộc ∆ nên I(-3t – 8; t) HD Theo yc k/c từ I đến ∆ ’ k/c IA nên ta có 3( −3t − 8) − 4t + 10 +4 Giải tiếp t = -3 Khi I(1; -3), R = pt cần tìm: (x – 1)2 + (y + 3)2 = 25 2 = (−3t − + 2) + (t − 1) Bài 94 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho đường tròn hai đường tròn : (C ) : x + y – x – y + = 0, (C ') : x + y + x – = qua M(1; 0) Viết phương trình đường thẳng qua M cắt hai đường tròn (C ), (C ') A, B cho MA= 2MB HD + Gọi tâm bán kính (C), (C’) I(1; 1) , I’(-2; 0) R = 1, R ' = , đường thẳng (d) qua M có phương trình a ( x − 1) + b( y − 0) = ⇔ ax + by − a = 0, ( a + b ≠ 0)(*) + Gọi H, H’ trung điểm AM, BM 2 Khi ta có: MA = 2MB ⇔ IA2 − IH = I ' A2 − I ' H '2 ⇔ − ( d ( I ;d ) ) = 4[9 − ( d ( I ';d ) ) ] , IA > IH 9a b2 36a − b − = 35 ⇔ = 35 ⇔ a = 36b 2 2 a +b a +b a +b a = −6 Dễ thấy b ≠ nên chọn b = ⇒ a=6 Kiểm tra điều kiện IA > IH thay vào (*) ta có hai đường thẳng thoả m ãn Bài 95 Tam giác cân ABC có đáy BC nằm đường thẳng : 2x – 5y + = 0, cạnh bên AB nằm đường thẳng : 12x – y – 23 = Viết phương trình đường thẳng AC biết qua điểm (3;1) ⇔ ( d ( I ';d ) ) − ( d ( I ;d ) ) = 35 ⇔ 2 HD Đường thẳng AC qua điểm (3 ; 1) nên có phương trình : a(x – 3) + b( y – 1) = (a2 + b2 ≠ 0) 2a − 5b 2.12 + 5.1 = Góc tạo với BC góc AB tạo với BC nên : 2 + a + b2 2 + 52 122 + 12 Trang 42 Biên soạn t-6-2012( Tài liệu nội bộ-lưu ) Chuyên đề : HÌNH HỌC PHẲNG Nguyễn Đình Sỹ -ĐT: 0985.270.218 a = −12b ⇔ ( 2a − 5b ) = 29 ( a + b ) ⇔ 9a + 100ab – 96b = ⇒ a = b Nghiệm a = -12b cho ta đường thẳng song song với AB ( điểm ( ; 1) không thuộc AB) nên cạnh tam giác Vậy lại : 9a = 8b hay a = b = Phương trình cần tìm : 8x + 9y – 33 = 2a − 5b 29 ⇔ = 2 a +b 2 2 Bài 96 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy Cho elip (E) : x + y − = Tìm ˆ điểm N elip (E) cho : F1 NF2 = 600 ( F1 , F2 hai tiêu điểm elip (E) ) HD + (C) có tâm I(2 , 1) bán kính R = ˆ + AMB = 900 ( A , B tiếp điểm ) suy : MI = MA = R = 12 Vậy M thuộc đường trịn tâm I bán kính R/ = 12 M thuộc d nên M( x , y) có tọa độ thỏa hệ: 2 ( x − ) + ( y − 1) = 12 x = x = − ↔ ∨ x + y +1 = y = −1 − y = −1 + Vậy có điểm thỏa u cầu tốn có tọa độ nêu Bài 97 Trong mp (Oxy) cho đường thẳng (∆) có phương trình: x – 2y – = hai điểm A (-1;2); B (3;4) Tìm điểm M ∈ (∆) cho 2MA + MB có giá trị nhỏ u ur uu u ur HD uu M ∈ ∆ ⇒ M (2t + 2; t ), AM = (2t + 3; t − 2), BM = (2t − 1; t − 4) AM + BM = 15t + 4t + 43 = f (t ) 2 2 26 Min f(t) = f − ÷=> M ; − ÷ 15 15 15 Bài 98 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường tròn (C): x + y2 - 2x - 2my + m2 - 24 = có tâm I đường thẳng ∆: mx + 4y = Tìm m biết đường thẳng ∆ cắt đường tròn (C) hai điểm phân biệt A,B thỏa mãn diện tích tam giác IAB 12 HD Đường trịn (C) có tâm I(1; m), bán kính R = Gọi H trung điểm dây cung AB Ta có IH đường cao tam giác IAB IH = d ( I , ∆ ) = | m + 4m | m + 16 = AH = IA2 − IH = 25 − | 5m | m + 16 2 (5m) = m + 16 Diện tích tam giác IAB S∆IAB 20 A I H B ∆ m + 16 = 12 ⇔ 2S ∆IAH = 12 m = ±3 ⇔ d ( I , ∆ ) AH = 12 ⇔ 25 | m |= 3(m + 16) ⇔ 16 m = ± Bài 99 Cho đường tròn (C): x2 + y2 – 2x + 4y + = Viết phương trình đường trịn (C') tâm M(5, 1) biết (C') cắt (C) điểm A, B cho AB = HD Biên soạn t-6-2012( Tài liệu nội bộ-lưu ) Trang 43 Chuyên đề : HÌNH HỌC PHẲNG Nguyễn Đình Sỹ -ĐT: 0985.270.218 Phương trình đường tròn (C): x2 + y2 – 2x + 4y + = có tâm I(1, –2) R = Đường tròn (C') tâm M cắt đường tròn (C) A, B nên AB ⊥ IM trung điểm H đoạn AB Ta có AH = BH = AB = 2 Có vị trí cho AB đối xứng qua tâm I Gọi A'B' vị trí thứ AB, Gọi H' trung điểm A'B' 3 Ta có: IH ' = IH = IA − AH = − ÷ = , MI = ÷ 2 ( − 1) + ( + 2) = Vậy có đường tròn (C') thỏa ycbt là: (x – 5)2 + (y – 1)2 = 13 hay (x – 5)2 + (y 1)2 = 43 Bi 100 Trong mặt phẳng Oxy cho elip (E): x2 y + = đờng thẳng :3x + 4y =12 Từ điểm M kẻ tới (E) tiếp tuyến MA, MB Chứng minh đờng thẳng AB qua điểm cố định HD Gọi M(x0 ;y0 ), A(x1;y1), B(x2;y2) TiÕp tuyÕn t¹i A có dạng : Tiếp tuyến qua M nên : x0 x1 y0 y1 + =1 xx1 yy1 + =1 (1) xx0 yy0 + =1 4 xx0 yy0 xx0 y (12 − x0 ) M thuéc ∆ nªn 3x0 + 4y0 =12 ⇒ 4y0 =12-3x0 ⇒ + = 4, + =4 4 Ta thÊy täa ®é cđa A B thỏa mÃn (1) nên đờng thẳng AB có pt : Gọi F(x;y) điểm cố định mà AB qua với M : (x- y)x0 + 4y - = { { x− y =0 y =1 ⇒ y −4=0 ⇒ x=1 Vậy AB qua điểm cố định F(1;1) Bài 101 Trong mặt phẳng Oxy cho ba đường thẳng d1 : x + y − = 0, d2 : x − y + = 0, d3 : x − y + = Tìm tọa độ đỉnh hình thoi ABCD, biết hình thoi ABCD có diện tích 15, đỉnh A,C thuộc d3 , B thuộc d1 D thuộc d2 HD Đường chéo (BD) vng góc với (AC) (BD có dạng : x+y+m=0 x + y + m = m + 4m + ⇒ B ;− ÷ 4 x + y − = x + y + m = m + −2 m + ⇒ D− ; (BD) cắt d D có tọa độ nghiệm hệ : ÷ 3 2 x − y + = (BD) cắt d1 B có tọa độ nghiệm hệ : 1 Trung điểm I BD tâm hình thoi có tọa độ : I ; − 2 2m + ÷ 2m + + + = ⇒ m = −3 ⇔ ( BD ) : x + y − = tọa độ 2 t +t +2−3 1 5 điểm B(2;1),D(-1;4) I ; ÷ Gọi A(t;t+2) thuộc (AC) Suy : h ( A, ( AC ) ) = 2 2 Theo giả thiết I thuộc (AC) : Trang 44 Biên soạn t-6-2012( Tài liệu nội bộ-lưu ) Chuyên đề : HÌNH HỌC PHẲNG Nguyễn Đình Sỹ -ĐT: 0985.270.218 t = → A ( 3;5 ) ↔ C ( −2;0 ) 2t − 2t − 1 = ⇔ S = BD.h ( A, AC ) = = 15 ⇔ 2 t = −2 → A ( −2;0 ) ↔ C ( 3;5 ) 2 Bài 102 Trong (Oxy) cho đường tròn (C): x + y = ( P ) : y = x Tìm (P) điểm M mà từ kẻ tiếp tuyến đến (C) tiếp tuyến tạo với góc 600 Giải Gọi M ( x0 ; y0 ) ∈ ( P ) ⇒ y0 = x0 d đường thẳng tiếp tuyến (P) M d có phương trình : y0 y = ( x + x0 ) ⇔ x − y0 y + x0 = Để d tiếp tuyến kẻ từ M đến (C) điều kiện cần đủ : Bài 103 Trong (Oxy) cho đ thẳng d: 3x-y+5=0 đường tròn (C): x + y + x − y + = Tìm điểm M thuộc (C) điểm N thuộc d cho MN có độ dài nhỏ ? Giải 2 (C) : ( x + 1) + ( y − 3) = ⇒ I ( −1;3) , R = - Gọi d' //d d': 3x-y+m=0 d' tiếp xúc với (C) M ( M điểm cách d nhỏ ) , m = + 10 → d ' : 3x − y + + 10 = = ⇔ m − = 10 ⇒ 10 m = − 10 → d ' : 3x − y + − 10 = Giả sử N' thuộc d ta ln có : M N ' ≥ M N Dấu : h ( I ; d ') = R ⇔ −3 − + m xảy N' trùng với N Vậy ta cần lập đường thẳng ∆ qua I(-1;3) vng góc với d suy x = −1 + 3t Khi ∆ cắt d' y = 3−t điểm : ( −1 + 3t ) − ( − t ) + + 10 = → t = 10 Và ( −1 + 3t ) − ( − t ) + − 10 = → t = − 10 − 1;3 − Do ta tìm điểm M : M ÷, 10 10 đường thẳng ∆ : M −1 − d' M I(-1;3) d' M N' N d:3x-y+5=0 ;3 + ÷ Tương tự ∆ cắt d N có tọa độ nghiệm : 10 10 x = −1 + 3t 29 ⇒t = ⇔ N − ; ÷ Ta chọn M cách tính M N , M N , sau so y = 3−t 10 10 10 3 x − y + = sánh : Nếu M N > M N M M Còn M N < M N M M 1 7 2 Bài 104 Trong (Oxy) cho ( C ) : ( x + 1) + ( y − 3) = điểm M ; ÷ Tìm (C) điểm 5 5 N cho MN có độ dài lớn ? Giải x = −1 + sin t ⇒ N ∈ ( C ) ⇒ N ( −1 + sin t ;3 + cost ) y = + cost (C) viết dạng tham số : 2 12 16 Khi : MN = − + sin t + − + cost = sin t + cos 2t − sin t − cost+4 ÷ ÷ 5 Biên soạn t-6-2012( Tài liệu nội bộ-lưu ) Trang 45 Chun đề : HÌNH HỌC PHẲNG Nguyễn Đình Sỹ -ĐT: 0985.270.218 2 12 16 16 12 12 16 = − sin t − cost+5 = − sin t + cost ÷( *) Vì : ÷ + ÷ = , 5 20 20 20 20 12 16 ⇒ cosϕ = = ;sin ϕ = = (*) trở thành : − 4sin ( t + ϕ ) ≤ − = 20 20 π Dấu đẳng thức xảy : sin ( t + ϕ ) = ⇔ t = −ϕ + + k 2π 3 π Do : sin t = sin − ϕ ÷ = cosϕ = ⇔ x = −1 + sin t = −1 + = − 5 2 4 19 π 19 Tương tự : cost=cos − ϕ ÷ = sin ϕ = ⇒ y = + cost=3+ = ⇒ N − ; ÷ 5 2 5 x2 y + = , nhận A(0;2) làm đỉnh trục Bài 105 Tính diện tích tam giác nội tiếp (E): 16 Oy làm trục đối xứng ? Giải Do ABC tam giác , A(0;2) thuộc Oy trục đối xứng B,C phải nằm đường thẳng y=m (//Ox) cắt (E) Vì tọa độ B,C nghiệm hệ : y A(0;2) O H y = m y = m y=m ⇔ B C 2 x + 16 y = 64 x = 16 − 4m ≥ y = m ⇔ −2 ≤ m ≤ Ta có : AC = x + = 16 − m + = 20 − m , BC = 16 − m x = ± 16 − 4m 2 2 Do ABC :AC=BC ⇔ 20 − m = 16 − m ⇔ 20 − m = ( 16 − m ) ⇒ m = x 44 1 1 33 3.4 ( 16 − m ) , suy S ABC = BC AH = BC.BC = BC = 2 2 44 Hay : S ABC = 16 − ÷ = Bài 106 Tính diện tích tam giác nội tiếp (P): y = x , nhận đỉnh (P) làm đỉnh Vậy : m = − trục Ox làm trục đối xứng ? Giải 1 (P) có tiêu điểm F ;0 ÷ Nếu Ox làm trục đối xứng B,C nằm đường thẳng : x=m y2 = 2x y = 2m ⇔ ( song song với Oy) Do tọa độ B,C nghiệm hệ : x = m x = m y = ± 2m ⇔ ⇔ B m; 2m , C m; − 2m ⇒ BC = 2m x = m > ( ) ( ) 2 2 Vì OBC tam giác : OB = BC ⇔ m + 2m = ( 2m ) ⇔ m − 6m = ⇒ m = ( m > ) 2 Vậy SOBC = BC.OH = BC = Trang 46 3 ( 2m ) = ( 2.6 ) = 24 (đvdt) 2 Biên soạn t-6-2012( Tài liệu nội bộ-lưu ) Chuyên đề : HÌNH HỌC PHẲNG Nguyễn Đình Sỹ -ĐT: 0985.270.218 Bài 107 Trong (Oxy) cho điểm M(1;2) Lập phương trình đường thẳng d qua M cắt Ox,Oy A,B cho diện tích tam giác OAB nhỏ Giải Đường thẳng dạng : x=1 y=2 không cắt trục tọa độ Cho nên gọi d đường thẳng qua M(1;2) có hệ số góc k( khác 0) d : y=k(x-1)+2 , hay y=kx+2-k k −2 ;0 ÷ cắt Oy B(0;2-k) k k −2 k − 4k + 4 2−k = = k − + (1) Do : SOAB = k k k 4 Xét f(k)= k − + ⇒ f ' ( k ) = − = ⇔ k = ±2 k k Đường thẳng d cắt Ox A Ta có bảng biến thiên : k f'(k) f(k) -∞ + -∞ -2 -16 +∞ - + +∞ -6 Căn vào bảng biến thiên ta có macx f (k ) = 16 đạt k=-2 Khi đường thẳng d : y=-2(x-1)+2 , hay y=-2x+4 A(2;0) B(0;4) Bài 108 Trong (Oxy) cho tam giác ABC, biết ba chân đường cao tương ứng với đỉnh A,B,C A'(1;1),B'(-2;3),C'(2;4) Viết phương trình đường thẳng chứa cạnh (BC) Giải Do đường cao tứ giác AC'IB' từ giác A nội tiếp đường trịn có đường kính AI , C'B' B'(-2;3) dây cung AA' vng góc với C'B' Vậy C'(2;4) (BC) qua A'(1;1)rvà có véc tơ pháp tuyến uuu u ur I C ' B ' = ( −4; −1) // n = ( 4;1) ⇒ ( BC ) : ( x − 1) + y − = ⇔ 4x + y − = Tương tự lập luận ta tìm phương trình cạnh tam giác ABC : (AB) : 3x-2y+2=0 ( ) ( B C A'(1;1) ) Bài 109 Trong (Oxy) cho hai điểm A 3; , B 3; −2 a/ Chứng tỏ tam giác OAB tam giác b/ Chứng minh tập hợp điểm M cho : MO + MA2 + MB = 32 đường tròn (C) c/ Chứng tỏ (C) đường tròn ngoại tiếp tam giác OAB Giải a/ Ta có : OA = ( 3) + 22 = 4, OB = 4, AB = Chứng tỏ OAB tam giác b/ Gọi M(x;y) đẳng thức giả thiết cho tương đương với biểu thức : Ta có : MO = x + y , MA2 = x + y − 3x − y + 16, MB = x + y − 3x + y + 16 x=0 2 4 4 3 4 3 ⇔x− ÷ + y = ÷ Chứng tỏ đường trịn (C) có tâm I ;0 ÷, R = ÷ ÷ ÷ ⇒ MO + MA2 + MB = 32 ⇔ x + y − x + 32 = 32 ⇔ x + y − Biên soạn t-6-2012( Tài liệu nội bộ-lưu ) Trang 47 Chuyên đề : HÌNH HỌC PHẲNG Nguyễn Đình Sỹ -ĐT: 0985.270.218 c/ Thay tọa độ O,A,B vào (1) ta thấy thỏa mãn , chứng tỏ (C) đường tròn ngoại tiếp tam giác OAB Bài 110 Viết phương trình cạnh hình vng ABCD biết AB,CD,lần lượt qua điểm P(2;1) Q(3;5), BC AD qua điểm R(0;1) S(-3;-1) Giải Gọi (AB) có dạng y=kx+b (AD) : y=-1/kx+b' Cho AB AD qua điểm tương ứng ta có : 2k+b=1 (1) Ta có : h ( Q, AB ) = 3k − + b ; h ( R, AD ) = + k − kb ' + b ' = −1 k ( 2) Theo tính chất hình vng : k +1 k +1 3k − + b + k − kb ' h ( Q, AB ) = h ( R, AD ) ⇔ = ⇔ 3k − + b = k − kb ' k +1 k +1 2k + b = 1 4 ⇒ k = , b = , b ' = −10 ÷, k = −7, b = 15, b ' = − ÷ Từ ta có hệ : k + kb ' = −3 3 7 3k − + b = k − kb ' AB : x − y + = 0, AD : x + y + 10 = 0, CD : x − y + 12 = 0, BC : x + y − = Do : Hoặc : AB : x + y − 15 = 0, AD : x − y − = 0, CD : x + y − 26 = 0, BC : x − y + = Trang 48 Biên soạn t-6-2012( Tài liệu nội bộ-lưu ) ... 2 t = t = → C ( 1;0 ) 15 Bài 47 Trong mặt phẳng Oxy , cho hình vng có đỉnh (-4;5) đường chéo có phương trình : 7x-y+8=0 Viết phương trình tắc cạnh hình vng Giải - Gọi A(-4;8) đường... 17 m + 55 Giải hệ ta tìm m t , thay vào tọa độ C D t = Bài 54 Trong mặt phẳng tọa độ độ Oxy, cho tam giác ABC có C(1;2), hai đường cao xuất phát từ A B có phương trình x + y = 2x – y + =... Thay vào phương trình đầu hệ : y − y + = ⇔ ( y − 3) = → y = ⇔ M ( 1;3) - Tiếp tuyến chung qua M vng góc với IJ suy d'': 1(x-1)=0 hay : x-1=0 x y2 + =1 Bài 68 Trong maët phẳng Oxy cho (E) có