TRNG I HC VINH TRNG THPT CHUYÊN  KHO SÁT CHT LNG LP 12, NM 2011 MÔN: TOÁN; Thi gian làm bài: 180 phút I. PHN CHUNG CHO TT C THÍ SINH (7,0 đim) Câu I. (2,0 đim) 1. Kho sát s bin thiên và v đ th hàm s .43 23  xxy 2. Bin lun theo tham s m s nghim ca phng trình 1 )2( 2   x m x . Câu II. (2,0 đim) 1. Gii phng trình .3.433 121124   xxxx 2. Tính các góc ca tam giác ABC bit      .cos)cos(2sin2sin )cos1(sinsin 222 CBACB ACB Câu III. (1,0 đim) Tính tích phân    4 0 2 .d cossin5cos2 sin  x xxx x I Câu IV. (1,0 đim) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang cân (AB // CD), AB = 2CD = 4a, .10aBC  Gi O là giao đim ca AC và BD. Bit SO vuông góc vi mt phng (ABCD) và mt bên SAB là tam giác đu. Tính th tích khi chóp S.ABCD và tính cosin góc gia hai đng thng SD và BC. Câu V. (1,0 đim) Cho các s thc dng a, b, c. Tìm giá tr nh nht ca biu thc . 164 bac ac acb cb cba ba P          II. PHN RIÊNG (3,0 đim) Thí sinh ch đc làm mt trong hai phn (phn a, hoc b) a. Theo chng trình Chun Câu VIa. (2,0 đim) 1. Trong mt phng ta đ ,Oxy cho đng tròn 02042:)( 22  yxyxC và đim ).6;5(  A T A v các tip tuyn AB, AC vi đng tròn (C) vi B, C là các tip đim. Vit phng trình đng tròn ni tip tam giác ABC. 2. Trong không gian ta đ ,Oxyz cho đng thng 2 1 1 2 2 3 :       zyx d và mt cu .019422:)( 222  zyxzyxS Tìm ta đ đim M thuc đng thng d sao cho mt phng qua M và vuông góc vi d ct mt cu (S) theo mt đng tròn có chu vi .8  Câu VIIa. (1,0 đim) Tìm s phc z tha mãn izz 22  và 2 2   z iz là s o. b. Theo chng trình Nâng cao Câu VIb. (2,0 đim) 1. Trong mt phng ta đ ,Oxy cho tam giác ABC có trng tâm );1;1(G đng cao t đnh A có phng trình 012  yx và các đnh B, C thuc đng thng .012:   yx Tìm ta đ các đnh A, B, C bit din tích tam giác ABC bng 6. 2. Trong không gian ta đ ,Oxyz cho hai đng thng 1 2 1 1 1 1 :, 1 1 1 1 2 : 21            zyxzyx và đim ).2;1;1( A Tìm ta đ đim B, C ln lt thuc 21 ,   sao cho đng thng BC thuc mt phng đi qua đim A và đng thng 1  đng thi đng thng BC vuông góc vi . 2  Câu VIIb. (1,0 đim) Cho s phc z tha mãn iz 2 có mt acgumen bng mt acgumen ca 2z cng vi 4  . Tìm giá tr ln nht ca biu thc |||1| izzT     . Ht Ghi chú: BTC s tr bài vào các ngày 20, 21/06/2011 ti Vn phòng Trng THPT Chuyên – i hc Vinh.  nhn đc bài thi, thí sinh phi np li Phiu d thi cho BTC. www.VNMATH.com TRNG I HC VINH TRNG THPT CHUYÊN ÁP ÁN  KHO SÁT CHT LNG LP 12, NM 2011 MÔN: TOÁN; Thi gian làm bài: 180 phút Câu áp án im 1. (1,0 đim) a. Tp xác đnh:  D . b. S bin thiên: * Chiu bin thiên: Ta có xxy 63' 2  .       2 0 0' x x y ; 020'      xy và       0 2 0' x x y Suy ra hàm s đng bin trên mi khong )2;(    và );0(   , hàm nghch bin trên )0;2( . * Cc tr: Hàm s đt cc đi ti 2   x , 0 C y và đt cc tiu ti 0  x , 4 CT y . * Gii hn:   y x lim ;   y x lim . 0,5 * BBT c.  th:  th (C) ca hàm s ct trc hoành ti ).0;1(A 0,5 2. (1,0 đim) Ta có .1,)44(1 1 )2( 22    xmxxx x m x Xét hàm s         .1)43( 143 )44(1)( 23 23 2 xkhixx xkhixx xxxxf Suy ra đ th hàm s )(xfy  gm phn đ th (C) vi 1x và đi xng phn đ th (C) vi 1x qua Ox. 0,5 I. (2,0 đim) Da vào đ th ta suy ra * ,0m phng trình vô nghim. * ,0m phng trình có 1 nghim. * ,40  m phng trình có 4 nghim. * ,4m phng trình có 3 nghim. * ,4m phng trình có 2 nghim. 0,5 1. (1,0 đim) iu kin: .1x Pt đã cho xxxx 21412 3.43.31   013.43.3 21)21(2   xxxx . t .0,3 21   tt xx Khi đó pt tr thành         3 1 1 0143 2 t t tt 0,5 II. (2,0 đim) * Vi ,1t ta có        2 21 41 0 2102113 xx x xxxx xx 8 171  x . * Vi 3 1 t , ta có 121121 3 1 3 21   xxxx xx x    2 0 'y 0 0    y    4 0 y x O 1 2  4 y x O 1 2  4 www.VNMATH.com . 4 5 054 2 1 )12(1 012 2 2                x xx x xx x Vy nghim ca pt là 8 171 x và . 4 5 x 0,5 2. (1,0 đim) * Ta có 222 )cos1(sinsin ACB               2cos)cos( 0cos coscos2)cos()cos( coscos2)2cos2(cos 2 1 coscos21 2 2cos1 2 2cos1 2 2 2 ACB A AACBCB AACB AA CB 0cos  A (do )2cos1)cos(      ACB .90 0  A 0,5 * Ta có CBACB cos)cos(2sin2sin    BCB BACBA BABACBCB sin)cos( )sin(sin2)cos(sin2 )cos()cos()cos()sin(2        .601cos2 )90(sincossinsincos sinsinsincoscos 0 0     BB CBdoBBBBB BCBCB Suy ra .30,60,90 000  CBA 0,5 Ta có . cos d . tan5)tan1(2 tan d cossin5cos2 sin 4 0 22 4 0 2       x x xx x x xxx x I t x t tan . Khi đó . cos d d 2 x x t  Khi 0  x thì ,0  t khi 4  x thì .1  t Suy ra t tt t t tt t I d )2)(12( d 252 1 0 1 0 2      0,5 III. (1,0 đim) .2ln 3 2 3ln 2 1 3ln 6 1 )2ln3(ln 3 2 12ln 6 1 2ln 3 2 d 12 1 2 2 3 1 0 1 0 1 1 0             ttt tt 0,5 +) Gi H là hình chiu ca C trên AB; M, N là trung đim ca AB, CD. Ta có a CDAB HB    2 aONaOMaCH   ,23 nên OAB  vuông cân. Suy ra 22aOBOA  . Do đó .22aOBSO  Suy ra .26. 3 1 3 . aSSOV ABCDABCDS  0,5 IV. (1,0 đim +) BC // DM nên ]. 2 ,0[),(),(    DMSDBCSD Ta có 22 ,10 ODSOSDaBCDM  32,10 aSMa  . Suy ra . 5 2 cos SDM Vy . 5 2 cos   0,5 V. (1,0 đim t .16,4, baczacbycbax     Khi đó 0,, zyx và . 15 521 , 15 , 3 zyx c xz b xy a       0,5 S A D C B M H O N www.VNMATH.com Suy ra z xyzyx y zyxxz x xzxy P 315 521 15 521 15153               z x y x x z x y z zx y yx x zyx . 15 16 . 3 4 . 15 1 . 3 1 5 4 15 16 15 520 15 56        5 4 16 15 1 4 3 1                  z x x z y x x y . 15 16 5 4 15 8 3 4  Du đng thc xy ra khi và ch khi              xz xy xz xy 4 2 16 4 22 22       )(416 )(24 cbabac cbaacb . 7 3 , 7 5 cbca  Vy giá tr nh nht ca P là , 15 16 đt đc khi . 7 3 , 7 5 cbca  0,5 1. (1,0 đim) (C) có tâm ),2;1(I bán kính R = 5, BC ct IA ti H. Ta có AI = 10 . 2 5 2  IA IB IH Do đó 2 1 cos);0; 2 1 ( 4 1  AIBHIAIH 00 6060  ABCAIB nên ABC là tam giác đu. 0,5 Suy ra tâm đng tròn ni tip ca ABC  trùng vi trng tâm. Gi G là trng tâm tam giác ABC. Ta có ).2;2( 3 2  GAHAG Bán kính đng tròn ni tip là . 2 5  GHr Suy ra phng trình đng tròn ni tip ABC  là . 4 25 )2()2( 22  yx 0,5 2. (1,0 đim) Mt cu (S) có tâm ),2;1;1( I bán kính .5  R T gi thit suy ra mt phng qua M vuông góc vi d ct (S) theo mt đng tròn có bán kính .4  r ng thng d có vect ch phng ).21;2;23();2;1;2( tttMdMu  Phng trình 0)21(2)2()23(2:)(         tztytxP .06922     tzyx 0,5 VIa. (2,0 đim) Ta có         2 0 3 3 99 3))(,( 22 t t t rRPId . Suy ra ).5;0;1(),1;2;3( MM 0,5 t yi x z  . Khi đó iyxyixizz )2(222  2222 )2()2(  yxyx .22 xyyx  (1) 0,5 VIIa. (1,0 đim) Ta có 22 )2( ])2].[()2([ )2( )2( 2 2 yx yixiyx yix iyx z iz         i yx xyyx yx yyxx 2222 )2( )2)(2( )2( )2()2(       là s o khi và ch khi 0 )2( )2()2( 22    yx yyxx         0)2( )(2 22 22 yx yxyx (2) Thay (1) vào (2) ta đc 0 2 1)1( 2       x x x . Suy ra 2  y . Vy .2iz  0,5 1. (1,0 đim) VIb. (2,0 đim) Ta đ chân đng cao ). 5 3 ; 5 1 (H ng thng d đi qua G và song song BC có pt .032:  yxd ). 5 7 ; 5 1 (IIAHd  Ta có ).3;1(3 AHIHA  0,5 A I H B C G www.VNMATH.com . 5 6 ),( BCAd Suy ra .52 ),( 2  BCAd S BC ABC Gi M là trung đim BC. Khi đó ).0;1(3 MMGMA  Gi ). 2 1 ;( 1 1  x xB Khi đó       .1 3 4)1(5 1 1 2 1 x x xMB +) Vi ).1;1()1;3(3 1  CBx +) Vi ).1;3()1;1(1 1  CBx Suy ra )1;1(),1;3(),3;1(  CBA hoc ).1;3(),1;1(),3;1(   CBA 0,5 2. (1,0 đim) Ta có 1  đi qua ),1;1;0(D có vect ch phng )1;1;2( 1 u . ).5;1;3(],[)1;2;1( 1  ADuAD Gi (P) là mt phng đi qua A và đng thng 1  . Suy ra phng trình .0653:)(    zyxP 2  ct (P) ti C ).0;3;1( C 0,5 21 ),1;1;2(  tttBB có vect ch phng )1;2;21(),1;1;1( 2 tttBCu  . .20. 22  tuBCBC Suy ra ).1;1;4(    B 0,5 t yi x z  . Khi đó do iz 2 có mt acgumen bng mt acgumen ca 2z cng vi 4  nên ) 4 sin 4 (cos 2 2  ir z iz    , vi 0r . Ta có 22 )2( ])2].[()2([ )2( )2( 2 2 yx yixiyx yix iyx z iz         i yx xyyx yx yyxx 2222 )2( )2)(2( )2( )2()2(       Suy ra                 02 0)2( 2 0 )2( )2)(2( )2( )2()2( 22 22 2222 yx yx yx yx xyyx yx yyxx . 0,5 VIIb. (1,0 đim) Ta có 2222 )1()1(|)1(||)1(||||1|  yxyxiyxyixizzT yx 2323  . Áp dng BT Côsi ta có 20))(226(2)226(2 222  yxyxT . Suy ra 52T , du đng thc xy ra khi và ch khi 1   yx . Vy giá tr ln nht ca T là 52, đt khi iz   1 . 0,5  www.VNMATH.com . Vn phòng Trng THPT Chuyên – i hc Vinh.  nhn đc bài thi, thí sinh phi np li Phiu d thi cho BTC. www.VNMATH.com TRNG I HC VINH TRNG THPT CHUYÊN ÁP ÁN  KHO SÁT. LNG LP 12, NM 2011 MÔN: TOÁN; Thi gian làm bài: 180 phút Câu áp án im 1. (1,0 đim) a. Tp xác đnh:  D . b. S bin thi n: * Chiu bin thi n: Ta có xxy 63' 2  TRNG I HC VINH TRNG THPT CHUYÊN  KHO SÁT CHT LNG LP 12, NM 2011 MÔN: TOÁN; Thi gian làm bài: 180 phút I. PHN CHUNG CHO TT