1 CHƯƠNG 1 Phương trình vi phân cấp 1 Số tiết: 12 (lý thuyết: 09 tiết; bài tập: 03 tiết) A. MỤC TIÊU - Sinh viên hiểu ñược các khái niệm cơ bản, ñịnh nghĩa về phương trình vi phân, cách giải một số dạng phương trình vi phân thường cấp 1. - Sinh viên vận dụng thành thạo lý thuyết vào giải các bài tập tìm nghiệm, tìm nghiệm riêng, nghiệm kì dị của phương trình vi phân, tìm quỹ ñạo trực giao của họ ñường cong. - Sinh viên hiểu rõ vai trò của môn phương trình vi phân ñối với các môn học khác, tích cực, chủ ñộng tham gia các hoạt ñộng của môn học, có phương pháp học tập tích cực sáng tạo. B. NỘI DUNG 1.1. Mở ñầu Trong rất nhiều lĩnh vực ứng dụng, chuyển ñộng của một hệ ñược mô hình hoá bởi các phương trình vi phân, tức là phương trình có chứa các ñạo hàm của ẩn hàm cần tìm. Chẳng hạn, trong cơ học cổ ñiển (ñịnh luật Newton), trong thiên văn học (sự chuyển ñộng của các hành tinh), trong hoá học (các phản ứng hoá học), trong sinh học (sự phát triển của dân số), trong ñiện tử Trong hầu hết các lĩnh vực như thế, bài toán chung nhất là mô tả nghiệm của các phương trình này (cả về ñịnh tính lẫn ñịnh lượng). 1.1.1. Vài mô hình ñơn giản Sự rơi tự do: Xét một vật có khối lượng m ñược thả rơi tự do trong khí quyển gần mặt ñất. Theo ñịnh luật II Newton, chuyển ñộng của vật ñó có thể mô tả bởi phương trình F = ma (1.1) trong ñó F là hợp lực tác ñộng lên vật và a là gia tốc chuyển ñộng. Hợp lực F có thể giả thiết chỉ bao gồm lực hấp dẫn (tỷ lệ với khối lượng của vật và hướng xuống) và lực cản (tỷ lệ với vận tốc chuyển ñộng và hướng lên trên). Ngoài ra, do gia tốc chuyển ñộng dv a dt = nên (1.1) có thể viết dưới dạng dv m mg v dt γ = − (1.2) trong ñó 2 9,8 / g m s ≈ là gia tốc trọng trường, còn γ là hệ số cản. Vậy vận tốc v của vật rơi tự do thỏa mãn phương trình (1.2) với sự xuất hiện của ñạo hàm của v . Những phương trình như vậy ta sẽ gọi là phương trình vi phân. Dung dịch hóa học: Giả sử tại thời ñiểm ban ñầu t = t 0 một thùng chứa x 0 kg muối hòa tan trong 1000 lít nước. Ta cho chảy vào thùng một loại nước muối nồng ñộ a (kg/lít) với lưu lượng r (lít/phút) và khuấy ñều. ðồng thời, cho hỗn hợp ñó chảy ra khỏi thùng cũng với tốc ñộ như trên. Gọi x = x(t) là lượng muối trong thùng tại thời ñiểm bất kỳ. Rõ ràng tỉ lệ thay ñổi lượng muối trong thùng dx dt bằng hiệu của tỉ lệ muối chảy vào ar (kg/phút) trừ ñi tỉ lệ muối chảy ra tại thời ñiểm ñang xét 1000 rx (kg/phút). Vậy ta có phương trình vi phân ar 1000 dx rx dt = − (1.3) 2 với dữ kiện ban ñầu 0 0 ( ) x t x = . 1.1.2. Các khái niệm Phương trình vi phân là phương trình có dạng ( ) ( , , ', '', , ) 0 n F x y y y y = hay ( ) ( 1) ( , , ', , ) n n y f x y y y − = (1.4) trong ñó y = y(x) là ẩn hàm cần tìm và nhất thiết phải có sự tham gia của ñạo hàm (ñến cấp nào ñó) của ẩn. Trong trường hợp ẩn hàm cần tìm là hàm nhiều biến (xuất hiện các ñạo hàm riêng) thì phương trình vi phân còn gọi là phương trình ñạo hàm riêng. ðể phân biệt, người ta thường gọi phương trình với ẩn hàm là hàm một biến là phương trình vi phân thường và là ñối tượng chính của bài giảng này. Thông thường ta xét các phương trình với ẩn hàm là hàm số một biến thực y = y(x) xác ñịnh trên khoảng mở I ⊂ ℝ , khi ñó hàm F trong ñẳng thức trên xác ñịnh trong một tập mở G của 1 x n + ℝ ℝ . Trong trường hợp ẩn hàm cần tìm là vec tơ hàm (hàm giá trị vec tơ) ( ) 1 ( ) ( ), , ( ) , F T m m y x y x y x= ∈ ℝ là một ánh xạ nhận giá trị trong m ℝ và (1.4) ñược hiểu là hệ phương trình vi phân. Ta nói một phương trình vi phân có cấp n nếu n là cấp lớn nhất của ñạo hàm của ẩn xuất hiện trong phương trình. Phương trình vi phân thường cấp 1 có dạng tổng quát ( , , ') 0 F x y y = (1.5) trong ñó F(x,y,z) ñược giả thiết liên tục cùng với các ñạo hàm riêng của nó trên miền 3 G ⊂ ℝ . Phương trình vi phân cấp 1 có thể viết dưới dạng sau (gọi là dạng giải ra ñối với ñạo hàm) ' ( , ) y f x y = với f liên tục trong một miền 2 . D ⊂ ℝ Ví dụ 1.1. Các phương trình 2 4 3 ysin 'cos 1; '' 9 0; ''' x x y x y y y y e x + = − = − = − ; 2 2 2 2 0 u u x y ∂ ∂ + = ∂ ∂ lần lượt là các phương trình vi phân thường cấp 1, 2, 3 và phương trình ñạo hàm riêng cấp 2. Xét phương trình (1.4), hàm giá trị vector : n I φ → ℝ (với I = (a,b) là khoảng nào ñó của ℝ ) là nghiệm của phương trình (1.4) nếu nó có các ñạo hàm liên tục ñến cấp n trên I và thỏa mãn ( ) ( , ( ), '( ), ''( ), , ( )) 0 n F x x x x x φ φ φ φ = với mọi x I ∈ (1.6) Trong trường hợp phương trình vi phân cấp 1, nghiệm là một hàm thực một biến ( ) y x φ = mà khi thay vào (1.5), ta ñược một ñẳng thức ñúng. Ví dụ 1.2. Dễ kiểm tra rằng họ hàm (phụ thuộc vào hai tham số tùy ý) 1 2 os sin y C c x C x = + là nghiệm của phương trình vi phân '' 0 y y + = . 1.1.3. Ý nghĩa hình học của phương trình vi phân Xét phương trình (1.5). với ( , ) f x y liên tục trên miền mở 2 ℝ . Tại mỗi ñiểm M(x,y) thuộc miền này, ta gán cho nó một hướng với hệ số góc là ( , ) dy k f x y dx = = (1.7) Khi ñó ta thu ñược một trường các hướng xác ñịnh bởi (1.7), và dĩ nhiên hướng của tiếp tuyến của ñường cong tại mỗi ñiểm trùng với hướng của trường tại ñiểm ñó. Giải phương trình vi phân dạng (1.5) về mặt hình học là tìm tất cả các ñường cong sao cho tại mỗi ñiểm của nó hướng của tiếp tuyến trùng với hướng của trường. Hình 1.1 cho ta trường hướng của phương trình ' y y x = − 3 Ngược lại cho trước họ ñường cong ( , , ) 0 x y C ϕ = (1.8) phụ thuộc vào tham số C sao cho qua mỗi ñiểm chỉ có duy nhất một ñường cong của họ ñi qua. Ta sẽ lập phương trình vi phân nhận họ ñường cong này làm nghiệm tổng quát như sau. ðạo hàm hai vế của phương trình trên theo x, ta ñược ( , , ) ' ( , , ) 0 x y C y x y C x y ϕ ϕ ∂ ∂ + = ∂ ∂ Từ phương trình (1.8), với mỗi (x, y) ta luôn tìm ñược duy nhất giá trị ( , ) C C x y = . Thay C vào ñẳng thức trên ta nhận ñược ( , , ( , )) ' ( , , ( , )) 0 x y C x y y x y C x y x y ϕ ϕ ∂ ∂ + = ∂ ∂ và ñây là phương trình vi phân cần tìm. Ví dụ 1.3. Tìm phương trình vi phân của họ ñường cong sau: 2 y Cx = ðạo hàm 2 vế theo x ta ñược ' 2 y Cx = . Khử C ta thu ñược phương trình vi phân ' 2 y y x = . 1.2. ðịnh lý tồn tại và duy nhất nghiệm 1.2.1. Bài toán Cauchy Ta nhận xét rằng nghiệm của một phương trình vi phân nói chung phụ thuộc vào một hay nhiều hằng số tuỳ ý nào ñó. ðể xác ñịnh một nghiệm cụ thể, ta cần thêm một hay vài dữ kiện nào ñó về nghiệm (tuỳ theo cấp của phương trình vi phân). Chẳng hạn, 3 3 x y C = + là nghiệm tổng quát của phương trình 2 ' y x = . Dễ thấy 3 1 3 x y = + là nghiệm duy nhất thỏa mãn y(0)=1. Ta xét bài toán sau ñặt ra ñối với phương trình (1.5), gọi là bài toán Cauchy (hay bài toán giá trị ban ñầu): Bài toán: Tìm nghiệm y(x) thỏa mãn: 0 0 ' ( , ) ( ) y f x y y x y =   =  (1.9) trong ñó 0 0 ( , ) x y D ∈ ñược gọi là ñiều kiện ban ñầu. Câu hỏi tự nhiên ñặt ra là bài toán (1.9) có hay không và có bao nhiêu lời giải. Ta lưu ý rằng không phải lúc nào bài toán Cauchy cũng có nghiệm, và khi có nghiệm cũng không nhất thiết có duy nhất nghiệm. Trong mục sau ta sẽ phát biểu và chứng minh một ñịnh lý giải quyết trọn vẹn bài toán Cauchy cho phương trình vi phân cấp 1. Hình 1.1. Trường hướng của phương trình ' y y x = − 4 1.2.2. Phương pháp xấp xỉ Picard Ta xét bài toán Cauchy ñối với phương trình vi phân cấp 1 dạng giải ra ñược ñối với ñạo hàm (1.9), trong ñó f xác ñịnh và liên tục trên miền mở 2 D ⊂ ℝ . Giả sử ( ) y x la nghiệm của bài toán (1.9) tích phân hai vế của phương trình trong (1.9) ta ñược phương trình 0 0 ( ) ( , ( )) x x y x y f t y t dt = + ∫ . Mỗi nghiệm của phương trình (1.9) cũng là nghiệm của phương trình trên và ngược lại. Phép lặp Picard - Linñơliop Về mặt toán tử nghiệm của phương trình 0 0 ( ) ( , ( )) x x y x y f t y t dt = + ∫ chính là lời giải bài toán ñiểm bất ñộng của các ánh xạ co trong không gian metric ñầy ñủ mà lời giải có thể cho bởi phương pháp xấp xỉ liên tiếp Picard - Linñơliop sau: Xét dãy các hàm xác ñịnh một cách ñệ quy bởi 0 0 ( ) y x y = , 0 1 0 ( ) ( , ( )) x k k x y x y f t y t dt + = + ∫ , với k ∈ ℕ . Bổ ñề. Giả sử f liên tục trên hình chữ nhật { } 2 0 0 ( , ) / , D x y x x a y y b = ∈ − ≤ − ≤ ℝ ðặt ( , ) ax ( , ) x y D M m f x y ∈ = và min( , ) b h a M = . Khi ñó với mọi 0 0 [x -h,x +h] x I ∈ = ta có 0 ( ) k y x y b − ≤ với mọi k (nói cách khác, trong phép lặp Picard - Linñơliop các hàm k y không ñi ra khỏi phần hình chữ nhật D ứng với x I ∈ ). (xem [1], [6]). 1.2.3. Sự tồn tại và duy nhất nghiệm ðịnh nghĩa 1.2. Cho hàm ( , ) f x y xác ñịnh trên miền 2 D ⊂ ℝ . Ta nói f thỏa mãn ñiều kiện Lipschitz theo biến y trên D nếu tồn tại hằng số dương L ( gọi là hằng số Lipschitz) sao cho: 1 2 1 2 ( , ) ( , ) f x y f x y L y y − ≤ − với mọi 1 2 ( , ),( , ) x y x y D ∈ Nhận xét + Nếu hàm ( , ) f x y xác ñịnh trên miền 2 D ⊂ ℝ có ñạo hàm riêng f y ∂ ∂ liên tục ñối với y thì nó là hàm Lipschitz ñịa phương ñối với y. + ðiều kiện Lipschitz là yếu hơn so với ñiều kiện giới nội của ñạo hàm riêng f y ∂ ∂ trên D. ðịnh lý 1.3. (ðịnh lý tồn tại và duy nhất nghiệm). Giả sử hàm số ( , ) f x y trong (1.9) liên tục và thỏa mãn ñiều kiện Lipschitz theo biến y trên hình chữ nhật { } 2 0 0 ( , ) / , D x y x x a y y b = ∈ − ≤ − ≤ ℝ . Khi ñó nghiệm của bài toán Cauchy (1.9) là tồn tại và duy nhất trong ñoạn 0 0 [x -h,x +h] I = , với min( , ) b h a M = và ( , ) ax ( , ) x y D M m f x y ∈ = . Chứng minh. Xem [1], [4] hoặc [6]. 1.2.4. Phân loại nghiệm của phương trình vi phân Về mặt hình học, bài toán Cauchy cho phương trình vi phân cấp 1 có thể hiểu là tìm nghiệm y(x) của (1.5) mà ñồ thị của hàm số y = y(x) (còn gọi là ñường cong tích phân của phương trình vi phân) ñi qua ñiểm (x 0 , y 0 ). Nói cách khác, bài toán Cauchy là tìm 5 ñường cong tích phân của phương trình (1.5) ñi qua ñiểm (x 0 , y 0 ) D cho trước. ðịnh nghĩa 1.4. Giả sử 2 D ⊂ ℝ sao cho vế phải của phương trình (1.5) xác ñịnh và liên tục trên D. Hàm số ( , ) y y x C = phụ thuộc liên tục vào hằng số C ñược gọi là nghiệm tổng quát của (1.5) nếu: i) Với mỗi ñiều kiện ban ñầu (x 0 , y 0 ) D ta luôn giải ñược C dưới dạng 0 0 ( , ) C x y ϕ = (*) trong ñó ϕ là hàm liên tục. ii) Hàm ( , ) y y x C = thỏa mãn phương trình (1.5) với mỗi giá trị C cho bởi (*) khi (x 0 , y 0 ) chạy khắp trên D. Khi ñó hệ thức ( , ) C x y ϕ = ñược gọi là tích phân tổng quát của phương trình (1.5). ðịnh nghĩa 1.5. Nghiệm của phương trình (1.5) mà tại mỗi ñiểm (x 0 , y 0 ) của nó tính chất duy nhất nghiệm của bài toán Cauchy (1.9) ñược thoả mãn ñược gọi là nghiệm riêng. Ngược lại, nghiệm của phương trình (1.5) mà tại mỗi ñiểm của nó tính chất duy nhất nghiệm của bài toán Cauchy bị vi phạm ñược gọi là nghiệm kỳ dị. Nhận xét: Từ ñịnh nghĩa nghiệm tổng quát, ta suy ra rằng với mỗi ñiều kiện ban ñầu ( ) 0 0 x , y D ∈ , ta luôn tìm ñược ( ) 0 0 0 C x , y ϕ = sao cho ( ) 0 y y x, C = là nghiệm của bài toán Cauchy tương ứng. Nói cách khác, bằng cách chọn các giá trị thích hợp cho hằng số, ta có thể thu ñược các nghiệm riêng tuỳ ý của phương trình, không kể các nghiệm kỳ dị. Giải (hay còn gọi là tích phân) một phương trình vi phân là tìm tất cả các nghiệm (biểu thức nghiệm tổng quát) của phương trình ñó hoặc nghiệm của bài toán Cauchy với ñiều kiện ban ñầu cho trước. 1.3. Phương pháp giải một số phương trình vi phân cấp 1 1.3.1. Phương trình với biến số phân ly Phương trình vi phân cấp 1 dạng: ( ) ( ) 0 M x dx N y dy + = (1.10) ñược gọi là phương trình vi phân với biến số phân ly (hay phương trình tách biến). Cách giải: Các hàm M(x), N(y) ñược giả thiết liên tục trên các khoảng nào ñó. Khi ñó chỉ cần tích phân hai vế của (1.10) ta thu ñược tích phân tổng quát của nó là: ( ) ( ) M x dx N y dy C + = ∫ ∫ Ví dụ 1.4. Giải phương trình 2 2 ' (1 ) y y x x = + Phương trình này có dạng tách biến 2 2 (1 ) 0 y dy x x dx − + = . Tích phân tổng quát của phương trình này là: 3 2 4 3 2 4 y x x C − − = Nhận xét: Phương trình dạng 1 1 2 2 ( ). ( ) ( ). ( ) 0M x N y dx M x N y dy + = (1.11) cũng ñưa ñược về dạng (1.10) với biến số phân ly, bằng cách chia hai vế cho 1 2 ( ) ( ) N y M x (với giả thiết biểu thức này khác 0): 1 2 2 1 ( ) ( ) 0 ( ) ( ) M x N y dx dy M x N y + = . Dó ñ ó tích phân t ổ ng quát là: 1 2 2 1 ( ) ( ) ( ) ( ) M x N y dx dy C M x N y + = ∫ ∫ 6 Ví dụ 1.5. Giải phương trình: 2 3 ( 1) ( 1)( 1) 0 x y dx x y dy + + − − = Với 3 1 0 à 1 0 y v x + ≠ − ≠ , phương trình ñã cho có thể viết: 2 2 3 3 1 1 0 1 1 1 1 x y x y dx dy dx dy C x y x y − − + = ⇒ + = − + − + ∫ ∫ Hay 3 1 ln 1 2ln 1 3 x y y C − + − + = Ngoài ra ta có: 3 1 0 1 à 1 0 1 x x v y y − = ⇔ = + = ⇔ = − Thử trực tiếp vào phương trình thì 1 à 1 x v y = = − cũng là nghiệm của phương trình. 1.3.2. Phương trình vi phân ñẳng cấp, cấp một (phương trình thuần nhất). 1.3.2.1. ðịnh nghĩa: Phương trình vi phân ñẳng cấp, cấp một là phương trình có dạng: ( ) , dy f x y dx = (1.12) Trong ñó ( ) , f x y có thể biểu diễn ñược thành hàm của tỷ số hai ñối số: ( ) , y f x y x ϕ   =     Ví dụ 1.6: ( ) ( ) 2 2 2 0 xy y dx x xy dy − − − = là phương trình vi phân ñẳng cấp, cấp một vì: 2 2 2 2 1 2 y y dy xy y x x y dx x xy x   −   −   = = − − 1.3.2.2. Cách giải: Phương trình (1.12) có thể viết dưới dạng: dy y dx x ϕ   =     (1.13) ðặt ( ) ux y dy du u y u x u x dx dx ϕ = ⇒ = ⇒ = + = ( ) du x u u dx ϕ ⇒ = − * Nếu ( ) 0 u u ϕ − ≠ ( ) dx du x u u ϕ ⇒ = − (phương trình biến phân ly) ( ) ln ln . du x C u u ϕ ⇒ = + − ∫ ðặ t ( ) ( ) du u u u φ ϕ = − ∫ ta có: ( ) ( ) ln ln u x u C x Ce φ φ = + ⇒ = Tích phân t ổ ng quát c ủ a ph ươ ng trình (1.13) là: y x x Ce φ       = (v ớ i 0 C ≠ ). * N ế u ( ) 0 y y u u x x ϕ φ   − = ⇒ = ⇒     ph ươ ng trình (1.13) có d ạ ng: dy y dx x = (ph ươ ng trình tách bi ế n) ⇒ . y Cx = * N ế u ( ) 0 u u ϕ − = t ạ i 0 0 u u y u x = ⇒ = c ũ ng là nghi ệ m c ủ a ph ươ ng trình (1.13) (b ằ ng cách th ử tr ự c ti ế p). Ví dụ 1.7: Giải phương trình: 2 2 2 2 2 1 y dy xy x dx x y y x = = −   −     7 ðặt ( ) ux y dy du u y u x u x dx dx ϕ = ⇒ = ⇒ = + = ( ) 3 2 2 2 2 2 1 1 1 1 u du du u u dx u u x x du u dx dx u x u u + − ⇒ = + ⇒ = ⇒ = − − + Hay 2 2 1 dx du u du x u u = − + (phương trình tách biến) Lấy tích phân 2 vế ta ñược 2 ln ln ln 1 ln x u u C = − + + 2 1 Cu x u ⇔ = + thay y u x = vào ta có nghiệm 2 2 x y Cy + = (tích phân tổng quát của phương trình) *Ngoài ra ta thấy rằng tại 0 0 0 u y = ⇔ = cũng là nghiệm của phương trình (thử trực tiếp). 1.3.2.3. Phương trình ñưa về phương trình ñẳng cấp cấp một Xét phương trình 1 1 1 ax a x dy by c f dx b y c   + + =   + +   (1.14) * Nếu 1 0 c c = = thì (1.14) trở thành phương trình thuần nhất. * Nếu ít nhất một trong hai số c hoặc 1 c khác không thì ta giải hệ phương trình sau: 1 1 1 ax 0 a x 0 by c b y c + + =   + + =  ắt phải xảy ra một trong hai trường hợp sau: - Nếu hệ vô nghiệm tức là 1 1 a b k a b = = thì ( ) 1 1 1 1 1 ax a x a x dy by c f F b y dx b y c   + + = = +   + +   (phương trình tách biến). - Nếu hệ có nghiệm ( ) 1 1 , x y ta thực hiện phép biến ñổi sau: ðặt 1 1 1 1 1 1 aX X x x x X x dy bY f Y y y y Y y d a X bY = − = +     + ⇔ ⇒ =     = − = + +     (phương trình thuần nhất). Ví dụ 1.8: Giải phương trình: 1 3 dy x y dx x y − + = + + Giải hệ: 1 0 2 3 0 1 x y x x y y − + = = −   ⇒   + + = = −   ðặt 2 2 1 1 X x x X Y y y Y = + = −   ⇔   = + = −   . Ta có ( ) ( ) ( ) ( ) 1 2 1 1 2 1 3 1 Y X Y dY X Y X Y dX X Y X Y X − − − − + − = = = − + − + + + (phương trình dạng (1.13)). 1.3.3. Phương trình vi phân tuyến tính cấp 1 Phương trình dạng ( ) ( ) dy P x y Q x dx + = (1.15) Trong ñó ( ) ( ) ; P x Q x là các hàm số liên tục ñối với biến x trong khoảng (a, b) nào ñó, ñược gọi là phương trình vi phân tuyến tính cấp một. 8 Nói cách khác: Phương trình (1.15) là phương trình bậc nhất ñối với hàm phải tìm và ñạo hàm của nó. * Nếu ( ) 0 Q x ≡ thì (1.15) gọi là phương trình tuyến tính thuần nhất. * Nếu ( ) 0 Q x ≠ thì (1.15) gọi là phương trình tuyến tính không thuần nhất. Cách giải: (Phương pháp biến thiên Lagrange) Trước tiên giải phương trình thuần nhất tương ứng: * Giải phương trình ( ) ' 0 y p x y + = . - Với 0 y ≠ ta có ( ) ( ) ln ln ( 0) dy p x dx y p x dx c C y = − ⇔ = − + ≠ ∫ Hay ( ) p x dx y Ce − ∫ = (1.16) (nghiệm tổng quát của phương trình thuần nhất). - Ta thấy với 0 0 C y = ⇒ = (thử trực tiếp vào phương trình thuần nhất thì 0 y = cũng là nghiệm của phương trình). * Coi C không phải hằng số mà là hàm của x. Lấy ñạo hàm 2 vế của (1.16) theo x ta ñược: ( ) ( ) ( ) p x dx p x dx dy dC e p x e C dx dx − − ∫ ∫ = − (thế vào (1.15) và kết hợp với (1.16) ta ñược: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) p x dx p x dx p x dx dC e p x e C p x e C Q x dx − − − ∫ ∫ ∫ − + = Hay ( ) ( ) ( ) ( ) p x dx p x dx dC e Q x C Q x e dx dx − ∫ ∫ = ⇒ = ∫ +C CC C (1.17) Thế (1.17) vào (1.16) ta ñược nghiệm tổng quát của (1.15) là: y = C C C C ( ) p x dx e − ∫ + ( ) ( ) ( ) p x dx p x dx e Q x e dx − ∫ ∫ ∫ Nhận xét: Nghiệm tổng quát của phương trình tuyến tính không thuần nhất bằng nghiệm tổng quát của phương trình tuyến tính thuần nhất tương ứng cộng với một nghiệm riêng nào ñó của chính nó. Ví dụ 1.9: Giải phương trình: 1 ' 3 y y x x + = . Tìm nghiệm riêng thỏa mãn: 1 1. x y = = * Giải phương trình thuần nhất tương ứng: 1 ' 0 ( 0) dy dx C y y y y x y x x + = ⇒ = − ≠ ⇒ = Coi ( ) C C x = lấy ñạo hàm 2 vế của ñẳng thức ta ñược: 2 2 1 1 1 3 dy dC C dC C C x dx x dx x x dx x x x = − ⇒ + − = 2 3 3dC x dx C x ε ⇒ = ⇒ = + Nghiệm tổng quát của phương trình là: ( ) 3 2 1 y x x x x ε ε = + = + Với ñiều kiện ban ñầu ta có: 1 1 0. ε ε = + ⇒ = Vậy nghiệm riêng của phương trình ñã cho ứng với ñiều kiện ban ñầu là 2 y x = 1.3.4. Phương trình Bernoulli 9 Phương trình dạng: ( ) ( ) n dy P x y Q x y dx + = (1.18) Trong ñó ( ) ( ) , P x Q x là các hàm số liên tục ñối với biến x trong khoảng (a; b) nào ñó và n ∈ ℝ bất kỳ, ñược gọi là phương trình Bernoulli. Cách giải: * Với n = 0 hoặc n = 1 thì (1.18) trở thành phương trình tuyến tính cấp một. * Với 0 à 1 n v n ≠ ≠ thì (1.18) có thể ñưa về phương trình tuyến tính cấp một bằng cách sau: - Với 0 y ≠ ta có: 1 ( ) ( ) n n dy y P x y Q x dx − − + = . ðặt 1 n z y − = (lấy ñạo hàm 2 vế) ta có: ' ' (1 ) ' ' (1 ) n n z z n y y y n y − − = − ⇒ = − . Thay vào (1.18): ' ( ) ( ). (1 ) n n z y p x z Q x n y − − + = − ' (1 ) ( ) (1 ) ( ) Hay z n p x z n Q x + − = − (phương trình tuyến tính cấp một). Ví dụ 1.10: Giải phương trình: 3 2 ' 2 y xy x y − = * Thử y = 0 cũng là nghiệm của phương trình. * Với 0 y ≠ ta có: 2 1 3 ' 2 . y y xy x − − − = ðặt 1 2 ' ' z y z y y − − = ⇒ = − 3 2 ' ' ' 2 z y z xz x y − ⇒ = ⇒ + = − − (phương trình tuyến tính cấp một không thuần nhất). Giải ra ta ñược nghiệm tổng quát của nó là: 2 2 1 x z Ce x − = − + Vậy nghiệm tổng quát của phương trình trên là: 2 2 1 1 x y Ce x − = − + Chú ý rằng phải xét riêng trường hợp y =0 trước khi chia 2 vế cho n y ñể tránh làm mất nghiệm này. 1.3.5. Phương trình vi phân toàn phần và thừa số tích phân 1.3.5.1. Phương trình vi phân toàn phần * Phương trình vi phân dạng: ( , ) ( , ) 0 M x y dx N x y dy + = (1.19) Trong ñó ( , ) à ( , ) M x y v N x y là những hàm liên tục, tồn tại ñạo hàm riêng theo các biến liên tục. ðược gọi là phương trình vi phân toàn phần nếu: [ ] ( , ) ( , ) ( , )M x y dx N x y dy d U x y+ = * Nếu (1.19) là phương trình vi phân toàn phần thì tích phân tổng quát của (1.19) là: ( , ) U x y C = * Tiêu chuẩn nhận biết một phương trình vi phân là một phương trình vi phân toàn phần ðiều kiện cần và ñủ ñể phương trình (1.19) là phương trình vi phân toàn phần là: M N y x ∂ ∂ = ∂ ∂ Nếu ñiều kiện M N y x ∂ ∂ = ∂ ∂ thỏa mãn thì tích phân tổng quát của phương trình (1.19) có thể viết dưới dạng 0 0 0 ( , ) ( , ) y x x y M x y dx N x y dy C + = ∫ ∫ hoặc 0 0 0 ( , ) ( , ) y x x y M x y dx N x y dy C + = ∫ ∫ trong ñó ( ) 0 0 , x y và ( ) , x y D ∈ . 1.3.5.2. Thừa số tích phân 10 Nếu (1.19) không phải phương trình vi phân toàn phần, nhưng tồn tại hàm ( , ) x y µ sao cho: ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) 0 x y M x y dx x y N x y dy µ µ + = là phương trình vi phân toàn phần, thì hàm ( , ) x y µ ñược gọi là thừa số tích phân. ðịnh lý về sự tồn tại thừa số tích phân Nếu phương trình (1.19) có tích phân tổng quát ( , ) U x y C = thì phương trình (1.19) có thừa số tích phân. * Chú ý: Phương trình (1.19) có thừa số tích phân ( , ) x y µ thì nó có vô số thừa số tích phân và mọi thừa số tích phân của nó ñều có dạng ( ) 1 ( , ) ( , ) x y u x y µ φ µ = trong ñó ( ) u φ là hàm số nào ñó liên tục và tồn tại ñạo hàm riêng liên tục với u. * Cách tìm thừa số tích phân Không có một phương pháp tổng quát nào ñể tìm thừa số tích phân. Mà chỉ có thể tìm ñược thừa số tích phân ñối với một số lớp phương trình dạng (1.19) (xem [4]). Trường hợp 1: Nếu ( , ) ( , ) ( ) ( , ) M x y N x y y x x N x y ψ ∂ ∂ − ∂ ∂ = thì thừa số tích phân ( ) ( , ) ( ) x dx x y x e ψ µ µ ∫ = = Tr ườ ng h ợ p 2: N ế u ( , ) ( , ) ( ) ( , ) M x y N x y y x y M x y ψ ∂ ∂ − ∂ ∂ = thì th ừ a s ố tích phân ( ) ( , ) ( ) y dy x y y e ψ µ µ − ∫ = = Ví dụ 1.11: Giải phương trình: ( ) ( ) 2 2 2 0 x y dx x y x dy − + + = Ta có: 2 2 1; 2 1 2(1 ) M N M N xy xy y x y x ∂ ∂ ∂ ∂ = − = + ⇒ − = − + ∂ ∂ ∂ ∂ ( ) 2 2 2 2 2 1 (ln ) 2 1 xy d dx x y x x x µ µ − + ⇒ = = − ⇒ = + Do ñó ( ) ( ) 2 2 2 2 2 1 1 0 x y dx x y x dy x x − + + = là phương trình toàn phần 3 2 2 1 0 0 3 y y y dx dx y dy dy hay dx d d x x x     ⇒ − + + = + + =         3 3 0 3 3 y y y y d x x C x x   ⇒ + + = ⇒ + + =     là nghiệm tổng quát. Ví dụ 1.12: Giải phương trình: ( ) ( ) 2 2 4 4 0 xy y dx x y x dy + + + = Tương tự ta có kết quả: 2 2 2 x y xy C + = 1.3.6. Phương trình Lagrange và phương trình Clero 1.3.6.1. Cách ñưa phương trình về dạng ñã giải ra ñối với ñạo hàm Giả sử ñã cho phương trình ( ) , , ' 0 F x y y = (1.20) Giả sử phương trình (1.20) có thể biểu diễn ñược dưới dạng tham số: ( ) ( ) ( ) , ; , ; ' , x u v y u v y u v ϕ χ ψ = = = (1.21) Khi ñó (1.20) và (1.21) tương ñương. [...]... Cách gi i h phương trình vi phân (xem [1]) 3.1.4.1 ðưa h v phương trình c p cao Vi c gi i h phương trình (3.1) có th ñưa v gi i phương trình vi phân c p cao d a trên 34 phương pháp kh : - Vi phân m t phương trình c a h ñã cho ñ l p m t phương trình vi phân c p cao ñ i v i m t hàm chưa bi t c a h phương trình ñó - Gi i phương trình vi phân c p cao có ñư c và t ñó tìm nghi m c a h phương trình  y1'... h phương trình sau = y, =x dt dt ð o hàm hai v c a phương trình ñ u r i k t h p v i phương trình sau ta ñư c phương trình d2x −x=0 dt 2 T ñó nghi m t ng quát là T phương trình th nh t ta tính ñư c x = x(t ) = C1e − t + C2et y = y (t ) = −C1e − t + C2et 3.1.3 S t n t i và duy nh t nghi m ð i v i h phương trình vi phân c p 1, bài toán Cauchy ñư c phát bi u m t cách tương t như trư ng h p m t phương trình: ... ðư ng (1977), Lý thuy t phương trình vi phân, Nhà xu t b n ð i h c và Trung h c chuyên nghi p 29 [2] Nguy n Th Hoàn, Tr n Văn Nhung (1979), Bài t p Phương trình vi phân, Nhà xu t b n ð i h c và Trung h c chuyên nghi p [3] Tr nh ð c Tài (2008), Bài gi ng phương trình vi phân, ð i h c ðà L t D CÂU H I, BÀI T P, N I DUNG ÔN T P VÀ TH O LU N 2.1 Gi i các phương trình sau (Phương trình gi m c p) a ) xy′′... ng cách ñưa nó v phương trình v i h s h ng s qua phép th bi n ñ c l p t = ψ ( x ) 1.17 Nghi m t ng quát c a phương trình vi phân tuy n tính c p 1 có d ng y = A( x)C + B( x) Hãy ch ng minh nh n xét ngư c l i: b t kì phương trình vi phân có nghi m t ng quát d ng trên ñ u là phương trình vi phân tuy n tính c p 1 17 CHƯƠNG 2 Phương trình vi phân c p cao S ti t: 09 (lý thuy t: 07 ti t; bài t p: 02 ti t)... bài t p: 02 ti t) A M C TIÊU - Sinh vi n hi u ñư c các khái ni m ñ nh nghĩa v phương trình vi phân c p hai, c p ba c p n, Ý nghĩa hình h c, cách gi i phương trình vi phân c p cao - Sinh vi n v n d ng thành th o lý thuy t vào gi i các d ng bài t p v phương trình vi phân c p cao - Sinh vi n tích c c, ch ñ ng tham gia các ho t ñ ng c a môn h c, có năng l c t h c cao, có phương pháp h c t p tích c c sáng... m riêng c a phương trình (nghi m c a bài toán Cauchy) 2.2 Các phương trình có th h c p ñư c 2.2.1 Phương trình ch ch a bi n s và ñ o hàm c p cao nh t Phương trình ch ch a bi n s và ñ o hàm c p cao nh t là phương trình có d ng ( ) F x, y ( n ) = 0 (2.5) (i) T phương trình (2.5) ta có th bi u di n ñư c y ( n) qua x: y ( n ) = f ( x ) Gi s (2.6) f ( x ) liên t c trên kho ng (a; b) Khi ñó bài toán Cauchy... nghi m cơ b n c a phương trình (2.16) và do ñó tìm ñư c nghi m t ng quát c a phương trình (2.16) Ví d 2.8 Gi i phương trình y′′′ − 5 y′′ + 6 y′ = 0 Phương trình ñ c trưng λ 3 − 5λ 2 + 6λ = 0 có các nghi m th c khác nhau là λ1 = 0, λ2 = 2, λ3 = 3 B i v y phương trình ñang xét có nghi m t ng quát y = C1 + C2 e 2 x + C3e3 x Ví d 2.9 Gi i phương trình y′′′ + 3 y′′ + 9 y ′ − 13 y = 0 Phương trình ñ c trưng... y, C ) = 0 φc' ( x, y, C ) = 0  ta ñư c phương trình c a hình bao Bư c 2: Kh c t h  φ ( x, y, C ) = 0  1.3.8.2 Nghi m kỳ d Gi s phương trình F ( x, y , y ' ) = 0 (1.29) Có tích phân t ng quát: φ ( x, y , C ) = 0 (1.30) Kh c t phương trình (1.30) và phương trình φc' ( x, y, C ) = 0 ta ñư c phương trình y = ϕ ( x ) N u phương trình này th a mãn phương trình (1.29) mà không ph thu c vào h (1.30)... các phương trình tuy n tính có h nghi m cơ b n sau 1 s inx cos x a) y1 = , y 2 = x b) y1 = , y2 = x x x s inx cos x , y2 = d) y1 = x, y 2 = ln x c) y1 = x x 31 CHƯƠNG 3 H phương trình vi phân S ti t: 09 (lý thuy t: 08 ti t; bài t p: 01 ti t) A M C TIÊU - Sinh vi n hi u ñư c các khái ni m, ñ nh nghĩa v h phương trình vi phân, cách gi i h phương trình tuy n tính thu n nh t, không thu n nh t, h phương trình. .. phương trình vi phân tuy n tính v i h s là h ng s - Sinh vi n v n d ng thành th o ki n th c ñã h c vào gi i các d ng bài t p v h phương trình vi phân - Sinh vi n tích c c, ch ñ ng tham gia các ho t ñ ng c a môn h c, có kh năng t h c cao, có phương pháp h c t p tích c c sáng t o B N I DUNG 3.1 H phương trình vi phân c p 1 t ng quát 3.1 Các khái ni m cơ b n ð nh nghĩa 3.1: H phương trình vi phân t ng . số phương trình vi phân cấp 1 1.3.1. Phương trình với biến số phân ly Phương trình vi phân cấp 1 dạng: ( ) ( ) 0 M x dx N y dy + = (1.10) ñược gọi là phương trình vi phân với biến số phân. C = * Tiêu chuẩn nhận biết một phương trình vi phân là một phương trình vi phân toàn phần ðiều kiện cần và ñủ ñể phương trình (1.19) là phương trình vi phân toàn phần là: M N y x ∂ ∂ = ∂ ∂ . n y ñể tránh làm mất nghiệm này. 1.3.5. Phương trình vi phân toàn phần và thừa số tích phân 1.3.5.1. Phương trình vi phân toàn phần * Phương trình vi phân dạng: ( , ) ( , ) 0 M x y dx N x