Số hóa trung tâm học liệu http://lrc.tnu.edu.vn/ ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC ĐỖ THỊ HOÀNG ÁNH TÍCH CHẬP SUY RỘNG VỚI HÀM TRỌNG ĐỐI VỚI CÁC PHÉP BIẾN ĐỔI TÍCH PHÂN HARTLEY FOURIER SINE VÀ ỨNG DỤNG LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Chuyên ngành: Toán ứng dụng Mã số: 60.46.01.12 Người hướng dẫn khoa học TS NGUYỄN MINH KHOA THÁI NGUYÊN - NĂM 2013 Số hóa trung tâm học liệu http://lrc.tnu.edu.vn/ Mục lục Một số ký hiệu dùng luận văn Lời cảm ơn Lời mở đầu Các phép biến đổi tích phân Hartley, Fourier sine 1.1 Phép biến đổi tích phân Fourier sine 1.1.1 Định nghĩa phép biến đổi tích phân Fourier sine 1.1.2 Các tính chất phép biến đổi Fourier sine 1.1.3 1.2 1.3 Ứng dụng phép biến đổi tích phân Fourier sine giải phương trình vi phân đạo hàm riêng Phép biến đổi tích phân Hartley 1.2.1 Định nghĩa phép biến đổi Hartley 1.2.2 Các tính chất phép biến đổi Hartley Phép biến đổi tích phân Fourier cosine 1.3.1 Định nghĩa phép biến đổi tích phân Fourier cosine 1.3.2 10 12 12 13 15 15 Các tính chất phép biến đổi Fourier cosine 15 Tích chập suy rộng 19 2.1 Định nghĩa tích chập suy rộng 19 2.2 Các tính chất tích chập suy rộng 19 2.3 Áp dụng 26 Số hóa trung tâm học liệu http://lrc.tnu.edu.vn/ 2.3.1 Các bổ đề bổ trợ 26 2.3.2 2.3.3 Một lớp phương trình tích phân dạng chập 27 Một lớp hệ phương trình tích phân kiểu đa chập 28 Kết luận 32 Tài liệu tham khảo 32 Số hóa trung tâm học liệu http://lrc.tnu.edu.vn/ Một số ký hiệu dùng luận văn • R+ tập số thực dương • L(R) tập hàm f xác định R cho +∞ |f (x)|dx < +∞ −∞ • L(R+ ) tập hàm f xác định R cho +∞ |f (x)|dx < +∞ • f hàm thực phức xác định R casx = cos x + sin x Số hóa trung tâm học liệu http://lrc.tnu.edu.vn/ Lời cảm ơn Hồn thành luận văn, từ đáy lịng em xin gửi tới thầy TS Nguyễn Minh Khoa hàm ơn sâu sắc Em xin gửi lời cảm ơn chân thành đến thầy cô giáo khoa Tốn, phịng sau Đại học Đại Học Khoa Học – Đại Học Thái Nguyên giảng dạy, tạo điều kiện giúp đỡ em Đồng thời xin cảm ơn gia đình, bạn bè, đồng nghiệp tận tình giúp em hồn thành q trình học tập viết luận văn Em xin chân thành cảm ơn! Thái Nguyên, ngày tháng 08 năm 2013 Học viên Đỗ Thị Hoàng Ánh Số hóa trung tâm học liệu http://lrc.tnu.edu.vn/ Lời mở đầu Lý chọn đề tài Cùng với phát triển liên tục phép biến đổi tích phân, hướng rẽ nhánh phát triển phép biến đổi tích phân tích chập phép biến đổi tích phân xuất vào khoảng đầu kỷ 20 Ngót kỷ trơi qua kể từ buổi đầu khai sinh tích chập ta nhận thấy ban đầu tích chập xét phép biến đổi tích phân phổ biến ứng dụng rộng rãi tích chập phép biến đổi tích phân Fourier Thuộc tính đặc trưng tích chập loại đẳng thức nhân tử hóa có mặt phép biến đổi tích phân Điều bó hẹp phạm vi ứng dụng tích chập Ngồi trừ tích chập suy rộng hai phép biến đổi tích phân Fourier Sine, Fourier Cosine Sneldon cơng bố năm 1951 [5] phải đợi đến gần hai thập kỷ trở lại tích chập suy rộng xây dựng tác giả Nguyễn Xuân Thảo, Nguyễn Minh Tuấn, Nguyễn Minh Khoa, Yakubovich Tích chập , tích chập suy rộng có nhiều ứng dụng lý thú số lĩnh vực khoa học kỹ thuật toán học [2, 5, 9, ] Một số tích chập biết dùng luân văn Tích chập hai hàm f, g ∈ L(R) phép biến đổi Fourier Cosine [9] Mục đích nhiệm vụ nghiên cứu Trình bày định nghĩa, tính chất phép biến đổi tích phân Fourier Sine, Hartley nêu ví dụ áp dụng Xây dựng nghiên cứu tích chập suy rộng phép biến đổi tích Số hóa trung tâm học liệu http://lrc.tnu.edu.vn/ phân Fourier Sine, Hartley ứng dụng để giải phương trình, hệ phương trình tích phân dạng chập Đối tượng phạm vi nghiên cứu Nghiên cứu phép biến đổi tích phân, tích chập suy rộng phép biến đổi tích phân Fourier Sine, Hartley ứng dụng vào giải phương trình tích phân, hệ phương trình tích phân dạng chập Phương pháp nghiên cứu • Sử dụng phép biến đổi tích phân, lý thuyết phương trình tích phân kết giải tích, giải tích hàm • Sử dụng phương pháp kiến thiết tích chập có hàm trọng V.A Kakichev, Nguyễn Xuân Thái lý thuyết báo Nguyễn Minh Khoa để xây dựng nghiên cứu tích chập ứng dụng chúng Bố cục luận văn Ngoài phần mở đầu phần kết luận, luận văn gồm hai chương: Chương 1: Các phép biến đổi tích phân Hartley, Fourier sine Nhắc lại định nghĩa tính chất phép biến đổi tích phân Hartley, Fourier sine đưa số ví dụ áp dụng Chương 2: Tích chập suy rộng Xây dựng nghiên cứu tính chất tích chập đưa ứng dụng giải phương trình, hệ phương trình tích phân dạng chập Số hóa trung tâm học liệu http://lrc.tnu.edu.vn/ Chương Các phép biến đổi tích phân Hartley, Fourier sine 1.1 Phép biến đổi tích phân Fourier sine 1.1.1 Định nghĩa phép biến đổi tích phân Fourier sine Định nghĩa 1.1 Cho f ∈ L(R+ ), hàm Fs f xác định ˆ f (y) = (Fs f )(y) = π +∞ f (x) sin yx dx (1.1) phép biến đổi Fourier sine hàm f Ta có cơng thức nghịch đảo sau ˆ f (x) = (Fs f )(X) = π +∞ ˆ f (y) sin yx dy Ví dụ 1.1 Tìm biến đổi Fourier sine hàm f (x) = e−αx , α > (1.2) Số hóa trung tâm học liệu http://lrc.tnu.edu.vn/ Giải: (Fs f )(y) = = 2i = 2i = π +∞ e−αx dx +∞ −(α−iy)x [e − e−(α+iy)x ]dx π 1 − π α − iy α + iy y π α2 + y Ví dụ 1.2 Tìm biến đổi Fourier sine hàm  m, < x < a f (x) = 0, x > a Giải: Ta có a m sin yxdx π m [1 − cos ay] π y (Fs f )(y) = = 1.1.2 Các tính chất phép biến đổi Fourier sine Tính chất 1.1 (Tính tuyến tính) Nếu f , g có biến đổi Fourier sine, α, β ∈ R ta có Fs (αf + βg) = α(Fs f ) + β(Fs g) Chứng minh Với f , g ∈ L(R+ ); ∀α, β ∈ R ta có Fs [αf (x) + βg(x)](y) = +∞ π [αf (x) + βg(x)] sin yxdx =α π +β π +∞ f (x) sin yx dx +∞ g(x) sin yx dx = α(Fs f )(y) + β(Fs g)(y) Số hóa trung tâm học liệu http://lrc.tnu.edu.vn/ Vậy Fs tốn tử tuyến tính Tính chất 1.2 Với a > đặt fa (x) = f (ax), ta có: y (Fs fa )(y) = (Fs f ) a a Chứng minh (Fs fa )(y) = π +∞ f (ax)dx +∞ y f (ax) sin ax d(ax) a π a +∞ y = f (t) sin t dt (t = ax) a π a y = (Fs f ) a a = Tính chất 1.3 (Biến đổi Fourier sine đạo hàm) Giả sử f (x) liên tục khả tích tuyệt đối (0, +∞), f (x) liên tục khúc đoạn hữu hạn f (x) → x → +∞ Khi Fs (f (x))(y) = −y(F cf (x))(y) Chứng minh Lấy tích phân phần ta có Fs (f ) = = +∞ f (x) sin yxdx π +∞ [f (x) sin yx −y π +∞ f (x) cos yxdx] = −yFc f Tính chất 1.4 Giả sử phép biến đổi Fourier sine, Fourier cosine sau tồn tại, ta có hệ thức: Fs (f ) = −y Fs (f ) + yf (0) π Số hóa trung tâm học liệu http://lrc.tnu.edu.vn/ đẳng thức nhân tử hóa sau thỏa mãn γ H1 (f ∗ g)(y) = cos aysigny.(Fs f )(|y|)(H2 g)(y) H,Fs (2.2) ∀y ∈ R Chứng minh Trước hết ta chứng minh H1 (( f ∗ g)γ s )(x) ∈ L(R) H,F Thật vậy, ta có +∞ +∞ +∞ |H1 (f ∗ g)(x)|dx ≤ √ |f (u)|du [g(x − u − a)| 2π −∞ + |g(x + u + a)| + |g(x − u + a)| + |g(x + u − a)|]dx γ −∞ +∞ +∞ ≤ √ |f (u)|du |g(x − u − a)|dx 2π −∞ +∞ +∞ + √ |f (u)|du |g(x + u + a)|dx 2π −∞ +∞ +∞ √ |f (u)|du |g(x − u + a)|dx 2π −∞ +∞ +∞ + √ |f (u)|du |g(x + u − a)|dx 2π −∞ +∞ +∞ = |f (u)|du |g(t)|dt < +∞ π −∞ Vậy ta có γ H1 (f ∗ g)(x) ∈ L(R) H,Fs Bây ta chứng minh đẳng thức nhân tử hóa (2.2) Thật vậy, ta có cos aysigny.(Fs f )(|y|)(H2 g)(y) = cos ay = π +∞ π +∞ +∞ f (u) sin uydy √ 2π +∞ g(v)cas(−yv)dv −∞ f (u)g(v) cos ay sin uy cos(−vy)dv −∞ 20 Số hóa trung tâm học liệu http://lrc.tnu.edu.vn/ Mặt khác ta có cos ay sin uycas(−vy) = [sin(u + a)y + sin(u − a)y][cos vy − sin vy] = [sin(u + v + a)y + sin(u − v + a)y] + [cos(u + v + a)y − cos(u − v + a)y] + [sin(u + v − a)y + sin(u − v − a)y] + [cos(u + v − a)y − cos(u − v − a)y] = [cos(u + v + a)y − cos −(u − v + a)y + cos(u + v − a)y − cos −(u − v − a)y] = [cos(u + v + a)y − cos(v − u − a)y + cos(u + v − a)y − cos(v − u + a)y] Do cos aysigny.(Fs f )(|y|)(H2 g)(y) = 4π +∞ +∞ f (u)g(v)[cos(u + v + a)y −∞ − cos(v − u − a)y + cos(u + v − a)y − cos(v − u + a)y]dudy = 4π +∞ +∞ f (u)[g(x − u − a) − g(x + u + a) −∞ + g(x − u + a) − g(x + u − a)] cos xydudv γ H1 ((f ∗ g))(y) H,Fs Định lý chứng minh Để đơn giản ta lý luận chuẩn L(R) sau f L(R) = π 21 +∞ |f (x)|dx −∞ Soá hóa trung tâm học liệu http://lrc.tnu.edu.vn/ chuẩn L(R+ ) f L(R+ ) = +∞ π |f (x)|dx Hệ 2.1 Giả thiết f ∈ L(R+ ) g ∈ L(R) Khi bất đẳng thức sau thỏa mãn γ (f ∗ g) ≤ f H,Fs L(R+ ) g (2.3) L(R) Chứng minh Từ chứng minh Định lý (2.1) ta có: π +∞ |(f ∗ g)|(x)dx ≤ H,Fs −∞ +∞ π γ |f (u)|du +∞ |g(t)|dt −∞ Do γ (f ∗ g) ≤ f H,Fs L(R+ ) g L(R) Định lý 2.2 Giả sử f ∈ L(R+ ) g, h ∈ L(R) Khi tích chập suy rộng (2.1) thường kết hợp thỏa mãn đẳng thức sau γ a) [(f ∗ g) H,Fs γ b) [(f ∗ g) H,Fs γ ∗ h](x) = [(f ∗ h) ∗ h](x) = [f ∗ (g H1 ,H2 ,H3 H,Fs γ H1 ,H2 ,H3 H,Fs ∗ H1 ,H2 ,H3 ∗ H1 ,H2 ,H3 g](x) h)](x) Chứng minh a) Từ đẳng thức nhân tử hóa (2.2) (1.10) ta có γ H1 [(f ∗ g) H,Fs γ ∗ H1 ,H2 ,H3 h](y) = H1 (f ∗ g)(y)(H2 h)(y) H,Fs = cos ay sin ny(Fs f )(|y|)(H2 g)(y)(H2 h)(y) γ = H1 [(f ∗ h)(y)(H2 g)(y) H,Fs γ = H1 [(f ∗ h) H,Fs ∗ H1 ,H2 ,H3 g](y); y ∈ R 22 Số hóa trung tâm học liệu http://lrc.tnu.edu.vn/ Điều dẫn tới γ [(f ∗ g) H,Fs γ ∗ H1 ,H2 ,H3 h](x) = [(f ∗ h) H,Fs ∗ H1 ,H2 ,H3 g](x) b) Từ đẳng thức nhân tử hóa (2.2) cơng thức (1.12) ta γ H1 [(f ∗ g) H,Fs γ ∗ H1 ,H2 ,H3 h](y) = H1 (f ∗ g)(y)(H2 h)(y) H,Fs = cos aysigny(Fs f )(|y|)(H2 g)(y)(H2 h)(y) = cos aysigny(Fs f )(|y|)(H2 g)(y)(H2 (g ∗ h)(y) H,Fs γ = [f ∗ (g H,Fs ∗ h)](y) ∗ h](x) = [f ∗ (g H1 ,H2 ,H3 Do ta γ [(f ∗ g) H,Fs γ H1 ,H2 ,H3 H,Fs ∗ H1 ,H2 ,H3 h)](x) Định lý chứng minh Định lý 2.3 (Định lý kiểu Titchmarch) γ Cho f ∈ L(R+ ) g ∈ L(R) (f ∗ g)(x) ≡ 0, ∀x ∈ R, H,Fs f (x) = g(x) = với x ∈ R γ Chứng minh Giả thiết (f ∗ g)(x) ≡ 0, ∀x ∈ R dẫn tới H,Fs γ H1 (f ∗ g)(y) = 0, ∀y ∈ R Từ định lý 2.2 ta có H,Fs cos aysigny.(Fs f )(|y|)(H2 g)(y) = 0, ∀y ∈ R, điều dẫn đến (Fs f )(y)(H2 g)(y) = 0, ∀y ∈ R, Vì (Fs f )(y) (H2 g)(y) giải tích R, nên ta có hàm (Fs f )(y) = 0, ∀y ∈ R (H2 g)(y) = 0, ∀y ∈ R Điều dẫn tới f (x) = 0, ∀x ∈ R g(x) = 0, ∀x ∈ R 23 Số hóa trung tâm học liệu http://lrc.tnu.edu.vn/ Định lý 2.4 Với giả thiết f ∈ L(R+ ) g ∈ L(R), tốn tử tích chập suy rộng (2.1) khơng có phần tử đơn vị Chứng minh Giả sử tồn phần tử đơn vị e tốn tử tích chập suy rộng (2.1) γ f (x) = (e ∗ f )(x), ∀x ∈ R, H,Fs Khi (H1 f )(y) = cos aysigny(Fs e)(|y|)(H2 f )(y), ∀y ∈ R, Khi y = (2k + 1)π vế trái triệt tiêu, điều mâu thuẫn Vậy tốn tử tích chập suy rộng (2.1) không tồn phần tử đơn vị Bổ đề 2.1 Cho f = Lp (R), ≤ p ≤ p’ số mũ liên hợp p Khi bất đẳng thức Hausdorff - Young phép biến đổi Hartley thỏa mãn h1 f Lp (R) ≤2 f π Lp (R) , h2 f Lp (R) ≤2 f π Lp (R) Chứng minh Áp dụng bất đẳng thức Hausdorff - Young cho phép biến đổi tích phân Fourier cosine, Fourier sine ta có h1 f Lp (R) (Fc f ) = (Fc f ) + (Fs f ) Lp (R) + (Fs f ) f Lp (R) + π =2 f Lp (R) π ≤ 24 Lp (R) f π Bất đẳng thức chứng minh tương tự Lp (R) Lp (R) Số hóa trung tâm học lieäu http://lrc.tnu.edu.vn/ Định lý 2.5 Cho f ∈ Lp (R+ ), h ∈ Lq (R), < p, q ≤ với số mũ liên hợp tương ứng p’, q, Khi tích chập suy rộng (2.1) thuộc Lr (R) với tất r ≥ 2, đẳng thức nhân tử hóa (2.2) thỏa 1 mãn Hơn nữa, < r ≤ thỏa mãn + < r’ số p q r liên hợp nó, ta có đánh giá sau √ γ (f ∗ g) Lr (R) ≤ √ f Lp (R+ ) g Lq (R) (2.4) H,Fs π π Chứng minh Sử dụng định lý Fubini công thức chứng minh Định lý 2.2 ta thấy tích chập (2.6) xác định thỏa mãn đẳng thức Passeval sau ∞ (f ∗ g)(x) = cos aysigny(Fs f )(|y|)(H2 g)(y).cas(xy)dy (2.5) H,Fs −∞ Hơn nữa, f ∈ Lp (R+ ), h ∈ Lq (R), bổ đề Riemann - Lebesgue (Fs f ) ∈ C0 (R+ ), (H2 g) ∈ C0 (R) bị chặn Do cos ay sin ny.(Fs f )(|y|).(H2 g)(y) ∈ Lr (R) với tất r > 1, (f ∗ g) ∈ Lr (R) với tất r ≥ đẳng thức nhân tử hóa (2.2) H,Fs thỏa mãn Bây ta chứng minh bất đẳng thức (2.4) Vì r < p , r < q với < r ≤ 2, nhờ bất đẳng thức Hausdorff - Young bất đẳng thức Horder ta có γ (f ∗ g) H,Fs Lp (R) =√ 2π +∞ ≤ +∞ ≤√ cos ay(Fs f )(H2 g) 2π Lr (R+ ) cos ay(Fs f )(y)(H2 g)(y) dy r r r (Fs f )(y) dy p +∞ p r (H2 g)(y) dy q q 1 +∞ | cos ay rs |dy s r Do đó, áp dụng bất đẳng thức Hausdorff - Young Bổ đề 2.6 ta 25 Số hóa trung tâm học liệu http://lrc.tnu.edu.vn/ γ (f ∗ g) H,Fs H2 g Lp (R) ≤√ (Fs f ) 2π Lp (R+ ) Lq (R) 1 ≤ √ √ f Lp (R+ ) g π 2π 2π √ = √ f Lp (R+ ) g Lq (R) π π Lq (R) Định lý 2.7 chứng minh xong 2.3 Áp dụng Ta áp dụng tích chập suy rộng (2.1) để giải lớp phương trình tích phân lớp hệ phương trình tích phân dạng chập Trước giải lớp phương trình hệ phương trình ta đưa số kết bổ trợ Việc chứng minh kết tương tự Định lý 2.2 2.3.1 Các bổ đề bổ trợ Bổ đề 2.2 Giả sử f ∈ L(R+ ), g ∈ L(R) tích chập suy rộng sau +∞ (g ∗ f )(x) = √ f (x)[g(x + u) − g(x − u)]du, 2π thuộc L(R) thỏa mãn đẳng thức nhân tử hóa sau H2 (g ∗ f )(y) = (Fs f )(y) (H2 g)(y), ∀y ∈ R Bổ đề 2.3 Giả sử f ∈ L(R+ ), g ∈ L(R) tích chập suy rộng (g ∗ f )(x) = √ 2π +∞ [g(x + u) − g(x − u)]f (u)du, x ∈ R thuộc L(R) thỏa mãn đẳng thức nhân tử hóa sau H1 (g ∗ f )(y) = (Fs y)(H1 g)(y), ∀y ∈ R 26 Soá hóa trung tâm học liệu 2.3.2 http://lrc.tnu.edu.vn/ Một lớp phương trình tích phân dạng chập Xét phương trình tích phân +∞ ϕ(u)θ(x, u)dx = h(x), x ∈ R f (x) + λ (2.6) Ở λ số phức, ϕ, y ∈ L(R+ ), h ∈ L(R), f hàm chưa biết θ(x, u) √ [ψ(x − u − a) − ψ(x + u + a) + ψ(x − u + a) π ψ(x + u − a)] ψ(x) = (f ∗ y)(x), g = (g1 ∗ g1 )(x) γ Định lý 2.6 Giả sử + λFc [(ϕ ∗ g1 ) ∗ g2 ](y) = 0, ∀y ∈ R Khi Fc phương trình (2.6) có nghiệm L(R) dạng f (x) = h(x) − (l ∗ h)(x) l ∈ L(R) xác định γ λFc [(ϕ ∗ g1 ) ∗ g2 ](|y|) (Fc l)(y) = Fc γ + λFc [(ϕ ∗ g1 ) ∗ g2 ](|y|) Fc Chứng minh Ta viết phương trình (2.6) dạng γ f (x) + λ(ϕ ∗ ψ)(x) = h(x), x ∈ R H,Fs Nhờ Định lý 2.1 ta có (H1 f )(y) + λ cos aysigny(Fs ϕ)(|y|)(H2 ψ)(y) = (H1 h)(y), y∈R Do Bổ đề 2.2, ta nhận (H1 f )(y)+λ cos y(Fs ϕ)(|y|).(Fs g)(|y|)(H1 f )(y) = (H1 h)(y), y ∈ R Điều dẫn tới (H1 f )(y)[1 + λ cos aysigny(Fs ϕ)(|y|).(Fs g)(y)] = (H1 h)(y) 27 Số hóa trung tâm học liệu http://lrc.tnu.edu.vn/ Do (H1 f )(y)[1 + λ cos ay(Fs ϕ)(|y|).(Fs g)(|y|)] = (H1 h)(y) Nhờ Bổ đề 2.6 ta lại có (H1 f )(y)[1 + λ cos ay.Fc (ϕ ∗ g1 )(|y|)(Fc g2 )(|y|)] = (H1 h)(y) (2.1) ϕ (H1 f )(y){1 + λFc [ϕ2 ∗ g1 ) ∗ g2 ](|y|)} = (H1 h)(y) Fc γ Từ + λFc [(ϕ2 ∗ g1 ) ∗ g2 ](|y|) = 0, ta có Fc γ λFc [(ϕ ∗ 2g1 ) ∗ g2 ](|y|) (H1 f )(y) = (H1 h)(y) − Fc γ + λFc [(ϕ ∗ g1 ) ∗ g2 ](|y|) Fc Áp dụng Định lý Wiener - Lévy [1], tồn hàm l ∈ L(R) để γ λFc [(ϕ ∗ g1 ) ∗ g2 ](|y|) (Fc l)(|y|) = Fc γ + λFc [(ϕ ∗ g1 ) ∗ g2 ](|y|) Fc Từ Bổ đề 2.3 ta có (H1 f )(y) = (H1 h)(y)[1 − (Fc l)(|y|)](H1 h)(y) − H1 (l ∗ h)(y) Vì vậy, f = h − (l ∗ h) Dễ thấy f ∈ L(R) Định lý chứng minh 2.3.3 Một lớp hệ phương trình tích phân kiểu đa chập  f (x) + λ +∞ ϕ(t)θ (x, t)dt = h(x) 1 λ +∞ θ (x, t)ψ(t)dt + g(x) = k(x) −∞ 28 (2.7) Soá hóa trung tâm học liệu http://lrc.tnu.edu.vn/ Ở λ1 , λ2 số phức, ϕ, h ∈ L(R+ ); ψ, k ∈ L(R); f, g ẩn hàm, θ1 (x, t) = √ [G(x−t−a)−G(x+t−a)+G(x−t+a)−G(x+t+a)] 2π θ2 (x, t) = √ [f (x + t) + f (x − t) − f (−x + t) + f (−x − t)] 2π Ở G = (g ∗ p)(x), p ∈ L(R+ ) γ Định lý 2.7 Giả thiết − λ1 λ2 H2 {[ϕ ∗ ψ] ∗ p}(y) = 0, ∀y ∈ R H,Fs Khi hệ (2.7) có nghiệm L(R), dạng γ f (y) = h(y) − λ1 [ϕ ∗ (k ∗ p)](y) − [h H,Fs γ + λ1 [(ϕ ∗ (h ∗ f )) s H,Fs g(y) = k(y) − λ2 [h + λ2 [(h ∗ ∗ H1 ,H2 ,H3 ∗ H1 ,H2 ,H3 H1 ,H2 ,H3 ψ) ∗ l](y) l](y) ∈ L(R) ψ](y) − (k H1 ,H2 ,H3 ∗ H1 ,H2 ,H3 ∗ H1 ,H2 ,H3 l)(y) l](y) ∈ L(R) Ở l ∈ L(R) xác định bởi: γ (−λ1 λ2 )H2 [(ϕ ∗ ψ) ∗ p](y) (H2 l)(y) = H,Fs γ − (−λ1 λ2 )H2 [(ϕ ∗ ψ) ∗ p](y) H,Fs Chứng minh Hệ (2.7) dạng  γ f (x) + λ1 (ϕ ∗ G)(x) = h(x)  H,Hs λ (f  ∗ H1 ,H2 ,H3 ψ)(x) + g(x) = k(x), x∈R Áp dụng Định lý 2.1 Bổ đề 2.6 ta nhận  (H f )(y) + λ cos ay.signy(F ϕ)(|y|)(F p)(y) 1 s s λ (H f )(y)H ψ(y) + (H g)(y).(H y)(y) = (H f )(y) 2 1 29 Số hóa trung tâm học liệu http://lrc.tnu.edu.vn/ Giải hệ phương trình đại số tuyến tính ta có = λ1 cos ay.signy(Fs ϕ)(|y|)(Fs p)(y) λ2 (H2 ψ)(y) γ = − λ1 λ2 H1 [ϕ ∗ ](y)(Fs p)(y) H,Hs γ = − λ1 λ2 H1 [(ϕ ∗ ) ∗](y) H,Hs = (H1 h)(y) λ1 cos ay.signy(Fs ϕ)(|y|)(Fs p)(y) (H1 h)(y) = (H1 h)(y) − λ1 signy(Fs ϕ)(|y|)H2 (Kϕ ∗ p)(y) γ = (H1 h) − λ1 H1 [ϕ ∗ (k ∗ p)](y) H,Fs = (H1 h)(y) λ2 (H2 ψ)(y) (H1 k)(y) = (H1 k)(y) − λ2 H1 (h ∗ H1 ,H2 ,H3 ψ)(y) γ Do điều kiện − λ1 λ2 H2 [(ϕ ∗ ψ) ∗ p](y) = ta có H,Fs 1 = γ − λ1 λ2 H2 [(ϕ ∗ ψ) ∗ p](y) H,Fs γ (−λ1 λ2 H2 [(ϕ ∗ ψ) ∗ p](y) H,Fs γ =1− − λ1 λ2 H2 [(ϕ ∗ ψ) ∗ p](y) H,Fs Áp dụng Định lý Wiener - Lévy, ta có kết tồn hàm l ∈ L(R) cho γ −λ1 λ2 H2 [(ϕ ∗ ψ) ∗ p](y) (H2 l) = H,Fs γ − λ1 λ2 H2 [(ϕ ∗ ψ) ∗ p](y) H,Fs Do = − (H2 l)(y) 30 Số hóa trung tâm học liệu http://lrc.tnu.edu.vn/ Điều dẫn tới (H1 f )(y) = γ = [(H1 h)(y) − λ1 H1 [(ϕ ∗ (k ∗ p))](y)] H,Fs γ (H1 h)(y) − λ1 H1 [(ϕ ∗ (k ∗ p)) ∗ p](y) − H1 [h H,Fs γ + λ1 H1 [(ϕ ∗ (k ∗ p)) H,Fs ∗ H1 ,H2 ,H3 ∗ H1 ,H2 ,H3 l](y) l](y) Do ta nhận γ f (y) = h(y) − λ1 H1 [(ϕ ∗ (k ∗ p)) − [h H,Fs γ + λ1 [(ϕ ∗ (k ∗ p)) H,Fs ∗ H1 ,H2 ,H3 ∗ H1 ,H2 ,H3 l](y) l](y) ∈ L(R) Tương tự (H1 g)(y) = = [(H1 k)(y) − λ2 H1 (h [1 − (H2 l)(y)] = (H1 k)(y) − H1 (h − H1 (k ∗ H1 ,H2 ,H3 l)(y) + λ2 H1 [(h ∗ H1 ,H2 ,H3 ∗ H1 ,H2 ,H3 ∗ H1 ,H2 ,H3 ψ) ψ)(y)] ψ)(y) ∗ H1 ,H2 ,H3 l)](y) Do ta có g(y) = k(y) − λ2 H1 (h + λ2 H1 [(h ∗ ∗ H1 ,H2 ,H3 H1 ,H2 ,H3 ψ) ψ)(y) − k ∗ H1 ,H2 ,H3 Ta chứng minh xong định lý 31 ∗ H1 ,H2 ,H3 l)](y) ∈ L(R) l)(y) Số hóa trung tâm học liệu http://lrc.tnu.edu.vn/ Kết luận Những kết luận văn 1) Trình bày định nghĩa, tính chất phép biến đổi tích phân Fourier sine Hartley đồng thời nêu số áp dụng 2) Xây dựng tích chập suy rộng hai phép biến đổi tích phân Fourier sine Hartley đồng thời ứng dụng giải số lớp phương trình, hệ phương trình tích phân dạng chập Những hướng nghiên cứu luận văn nghiên cứu phép biến đổi tích phân kiểu tích chập bất đẳng thức tích phân dạng chập sở tích chập vừa nhận 32 Số hóa trung tâm học liệu http://lrc.tnu.edu.vn/ Tài liệu tham khảo [1] N.I.Achiezer, Lectures of Approximation theory, Science Publishing House, Moscow, 1965,pp.157 - 162 [2] F.D.Garkhov and Yu.I.Cherski, The equation of Convolution type, Moscow, Nauka, 1978 (in P.215), Moscon [3] V.A.Kakichev, Nguyen Xuan for constructing generalized Thao, integral A method convolutions, Izv.Vyssh.Uchebn.Zaved.Mat.,1988, no 1, 31 - 40 [4] Nguyen Minh Khoa, On the convolutions of Fourier type transforms, Acta Math, Vietnam, 36(2011), 283 - 298 [5] I.N.Sneddon, The use of Integral transforms, MC Graw - Hill, NewYork, 1972 [6] Nguyen Xuan Thao, V.A.Kakichev and Vu Kim Tuan, On the generalized convolutions for Fourier cosine and sine transforms, East - West J.Math, (1998), 85 - 90 [7] Nguyen Xuan Thao, Nguyen Minh Khoa, On the generalized convolution with a Weight - Function for the Fourier, Fourier cosine and sine transforms Integral Transforms Spec Funct, 11(2006), 637 - 685 [8] Nguyen Xuan Thao, Vu Kim Tuan and Nguyen Minh Khoa, A genezalized convolution with a weight function for the Fourier cosine and sine transforms, Easct, Calc Appl Anal, 7(2004), 323 - 337 33 Số hóa trung tâm học liệu http://lrc.tnu.edu.vn/ [9] E.C.Tichmarch, Introduction to the Theory of Fourier Integrals, Chelsea Publishing Co, New York, 1980 [10] Nguyen Minh Tuan and Phan Duc Tuan Generalized convolutions relative to the Hartley transforms with applications, Sci, Math Japan 10(2009), 77 - 89 34 ... trình tích phân dạng chập Đối tượng phạm vi nghiên cứu Nghiên cứu phép biến đổi tích phân, tích chập suy rộng phép biến đổi tích phân Fourier Sine, Hartley ứng dụng vào giải phương trình tích phân, ... đầu khai sinh tích chập ta nhận thấy ban đầu tích chập xét phép biến đổi tích phân phổ biến ứng dụng rộng rãi tích chập phép biến đổi tích phân Fourier Thuộc tính đặc trưng tích chập loại đẳng... nghiên cứu tích chập suy rộng với hàm trọng phép biến đổi tích phân Hartley Fourier sine Xây dựng nghiên cứu tính chất tích chập đưa ứng dụng giải phương trình, hệ phương trình tích phân dạng chập