Phương pháp sử dụng đạo hàm chứng minh bất đẳng thức A. MỞ ĐẦU 1. Lý do chọn đề tài Bất đẳng thức (BĐT) trong các kì thi chọn HSG Tỉnh, HSG Quốc gia, HSG khu vực và Quốc tế có thể coi là “điểm nóng”, thường trở thành đề tài giành được nhiều lời giải nhất và được thảo luận nhiều nhất trên các diễn đàn cũng như các tạp chí về Toán học. Cùng với BĐT AM-GM, BĐT Cauchy-Schwarz, BĐT Chebyshes, BĐT Jensen thì đạo hàm cũng là một phần kiến thức quan trọng không thể thiếu trong nhiều bài toán đại số cũng như BĐT. Nó thực sự là một công cụ hiệu quả và có ứng dụng rộng rãi trong giải toán, cũng là một phương pháp chuẩn mực nhất khi ta gặp phải các BĐT thông thường. Các tài liệu viết về BĐT hiện nay rất nhiều, tuy nhiên một số chuyên đề viết riêng về việc vận dụng đạo hàm vào chứng minh BĐT và giải các bài toán tìm giá trị lớn nhất (GTLN) và giá trị nhỏ nhất (GTNN) có tính hệ thống và tính phân loại cũng như tinh sát thực phù hợp cho việc giảng dạy, bồi dưỡng HSG và ôn luyện cho học sinh thi Đại học và cao đẳng là rất cần thiết. Do vậy tôi chọn chuyên đề này nhằm phần nào đáp ứng được những yêu cầu trên cũng như góp phần nâng cao chất lượng bồi dưỡng HSG của tỉnh nhà. 2. Các nhiệm vụ của đề tài Chuyên đề nghiên cứu và trình bày các nội dung sau: Phần I: Các kiến thức cơ bản cần thiết Phần II: Sử dụng đạo hàm vào giải các bài toán chứng minh bất đẳng thức và tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất. 1. Bất đẳng thức một biến số Dạng 1: Khảo sát trực tiếp cực trị của hàm số để tìm tập giá trị của hàm số Dạng 2: Sử dụng tính đơn điệu Dạng 3: Kết hợp với các BĐT khác như BĐT AM-GM, BĐT Cauchy- Schwarz, 2. Bất đẳng thức có hai hay nhiều biến số Dạng 1: Khảo sát hàm đặc trưng Dạng 2: Kết hợp với các BĐT khác như AM-GM, BĐT Cauchy-Schwarz, BĐT Chebyshes,… Dạng 3: Khảo sát theo hàm số từng biến 3. Mở rộng một số bài toán thi vô địch Quốc tế 3. Mục đích của đề tài Chuyên đề hệ thống hóa, phân loại toán và trình bày theo từng ý tưởng cũng như các kỹ năng vận dụng đạo hàm vào việc giải một lớp các bài toán về chứng minh BĐT, tìm GTLN và GTNN cùng loại. Qua các ví dụ cụ thể của chuyên đề giúp cho người học nâng cao thêm về “cái nhìn” định hướng phương pháp giải toán. Đồng thời thông qua lời giải các bài toán đó giúp học sinh thấy được bản chất Toán học ẩn chứa trong nó. Giúp cho học sinh hình thành được phương pháp giải toán chứng minh BĐT, tìm GTLN và GTNN bằng đạo hàm, học sinh có được kỹ năng, kỹ xảo cần thiết nhất để nâng cao năng lực giải các bài toán này. Chuyên đề còn góp phần phát huy trí thông minh, tính sáng tạo, khả năng tư duy linh hoạt, có được các suy luận logic, chính xác, tinh thần vượt khó. Phạm Văn Dũng 1 Phương pháp sử dụng đạo hàm chứng minh bất đẳng thức 4. Phương pháp nghiên cứu - Nghiên cứu tài liệu về cơ sở lý luận có liên quan đến đề tài. - Nghiên cứu các dạng thức toán nhằm rút ra phương pháp giải. - Tích lũy kinh nghiệm thường xuyên trong quá trình giảng dạy bồi dưỡng HSG và quá trình tự học, tự bồi dưỡng nghiên cứu của bản thân. 5. Đối tượng nghiên cứu - Các tài liệu: SGK, STK, các đề thi ĐH và HSG các cấp,… - Học sinh trường THPT Chuyên Hưng Yên và học sinh các đội tuyển HSG tỉnh, đội tuyển HSG Quốc gia. 6. Những đóng góp mới của đề tài - Về mặt lý luận, đề tài xây dựng hệ thống lý thuyết cần thiết và tư duy phương pháp trong việc bồi dưỡng học sinh giỏi toán. Đồng thời, thông qua chuyên đề hình thành kỹ năng, kỹ xảo cho học sinh. 7. Địa bàn Tại trường THPT Chuyên Hưng Yên. 8. Lịch sử nghiên cứu Bắt đầu từ năm 2005 thông qua việc giảng dạy bồi dưỡng HSG của trường, của tỉnh và luyện thi Đại học. Phạm Văn Dũng 2 Phương pháp sử dụng đạo hàm chứng minh bất đẳng thức B. NỘI DUNG I. CÁC KIẾN THỨC CƠ BẢN CẦN THIẾT 1. Định lý 1: Cho hàm số y = f(x) xác định và liên tục trên [a; b]. *) Nếu [ ] ( ) 0, ;f x x a b≥ ∀ ∈ thì f(x) đồng biến trên [a; b] và khi đó ta có [ ] [ ] ; ; min ( ) ( ); max ( ) ( ) x a b x a b f x f a f x f b ∈ ∈ = = *) Nếu [ ] ( ) 0, ;f x x a b≤ ∀ ∈ thì f(x) nghịch biến trên [a; b] và khi đó ta có [ ] [ ] ; ; min ( ) ( ); max ( ) ( ) x a b x a b f x f b f x f a ∈ ∈ = = 2. Định lý 2: ( Định lý Fermart) Giả sử hàm số y = f(x) xác định trên một lân cận đủ bé của [ ] 0 ;x a b∈ và có đạo hàm tại điểm 0 x . Khi đó nếu hàm số y = f(x) đạt cực trị tại 0 x thì 0 ( ) 0f x ′ = . 3. Định lý 3: (Điều kiện đủ để hàm số có cực trị) Cho hàm số y = f(x) xác định trên [a; b] và 0 x . Trong một lân cận đủ bé ε của 0 x , nếu 0 ( )f x ′ thay đổi dấu khi x qua 0 x (có thể không tồn tại 0 ( )f x ′ ) thì f(x) đạt cực trị tại 0 x . *) Nếu [ ] 0 0 ( ) 0, ;f x x x x ε ′ < ∀ ∈ − và [ ] 0 0 ( ) 0, ;f x x x x ε ′ > ∀ ∈ + thì 0 x là điểm cực tiểu. *) Nếu [ ] 0 0 ( ) 0, ;f x x x x ε ′ > ∀ ∈ − và [ ] 0 0 ( ) 0, ;f x x x x ε ′ < ∀ ∈ + thì 0 x là điểm cực đại. 4. Định lý 4: Giả sử y = f(x) xác định trên [a; b] và [ ] 0 ;x a b∈ . Trong một lân cận đủ bé ε của 0 x , hàm số y = f(x) có đạo hàm cấp hai liên tục, đồng thời 0 ( ) 0f x ′ = và ( ) 0f x ′′ ≠ thì 0 x là một điểm cực trị của hàm số. *) Nếu 0 ( ) 0f x ′ = và ( ) 0f x ′′ > thì 0 x là một điểm cực tiểu của hàm số. *) Nếu 0 ( ) 0f x ′ = và ( ) 0f x ′′ < thì 0 x là một điểm cực đại của hàm số. Phạm Văn Dũng 3 Phương pháp sử dụng đạo hàm chứng minh bất đẳng thức II. ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ CHỨNG MINH CÁC BÀI TOÁN BẤT ĐẲNG THỨC VÀ GIẢI CÁC BÀI TOÁN TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ. 1. Bất đẳng thức một biến số 1.1 Dạng 1: Khảo sát trực tiếp cực trị của hàm số để tìm tập giá trị của hàm số Bài toán 1: ( ĐHBK Hà Nội, 1997) Cho tam giác ABC có ba góc thỏa mãn A > B > C. Tìm GTNN của hàm số sin sin ( ) 1 sin sin x A x B f x x C x C − − = + − − − . Giải: Ta có sin sin sin (1)A B C a b c A B C> > ⇔ > > ⇔ > > . Hàm số xác định khi và chỉ khi ) sin 0 sin sin (* sin sin 0 sin x A x C x C x B x A x C           − ≥ < − ⇔ − > ≥ − Ta có sin sin sin sin sin sin ( ) . . 2 2 sin sin 2( sin ) 2( sin ) A C x C B C x C f x x A x B x C x C − − − − ′ = + − − − − . Do (1) nên ( ) 0,f x x ′ > ∀ thỏa mãn (*). Ta có bảng biến thiên x −∞ sinC sinA +∞ f’(x) f(x) +∞ 1 1 f(sinA) Vậy sin sin min ( ) (sin ) 1 sin sin A B f x f A A C − = = − − . Chú ý: Từ kết quả trên ta suy ra được phương trình sin sin sinx A x B x C− + − = − có đúng một nghiệm vì trên [ ) sin ;A +∞ . Hàm số f(x) đồng biến có f(sinA) < 0 ( vì 0 < sinA – sinB < sinA – sinC). Bài toán 2: ( Thi HSG Quốc gia, 1992) Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n > 1 ta có 1 1 2 n n n n n n n n + + − < . Giải: Đặt ( ) * 0;1 , n n x n N n = ∈ ∀ ∈ . BĐT cần chứng minh trở thành Phạm Văn Dũng 4 Phương pháp sử dụng đạo hàm chứng minh bất đẳng thức ( ) 1 1 2, 0;1 n n x x x+ + − < ∀ ∈ . Xét hàm số ( ) 1 1 n n f x x x= + + − liên tục [ ) 0;1x∈ có ( ) 1 1 1 '( ) 0, 0;1 1 1 (1 ) (1 ) f x x n n nn n x x    ÷  ÷  ÷   = − < ∀ ∈ − − + − Vậy f(x) nghịch biến [0; 1) nên f(x) < f(0) = 2, ( ) 0;1x∀ ∈ (đpcm). Bài toán 3: (ĐH An ninh, 1997) Cho n là số lẻ lớn hơn 3. Chứng minh rằng với mọi 0x ≠ ta có 2 2 3 1 1 1 2! ! 2! 3! ! n n x x x x x x x n n     ÷ ÷  ÷ ÷    + + + + − + − + + < . Giải: Đặt 2 ( ) 1 2! ! 2 3 ( ) 1 2! 3! ! n x x u x x n n x x x v x x n        = + + + + = − + − + + Ta cần chứng minh ( ) ( ). ( ) 1f x u x v x= < . Ta có ( ) 2 1 ( ) 1 ( ) 2! ( 1)! ! 2 3 1 ( ) 1 2! 3! ( 1)! ! v x n n x x x u x x u x n n n n x x x x v x x n n   =    + = − −   − = + + + + − − − = − + − + + − Vậy [ ] [ ] ( ) ( ). ( ) ( ) ( ) ( ). ( ) ( ) . ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ! ! ! 2 4 1 2 1 ! 2! 4! ( 1)! f x u x v x u x v x u x v x n n n x x x u x v x u x v x u x v x n n n n n x x x x n n                     ′ ′ ′ ′ = = + = − + − − = − + − = − + + + + − Vì n là số lẻ lớn hơn 3 nên ( )f x ′ cùng dấu với (-2x). Do đó ta có bảng biến thiên x −∞ 0 +∞ y’ + 0 - Y 1 Từ bảng biến thiên ta có .( ) (0) 1, 0f x f x< = ∀ ≠ (đpcm) Bài toán 4: (Bộ đề tuyển sinh Đại học) Phạm Văn Dũng 5 Phương pháp sử dụng đạo hàm chứng minh bất đẳng thức Cho số nguyên dương n. Chứng minh rằng 1 . 1 2 . n x x n e − < với mọi ( ) 0;1x∈ . Giải: Ta có 2 1 1 . 1 (1 ) (*) 2 2 . n n x x x x ne n e − < ⇔ − < Xét hàm số 2 ( ) (1 ) n f x x x= − với ( ) 0;1x∈ . Ta có [ ] 2 1 ( ) 2 (2 1) n f x x n n x − ′ = − + Nên ta có bảng biến thiên x 0 2 2 1 n n + 1 f’(x) + 0 - f(x) Vậy 2 2 1 (0;1) (2 ) ax ( ) (2 1) n n n m g x n + = + . Ta chứng minh 2 1 2 2 1 (2 ) 1 2 1 (2 1) 2 2 1 n n n n n n ne n e + +   < ⇔ <  ÷ + +   [ ] 2 1 2 1 (2 1) ln(2 1) ln(2 ) 1 2 n n e n n n n + +   ⇔ > ⇔ + + − >  ÷   1 ln(2 1) ln(2 ) (2) 2 1 n n n ⇔ + − > + Áp dụng định lý Lagrange cho hàm số ( ) lnf x x= trên [2n; 2n+1] suy ra tồn tại [ ] 2 ;2 1c n n∈ + thuộc sao cho (2 1) (2 ) ( ) 2 1 2 f n f n f x n n + − ′ = + − . Suy ra 1 1 ln(2 1) ln(2 ) (3) 2 1 n n e n + − = > + . Từ (1), (2) và (3) suy ra đpcm. Bài luyện tập Bài 1: Chứng minh rằng với mọi 0; 2 x π   ∈     ta có 2 2 4 4 sinx x x π π ≤ − . Bài 2: Chứng minh rằng nếu x > 0 và mọi số nguyên dương n ta có Phạm Văn Dũng 6 Phương pháp sử dụng đạo hàm chứng minh bất đẳng thức 2 3 1 2! 3! ! n x x x x e x n > + + + + + . Bài 3 (Toán học và tuổi trẻ) Cho số nguyên dương n. Chứng minh rằng 1 1 2ln 2 (2 1) n k k k = < − ∑ . HD: Xét hàm số 2 3 2 1 2 ( ) ln(1 ) 2 3 2 1 2 n n x x x x f x x x n n −   = + − − + − + +  ÷ −   trên [ ) 0;+∞ . Hàm số đồng biến trên [ ) 0;+∞ suy ra ( ) (0)f x f> , đpcm. Bài 4: Cho x > 0. Chứng minh rằng 1 1 1 1 1 x x e x x +     + < < +  ÷  ÷     . Bài 5: (ĐH Bách khoa, 1980) Chứng minh rằng 3 2 3 sin 2 x x x − < với 0; 2 x π   ∈  ÷   . Bài 6: Tìm GTLN của hàm số 4 4 ( ) 1 1f x x x x x= + − + + − với [ ] 0;1x∈ . 1.2 Dạng 2: Sử dụng tính đơn điệu Trong một số bài toán có thể phải đạo hàm nhiều lần liên tiếp thậm chí phải khảo sát thêm hàm số phụ. Ta thường sử dụng • f(x) đồng biến trên [a; b] thì f(x) > f(a) với mọi x > a. • f(x) nghịch biến trên [a; b] thì f(x) > f(b) với mọi x < b. Bài toán 5: Chứng minh rằng với mọi 0x > ta có 3 sinx 6 x x x− < < . Giải: Xét hàm số 3 ( ) sinx 6 x f x x += − + trên [ ) 0;+∞ . Ta có 2 ( ) 1 cos 2 ( ) sinx ( ) 1 cos x f x x f x x f x x ′ = − + ′′ = − ′′′ = − Ta có [ ) ( ) 1 cos 0, 0; ( ) (0) 0f x x x f x f ′′′ ′′ ′′ = − ≥ ∀ ∈ +∞ ⇒ ≥ = , nên f’(x) đồng biến trên [ ) 0;+∞ . Suy ra ( ) (0) 0 ( )f x f f x ′ ′ ≥ = ⇒ đồng biến trên [ ) 0;+∞ . Do đó ( ) (0) 0, 0f x f x≥ = ∀ ≥ và ( ) (0) 0, 0.f x f x> = ∀ > Tức là 3 3 sinx>0 sinx 6 6 x x x x− + <⇔ − với x > 0 (1) Lưu ý ( ) (0) 0f x f ′′ ′′ > = với x > 0 ta có sinx x< (2) Từ (1) và (2) ta có đpcm. Phạm Văn Dũng 7 Phương pháp sử dụng đạo hàm chứng minh bất đẳng thức Bài toán 6: Tìm GTNN của hàm số 2 2 ( ) 1 1f x x x x x= + + + − + . Giải: TXĐ: R. Xét hàm số 2 2 ( ) 1 1f x x x x x= + + + − + trên R. Ta có 2 2 2 2 1 1 1 1 2 2 2 2 ( ) 1 3 1 3 1 3 1 3 2 4 2 4 2 4 2 4 1 1 2 2 x x x x f x x x x x g x g x + − + − ′ = + = +         + + − + + + − +  ÷  ÷  ÷  ÷             = + + −  ÷  ÷     với mọi x, trong đó 2 ( ) , . 3 4 t g t t R t = ∈ + Vì hàm g đồng biến trên R nên ( ) 0 0 1 1 ( ) 0 0 2 2 f x x f x g x g x x ′ = ⇔ =     ′ > ⇔ + > − ⇔ >  ÷  ÷     Ta có bảng biến thiên x −∞ 0 +∞ f’(x) - 0 + f(x) +∞ +∞ 2 Từ bảng biến thiên suy ra min ( ) 2 0f x x= ⇔ = . Bài toán 7: Cho a, b, x > 0 và a b≠ . Chứng minh rằng b x b a x a b x b + +     >  ÷  ÷ +     Giải: Xét hàm số ( ) , 0. b x a x f x x b x + +   = ≥  ÷ +   Khi đó ( ) ln ( ) ln a x f x b x b x +   = +  ÷ +   . Suy ra [ ] ln ( ) ( )ln a x f x b x b x ′ +   ′ = +   +   Phạm Văn Dũng 8 Phương pháp sử dụng đạo hàm chứng minh bất đẳng thức ( ) ln ( ) . ln ( ) f x a x b x a x a x b a b x f x b x a x b x b x a x ′ ′ + + + + −   ⇔ = + + = +  ÷ + + + + +   ( ) ( ) ln ln . ( ) b x b x a x b a f x f x b x a x a x a x b a a x g x b x b x a x b x + + + −   ′ ⇒ = + =  ÷ + +   + + − +       = + =  ÷  ÷  ÷ + + + +       trong đó ( ) ln a x b a g x b x a x + − = + + + . Ta có 2 2 2 2 ( ) ( ) . 0. ( ) ( ) ( ) ( ) b x b a a b a b g x a x b x a x a x b x + − − − ′ = + = − < + + + + + Do đó g(x) nghịch biến trên ( ) 0;+∞ . Suy ra ( ) lim ( ) lim ln 0 x x a x b a g x g x b x a x →∞ →∞ + −   > = + =  ÷ + +   . Vậy ( ) 0, 0f x x ′ > ∀ > , nên f(x) đồng biến trên ( ) 0;+∞ . Suy ra f(x) > f(0) (đpcm). Bài luyện tập Bài 1: Chứng minh rằng ( ) 1 1 1 2 , 0;1 x x x x x x e − − + > ∀ ∈ . HD: Xét hàm số ( ) 1 1 1 1 1 1 ( ) . (1 ) , 0;1 x x x x x x x x x f x x x x x x x x x − − − − − = + = + = + ∀ ∈ . Bài 2: Chứng minh rằng với mọi x > 0 ta có 3 3 5 sinx 3! 3! 5! x x x x x− < < − + . Bài 3: Chứng minh rằng với mọi x ta có 2 2 17 os 4cos 6 os 2cos 3 2 11c x x c x x≤ + + + − + ≤ + . Bài 4: Tìm tập giá trị của hàm số 2 2 ( ) 2 4 2 4f x x x x x= + + − − + . 1.3 Dạng 3: Kết hợp với các BĐT khác như BĐT AM-GM, BĐT Cauchy- Schwarz, BĐT Chebyshes,… Bài toán 8: Chứng minh rằng nếu 0 2 x π ≤ < thì sinx tanx 1 2 2 2 x+ + ≥ . Giải: Áp dụng BĐT AM-GM ta có sinx t anx sinx tanx 2 2 2. 2 .2+ ≥ . Ta chứng minh sinx tanx 1 s inx t anx 2 2 2 .2 2 2 2 sinx t anx 2 x x x + + ≥ ⇔ ≥ ⇔ + ≥ . Phạm Văn Dũng 9 Phương pháp sử dụng đạo hàm chứng minh bất đẳng thức Xét hàm số ( ) sinx tanx 2f x x= + − liên tục trên 0; 2 π       , có 2 2 2 1 1 ( ) cos 2 cos 2 0, 0; os os 2 f x x x x c x c x π   ′ = + − > + − ≥ ∀ ∈     . (vì với 0; 2 x π   ∈     thì 2 cos osx c x> và theo BĐT AM-GM ta có 2 2 1 cos 2 os x c x + ≥ ) Do đó f(x) đồng biến trên 0; 2 π       . Suy ra ( ) (0) 0f x f≥ = , hay sinx t anx 2x+ ≥ với mọi 0; 2 x π   ∈     (đpcm). Bài toán 9: (Olympic 30 - 4 - 1999) Chứng minh rằng 3 sinx cos , 0; 2 x x x π     > ∀ ∈  ÷  ÷     . Giải: Ta biến đổi 3 3 2 3 3 sinx sin cos cos sin .tan - x 0 (1) x x x x x x x   > ⇔ > ⇔ >  ÷   . Xét hàm số 2 3 ( ) sin .tan - f x x x x= với 0; 2 x π   ∈     . Ta có ( ) 2 2 2 2sin tan 3f x x x x ′ = + − . Áp dụng BĐT ( ) 2 2 2 2 3( )a b c a b c+ + ≥ + + ta có ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 1 sin sin tan 3 2sin tan 3 3 f x x x x x x x x ′ = + + − ≥ + − . Đặt ( ) 2sin tan 3 , 0; 2 g x x x x x π   = + − ∈ ÷    , thì ( ) 2 3 2 2 2 1 1 1 2cos 3 cos cos 3 3 cos . 3 0 cos cos cos g x x x x x x x x ′ = + − = + + − ≥ − = với mọi 0; 2 x π   ∈ ÷    , nên g(x) đồng biến trên 0; 2 π   ÷    . Suy ra ( ) ( ) 0 0, 0; 2 g x g x π   ≥ = ∀ ∈ ÷    . Do đó ( ) ( ) 2 2 1 3 3 0 3 f x x x ′ ≥ − = nên f(x) đồng biến trên 0; 2 π       . Suy ra ( ) ( ) 0 0, 0; 2 f x f x π   > = ∀ ∈     . Phạm Văn Dũng 10 [...]... thống và phân loại các bài toán có thể áp dụng đạo hàm vào giải, đồng thời thông qua các ví dụ cụ thể giúp học sinh khi đứng trước bài toán liên quan đến đạo hàm biết cách vận dụng Các bài toán trong chuyên đề đã được chọn lọc kĩ càng, khá đa dạng và phong phú Thông qua đó giúp học sinh hình thành được phương pháp giải toán khi gặp các bài toán cùng loại Chuyên đề này đã được đưa vào giảng dạy cho đội tuyển... nhiệm cao, với mong muốn phần nào giúp các thầy cô dạy Toán, các em THPT, các em trong ĐTQG có tài liệu tham khảo và học tập, cũng hi vọng các thầy cô giáo và các em tìm thấy nhiều bổ ích và lí thú ở chuyên đề Tuy nhiên chuyên đề chắc chắn sẽ không thể tránh khỏi những thiếu sót Tôi rất mong nhận được sự động viên, đóng góp chân thành của quý thầy cô và các em học để được ngày càng hoàn thiện hơn Tôi xin... Dũng 35 Phạm Văn Dũng Phương pháp sử dụng đạo hàm chứng minh bất đẳng thức TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Vẻ đẹp Bất đẳng thức trong các kì thi Olympic Toán học, Trần Phương, NXB ĐHQG Hà Nội, 2010 [2] Những viên kim cương trong bất đẳng thức Toán học, Trần Phương, 2009 [3] Sáng tạo bất đẳng thức, Phạm Kim Hùng, 2006 [4] Tạp chí Toán học và tuổi trẻ các số 298, 299, năm 2002 [5] Các đề thi HSG Quốc gia, thi tuyển... đa giác lồi k cạnh khi và chỉ khi a1 + a2 + + ak −1 > ak Do đó bài toán có thể diễn đạt lại là: Với điều kiện xn ≥ x1 + x2 + + xk −1 và xn ≥ xn −1 ≥ ≥ x1 , tìm GTNN của hàm số ( x1 + x2 + + xn )  1 1 1 g ( n, k ) = ( x1 + x2 + + xn )  + + + ÷ xn   x1 x2 Để làm điều đó ta sẽ thiết lập biểu thức liên hệ giữa g(n+1; k) và g(n; k) Giả sử rằng giá trị g(n; k) đã xác định và đẳng thức xảy ra tại... biến trên  0;  Do đó 6 2   1  f ( t) ≤ f  ÷= 0  2 f ′′ ( t ) < 0 ⇔ 0 < t <   Suy ra f ′ ( t ) ≥ f ′  Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi 1 A 1 π ⇔ sin = ⇔ A= 2 2 2 2 B −C π =1⇒ B = C = Thay vào ta được cos 2 4 t= Bài toán 19: 2 2 Cho hai số x, y khác 0 thay đổi thỏa mãn ( x + y ) xy = x + y − xy 17 ( *) Phạm Văn Dũng Phương pháp sử dụng đạo hàm chứng minh bất đẳng thức Chứng minh rằng 1... 1 2 2 + ≤ 4 và + = 4 ⇔ x = , z = x z x z 3 5 1 1 2 b) Xét hàm số h ( y ) = + với tham số z ≥ y z 5  1 Từ điều kiện (1) và (3) suy ra y ≥ max  z ,  (8)  5z  (7) Lập luận tương tự phần a) ta được 1 thì h ( y ) ≤ 2 5 (9) 5 2 1 9 • Nếu ≤ z ≤ thì h ( y ) ≤ (10) 5 5 2 • Nếu z ≥ So sánh (9) và (10) ta có 1 1 9 1 1 9 2 1 + ≤ và + = ⇔ x = , y = y z 2 x z 2 5 2 (11) So sánh kết quả phần a) và b) ta có... b − c) ( c − a) ( a + b + c) 3 Mở rộng một số bài toán thi vô địch Quốc tế Trong kì thi IMO 2004 có bài toán sau: Cho n là một số tự nhiên lớn hơn 2 và n số thực dương thỏa mãn 1 1 1 + + + ÷< n 2 + 1 xn   x1 x2 ( x1 + x2 + + xn )  Chứng minh rằng mọi bộ ba số trong n số đó đều là ba cạnh của một tam giác Mở rộng ta có bài toán sau: Giả sử n và k là hai số tự nhiên thỏa mãn n ≥ k > 2 Tìm số... nhiều biến, ta có thể chọn một biến là biến số biến thiên và cố định các biến còn lại, bài toán lúc này trở thành BĐT một biến Bài toán 27: Cho 0 < a, b ≤ 1 Chứng minh rằng tan a.tan b ≥ tan ab Giải: Giả sử a ≥ b Đặt f ( x ) = tan b.tan x − tan bx với b ≤ x ≤ 1 Ta có tan b b f ′( x ) = − 2 cos x cos 2bx 1 1 ≥ Do 0 < a, b ≤ 1 nên tan b > b > 0 và suy ra f ′ ( x ) > 0 , nên f 2 cos x cos 2bx đồng biến... 2 2 3 − 2 + 2 a2 + 1 b + 1 c + 1 1 c Giải: Biến đổi giả thiết thành a + c = b(1 - ac) > 0 suy ra a < , b = Thay (1) vào biểu thức P và biến đổi được 2( a + c) 2 3 P= 2 + 2 + −2 a + 1 c + 1 ( 1 + a 2 ) ( 1 + b2 ) 2 a+c 1 − ac ( 1) ( 2) 2( x + c) 1 1 + Xét hàm số f ( x ) = P = 2 với 0 < x < và coi c là tham x + 1 ( 1 + x2 ) ( 1 + c2 ) 2 2 số (c > 0) Ta có f ′( x ) = −2c ( x 2 + 2cx − 1) (1+ c ) (1+... f(x) trên  0;  2 Áp dụng vào bài toán ta được 7π   f ( A) + f ( B ) + f ( C ) ≥ 3 4 3 − ÷ 3   ⇔ tan A + tan B + tan C + 6 ( sin A + sin B + sin C ) ≥ 12 3 Nhận xét: Trong BĐT trên A, B, C bình đẳng nên ta dễ dàng kiểm tra được dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi A = B = C = dạng π Vì vậy ta cần chọn một hàm số có 3 f ( x ) = tan x + 6sin x + kx π  ÷ = 0 Do đó k = -7 và ta tìm được hàm đặc trưng . Đối tượng nghiên cứu - Các tài liệu: SGK, STK, các đề thi ĐH và HSG các cấp,… - Học sinh trường THPT Chuyên Hưng Yên và học sinh các đội tuyển HSG tỉnh, đội tuyển HSG Quốc gia. 6. Những đóng góp. toán. Đồng thời, thông qua chuyên đề hình thành kỹ năng, kỹ xảo cho học sinh. 7. Địa bàn Tại trường THPT Chuyên Hưng Yên. 8. Lịch sử nghiên cứu Bắt đầu từ năm 2005 thông qua việc giảng dạy bồi dưỡng. 5. Cách 2: Theo bài 5 ta có 3 sinx 6 x x <− , suy ra ( ) 3 3 2 2 4 6 2 4 sin 1 1 1 2 6 2 12 216 2 24 x x x x x x x x     > − = − + − > − +  ÷  ÷     Ta chứng minh được ( ) 2