TÍCH PHÂN ĐƯỜNG TÍCH PHÂN ĐƯỜNG CBGD. Lê Hoài Nhân Ngày 12 thá ng 4 năm 2013 CBGD. Lê Hoài Nhân () TÍCH PHÂN ĐƯỜNG Ngày 12 tháng 4 năm 2013 1 / 33 1 Tích phân đường loại 1 Định nghĩa - Cách tính Ứng dụng 2 Trường vector 3 Tích phân đường loại 2 Định nghĩa - Cách tính Tích phân trên đường cong kín Tích phân của trường bảo toàn Ứng dụng CBGD. Lê Hoài Nhân () TÍCH PHÂN ĐƯỜNG Ngày 12 tháng 4 năm 2013 2 / 33 Định nghĩa CBGD. Lê Hoài Nhân () TÍCH PHÂN ĐƯỜNG Ngày 12 tháng 4 năm 2013 3 / 33 Định nghĩa Cho hàm số f (x, y, z) xác định trên cung L từ A đến B. CBGD. Lê Hoài Nhân () TÍCH PHÂN ĐƯỜNG Ngày 12 tháng 4 năm 2013 3 / 33 Định nghĩa Cho hàm số f (x, y , z) xác định trên cung L từ A đến B. Chia cung AB thành n cung nhỏ không giẫm lên nhau bởi các điểm chia liên tiếp: A ≡ A 0 , A 1 , , A n ≡ B. CBGD. Lê Hoài Nhân () TÍCH PHÂN ĐƯỜNG Ngày 12 tháng 4 năm 2013 3 / 33 Định nghĩa Cho hàm số f (x, y , z) xác định trên cung L từ A đến B. Chia cung AB thành n cung nhỏ không giẫm lên nhau bởi các điểm chia liên tiếp: A ≡ A 0 , A 1 , , A n ≡ B. Ký hiệu độ dài cung A i−1 A i là ∆s i . CBGD. Lê Hoài Nhân () TÍCH PHÂN ĐƯỜNG Ngày 12 tháng 4 năm 2013 3 / 33 Định nghĩa Cho hàm số f (x, y , z) xác định trên cung L từ A đến B. Chia cung AB thành n cung nhỏ không giẫm lên nhau bởi các điểm chia liên tiếp: A ≡ A 0 , A 1 , , A n ≡ B. Ký hiệu độ dài cung A i−1 A i là ∆s i . Trên mỗi cung A i−1 A i chọn điểm M i tùy ý và lậ p tổng tích phân I n = n  i=1 f (M i ).∆s i . CBGD. Lê Hoài Nhân () TÍCH PHÂN ĐƯỜNG Ngày 12 tháng 4 năm 2013 3 / 33 Định nghĩa Cho hàm số f (x, y , z) xác định trên cung L từ A đến B. Chia cung AB thành n cung nhỏ không giẫm lên nhau bởi các điểm chia liên tiếp: A ≡ A 0 , A 1 , , A n ≡ B. Ký hiệu độ dài cung A i−1 A i là ∆s i . Trên mỗi cung A i−1 A i chọn điểm M i tùy ý và lậ p tổng tích phân I n = n  i=1 f (M i ).∆s i . Cho n → ∞ sao cho max ∆s i → 0. CBGD. Lê Hoài Nhân () TÍCH PHÂN ĐƯỜNG Ngày 12 tháng 4 năm 2013 3 / 33 Định nghĩa Cho hàm số f (x, y , z) xác định trên cung L từ A đến B. Chia cung AB thành n cung nhỏ không giẫm lên nhau bởi các điểm chia liên tiếp: A ≡ A 0 , A 1 , , A n ≡ B. Ký hiệu độ dài cung A i−1 A i là ∆s i . Trên mỗi cung A i−1 A i chọn điểm M i tùy ý và lậ p tổng tích phân I n = n  i=1 f (M i ).∆s i . Cho n → ∞ sao cho max ∆s i → 0. Nếu I n có giới hạn hữu hạn I không phụ thuộc và các chia cung AB và cách chọn M i thì I đượ c gọi là tích phân đường loại 1 của f trên cung AB. CBGD. Lê Hoài Nhân () TÍCH PHÂN ĐƯỜNG Ngày 12 tháng 4 năm 2013 3 / 33 Định nghĩa Cho hàm số f (x, y , z) xác định trên cung L từ A đến B. Chia cung AB thành n cung nhỏ không giẫm lên nhau bởi các điểm chia liên tiếp: A ≡ A 0 , A 1 , , A n ≡ B. Ký hiệu độ dài cung A i−1 A i là ∆s i . Trên mỗi cung A i−1 A i chọn điểm M i tùy ý và lậ p tổng tích phân I n = n  i=1 f (M i ).∆s i . Cho n → ∞ sao cho max ∆s i → 0. Nếu I n có giới hạn hữu hạn I không phụ thuộc và các chia cung AB và cách chọn M i thì I đượ c gọi là tích phân đường loại 1 của f trên cung AB. Ký hiệu I =  L f (x, y, z ).ds. CBGD. Lê Hoài Nhân () TÍCH PHÂN ĐƯỜNG Ngày 12 tháng 4 năm 2013 3 / 33 [...]... () TÍCH PHÂN ĐƯỜNG Ngày 12 tháng 4 năm 20 13 4 / 33 Cách tính Tùy thuộc vào phương trình của đường cong L mà ta chuyển tích phân đường loại 1 về tích phân xác định CBGD Lê Hoài Nhân () TÍCH PHÂN ĐƯỜNG Ngày 12 tháng 4 năm 20 13 4 / 33 Cách tính Tùy thuộc vào phương trình của đường cong L mà ta chuyển tích phân đường loại 1 về tích phân xác định Ta xét hai trường hợp lớn: L là đường cong phẳng và L là đường. .. / 33 Cách tính - L là đường cong phẳng Ví dụ 1 Tính tích phân I = x 2 ds với L là phần tư thứ nhất của L đường tròn x 2 + y 2 = 4 CBGD Lê Hoài Nhân () TÍCH PHÂN ĐƯỜNG Ngày 12 tháng 4 năm 20 13 6 / 33 Cách tính - L là đường cong phẳng Ví dụ 1 Tính tích phân I = x 2 ds với L là phần tư thứ nhất của L đường tròn x 2 + y 2 = 4 4 Ví dụ 2 Tính tích phân I = 4 2 2 2 (x 3 + y 3 )ds với L là x 3 + y 3 = a 3. .. gian CBGD Lê Hoài Nhân () TÍCH PHÂN ĐƯỜNG Ngày 12 tháng 4 năm 20 13 4 / 33 Cách tính - L là đường cong phẳng CBGD Lê Hoài Nhân () TÍCH PHÂN ĐƯỜNG Ngày 12 tháng 4 năm 20 13 5 / 33 Cách tính - L là đường cong phẳng Phương trình của L : x = x(t) với t ∈ [a, b] thì y = y (t) ds = CBGD Lê Hoài Nhân () x 2 (t) + y 2 (t)dt TÍCH PHÂN ĐƯỜNG Ngày 12 tháng 4 năm 20 13 5 / 33 Cách tính - L là đường cong phẳng Phương... = a 3 L CBGD Lê Hoài Nhân () TÍCH PHÂN ĐƯỜNG Ngày 12 tháng 4 năm 20 13 6 / 33 Cách tính - L là đường cong phẳng CBGD Lê Hoài Nhân () TÍCH PHÂN ĐƯỜNG Ngày 12 tháng 4 năm 20 13 7 / 33 Cách tính - L là đường cong phẳng Phương trình của L : y = y (x) với x ∈ [a, b] thì ds = CBGD Lê Hoài Nhân () 1 + y 2 (x)dx TÍCH PHÂN ĐƯỜNG Ngày 12 tháng 4 năm 20 13 7 / 33 Cách tính - L là đường cong phẳng Phương trình của... () TÍCH PHÂN ĐƯỜNG Ngày 12 tháng 4 năm 20 13 7 / 33 Cách tính - L là đường cong phẳng Phương trình của L : y = y (x) với x ∈ [a, b] thì 1 + y 2 (x)dx ds = Công thức b f (x, y (x)) f (x, y ).ds = L CBGD Lê Hoài Nhân () 1 + y 2 (x)dx a TÍCH PHÂN ĐƯỜNG Ngày 12 tháng 4 năm 20 13 7 / 33 Cách tính - L là đường cong phẳng CBGD Lê Hoài Nhân () TÍCH PHÂN ĐƯỜNG Ngày 12 tháng 4 năm 20 13 8 / 33 Cách tính - L là đường. .. z 2 (t)dt a TÍCH PHÂN ĐƯỜNG Ngày 12 tháng 4 năm 20 13 9 / 33 Cách tính - L là đường cong trong không gian CBGD Lê Hoài Nhân () TÍCH PHÂN ĐƯỜNG Ngày 12 tháng 4 năm 20 13 10 / 33 Cách tính - L là đường cong trong không gian Ví dụ 1 Tính tích phân I = x 2 ds với L là đường giao tuyến của L hai mặt phẳng x − y + z = 0 và x + y + 2z = 0 từ gốc đến điểm (3, 1, −2) CBGD Lê Hoài Nhân () TÍCH PHÂN ĐƯỜNG Ngày 12... năm 20 13 10 / 33 Cách tính - L là đường cong trong không gian Ví dụ 1 Tính tích phân I = x 2 ds với L là đường giao tuyến của L hai mặt phẳng x − y + z = 0 và x + y + 2z = 0 từ gốc đến điểm (3, 1, −2) Ví dụ 2 Tính tích phân I = 2y 2 + z 2 ds với L là đường giao L tuyến của mặt cầu x 2 + y 2 + z 2 = a2 và mặt phẳng y = x CBGD Lê Hoài Nhân () TÍCH PHÂN ĐƯỜNG Đs: a2 Ngày 12 tháng 4 năm 20 13 10 / 33 Ứng... CBGD Lê Hoài Nhân () TÍCH PHÂN ĐƯỜNG Ngày 12 tháng 4 năm 20 13 11 / 33 Ứng dụng hình học Độ dài cung L = ds L CBGD Lê Hoài Nhân () TÍCH PHÂN ĐƯỜNG Ngày 12 tháng 4 năm 20 13 11 / 33 Ứng dụng hình học Độ dài cung L = ds L Ví dụ 1 Tính độ dài một nhịp của đường Cycloid x = a.(t − sint), y = a.(1 − cos t) với t ∈ [0, 2π] CBGD Lê Hoài Nhân () TÍCH PHÂN ĐƯỜNG Ngày 12 tháng 4 năm 20 13 11 / 33 ... () TÍCH PHÂN ĐƯỜNG Ngày 12 tháng 4 năm 20 13 5 / 33 Cách tính - L là đường cong phẳng Phương trình của L : x = x(t) với t ∈ [a, b] thì y = y (t) ds = x 2 (t) + y 2 (t)dt Công thức b f (x(t), y (t)) f (x, y ).ds = L CBGD Lê Hoài Nhân () x 2 (t) + y 2 (t)dt a TÍCH PHÂN ĐƯỜNG Ngày 12 tháng 4 năm 20 13 5 / 33 Cách tính - L là đường cong phẳng CBGD Lê Hoài Nhân () TÍCH PHÂN ĐƯỜNG Ngày 12 tháng 4 năm 20 13 6... 4 năm 20 13 8 / 33 Cách tính - L là đường cong phẳng Ví dụ 1 Tính tích phân I = xds với L là phần parabol y = x2 từ 2 L x = 0 đến x = 2 CBGD Lê Hoài Nhân () TÍCH PHÂN ĐƯỜNG Ngày 12 tháng 4 năm 20 13 8 / 33 Cách tính - L là đường cong trong không gian CBGD Lê Hoài Nhân () TÍCH PHÂN ĐƯỜNG Ngày 12 tháng 4 năm 20 13 9 / 33 Cách tính - L là đường cong trong không gian   x = x(t) y = y (t) với t ∈ [a, b] . Hoài Nhân () TÍCH PHÂN ĐƯỜNG Ngày 12 tháng 4 năm 20 13 2 / 33 Định nghĩa CBGD. Lê Hoài Nhân () TÍCH PHÂN ĐƯỜNG Ngày 12 tháng 4 năm 20 13 3 / 33 Định nghĩa Cho hàm số f (x, y, z) xác định trên cung. Hoài Nhân () TÍCH PHÂN ĐƯỜNG Ngày 12 tháng 4 năm 20 13 3 / 33 Cách tính CBGD. Lê Hoài Nhân () TÍCH PHÂN ĐƯỜNG Ngày 12 tháng 4 năm 20 13 4 / 33 Cách tính Tùy thuộc và o phương trì nh của đường cong. () TÍCH PHÂN ĐƯỜNG Ngày 12 tháng 4 năm 20 13 4 / 33 Cách tính - L là đường cong phẳng CBGD. Lê Hoài Nhân () TÍCH PHÂN ĐƯỜNG Ngày 12 tháng 4 năm 20 13 5 / 33 Cách tính - L là đường cong phẳng Phương