Kinh nghiệm giảng dạy Hoàng Hải Dương PHẦN MỞ ĐẦU ĐẶT VẤN ĐỀ I. Mở đầu Toán học là bộ môn khoa học cơ bản, được ứng dụng trong các ngành khoa học khác. Hiện nay, chúng ta đang thực hiện chương trình cải cách giáo dục với nội dung và kiến thức ngày càng cao. Việc đòi hỏi học sinh phải nắm được kiến thức cơ bản theo yêu cầu mới là học sinh phải biết vận dụng lý thuyết vào giải quyết các bài tập thực tế. Trong chương trình toán học THCS, ở mỗi phân môn như: Số học, Đại số, Hình học…. đều có những dạng toán riêng. Mỗi dạng toán đòi hỏi phải có những phương pháp riêng, phương pháp nghiên cứu nó một cách hợp lý thì mới có thể học và đào tạo sâu được kiến thức cũng như việc hình thành kỹ năng, kỹ xảo cho học sinh. Khi giải các bài tập toán học không những đòi hỏi học sinh phải linh hoạt trong việc áp dụng các công thức mà còn phải biết đào sâu khai thác, phát triển bài toán để tổng quát hóa, khái quát hoá kiến thức. Trong quá trình giảng dạy phương trình trong chương trình đại số 8, 9, bản thân tôi thấy giải phương trình bậc cao là một vấn đề khó và nan giải đối với các em học sinh. Việc giải phương trình bậc cao đối với học sinh THCS chỉ đòi hỏi ở mức độ đơn giản, chủ yếu là từ phương trình đặc biệt đưa về phương trình bậc nhất và phương trình bậc hai nhằm rèn luyện kỹ năng giải phương trình bậc nhất và phương trình bậc hai. Qua đó cũng hướng cho học sinh tư duy khái quát hơn về phương trình để các em làm quen dần với cách giải phương trình trong chương trình THPT. Với suy nghĩ đó tôi mạnh dạn đưa ra đây các phương pháp giải một số phương trình bậc cao đặc biệt để giúp các em học sinh nâng cao kỹ năng và kiến thức giải phương trình. II. Nhiệm vụ nghiên cứu Phương trình bậc nhất một ẩn, phương trình bậc hai một ẩn, phương trình tích, phương trình đối xứng bậc chẵn, phương trình đối xứng bậc lẻ, phương trình phản thương, phương trình hồi quy, phương trình trùng phương, phương trình tam thức và một số phương trình có dạng đặc biệt khác. Một số phương pháp giải các phương trình bậc cao trên và các bài tập minh hoạ. Trang 1 Kinh nghiệm giảng dạy Hoàng Hải Dương III. Đối tượng nghiên cứu Học sinh lớp 8, 9 của trường THCS Giúp học sinh giải một số phương trình bậc cao trong chương trình toán lớp 8, 9 IV. Phương pháp nghiên cứu. Tham khảo tài liệu, thu thập tài liệu, đúc rút tổng kết kinh nghiệm, kiểm tra kết quả (dự giờ, kiểm tra chất lượng học sinh, nghiên cứu hồ sơ giảng dạy, kiểm tra trực tiếp thông qua các giờ học thể hiện trên nhiều đối tượng học sinh khác nhau: Học sinh khá giỏi, học sinh trung bình, yếu về môn toán). V. Phạm vi nghiên cứu Giới hạn ở vấn đề giảng dạy phần giải các phương trình bậc cao trong chương trình toán THCS. Trang 2 Kinh nghiệm giảng dạy Hoàng Hải Dương PHẦN THỨ HAI GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ NHỮNG KIẾN THỨC CƠ SỞ 1. Định nghĩa phương trình bậc cao Ta gọi phương trình đại số bậc n (n ≥ 3) ẩn x trên tập số thực là các phương trình được đưa về dạng: a n x n + a n-1 x n-1 + + a 1 x + a o = 0, trong đó n ∈¢ ; 1 2 n a ;a ; a ∈¡ ; a n ≠ 0 2. Định lý: Trên tập số thực, mọi phương trình bậc n luôn phân tích được thành tích của các nhị thức bậc nhất và các tam thức bậc hai. 3. Phương trình bậc nhất một ẩn Dạng tổng quát ax + b = 0 trong đó a,b∈¡ ; a ≠ 0 . Phương trình có nghiệm: b x a − = . * Chú ý: Giải phương trình mx + n = 0, phương trình đã cho chưa chắc đã là phương trình bậc nhất nên khi giải cần phải xem xét hết các trường hợp : + Nếu m ≠ 0 thì phương trình có nghiệm duy nhất − = n x m . + Nếu m = 0 thì phương trình có dạng 0x = n. - Nếu n = 0 thì phương trình vô số nghiệm - Nếu n ≠ 0 thì phương trình vô nghiệm 4. Phương trình bậc hai một ẩn Dạng tổng quát: 2 ax bx c 0+ + = với a 0≠ . Xét ∆ = b 2 – 4ac + ∆ < 0 thì phương trình vô nghiệm + ∆ = 0 thì phương trình có nghiệm kép: 1 2 b x x 2a − = = + ∆ > 0 thì phương trình có 2 nghiệm phân biệt: 1,2 b x 2a − ± ∆ = 5. Định lý: + Phương trình a n x n + a n-1 x n-1 + + a 1 x + a o = 0 nếu có nghiệm hữu tỷ thì nghiệm đó là ước của 0 n a a . + P(x) = 0 có nghiệm là a thì P(x) M ( x - a). MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP THƯỜNG DÙNG ĐỂ GIẢI PHƯƠNG TRÌNH BẬC CAO. Trang 3 Kinh nghiệm giảng dạy Hoàng Hải Dương Ở phổ thông không học phép giải tổng quát cho phương trình bậc 3, bậc 4 còn phương trình bậc 5 không có phép giải tổng quát. Tuy nhiên trong một số trường hợp đặc biệt có thể đưa phương trình cần giải về phương trình bậc một, bậc hai. Ta phải dựa vào đặc thù của phương trình cần giải để có phương pháp thích hợp. Giải và giảng dạy các bài toán về giải phương trình bậc cao quy về bậc nhất một ẩn số hoặc bậc hai nằm trong quá trình giải phương trình bậc nhất, bậc hai. Nói chung là bao gồm nhiều dạng và phong phú được các nhà toán học và sư phạm quan tâm và đề cập tới nhều trong tài liệu, tập san toán học Căn cứ vào mục đích ý nghĩa kết quả điều tra và thực tế giảng dạy chương phương trình. Trong quá trình giảng dạy bản thân tôi đã nghiên cứu áp dụng lý luận trong quá trình dạy học, các phương pháp đặc trưng bộ môn, áp dụng các kiến thức đã học để đưa các phương trình bậc cao về phương trình bậc nhất, bậc hai bằng nhiều cách. I. PHƯƠNG PHÁP 1: Đưa về phương trình tích Phương trình tích là phương trình có dạng: F(x).G(x)… H(x) = 0 (1) F(x) 0 G(x) 0 H(x) 0 =   =  ⇔    =  (2) Để đưa phương trình đã cho về dạng (2) ta có thể dùng các cách sau: - Phân thích đa thức thành nhân tử: - Đặt nhân tử chung - Dùng hằng đẳng thức. - Nhóm nhiều hạng tử. - Thêm (bớt) các hạng tử. - Phối hợp nhiều phương pháp nêu trên. * Ví dụ 1: Giải phương trình: 3 3 3 3 ( 1) ( 1) ( 2)− + + + = +x x x x (1) * Lời giải 3 3 3 3 (x 1) x (x 1) (x 2)− + + + = + ⇔ x 3 - 3x 2 + 3x - 1 + x 3 + x 3 + 3x 2 + 3x + 1 = x 3 + 6x 2 + 12x + 8 ⇔ x 3 - 3x 2 - 3x - 4 = 0 ⇔ x 3 - 1 - 3x 2 - 3x - 3 = 0 ⇔ (x-1)(x 2 + x + 1) - 3(x 2 + x + 1) = 0 ⇔ (x 2 + x + 1)(x - 4) = 0 Trang 4 Kinh nghiệm giảng dạy Hoàng Hải Dương Với học sinh lớp 8 làm như sau: Do x 2 + x + 1 = 2 1 3 x 0 2 4   + + >  ÷   nên phương trình có một nghiệm x = 4 Với học sinh lớp 9: (*) ⇔    = =++ (**) 0 4-x (*) 01 x x 2 Giải phương trình (*) 0341 <−=−=∆ nên (*) vô nghiệm Giải (**) ta được x =4 Vậy phương trình đã cho có 1 nghiệm là x = 4 Việc nhẩm nghiệm các phương trình dựa trên các cơ sở sau: - Nếu đa thức có tổng các hệ số bằng 0 thì 1 là nghiệm của đa thức, đa thức chứa thừa số x - 1. - Nếu đa thức có tổng các hệ số của một số hạng bậc chẵn bằng tổng các hệ số của số hạng bậc lẻ thì -1 là nghiệm của đa thức, đa thức chứa thừa số (x + 1). - Mọi nghiệm nguyên của đa thức đều là ước của hệ số tự do là a 0 . * Ví dụ 2: Giải phương trình: x 3 – 7x 2 + 12x – 6 = 0 (2) * Lời giải (1) ⇔ x 3 – x 2 – 6x 2 + 6x + 6x – 6 = 0 ⇔ x 2 (x – 1) – 6x(x – 1) + 6(x – 1) = 0 ⇔ (x –1)(x 2 – 6x + 6) = 0 ⇔ 2 x 1 x 1 x 6x 6 0 x 3 3 = =   ⇔   − + = = ±   * Ví dụ 3: Giải phương trình: (x – 1) 3 +(2x + 3) 3 = 27x 3 + 8 (3) * Lời giải (2) ⇔ x 3 – 3x 2 + 3x – 1 +8x 3 + 36x 2 + 54x + 27 = 27x 3 + 8 ⇔ 18x 3 – 33x 2 –57x – 18 = 0 ⇔ 3(6x 3 –11x 2 – 19x – 6) = 0 ⇔ 6x 3 – 18x 2 + 7x 2 –21x +2x – 6 = 0 ⇔ 6x 2 (x – 3) + 7x(x – 3) + 2(x – 3) = 0 ⇔ (x – 3)(6x 2 + 7x + 2) = 0 Trang 5 Kinh nghiệm giảng dạy Hoàng Hải Dương ⇔ 2 x 3 x 3 7 97 6x 7x 2 0 x 12 =  =   ⇔  − ±  + − = =    * Ví dụ 4: Giải phương trình: 4 2 x 4 5x x 2 + = − (Đề thi vảo trường Lê Hồng Phong, TPHCM , năm 2003 - 2004) * Lời giải 4 4 3 2 x 4 5x x 5x 10x 4 0 x 2 + = ⇔ − + + = − 2 2 x 2 x 2 (x 2)(x 1)(x 4x 2) 0 x 1 x 1 x 4x 4 6 x 2 6  = =    ⇔ − + − − = ⇔ = − ⇔ = −     − + = = ±   Việc nhẩm nghiệm như ở trên sẽ gặp rất nhiều khó khăn nếu số hạng tự do là a 0 lớn và có nhiều ước số. Trong trường hợp này ta sẽ áp dụng nhận xét sau để đi loại trừ bớt các ước không là nghiệm của phương trình một cách nhanh chóng. * Ví dụ 5: 4x 3 - 13x 2 + 9x - 18 = 0 (5) * Lời giải U(18) ( ) 18;9;6;3;2;1 ±±±±±±∈ Hiển nhiên -1, 1 không là nghiệm của (4) ⇒ f(1) ≠ 0, f(-1) ≠ 0 Ta thấy f (1) 18 9 3 1 2 − = = − ∈ − ¢ f ( 1) 44 11 3 1 4 − − = = − ∈ + ¢ ⇒ Phương trình (4) có khẳ năng có nghiệm là x 1 = 3 Áp dụng lược đồ Hoócne ta đưa phương trình (5) về dạng sau: (x - 3)(4x 2 - x + 6) = 0 ⇔ x - 3 = 0 (*) 4x 2 - x + 6 = 0 (**) (*) ⇔ x = 3 (**) ⇔ 4x 2 - x + 6 = 0 ∆ = (-1) 2 - 4.4.6 < 0 ⇒ (**) vô nghiệm Nên phương trình (4) có một nghiệm là: x = 3 Trang 6 Kinh nghiệm giảng dạy Hoàng Hải Dương Chú ý: - Việc nhẩm nghiệm phương trình có thể nhẩm miệng rồi dùng thuật chia đa thức cho đa thức để hạ bậc rồi đưa phương trình về dạng tích. - Có thể dùng lược đồ Hoócne để xác định ước số nào của a 0 là nghiệm, ước số nào không là nghiệm và đưa ra ngay dạng phân tích. - Bài tập dạng này tương đối khó với học sinh nên khi dạy giáo viên cần lưu ý khai thác hết các giả thiết, nhận xét có thể sử dụng phương pháp nào, hằng đẳng thức nào phân tích cho thích hợp. Mỗi bài tập giải xong giáo viên nên chốt lại vấn đề và các kiến thức cần sử dụng trong quá trình giải bài tổng quát, bài tương tự, đặc biệt dùng để bồi dưỡng học sinh giỏi nhằm phát triển tư duy. II. PHƯƠNG PHÁP 2: Đặt ẩn phụ Phương pháp này thường được dùng với các dạng phương trình sau: 2.1 Phương trình trùng phương * Là phương trình có dạng ax 4 + bx 2 + c = 0 (a ≠ 0) (1) * Cách giải Đặt x 2 = y (với y ≥ 0) thì (1) ⇔ ay 2 + by + c = 0 2.2 Phương trình đối xứng bậc chẵn Là phương trình có dạng: a 0 x 2n + a 1 x 2n-1 + + a n-1 x n+1 +a n x n + a n+1 x n-1 + + a 1 x + a 0 = 0 (2) với 0 a 0≠ * Cách giải - Nếu x = 0 không là nghiệm của phương trình (2) thì ta chia cả hai vế của phương trình (2) cho x n ≠ 0 (1) ⇔ n n 1 1 0 0n 1 0 1 n 1 n n aa a x a x a x a x x x − − − + + + + + + + = 0 ⇔ n n 1 0 1 0 n n n 1 1 1 a x a a x a 0 x x − −     + + + + + =  ÷  ÷     = 0 Đặt 1 y x x = + ⇒ ta đưa phương trình (2) về phương trình bậc n với ẩn y 2.3 Phương trình đối xứng bậc lẻ * Là phương trình có dạng a 0 x 2n+1 + a 1 x 2n + + a n+1 x n+1 +a n x n + a n-1 x n-1 + + a 1 x + a 0 = 0 (3) với 0 a 0≠ * Cách giải Trang 7 Kinh nghiệm giảng dạy Hoàng Hải Dương Phương trình này luôn có nghiệm x = -1 ⇒ ta chia cả hai vế của phương trình (3) cho x + 1 ta được phương trình đối xứng bậc chẵn. 2.4 Phương trình phản thương * Là phương trình có dạng: ax 4 + bx 3 + cx 2 - bx + a = 0 (4) với a 0≠ hoặc ax 4 - bx 3 + cx 2 + bx + a = 0 (5) với a 0≠ * Cách giải Ta nhận thấy x = 0 không là nghiệm của (4) suy ra ta chia cả hai vế của phương trình cho x 2 ta có: (4) ⇔ 2 2 1 1 ax bx c b a 0 x x + + − + = ⇔ 2 2 1 1 a x b x c 0 x x     + + − + =  ÷  ÷     Đặt 1 y x x = − ⇒ 2 2 2 1 x y 2 x + = + ⇒ ta có phương trình ay 2 + by + c + 2a = 0 Tương tự cho phương trình (5) ta đặt 1 y x x = + 2.5. Phương trình hồi quy * Là phương trình có dạng : ax 4 + bx 3 + cx 2 + dx + e = 0 (6) trong đó 2 2 e d t a b   = =  ÷   với a 0≠ * Cách giải: Khi x = 0 không là nghiệm của (6) thì ta chia cả hai vế của (6) cho x 2 ta có: (6) ⇔ 2 2 1 1 ax bx c d e 0 x x + + + + = ⇔ 2 2 1 1 ax e bx d c 0 x x     + + + + =  ÷  ÷     ⇔ 2 2 2 t t a x d x c 0 x x     + + + + =  ÷  ÷     Đặt t y x x = + lúc đó (6) ⇔ ay 2 + by + c + 2at = 0 2.6. Phương trình có dạng: (x+a) 4 +(x+b) 4 = c (7) * Cách giải: Đặt a b a b y x x y 2 2 + + = + ⇒ = − (7) ⇔ 4 4 2 2 (a b) 2y 3(a b) y c 0 8 − + − + − = 2.7. Phương trình có dạng: (x+a)(x+b)(x+c)(x+d) = mx 2 trong đó ad = bc Trang 8 Kinh nghiệm giảng dạy Hoàng Hải Dương * Cách giải: Ta nhóm [(x+a)(x+d)][(x+b)(x+c)] = mx 2 ⇔ [x 2 + (a+d)x + ad][x 2 + (b + c)x + bc] = mx 2 (8) Ta thấy x = 0 không là nghiệm của phương trình (8) ta chia cả hai vế của phương trình (8) cho x 2 thì (8) ⇔ ad bc x (a d) x (c b) m x x     + + + + + + =         Đặt ad y x x = + (8) ⇔ (y a d)(y c d) m+ + + + = 2.8. Phương trình có dạng (x+a)(x+b)(x+c)(x+d) = m trong đó a+d = b+c * Cách giải Ta nhóm [(x+a)(x+d)][(x+b)(x+c)] = m (1) Đặt y = (x+a)(x+d) thay vào phương trình (1) ta tìm đực y 0 Giải phương trình (x+a)(x+d) = y 0 ta có x 0 là nghiệm của phương trình (1) 2.9. Phương trình tam thức Là phương trình có dạng: ax 2n + bx n + c = 0 (10) với a ≠ 0 trong đó a, b, c ∈¡ , n là nguyên dương, n > 2 Nếu a, b, c ∈¡ * và n = 2 thì phương trình (10) là phương trình trùng phương * Cách giải : Đặt x n = y thì (10) ⇔ n 2 x y ay dy c 0  =   + + =   2.10. Phương trình có dạng: d(x + a)(x + b)(x + c) = mx trong đó 2 + + = a b c d , m = (d - a)(d - b)(d - c). * Cách giải : * Chú ý: Trên thực tế, nhiều phương trình bậc cao phải biến đổi mới đưa về các dạng cơ bản nói trên * Ví dụ 1: Giải phương trình x 4 – 5x 2 + 6 = 0 (1) * Lời giải: Đặt x 2 = y (y ≥ 0) ⇒ (1) ⇔ y 2 – 5 y + 6 = 0 ⇔ (y – 2)(y – 3) = 0 ⇔ y 2 y 3 =   =  + Nếu y = 2 ⇔ x 2 = 2 ⇒ x 2= ± + Nếu y = 3 ⇔ x 2 = 3 ⇒ x 3= ± Trang 9 Kinh nghiệm giảng dạy Hoàng Hải Dương * Ví dụ 2: Giải phương trình: x 4 – 5x 3 + 6x 2 – 5x + 1 = 0 (2) (Đề thi tốt nghiệp THCS tỉnh Hưng Yên , năm 1996 - 1997) * Lời giải: Ta thấy x = 0 không là nghiệm của (2), chia cả hai vế của (2) cho x 2 ≠ 0 ta được 2 2 5 1 x 5x 6 0 x x − + − + = 2 2 1 1 x 5 x 6 0 x x     ⇔ + − − + =  ÷  ÷     (*) Đặt 2 2 2 1 1 y x x y 2 x x = − ⇒ + = + (*) ⇔ y 2 – 5y + 8 = 0 Xét ∆ = 25 – 40 < 0 ⇒ phương trình đã cho vô nghiệm. * Ví dụ 3: Giải phương trình x 5 + 4x 4 + x 3 + x 2 + 4x +1 = 0 (3) * Lời giải: (2) ⇔ (x + 1)(x 4 + 3x 3 – 2x 2 + 3x + 1) = 0 ⇔ 4 3 2 x 1 x 3x 2x 3x 1 0 (*) = −   + − + + =  Giải (*) : x 4 +3x 3 – 2x 2 + 3x + 1 = 0 Ta thấy x = 0 không là nghiệm của (*), chia cả 2 vế của (*) cho x 2 ≠ 0 ta được: 2 2 3 1 x 3x 2 0 x x + − + + = ⇔ 2 2 1 1 x 3 x 2 0 x x     + + + − =  ÷  ÷     Đặt 2 2 2 1 1 y x x y 2 x x = + ⇒ + = − ta được y 2 + 3y - 4 = 0 ⇒ y 1 = 1, y 2 = -4 - Nếu y 1 = 1 ⇔ 1 x 1 x + = ⇔ x 2 - x + 1 = 0 ⇒ PT vô nghiệm - Nếu y 2 = -4 ⇔ 1 x 4 x + = − ⇔ x 2 + 4x + 1 = 0 ⇔ 1,2 x 2 3= − ± * Ví dụ 4: Giải phương trình (3x + 4)(x + 1)(6x + 7) 2 = 6 (4) (Đề thi vào THPT Chuyên ĐHSP Hà Nội, năm 2006 - 2007) * Lời giải: 2 (3x 4)(x 1)(6x 7) 6+ + + = ⇔ 2 (6x 8)(6x 6)(6x 7) 72 (*)+ + + = Đặt 6x + 7 = t, ta có: (*) ⇔ 2 4 2 (t 1)(t 1)t 72 t t 72 0 t 3+ − = ⇔ − − = ⇔ = ± Trang 10 [...]... Vận dụng các định lý các tính chất đã học vào giải bài tập, có phương pháp để giải một bài đại số Các em đã bước đầu biết khám phá ra điều mới mẻ của bài tập thông qua các tình huống có vấn đề - Học sinh khá giỏi rất sôi nổi và hướng thú trong học tập, các em biết tìm tòi khám phá các bài tập tương tự, các em đã biết chủ động đề xuất các vấn đề mới liên quan, có em biết sáng tạo trong giải bài tập, có... Kinh nghiệm giảng dạy Hoàng Hải Dương Một số cách giải phương trình bậc cao đưa về phương trình bậc nhất và bậc hai trong chương trình lớp 8, 9 hiện nay mà bản thân tôi đã đúc rút trong quá trình giảng dạy, trong một chừng mực nào đó vấn đề dạy và học các phương pháp và tìm lời giải cho các bài tập thực sự có tác dụng cho học sinh để học sinh làm quen với phương pháp suy nghĩ, tìm tòi Giáo viên cần... IV Phương pháp nghiên cứu V Phạm vi nghiên cứu GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ A Những kiến thức cơ sở B Một số phương pháp thường dùng để giải phương trình bậc cao Phương pháp 1: Đưa về phương trình tích Phương pháp 2: Đặt ẩn phụ Phương pháp 3: Đưa về luỹ thừa cùng bậc Phương pháp 4: Dùng bất đẳng thức Phương pháp 5: Dùng hệ số bất định Phương. .. chất về số nghiệm của phương trình Người ta chứng minh được rằng phương trình đại số bậc n có không quá n nghiệm thực Do đó nếu ta chỉ ra được n nghiệm của phương trình đại số bậc n thì đó là tất cả các nghiệm của phương trình đó * Ví dụ 1: Giải phương trình (m2 – m)2(x2 – x + 1)3 = (x2 – x)2(m2 – m +1)3 với m là tham số (1) * Lời giải: Nhận xét + x = m là một nghiệm của phương trình (1) + Với m = 0... y = x + III PHƯƠNG PHÁP 3: Đưa về luỹ thừa cùng bậc Ta thêm bớt hạng tử để xuất hiện hằng đẳng thức thích hợp rồi từ đó đưa về hai vế của phương trình về luỹ thừa cùng bậc Bằng cách biến đổi hai vế của phương trình ta đưa phương trình đẵ cho về phương trình có dạng: An = Bn + Nếu n là số chẵn thì A = ± B + Nếu n là số lẻ thì A = B * Ví dụ 1: Giải phương trình x4 = 2x2 + 8x +3 (1) (Đề thi vào THPT tình... Phương trình (1) có dạng (x2 - 5x + 2)(x2 + x - 7) = 0 Trang 15 Kinh nghiệm giảng dạy Hoàng Hải Dương Tiếp tục giải các phương trình bậc hai: x 2 - 5x + 2 = 0 và x 2 + x - 7 = 0 ta có nghiệm của phương trình (1) là: 5 + 17 5 − 17 −1+ 29 −1− 29 x1 = ; x2 = ; x3 = ; x4 = 2 2 2 2 * Chú ý: Với phương pháp này có thể giải được với phương trình không có nghiệm hữu tỷ VI PHƯƠNG PHÁP 6: Dùng tính chất về số. .. thể đối với tùng đối tượng học sinh, tăng cường công tác kiểm tra bài cũ, có biện pháp khích lệ những các giải hay, hạn chế tối đa cho học sinh tâm lý chán môn học, ỷ nại và chờ giáo viên chữa bài tập Trên đây tôi đã trình bày một số kinh nghiệm khi dạy học sinh về phương trình bậc cao Với chủ quan của bản thân chắc chắn còn nhiều hạn chế và thiếu xót Mong nhận được sự góp ý Tôi xin chân thành cám ơn... dụng được sau khi học sinh học xong phần kiến thức về phương trình bậc nhất (ở lớp 8) và phương trình bậc 2 (ở lớp 9) và từ thời gian đó đến các kỳ thi không còn nhiều thời gian Chính vì vậy người thầy phải chủ động phần kiến thức cơ bản và trọng tâm của kiến thức đại số THCS, ôn luyện cho học sinh một cách có có hệ thống thông qua các dạng bài tập Khó khăn khi áp dụng của sáng kiến: Kiến thức có liên... nghiệm: m; 2 1 1 1 1 (1-m); ; 1- ; ; 1 m m 1− m 1− m VII MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP KHÁC * Ví dụ 1: Giải phương trình 2x4 – 10x2 + 17 = 0 (1) * Lời giải: (1) ⇔ x4 – 2x2 + 1 + x4 – 8x2 + 16 = 0 ⇔ (x2 – 1)2 + (x2 – 4)2 = 0 Không xẩy ra đồng thời x2 = 1 và x2 = 4 Vậy phương trình vô nghiệm * Ví dụ 2: Giải phương trình x4 – x3 + 2x2 – x + 1 = 0 (2) * Lời giải: (2) ⇔ (x2 + 1)2 – x(x2 + 1) = 0 ⇔ (x2 + 1)(x2 – x +... + 10 – x = 1 ⇒ phương trình vô nghiệm Vậy phương trình đã ch có 2 nghiệm là x = 9; x = 10 3 * Ví dụ 2: Giải phương trình ( x − 1)3 − ( x − 5)3 + 8 = 216( x − 1)3 (5 − x)3 (2)   * Lời giải: Đặt x – 1 = y ; 5 – x = z Ta có (y3 + z 3 + 8)3 = 216y3z 3 Theo BĐT Côsi : (y3 + z 3 + 8)3 ≥ 216y 3z 3 Vậy y = z = 2, do đó x = 3 V PHƯƠNG PHÁP 5: Dùng hệ số bất định Giả sử phương trình trình bậc 4: x4 + ax3 . cần giải để có phương pháp thích hợp. Giải và giảng dạy các bài toán về giải phương trình bậc cao quy về bậc nhất một ẩn số hoặc bậc hai nằm trong quá trình giải phương trình bậc nhất, bậc hai xứng bậc chẵn, phương trình đối xứng bậc lẻ, phương trình phản thương, phương trình hồi quy, phương trình trùng phương, phương trình tam thức và một số phương trình có dạng đặc biệt khác. Một số. quát hơn về phương trình để các em làm quen dần với cách giải phương trình trong chương trình THPT. Với suy nghĩ đó tôi mạnh dạn đưa ra đây các phương pháp giải một số phương trình bậc cao đặc