Trờng THCS Hồng Hng Năm học 2011 - 2012 Ngày soạn : 13/10/11 Ngày dạy : 18/10/11 Chủ đề Hệ thức lợng tam giác vuông Buổi Một số hệ thức cạnh đờng cao tam giác vuông tỉ số lợng giác góc nhọn A/Mục tiêu Học xong buổi học HS cần phải đạt đợc : Kiến thức - Ôn tập hệ thức cạnh đờng cao tam giác vuông - Ôn tập định nghĩa tính chất tỉ số lợng giác góc nhọn - Học sinh vận dụng đợc kiến thức đà học để giải tập Kĩ - Rèn kĩ vận dụng hệ thức, định nghĩa, tính chất - Nâng cao khả t Thái độ - Học sinh có thái độ học tập đắn, cần cù, chịu khó B/Chuẩn bị thầy trò - GV: Thớc, compa, máy tính - HS: Thớc, compa, máy tính C/Tiến trình dạy I Tỉ chøc – sÜ sè II KiĨm tra bµi cũ (10 phút) - HS1: Vẽ hình viết hệ thức cạnh đờng cao tam giác vuông - HS2: Phát biểu lời hệ thức III Bài (105 phút) Hệ thức cạnh đờng cao tam giác vuông I Lí thuyết: Cho ABC vuông A, đờng cao AH với kÝ hiƯu qui −íc nh− h×nh vÏ b2 = a.b ' c = a.c ' h = b '.c ' a.h = b.c 1 = 2+ 2 h b c II Bài tập: Bài 1: Giáo án Bồi dỡng HSG Phần H×nh häc Tr−êng THCS Hång H−ng GT AB = AC S AH = 30 cm KL TÝnh HB , HC Giải: - Xét ABH CAH Cã AHB = AHC = 900 ; ABH = CAH (cïng phơ víi gãc BAH ) ∆ CAH (g.g) ⇒ ∆ ABH AB = AC ⇒ AB AH = CA CH ⇒ 30 = CH ⇒ CH = 30.6 = 36 m +) Mặt khác BH.CH = AH2 ( định lí 2) BH = AH 30 = = 25 CH 36 ( cm ) VËy BH = 25 cm ; HC = 36 (cm ) P Bµi 2: E Cho ∆ ABC vu«ng ë A cã AB = 6cm, AC = 8cm Từ A kẻ đờng cao AH xuống cạnh BC a) Tính BC, AH b) Tính C F c) Kẻ đờng phân giác AP BAC ( P BC ) Từ P kẻ PE PF lần lợt vuông góc với AB AC Hỏi tứ giác AEPF hình ? Giải: a) Xét ABC vuông A Ta cã: BC =AB2 + AC ( ®/l Pytago) ⇒ BC2 = 62 + 82 = 36 + 64 = 100 ⇒ BC = 10cm +) V× AH ⊥ BC (gt) ⇒ AB.AC = AH.BC ⇒ AH = AB AC 6.8 = = 4,8 BC 10 AB = ≈ 0, ⇒ C ≈ 370 BC 10 c) XÐt tø gi¸c AEPF cã: BAC = AEP = AFP = 900 (1) Mà APE vuông cân E AE = EP (2) Tõ (1); (2) ⇒ Tø gi¸c AEPF hình vuông b) Ta có: sinC = Bài 3: Cho tam giác ABC cân A Tính cạnh bên theo a h với BC = a, đờng cao AH = h Hớng dẫn: Tam giác ABC cân có AH đờng cao nên đờng trung tuyÕn => HB = HC = a - ¸p dụng định lí Py ta go tam giác vuông AHB, tính đợc AB = AC = 4h + a 2 Bµi 4: Cho tam giác ABC vuông A có B = 600 , đờng cao AH Giáo viên: Phạm Văn Hiệu Trờng THCS Hồng Hng Năm học 2011 - 2012 Chứng minh CH = AC = AH AB H−íng dÉn: Tam gi¸c ABC có B = 600 => Tam giác ABC vuông A nửa tam giác cạnh BC, đờng cao AC Ta cã: AC = 2AB = AB => AC = AB (1) T−¬ng tù: Tam giác AHC nửa tam giác => CH = (2) AH Tõ (1) vµ (2) => đpcm *) Lu ý: Độ dài đờng cao tam giác cạnh a a Bài 5: Cho tam giác ABC vuông A Biết BC = 25 cm, AB = 20 cm a) TÝnh c¹nh AC, đờng cao AH, đoạn thẳng BH, CH b) Kẻ từ H đờng thẳng song song với AB, đờng thẳng cắt AC N Tính HN, AN, NC = ? c) Tia phân giác góc AHB cắt cạnh AB M Tính độ dài đoạn thẳng AM, BM, MN = ? H−íng dÉn: AC = 15 cm (py – ta - go) AH = 12 cm; CH = cm; BH = 16 cm HN = 7,2 cm; AN = 9,6 cm; NC = 5, cm Theo tính chất đờng phân giác tam gi¸c ta cã: MB = HB = => MB = MA HA MA + MB => MB ≈ 11,43cm;MA ≈ 8,57cm vµ MN ≈ 12,9cm (py ta go) Bài 6: Cho tam giác ABC, biÕt AB = 11 cm, AC = 15 cm, BC = 20 cm Kẻ đờng cao AH a) Chứng minh hÖ thøc sau: HC2 − HB2 = AC2 − AB2 b) TÝnh HC, HB, AH = ? H−íng dÉn: Giáo án Bồi dỡng HSG Phần Hình học Trờng THCS Hồng Hng a) Trong tam giác vuông ABH, ta có 2 AH = AB − HB Trong tam giác vuông ACH, ta có 2 AH = AC − HC 2 2 => AB − HB = AC − HC 2 2 => HC − HB = AC − AB b) ¸p dơng hệ thức câu a tính đợc HC HB = 5,2 mµ HC + HB = 20 => HC = 12,6 cm; HB = 7,4 cm Tính đợc AH 8,14cm Tỉ số lợng giác góc nhọn I - Lí thuyết: a) Định nghĩa tỉ số lợng giác góc nhọn cạnh đối cạnh huyền cạnh đối tan α = c¹nh kỊ c¹nh kỊ c¹nh hun c¹nh kề cot = cạnh đối sin = cos α = α Ghi nhí: sin ®i häc , cos không h, tang đoàn kết, côtang kết đoàn b) Bảng tỉ số lợng giác số góc đặc biệt: 300 450 600 Tỉ số lợng giác sin 2 cosα 2 tanα 3 cotα 3 3 2 c) Mét sè tÝnh chÊt cđa c¸c tØ số lợng giác +) Định lí tỉ số lợng gi¸c cđa hai gãc phơ Cho hai gãc α phụ Khi đó: sin = cos; cos = sinβ; tanα = cotβ; 0 +) Cho < α < 90 Ta cã: cotα = tanβ < sin α < 1; < cos α < 1; sin α + cos α = tan α = sin α ; cot α = cos α ; tan α cot α = cos sin d) So sánh tỉ số lợng gi¸c 0 < α1 < α2 < 90 => sin α1 < sin α2 ;cos α1 > cos α2 ;tan α1 < tan α2 ;cot α1 > cot II - Bài tập: Giáo viên: Phạm Văn Hiệu Trờng THCS Hồng Hng Năm học 2011 - 2012 Bài 1: Cho cosα = 0,8 H·y t×m sin α , tan , cot (làm tròn đến chữ số thập phân thứ t) Hớng dẫn: áp dụng hệ thøc sau ®Ĩ tÝnh 2 sin α + cos α = 1; tan α = sin α ; cot α = cos α cos α sin α tan α = 0,75; cot α ≈ 1,3333 KÕt qu¶: sin α = 0,6; Bài 2: HÃy tìm sin; cos (làm tròn đến chữ số thập phân thứ t) biết b) cotα = a) tanα = H−íng dÉn: a) tanα = => α lµ mét gãc nhọn tam giác vuông có hai cạnh góc vuông 3, từ tính đợc cạnh hun kho¶ng 3,1623 => sin α ≈ 0,3162 ; cos α ≈ 0,9487 b) T−¬ng tù: sin α = 0,8 ; cos = 0,6 Bài 3: Cho hình vẽ: BiÕt AB = 4; ABC = 800 ;ACB = 300 ;BAC = 700 x Lập phơng trình tính x = AC = ? Hớng dẫn: áp dụng định nghĩa tỉ số lợng giác góc nhọn tam giác C 30 vuông ABH ACH, suy phơng trình x.sin300 = 4sin800 Bài 4: Cho hình vẽ HÃy tính sinL (làm tròn đến chữ số thập phân thứ t) Hớng dẫn: Giải tơng tự tËp KÕt qu¶: sinL = 2,8.sin30 4,2 N ≈ 0,3333 cos α ¸p dơng tÝnh sin α ,cos α ,tan α ,cot α biÕt tan α = H−íng dÉn: ¸p dơng c¸c hƯ thøc sau ®Ĩ chøng minh tan α = sin α ; cot α = cos α cos α sin α KÕt qu¶: sin α ≈ 0,8944;cos α ≈ 0,4472;cot α = 0,5 2 Bµi 6: So sánh tỉ số lợng giác sau: Giáo án Bồi dỡng HSG Phần Hình học 80 H sin α B L 4,2 M 2,8 ; cot2 α + = sin α + cos α = 1; 70 30 Bài 5: Chứng minh hệ thøc tan2 α + = A Tr−êng THCS Hång H−ng a) sin 200 vµ sin700 b) cos800 vµ cos100 c) sin360 cos360 Sắp xếp tỉ số lợng giác sau theo thứ tự giảm dần 0 0 sin 24 ;cos42 ;cos72 ;sin 29 ;cos13 Hớng dẫn: áp dụng định lí tỉ số lợng giác hai góc phụ nhau, đa tỉ số lợng giác sin cosin để so sánh KÕt qu¶: cos130 > cos420 > sin 290 > sin 210 > cos720 Bài 7: Tính giá trị biểu thức a) A = 3sin 600 − 2cos300 + tan 600 b) B = − 2sin300 + 2cos2 600 − tan2 450 H−íng dÉn: A = b) B = −1 2 cè III Cñng cè - Luyện tập (60 phút) Bài 1: Cho tam giác ABC cân A có BC = 16 cm, AH đờng cao AH = cm Một điểm D thuéc BH cho BD = 3,5 cm Chøng minh tam giác DAC vuông Hớng dẫn: Trớc hết tính DC = 16 – 3,5 = 12,5 cm AH lµ ®−êng cao => AH cịng lµ ®−êng trung tun => HC = cm áp dụng định lí Py ta go tam giác vuông HAC tính ®−ỵc AC = 10 DH = BH – BD = 4,5 cm áp dụng định lí Py ta go tam giác vuông HAD tính đợc AD = 7,5 cm Vận dụng định lí đảo định lí Py ta go tam giác ADC, chứng minh vuông A Bài 2: Cho tam giác ABC vuông A, có BC = 12 cm Tính chiều dài hai cạnh góc vuông, biết AB = AC Hớng dẫn: áp dụng định lí Py ta go để giải Kết chiều dài hai cạnh góc vuông: AC = 9,98 cm; AB = 6,65 cm Bài 3: Cho (O), đờng kính AB = 26,5 cm; vÏ d©y cung AC = 22,5 cm Gọi H hình chiếu C AB, nối C víi B TÝnh BC, AH, BH, CH vµ OH ? H−íng dÉn: - Tr−íc hÕt chøng minh tam gi¸c ABC vuông C H O B A - áp dụng hệ thức cạnh đờng cao tam giác vuông để tính, kết nh sau: BC = 14 cm; AH = 19,1 cm; BH = 7,4 cm; C CH = 11,9 cm; OH = 5,9 cm Giáo viên: Phạm Văn Hiệu Trờng THCS Hồng Hng Năm học 2011 - 2012 Bài 4: Hình thang cân ABCD, ®¸y lín AB = 30 cm, ®¸y nhá CD = 10 cm A = 60 Tính cạnh BC Gọi M, N lần lợt trung điểm cđa AB vµ CD TÝnh MN = ? H−íng dÉn: KỴ DE ⊥ AB,CF ⊥ AB Chøng minh ∆DAE = ∆CBF => AE = BF = AB − CD = 10 cm Tam giác CBF nửa tam giác => BC = 2BF = 20 cm Tr−íc hÕt chøng minh MN = CF Nèi AN, BN vµ chøng minh ∆ADN = ∆BCN( c.g.c ) => AN = BN => Tam giác ANB cân N, cã MA = MB => MN ⊥ AB => MN = CF = BF.tan600 = 10 cm Bµi 5: Chøng minh c¸c hƯ thøc sau: a) + cot α = tan α + 1 − cot α tan α − 4 b) sin α + cos α = − 2sin2 α cos2 α 2 c) sin2 α − cos2 α + cos4 α = tan4 α cos α − sin α + sin α H−íng dÉn: a) Thay cotα = c)VT = tan b) Sử dụng đẳng thức bình phơng tổng sin cos (1 − cos α ) 2 2 = cos α − sin α (1 − sin α ) sin α (1 − cos α ) 4 = sin α = tan α = VP 2 cos α (1 − sin α ) cos α Bài 6: Rút gọn biểu thức sau 2 a) P = − 4sin αcos 2α (cosα + sinα ) KÕt qu¶: P = (cosα − sinα)2 b) Q = 2sinαcosα − 2 cos α − sin α b) Q = tanα − tanα + Bài 7: Cho tam giác ABC có AB = a, BC = a , AC = a Chứng minh tam giác ABC vuông Tính tỉ số lợng giác góc B tính góc B Suy tỉ số lợng giác góc C Hớng dẫn: Dùng định lí đảo Py – ta – go ®Ĩ chøng minh sinB ≈ 0.8165; cosB ≈ 0,5774; tanB ≈ 1,4142; cotB ≈ 0,7071 => B 540 44' áp dụng định lí tỉ số lợng giác hai góc phụ Bài 8: Giáo án Bồi dỡng HSG Phần Hình học Trờng THCS Hồng Hng Chứng minh giá trị biểu thức sau không phụ thuộc vào góc a) A = cos4 α + cos2 α sin2 α + sin2 α b) B = (tan α + cot α )2 − (cot α − tan α )2 Kết quả: a) A = => Giá trị biểu thức A không phụ thuộc vào góc b) B = => Giá trị biểu thức B không phụ thuộc vào góc Bài 9: Cho đa giác lồi ABCD cã AB = AC = AD = 10 cm, B = 600 A = 900 Tính đờng chéo BD Tính khoảng cách BH DK từ hai điểm B D đến AC Tính HK Vẽ BE vuông góc với DC kéo dài Tính BE, CE, DC KÕt qu¶: BD = 10 cm Tam giác ABC => BH = AB.sin600 = cm; DK = cm HK = 5( 1)cm Tam giác BEC vuông c©n => BE = CE = cm ; DC = 5( − )cm Bµi 10: Cho tam giác ABC vuông A, đờng cao AH chia BC thành hai đoạn BH = 5cm, CH = 20cm Chứng minh tan B = 4tan C Bài 11: Không dùng máy tính bỏ túi hay bảng lợng giác , h·y chøng minh: a) sin300 = cos60 c) sin α + cos α = cot α cos α b) tan320 cot320 − (tan470 − cot430 ) = V H−íng dÉn vỊ nhµ (5 phót) - Xem lại tập đà chữa Giải tiếp tập sau: Bài 1: Cho tam giác ABC vuông A, ®−êng cao AH BiÕt AB = 20; AC = 15 a) TÝnh c¹nh hun BC b) TÝnh BH, HC, AH Bài 2: Cho ABC ABC vuông A cã AB = 15cm, BC = 17cm Tõ A kỴ ®−êng cao AH xuèng c¹nh BC a) TÝnh AC, AH b) Tính số đo C ; B Bài 3: HÃy lập công thức tính a) Đờng chéo hình vuông cạnh a b) Đờng cao tam giác cạnh a c) Diện tích tam giác cạnh a KÕt qu¶: a) a b) a 2 c) a Giáo viên: Phạm Văn Hiệu Trờng THCS Hồng Hng Năm học 2011 - 2012 Bài 4: Cho hình vuông ABCD có cạnh a, vẽ đờng chéo AC Tính tỉ số lợng giác góc ACB Bµi 5: Cho biÕt cos α = Tính giá trị biểu thức sau: P = 3sin2 + 4cos2 α KÕt qu¶: P = 28 D/Bổ sung ******************************* Ngày soạn : 16/10/11 Ngày dạy : 21/10/11 Chủ đề Hệ thức lợng tam giác vuông Buổi Một số hệ thức cạnh góc tam giác vuông A/Mục tiêu Học xong buổi học HS cần phải đạt đợc : Kiến thức - Ôn tập hệ thức cạnh góc tam giác vuông; học sinh biết vận dụng hệ thức việc tính toán, chứng minh Kĩ - Rèn kĩ vận dụng kiến thức để giải tập, tính toán, trình bày Thái độ - Học sinh có thái độ học tập đắn, cần cù, chịu khó B/Chuẩn bị thầy trò - GV: Thớc, thớc đo độ, máy tính bỏ túi - HS: Thớc, thớc đo độ, máy tính bỏ túi C/Tiến trình dạy I Tổ chứcchức- sĩ số II Kiểm tra cũ (10 phút) - HS1: Phát biểu định lí hệ thức cạnh góc tam giác vuông ? - HS2: Vẽ tam giác vuông ABC viết hệ thức cạnh góc tam giác III Bài (105 phút) Lí thuyết: Giáo án Bồi dỡng HSG Phần Hình học Trờng THCS Hồng Hng Các hệ thức cạnh góc tam giác vuông b = a.sinB; c = a.sinC b = a.cosC; c = a.cosB b = c.tanB; c = b.tanC b = c.cotC; c = b.cotB => a = b = c = b = c sinB sinC cosC cosB Bài tập: Bài 1: Cho tam giác ABC, ®−êng cao AH ( H ∈ BC ), B = 42 ,AB = 12cm,BC = 22cm TÝnh c¹nh góc tam giác ABC ? Kết quả: AH ≈ 8,03cm BH ≈ 8,917cm CH ≈ 13,082cm tanC ≈ 0,6138 => C ≈ 32 BAC ≈ 106 AC ≈ 15,153cm A 12 B 42 ° H 22 C Bài 2: Chứng minh tam giác có hai cạnh a b, góc nhọn tạo hai đờng thẳng diện tích tam giác S = absin Hớng dẫn: Xét hai trờng hợp tam giác ABC nhọn tù Bài 3: Tam giác ABC cã : AB = 16 cm, AC = 14 cm vµ B = 600 a) TÝnh BC b) TÝnh diƯn tích tam giác ABC Hớng dẫn: Kẻ AH vuông góc víi BC KÕt qu¶: a) BC = 10 cm b) S 69,28cm2 Bài 4: Một hình bình hành có hai cạnh 10 cm 12 cm, góc tạo hai cạnh 1500 Tính diện tích hình bình hành ? Hớng dẫn: Kẻ AH BC => BAH = 600 Giáo viên: Phạm Văn Hiệu Trờng THCS Hồng Hng Năm học 2011 - 2012 D/Bổ sung ******************************* Ngày soạn : 19/10/11 Ngày dạy : 25/10/11 Chủ đề hệ thức lợng tam giác vuông Buổi vẽ thêm yếu tố phụ để chứng minh hệ thức tính số đo góc độ dài đoạn thẳng A/Mục tiêu Học xong buổi học HS cần phải đạt đợc : Kiến thức - Củng cố khắc sâu hệ thức lợng tam giác vuông - Học sinh biết vẽ yếu tố phụ cách hợp lí để chứng minh hệ thức Giáo án Bồi dỡng HSG Phần Hình học Trờng THCS Hồng Hng - áp dụng thành thạo hệ thức lợng để tính độ dài đoạn thẳng, tính số đo góc Kĩ - Rèn kĩ vận dụng, trình bày - Rèn khả t duy, vận dụng kiến thức Thái độ - Có tinh thần tự giác, tích cực học tập B/Chuẩn bị thầy trò - GV: Thớc, êke - HS: Thớc, êke C/Tiến trình dạy I Tổ chøc chøc - sÜ sè II KiĨm tra bµi cị III Bµi míi (145 phót) Chøng minh hƯ thøc (80 phút) 1.Bài 1: Cho tứ giác ABCD có ADC + DCB = 900 CMR: AB2 + CD = AC2 + BD - GV ®Ĩ cho häc sinh suy nghĩ tìm kiếm cách giải - Nếu học sinh không làm đợc o gợi ý: Các em có nhận xét kết luận toán ? có liên quan tới a định lí Py-ta-go tam giác b vuông không ? Vậy liên quan đến tam giác vuông ? dựa vào giả thiết ADC + DCB = 1800 ta cần tạo d c OCD vuông O cách kéo dài cạnh AD BC cắt O Lời giải: Vì ADC + DCB = 900 nên hai đờng thẳng AD BC cắt Gọi O giao điểm AD BC Vì ADC + DCB = 900 COD = 900 OAB, ODC, OAC, OBD tam giác vuông O áp dụng định lí Pythagoras cho OAB, ODC, OAC, OBD vuông O Ta cã: AB2 = OA + OB2 CD = OC + OD ⇒ AB2 + CD = OA + OB2 + OC + OD (1) AC2 = OA + OC2 BD = OB2 + OD Giáo viên: Phạm Văn Hiệu Trờng THCS Hồng Hng Năm học 2011 - 2012 AC + BD = OA + OC2 + OB2 + OD (2) Tõ (1), (2) ⇒ AB2 + CD = AC2 + BD (tÝnh chất bắc cầu) (đpcm) Bài 2: Cho hình chữ nhật ABCD K điểm thuộc miền hình chữ nhật Chứng minh rằng: KA + KC = KB2 + KD Ph©n tÝch: Bài toán có liên quan đến định lí Pythagoras, em kẻ đờng phụ MN AB trình bày lời giải nh sau - Qua K kẻ MN AB ( nh hình vẽ bên ) => Tứ giác AMND tứ giác BCNM hình chữ nhật AM = ND AP = BQ vµ  ⇒  (1) MB = NC PD = QC XÐt ∆KAM : KA = AM + KM ∆KNC: KC2 = NC + KN ⇒ KA + KC2 = AM + KM + NC2 + KN (2) XÐt ∆KBM : KB2 = BM + KM ∆KND: KD = ND + KN ⇒ KB2 + KD = BM + KM + ND + KN (3) Tõ (1),(2),(3) ⇒ KA + KC = KB2 + KD (đpcm) - Cách khác: Vẽ PQ AD trình bày tơng tự Bài 3: Cho hình vuông ABCD, qua A vẽ cát tuyến cắt cạnh BC, DC (hoặc đờng thẳng chứa cạnh đó) E, F CMR: 1 + = 2 AE AF AD Ph©n tÝch: Học sinh nhận thấy đẳng thức cần đợc chứng minh có liên quan tới hệ thức cạnh đờng cao tam giác vuông Do cần xác định tam giác vuông có hai cạnh AE, AF có đờng cao AD từ nhận xét em kẻ thêm đờng phụ AK vuông góc với AF, từ em trình bày nh sau Lời giải: Qua A kẻ đờng thẳng vuông góc với AF cắt đơng thẳng chứa cạnh CD K - Xét ADK vµ ∆ABE Cã: A1 = A (cïng phơ víi A ) AD = AB (cạnh hình vuông) ADK = ABE = 900 Suy ADK đồng dạng với ∆ABE (g.c.g) ⇒ AK = AE ⇒ AK = AE Giáo án Bồi dỡng HSG Phần Hình học Trờng THCS Hồng Hng - Xét AKF vuông A cã AD ⊥ KF ⇒ 1 1 1 hay + = + = 2 2 AK AF AD AE AF AD NhËn xÐt: Qua ba tập bớc đầu em hình thành đợc phơng pháp vẽ đờng phụ để giải toán tam giác vuông cách triển khai theo phơng hớng Tuy nhiên để hình thành cho học sinh kỹ vẽ thêm đờng phụ để giải toán tam giác vuông Giáo viên hớng dẫn HS tập sau Bài 4: Cho hình chữ nhật ABCD có AB = 2BC, cạnh BC lấy điểm M đờng thẳng AM cắt cạnh CD kéo dài N 1 + = 2 AM AN AB CMR: - Phân tích: Dựa vào ví dụ em tạo tam giác vuông ANS nhiên cha tìm lời giải , gợi ý nh sau: - Tam giác ABM đồng dạng với tam giác ? ( ADS ) Cách giải: Vì ABCD hình chữ nhật cã AB = 2BC ⇒ AB = 2AD ⇒ AD = AB Từ A kẻ đờng thẳng vuông góc với AN cắt CD S - Xét ADS vµ ∆ABM cã: A1 = A (cïng phơ víi A ) S ADS = ABM = 900 Suy ∆ADS ∆ABM (g.g) AD AS 1 ⇒ = = ⇒ AS = AM AB AM 2 - Xét ANS vuông A có AD NS Ta cã: ⇒ 1   AM  2  + 1 4 = ⇒ + = 2 AM AN AB AN 1   AB  2  1 + = 2 AS AN AD 1 ⇒ + = AM AN AB (đpcm) - Qua tập cho học sinh thấy cách giải hai ví dụ một, phải kẻ thêm đờng phụ để làm xuất tam giác vuông áp dụng hệ thức cạnh đờng cao tam giác vuông từ có cách kẻ hợp lí Bài 5: Cho hình bình hành ABCD, đờng chéo lớn AC Gọi E , F hình chiếu C lên cạnh AB AD CMR: AB.AE + AF.BC = AC Phân tích: Các em không tìm đợc mối liên hệ cạnh với đờng chéo AC Giáo viên: Phạm Văn Hiệu Trờng THCS Hồng Hng Năm học 2011 - 2012 - Từ B kẻ đờng thẳng BK vuông góc với AC - Xét hai tam giác đồng dạng để => AC.AK = AB.AE (1) - Chứng minh hai tam giác đồng dạng khác để suy AC.CK = BC.AF (2) từ tìm đợc lời giải toán Cách giải: Từ B kẻ BK AC (hình vẽ bên) - Xét AEC AKB có   ∆AEC ∆AKB (g.g) ⇒ AEC = AKB = 90   AE AC ⇒ = ⇒ AB.AE = AC.AK (1) AK AB chung S A - XÐt ∆AFC vµ ∆CKB cã: CAF = BCK (so le trong) AFC = CKB = 900 S AF AC = ⇒ BC.AF = AC.CK (2) CK BC Tõ (1) vµ (2) ⇒ AB.AE+ BC.AF = AC.AK+ AC.CK ⇒ AB.AE+ BC.AF = AC.(AK+ CK) Suy ∆AFC ∆CKB (g.g) ⇒ ⇒ AB.AE+ BC.AF = AC.AC= AC (đpcm) Bài 6: Cho tam giác ABC có M trung điểm BC CMR: MA2 = a AB + AC BC Đây công thức tính độ dài đờng trung tuyến tam giác b biết độ dài cạnh tam h m giác Cách giải: Kẻ AH vuông góc với BC - áp dụng định lí Pythagoras cho tam giác vuông ABH AHC ⇒ c AB2 + AC = AH + BH + AH + HC AB2 + AC = (AM - MH ) + BH + (AM - MH ) + HC ⇒ AB2 + AC = AM - MH + BH + AM - MH + HC ⇒ AB2 + AC2 = 2AM - (BM - BH)2 + BH - ( HC - CM)2 + HC2 ⇒ AB2 + AC = 2AM - BM + 2BM.BH - BH + BH - HC + 2HC.CM - CM + HC ⇒ AB2 + AC = 2AM - BM + 2BM.BH + 2HC.CM - CM (V× MB = MC) ⇒ AB2 + AC = 2AM - BM + 2BM.BH + 2HC.BM - BM 2 2 ⇒ AB + AC = 2AM - 2BM + 2BM.(BH + HC) ⇒ AB2 + AC = 2AM - 2BM + 2BM.BC Mµ BC = 2BM 1 ⇒ AB2 + AC2 = 2AM - 2( BC)2 +2( BC).BC 2 Gi¸o ¸n Båi d−ìng HSG Phần Hình học Trờng THCS Hồng Hng 1 BC2 + BC2 ⇒ AB2 + AC = 2AM + BC 2 2 2 AB + AC BC ⇒ 2AM = AB2 + AC2 - BC ⇒ MA2 = − 2 ⇒ AB2 + AC2 = 2AM - - Lu ý HS : Đối với tập việc biến đổi phức tạp nên trình làm cần phải linh hoạt, hợp lí Bài 7: Cho ABC cân A có đờng cao AH, BK, CD 1 = + 2 BK AH BC b, CMR: 3BK +2AK + CK = AB2 + BC + CA a, CMR: c, Qua C kẻ đờng thẳng song song với BK cắt AB J CMR: AB2 = AD.AJ *) Hớng dẫn: - Kẻ HE vuông góc với AC ta suy điều ? Lời giải: a, Kẻ HE vu«ng gãc víi AC ⇒ HE // BK - XÐt ∆BKC cã: HE // BK   ⇒ HE đờng trung bình BKC BH = HC ⇒ BK = 2HE - XÐt ∆AHC Cã AHC = 900 , HE vu«ng gãc víi AC 1 4 1 = + => = + => = + 2 2 2 2 HE AH HC BK AH BC BK AH BC b,Vì ABC cân A có CD, BK đờng cao (gt) CD = BK CD = BK  ⇒  ⇒  2 AD = AK AD = AK  ⇒ - áp dụng định lí Pythagoras cho tam giác vuông ABK, ACD, BCK Ta cã: AB2 = BK + AK  2 AC = AD + CD BC = BK + KC  ⇒ AB2 + AC + BC = BK + AK + AD + CD + BK + KC ⇒ AB2 + AC + BC = BK + AK +AK + BK + BK +KC ⇒ 3BK +2AK + CK = AB2 + BC + CA (®pcm) BK // CJ  c, V×  ⇒ CJ ⊥ AC BK ⊥ AC  - XÐt ∆ADC vµ ∆ACJ cã:  A chung ADC đồng dạng với ACJ (g.g) ADC = ACJ = 90   AD AC ⇒ = ⇒ AC2 = AD.AJ hay AB2 = AD.AJ (đpcm) AC AJ *) cách khác : áp dụng hệ thức cạnh đờng cao tam giác Giáo viên: Phạm Văn Hiệu Trờng THCS Hồng Hng Năm học 2011 - 2012 vu«ng ACJ cã CD vu«ng gãc víi AJ tính Số đo góc độ dài đoạn thẳng (65 phót) Bµi 1: Bµi 30 (SGK - 89) Cho ∆ABC cã BC = 11cm, ABC = 300, ACB = 380 Gọi N chân đờng vuông góc kẻ từ A đến BC HÃy tính độ dài: a, Đoạn thẳng AN b, Cạnh AC Hớng dẫn: Từ B kẻ BK AC Tính đợc BK Tính đợc AB AN AC = ? Lời giải: Cách 1: Tõ B kỴ BK ⊥ AC ⇒ A1 = 380 + 300 = 680 (gãc ngoµi ∆ABC ) - XÐt ∆BCK Cã BK = BC.SinC =11.Sin300=11.0,5 = 5,5(cm) - XÐt ∆ABK : Cã KB =AB.SinA1 ⇒ AB = BK 5,5 = SinA1 Sin680 ≈ 5,5 ≈ 5,932(cm) 0,927 - XÐt ∆ ABN: Cã AN = AB.SinB1 ⇒ AN = 5,932.Sin380 ≈ 5,932.0,615 ≈ 3,65(cm) b, XÐt ∆ACN: Cã AC = AN 3,65 3,65 ≈ = = 7,3(cm) sinC sin30 0,5 Cách 2: - Nêu cách khác, kẻ đờng thẳng từ C vuông góc với cạnh AB trình bày tơng tự - Nếu không kẻ đờng phụ ta có tính đợc đoạn AN, AC không ? Cách 3: Đặt: AN = x(x>0) BN = AN.cotg B ⇒ BN = x.cotg380 ⇒ NC =AN.Cotg C ⇒ NC = x.Cotg300 Mµ BN + NC = 11 ⇒ x.Cotg380 + x.Cotg300 =11 ⇒ x = 11 Cotg30 + Cotg380 Từ tính đợc AN, AC Cách 4: §Ỉt BN = x => CN = 11 - x (0 < x < 11) Ta cã : AN = BN tan 380 = x tan 380 ; AN = CN tan 300 = (11 − x ) tan 300 => x tan 380 = (11 − x ) tan 300 , từ tìm đợc x giải đợc toán Cách 5: Đặt CN = x, giải tơng tự cách Nhận xét: - Qua tập đa nhận xét, muốn tính độ dài cạch lại tam giác biết số đo hai góc cạnh ta kẻ thêm đờng phụ để làm xuất tam giác vuông áp dụng hệ thức liên hệ cạnh góc Giáo án Bồi dỡng HSG Phần Hình học Trờng THCS Hồng Hng tam giác vuông để tính Bài 2: Cho ∆ ABC cã AB =13cm, AC = 16cm, BAC = 600 Tính cạnh góc lại tam giác ? Hớng dẫn: Dựa vào nhận xét ta kẻ thêm CH vuông góc với AB ta tính đợc đoạn thẳng ? Lời giải: Từ C kỴ CH ⊥ AB => AH = AC cos HAC = 16.Cos600 = 16.0,5 = 8(cm) => BH = AB - AH =13 - = (cm) => CH = 16.sin 600 = 16.0.866 = 13.86 (cm) - ¸p dụng định lí Pythagoras cho BCH vuông H ta cã BC = BH + HC = 52 + (13,85 ) =14,73 (cm) Ta cã tg HBC = HC : HB = 13,86 : = 2,772 => HBC = 700 ' hay B = 700 ' => C = 1800 - (600 + 700 ' ) = 490 51' - VËy c¸c gãc lµ A = 600, B = 700 ' , C = 490 51' , BC = 14,73 cm Bài 3: (đề thi HSG huyện Gia Lộc năm học: 2005 - 2006) Cho hình thang vuông MNPQ biết: PN // MQ, MN = 12, NP = 11, PQ = 13 , MNP = 900 (hình vẽ bên) Khi NQ bằng: A.16 B.18 C.20 D.22 Hớng dẫn:Muốn tính đợc x ta cần tính đợc cạnh MQ áp dụng định lí Pythagoras cho tam giác vuông MQN từ em đà kẻ PH vuông góc với MQ Cách giải: - Từ P kẻ PH MQ => Tứ giác MNPH hình chữ nhật => MN = PH =12; MH = NP =11 - áp dụng định lí Pythagoras cho tam giác vuông PQH => PQ2 = PH2 + HQ2 => HQ2 = PQ2 - PH2 => HQ2 = 132 - 122 => HQ2 = 169 - 144 => HQ2 = 25 => HQ = => MQ = MH + HQ = 11 + = 16 áp dụng định lí Pythagoras cho tam giác vuông MNQ => NQ2 = MN2 + MQ2 => NQ2 = 122 + 162 => NQ2 = 144 + 265 => NQ2 = 400 => NQ = 20 IV Cñng cè - Giải đề thi (34 phút) Bài 1: Đề thi khảo sát chọn HS giỏi đợt I huyện Gia Lộc năm học 2009 - 2010 Giáo viên: Phạm Văn Hiệu Trờng THCS Hồng Hng Năm học 2011 - 2012 Cho tứ giác lồi ABCD M điểm bất kí AB Qua M kẻ đờng thẳng song song với AC cắt BC N; Qua M kẻ đờng thẳng song song với BD cắt AD Q Qua Q kẻ đờng thẳng song song với AC cắt CD P a) Chứng minh tứ giác MNPQ hình bình hành b) Chứng minh MN.BD + MQ.AC = AC.BD c) Tìm vị trí M cho diện tích hình bình hành MNPQ lín nhÊt H−íng dÉn: Theo gi¶ thiÕt MN / / AC => MN / / PQ (*) PQ / / AC } a m - Theo định lí Ta_lét q MN//AC => BM = BN (1) AM CN DQ QP//AC => = DP (2) AQ CP DQ QM//BD => = BM (3) AQ AM - Tõ (1), (2), (3) => BN = DP CN CP b d n p c - Theo định lí Ta_lét đảo áp dụng vào tam giác DCP => PN//BD mà QM//BD (gt) => PN//QM (**) - Tõ (*) vµ (**) => ◊MNPQ lµ HBH MQ b) Dùng định lí Talét ta có: MN = BM ; = MA AC BA BD AB MQ ®ã: MN + = (*) => MN.BD + MQ.AC = AC.BD AC BD c) Tõ (*) ta cã: ≥ DÊu "=" x¶y MN.MQ => MN.MQ ≤ AC.BD (không đổi) AC.BD MN = MQ = hay MN, MQ đờng trung bình AC BD tam giác tơng ứng hay M trung điểm AB Chứng minh đợc diện tích hình bình hành MNPQ MN.MQ.sin ( góc nhọn hình bình hành) Từ có đáp số diện tích MNPQ lớn M trung điểm AB Bài 2: Đề thi khảo sát chọn HS giỏi đợt II huyện Gia Lộc năm học 2009 - 2010 Cho tam giác ABC đờng cao AH; AD , AE hai đờng phân giác góc BAH,CAH ; tâm đờng tròn ngoại tiếp tam giác ADE trùng với tâm đờng tròn tiếp xúc với ba cạnh tam gi¸c ABC Chøng minh = + H−íng dÉn: AH AB AC Gi¸o ¸n Båi dỡng HSG Phần Hình học Trờng THCS Hồng Hng AH BC , O tâm đờng tròn ngoại tiếp tam giác ADE đồng thời tâm đờng tròn tiếp xúc với cạnh tam giác ABC => OD = OE = OA; OM = ON = OP - Các tam giác vuông ODM, OEM, OAN, OAP => DOM = EOM = AON = AOP (1) DOX = OAD + ODA = 2OAD ; t−¬ng tù EOX = 2OAE => DOE = 2DAE = A = A => 2DOM = A (2) Tø gi¸c APON cã P + N = 1800 => A + PON = 1800 => A = 1800 − PON Mặt khác: PON = AON + AOP = 2DOM Kết hợp (1) (2) => 2DOM = 1800 2DOM => DOM = 450 => A = 900 VËy ¸p dụng hệ thức cạnh đờng cao suy = + 2 AH AB AC *) C¸ch kh¸c : Chøng minh PON = A Bài 3: Đề thi khảo sát chọn HS giỏi đợt II huyện Gia Lộc năm học 2009 - 2010 Cho tam giác ABC, D điểm cạnh BC (D kh«ng trïng víi B, C) Chøng minh AD.BC < BD.CA + CD.AB H−íng dÉn: KỴ DE / / AC;DF / / AB áp dụng định lí Ta - lét, ta cã: DE = BD => BD = BC DE AC BC AC CD = DF => CD = BC DF CB AB AB DE + BC DF AB BD.CA + CD.AB = BC AC AB = BC.DE + BC.DF = BC(DE + AE) > BC.AD Bài 4: Đề thi khảo sát chọn HS giỏi đợt I huyện Gia Lộc năm häc 2010 - 2011 2010 2011 Cho tam gi¸c ABC vuông cân A, đờng trung tuyến BM Gọi D hình chiếu vuông góc C BM, H hình chiếu vuông góc D AC Chøng minh a) HC = 2.HD b) AH = 3.HD Giáo viên: Phạm Văn Hiệu Trờng THCS Hồng Hng Năm häc 2011 - 2012 Chøng minh tam gi¸c ABC tam giác vuông A đờng phân giác BD, CE góc CBA góc ACB cắt I ( D AC;E ∈ AB ) tháa m·n: H−íng dÉn: Chøng minh: a) HC = 2.HD a) Chøng minh: BI.CI = BD.CE b) AH = 3.HD ABM đồng dạng với HCD (g.g) b) Đặt DH = x > => CH = 2x áp dụng hệ thức cạnh đờng cao tam giác vuông DCM tính đợc : MH = 0,5x Ta cã: CM = CH + MH = 2,5x mà AM = CM nên AM = 2,5x AH = AM + MH = 3x VËy AH = 3DH BD, CE đờng phân giác tam giác ABC cắt I nên AI phân giác góc BAC Theo tính chất đờng phân gi¸c ta cã: BI = AB => BI AB = ID AD BI + ID AB + AD AB hay BI = (1) BD AB + AD l¹i cã: AD = AB => AD AB = CD BC AD + CD AB + BC AB => AD = AB.AC (2) hay AD = AC AB + BC AB + BC Tõ (1) vµ (2) suy ra: BI = AB BD AB + AB.AC AB + BC = AB + BC (3) AB + BC + AC T−¬ng tù ta chøng minh đợc: CI = CE AC + BC (4) AC + BC + AB Tõ (3) vµ (4) ta cã: BI.CI = BI CI = ( AB + BC)( AC + BC) BD.CE BD CE ( AB + BC + AC )2 AB.AC + AB.BC + BC.AC + BC = (5) 2 AB + BC + AC + 2AB.BC + 2AB.AC + 2BC.AC *) Chøng minh tam giác ABC vuông A BI.CI = BD.CE dựa vào định lí py-ta-go (5) ta chứng minh đợc BI.CI = BD.CE Giáo án Bồi dỡng HSG Phần Hình học Trờng THCS Hồng H−ng *) Chøng minh nÕu BI.CI = th× tam giác ABC vuông A BD.CE 2 BI.CI = AB.AC + AB.BC + BC.AC + BC = 2 BD.CE AB + BC + AC + 2AB.BC + 2AB.AC + 2BC.AC biến đổi tơng đơng ta đợc BC2 = AB2 + AC2 Ta có: Theo định lí py-ta-go đảo tam giác ABC vuông A Bài 5: Đề thi khảo sát chọn HS giỏi đợt II huyện Gia Lộc năm học 2011 - 2012 Cho hình vuông ABCD Gọi M, N lần lợt trung ®iĨm cđa BC vµ CD TÝnh cos MAN H−íng dÉn: Nèi M víi D c¾t AN ë K Chøng minh ∆ADN = ∆DCM(c.g.c ) MDA = 90 => DAN = MDC mµ MDC + Suy DAN + MDA = 90 Do ®ã AKD = 90 Gọi độ dài cạnh hình vuông a, tính đợc AM = 5a => AN = 5a áp dụng hệ thức lợng tam giác vuông AND tính đợc AK = a2 : 5a Tõ ®ã cos MAN = AK = AM V Hớng dẫn nhà (1 phút) - Xem lại đà chữa, giải tiếp tập sau: Bài 1: Cho hình vẽ, biết AB = 9cm, AC = 6,4cm AN = 3,6cm, AND = 900 ,DAN = 340 H·y tÝnh 6,4 a) CN b) ABN c) CAN d) AD b H−íng dÉn: c a 34° 3,6 n d a) áp dụng định lí Py-ta-go tam giác vuông ACN tính đợc CN 5,2915cm 3,6 = 0,4 => ABN ≈ 23 35 ' 3,6 c) cosCAN = = 0,5625 => CAN = 55 46 ' 6,4 3,6 3,6 3,6 d) cos340 = => AD = ≈ ≈ 4,3426 AD 0,8290 cos34 b) sin ABN = Giáo viên: Phạm Văn Hiệu Trờng THCS Hồng Hng Năm học 2011 - 2012 Bài 2: a Trong tam gi¸c ABC cã AB = 11cm ABC = 38 , ACB = 30 N chân đờng vuông góc kẻ từ A đến BC H·y tÝnh AN, AC ? KÕt qu¶: AN = 6,772cm ; AC = 13,544cm Bài 3: Cho hình vẽ, biết AB = AC = 8cm, CD = 6cm, 0 BAC = 34 ,CAD = 42 , H·y tÝnh: a) Độ dài cạnh BC b) ADC c) Khoảng cách từ ®iĨm B ®Õn c¹nh AD c 30° 38° n a 34° 42° f e b h c Hớng dẫn: a) Kẻ AH BC Tam giác ABC c©n => BAH = 170 BH = AB.sin170, BC = 2BH = 2AB.sin170 ≈ 16.0,2924 ≈ 4.678cm b) KỴ CE vu«ng gãc víi AD Ta cã 0 CE = 6.sin ADC = 8.sin 42 => sin ADC = 8.sin 42 => ADC ≈ 63 ' c) BF = 8.sin(340 + 420) ≈ 7,762 cm ≈ 0,8922 D/Bổ sung *********************************** Giáo án Bồi dỡng HSG Phần Hình học d b Trờng THCS Hồng Hng Giáo viên: Phạm Văn Hiệu Trờng THCS Hồng Hng Giáo án Bồi dỡng HSG Phần Hình học Năm học 2011 - 2012 ... 21/10/11 Chủ đề Hệ thức lợng tam giác vuông Buổi Một số hệ thức cạnh góc tam giác vuông A/Mục tiêu Học xong buổi học HS cần phải đạt đợc : Kiến thức - Ôn tập hệ thức cạnh góc tam giác vuông; học sinh... dẫn: - Trớc hết chứng minh tam giác ABC vuông C H O B A - áp dụng hệ thức cạnh đờng cao tam giác vuông để tính, kết nh sau: BC = 14 cm; AH = 19, 1 cm; BH = 7,4 cm; C CH = 11 ,9 cm; OH = 5 ,9 cm... tói - HS: Th−íc, th−íc đo độ, máy tính bỏ túi C/Tiến trình dạy I Tỉ chøcchøc- sÜ sè II KiĨm tra bµi cị (10 phút) - HS1: Phát biểu định lí hệ thức cạnh góc tam giác vuông ? - HS2: Vẽ tam giác vuông