www.vietmaths.com Kinh Toán học www.vietmaths.com Kinh Toán học 1 Tích phân hàm vô tỉ: 2 1/ 3 2/ 6 7 3/ 7 4/ 8 5/ 9 6/ 11 7/ 11 8/ 11 9/ 12 * 12 10/ 14 11/ 16 6/ 18 7/ 19 19 8/ 19 21 * 21 * 22 * 23 * 23 24 * 25 * 26 26 27 28 29 30 30 31 32 32 33 34 34 34 34 35 35 35 35 36 36 36 37 37 * 37 38 38 39 39 39 40 40 41 41 41 43 43 44 44 45 45 1 Tích phân hàm vô tỉ: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) n n n n n n n n n ' ' n n n n n 1 n n n 1 2 2 n n n 1 n ax b ax b ax b a / R x, dx doi bien : t t ax b t .cx t .d cx d cx d cx d t .d b x a c.t t .d b x a c.t t .d b a c.t t .d b a c.t n.d.t a c.t t .d b n.c.t dx dt dt a c.t a c.t a.n.d.t b.n.c.t − − −   + + + = ⇒ = ⇔ + = + ∫  ÷ + + +   − ⇔ − = − ⇔ = − − − − − − − − − − ⇒ = = − − − = ( ) ( ) ( ) n 1 1 2 2 n n n.t ad bc dt dt a c.t a c.t − − − = − − ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 3 2 3 3 3 2 2 3 3 2 3 3 3 3 3 2 3 2 3 2 3 3 3 3 3 3 2 2 dx x 1 dx x 1 t 1 6t .dt VD1: I . Dat t x , dx x 1 x 1 x 1 t 1 x 1 x 1 t 1 6t .dt t 1 6t .dt 2t 6t .dt t 1 3dt I t 1 . t 1 t 1 2t t 1 t 1 t 1 t 1 1 1 A B.t C t 1 t 1 t t 1 t t 1 + + + − = = = ⇒ = = ∫ ∫ − + − − − + −       − + − − − − ⇒ = ÷ + = ÷ = = ∫ ∫ ∫ ∫  ÷  ÷  ÷ − − −       − − − + = = + − − − + + ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 A t t 1 B.t C t 1 1 t 1 1 Cho t 1 3A 1 A cho t 0 A 1 B.t C 1 3 1 2 7 2 1 C 1 C cho t 2 7A 2B C 1 2B 1 B 3 3 3 3 3 ⇒ + + + + − = + + = ⇒ = ⇒ = = ⇒ + − + = ⇔ − = ⇒ = − = ⇒ + + = ⇒ + − = ⇒ = − ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 3 3 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 d t 1 t 2 dt 1 1 t 2 3dt 3 t 1 t 1 t 1 t 1 3 t t 1 t t 1 d t t 1 1 2t 4 1 3 dt ln t 1 dt ln t 1 2 2 2 t t 1 t t 1 t t 1 1 3 dt ln t 1 ln t t 1 2 2 t t 1 1 d t 3 dt 3 2 2 2 t t 1 1 3 t 2 2 − − + + − ⇒ = − ⇒ = + ∫ ∫ − − − − + + + + + + + = − − + = − − + + ∫ ∫ ∫ + + + + + + = − − + + + + ∫ + +   +  ÷   = = ∫ ∫   + +      ÷ + +  ÷  ÷  ÷       ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 3 2 2t 1 dx 1 x . arctg arctg 2 a a 3 3 x a t t 1 1 1 2t 1 2t 1 I ln t 1 ln t t 1 3.arctg ln 3.arctg 2 2 3 3 t 1 +     = ∫  ÷  ÷ +    + + + +     ⇒ = − − + + + + = +  ÷  ÷     − ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) n n n n n n n n n ' ' n n n n n 1 n n n 1 2 2 n n n 1 n ax b ax b ax b a / R x, dx doi bien : t t ax b t .cx t .d cx d cx d cx d t .d b x a c.t t .d b x a c.t t .d b a c.t t .d b a c.t n.d.t a c.t t .d b n.c.t dx dt dt a c.t a c.t a.n.d.t b.n.c.t − − −   + + + = ⇒ = ⇔ + = + ∫  ÷ + + +   − ⇔ − = − ⇔ = − − − − − − − − − − ⇒ = = − − − = ( ) ( ) ( ) n 1 1 2 2 n n n.t ad bc dt dt a c.t a c.t − − − = − − 2 1/ 1 ax b I dx x cx d + = ∫ + ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) n n n n n n n n n ' ' n n n n n 1 n n n 1 2 2 n n n 1 n 1 n 1 ax b ax b ax b a / I . dx doi bien : t t ax b t .cx t .d x cx d cx d cx d t .d b x a c.t t .d b x a c.t t .d b a c.t t .d b a c.t n.d.t a c.t t .d b n.c.t dx dt dt a c.t a c.t and.t bnc.t a c.t − − − − + + + = = ⇒ = ⇔ + = + ∫ + + + − ⇔ − = − ⇔ = − − − − − − − − − − ⇒ = = − − − = − ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) n 1 2 2 n n n 1 n 2 n n n n n.t ad bc dt dt a c.t a c.t .t n.t ad bc dt n.t ad bc dt I t .d b a c.t t .d b a c.t − − − = − − − − ⇒ = = ∫ ∫ − − − − ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 t dt M N Cho n 2 I 2 ad bc 2 ad bc dt a c.t t .d b a c.t t .d b t M N M t .d b N a c.t t a c.t t .d b a c.t t .d b Mb Na Mb 0 N M 0, P 0 a a b M N bc ad bc ad bc ad bc Md Nc 1 M d 1 M 1 a a a I 2    ÷ = ⇒ = − = − + ∫ ∫  ÷ − − − −   = + ⇒ − + − = − − − −  − = ⇒ = = =  ⇒ = =  − − −      − = ⇒ − = ⇒ =  ÷  ÷       ⇒ = ( ) ( ) 2 2 b dt a c.t t .d b    ÷ + ∫  ÷ − −   ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 a a t t adt adt a 1 1 a dx 1 a x c c . .ln . ln ln c 2 c 2a a x a a a a x a c.t a 2 t t c t c c c c b b t t bdt bdt b 1 1 b d d . .ln . ln d 2 d b b b t .d b b 2 t t d t d d d d t dt a I 2 ad bc 2 a c.t t .d b + + +   = = = = ∫ ∫ ∫  ÷ −   −   −   − −  ÷ −  ÷  ÷     + + − = = − = − ∫ ∫   −   − −  ÷ −  ÷  ÷     ⇒ = − = ∫ − − ( ) ( ) 2 2 b dt a c.t t .d b a b t t 1 a 1 b c d 2 . ln . ln 2 c 2 d a b t t c d    ÷ + ∫  ÷ − −     + +  ÷  ÷ = −  ÷ − −  ÷   1 a a c.t 1 b b d.t 2 . ln . ln 2 c 2 d a c.t b d.t a ax b b ax b 1 ax b a b c cx d d cx d I dx ln ln x cx d c d a ax b b ax b c cx d d cx d   + + = −  ÷ − −     + + + +  ÷ + + +  ÷ = = − ∫ + + +  ÷ − −  ÷ + +   3 ' ' ' a ax b b ax b a b c cx d d cx d Kiem tra ket qua : ln ln c d a ax b b ax b c cx d d cx d a ax b b ax b a b c cx d d cx d ln ln c d a ax b b ax b c cx d d cx d a a ax b a ax b ln ln c c cx d c cx d   + + + +   + +   − + +   − −   + +       + + + +  ÷  ÷ + +  ÷  ÷ = − + +  ÷  ÷ − −  ÷  ÷ + +         + + = + − −  ÷  + +    ( ) ( ) ( ) ' ' 2 ' ' b b ax b b ax b ln ln d d cx d d cx d a cx d c ax b ax b cx d cx d a ax b ax b ax b 2 2 c cx d a ax b cx d cx d ln c cx d a ax b a ax b a ax b c cx d c cx d c cx d         + + − + − −  ÷  ÷ ÷  ÷  ÷ + +          + − + +    ÷ + +     + + + +  ÷   +   +   + + + = = =    ÷ +   + + +     + + +  ÷ + + +   ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 ' 2 ' ' ad bc cx d . 2 ax b cx d ad bc cx d a ax b a ax b 2 cx d ax b c cx d c cx d a cx d c ax b ax b cx d cx d a ax b ax b ax b 2 2 c cx d a ax b cx d cx d ln c cx d a ax b a ax a ax b c cx d c c cx d − + + + − + = =   + + + + + +  ÷ + +   + − + +    ÷ + +   − −   + + + −  ÷   +   +   + + − = = =    ÷ +   + +     − − −  ÷ + +   ( ) ( ) ( ) 2 2 b cx d ad bc cx d . 2 ax b cx d ad bc cx d a ax b a ax b 2 cx d ax b c cx d c cx d + + − + − + + − − + = =   + + − + + −  ÷ + +   ( ) ( ) ( ) ( ) ' ' 2 2 a ax b a ax b ln ln c cx d c cx d ad bc cx d 1 1 a ax b a ax b 2 cx d ax b c cx d c cx d a ax b a ax b c cx d c cx d ad bc cx d a ax b 2 cx d ax b c cx d         + + + − −      ÷  ÷ + +            ÷ − +  ÷ = +  ÷     + + + + + −  ÷  ÷  ÷  ÷ + +            + + − + +   ÷  ÷ + + − +      = +   + + −  ÷ +    ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 ad bc cx d a 1 .2 a cx d c ax b c 2 cx d ax b c cx d  ÷ ÷  ÷  ÷  ÷     ÷ − +  ÷ = + − +  ÷ + +  ÷ +   4 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 ' ad bc cx d ad bc cx d c cx d a 1 a ac . . . c c ad bc cx d. ax b ad bc cx d ax b cx d ax b c cx d a ax b a a c cx d ln c a ax b cx d. ax b c cx d    ÷ − + − + +  ÷ = = =  ÷ −   + + − + + + +  ÷  ÷ +       + +  ÷ +  ÷ ⇒ = + + +  ÷ −  ÷ +   ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ' 2 ' ' 2 2 a cx d c ax b ax b cx d cx d b ax b ax b ax b 2 2 d cx d b ax b cx d cx d ln d cx d b ax b b ax b b ax b d cx d d cx d d cx d ad bc cx d . 2 ax b cx d ad bc cx d b ax b b ax b 2 cx d ax b d cx d d cx d + − + +    ÷ + +     + + + +  ÷   +   +   + + + = = =    ÷ +   + + +     + + +  ÷ + + +   − + + + − + = =  + + + + + + + +  ( ) ( ) ' 2 ad bc cx d b ax b ln d cx d b ax b 2 cx d ax b d cx d   ÷      − − + + − =    ÷ +   +     + + −  ÷ +   ( ) ( ) ( ) ( ) ' ' 2 2 b ax b b ax b ln ln d cx d d cx d ad bc cx d 1 1 b ax b b ax b 2 cx d ax b d cx d d cx d b ax b b ax b d cx d d cx d ad bc cx d b ax b 2 cx d ax b d cx d         + + + − −      ÷  ÷ + +            ÷ − +  ÷ = +  ÷     + + + + + −  ÷  ÷  ÷  ÷ + +            + + − + +   ÷  ÷ + + − +      = +   + + −  ÷ +    ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 ad bc cx d b 1 .2 b cx d d ax b d 2 cx d ax b d cx d  ÷ ÷  ÷  ÷  ÷     ÷ − +  ÷ = + − +  ÷ + +  ÷ +   ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ' 2 ' ' b ax b ad bc cx d b 1 bd cx d b d cx d ln x bc ad d d cx d .x ax b b ax b cx d ax b d cx d d cx d b cx d.x ax b a ax b b ax b a b a c cx d d cx d ln ln c d a ax b b ax b cx d a c cx d d cx d     + +  ÷  ÷ − + + +  ÷  ÷ = = ⇒ −  ÷ + + +  ÷ + + −  ÷  ÷ + +     = + +     + + + +  ÷  ÷ + +  ÷  ÷ − = + + +  ÷  ÷ − −  ÷  ÷ + +     ( ) b x b cx d .x ax b ax b ax b x cx d ax b x cx d − + + + − + = = + + + 5 2/ 2 1 ax b I dx cx d x + = ∫ + ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 ax b ax b ax b a / I . dx doi bien : t t cx d cx d cx d x 2.t ad bc dt t .d b x dx a c.t a c.t a c.t .t 2.t ad bc dt t dt I 2 ad bc t .d b a c.t t .d b t M.t N P.t Q M.t N t .d b P.t Q t t .d b t .d b t .d b Md. + + + = = ⇒ = ∫ + + + − − ⇔ = ⇒ = − − − − ⇒ = = − ∫ ∫ − − − + + = + ⇒ + − + + = − − − ⇔ 3 2 2 t Nd.t Mb.t Nb P.t Q t+ − − + + = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 Md 0, Nd 1 M 0, P 0 P Mb 0 1 b N , Q Nb Q Nb 0 d d t dt dt b.dt I 2 ad bc 2 ad bc d t .d b t .d b d t .d b b t dt 1 dt 1 1 1 d b d.t d . ln ln b b 2 b b d.t d d d d t .d b b 2 t t d d d = =  = =    ⇒ − = ⇒   = = =   − =      ÷ ⇒ = − = − + ∫ ∫ ∫  ÷ −  ÷ − −   + − − − = = = ∫ ∫   + −   −  ÷ −  ÷  ÷     ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 3 2 2 2 2 2 2 2 2 3 2 3 2 2 b.dt b dt b Dat a d d d t .d b b t d b dt b t 1 a x M ln a x d d 4a 2a x a t a b t b t 1 b d .t b 1 1 b d .ln . . .ln b b d d b d d 2b t b b b 2 t t 4 4 d d d d d = = ∫ ∫   −    ÷ −  ÷  ÷       −  ÷ ⇒ = = − + ∫ +  ÷ − −      ÷ −    ÷ − = − + = − −  ÷  ÷   −       −  ÷ +  ÷  ÷  ÷    ÷       ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 1 2 2 3 2 2 2 2 2 2 2 2 d.t b d.t t d b d.t ln 4d b b d.t 2 t b 2 1 dx x x 1 a x I ln a x 2a 4a 2a x a 2a x a x a +   −  ÷ = − +  ÷ + −       − −  ÷  ÷ = − + = − + ∫ +  ÷  ÷ − − −     6 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 3 2 dt b.dt I 2 ad bc d t .d b d t .d b 1 d b d.t t d b d.t 2 ad bc ln ln 2 b b d.t 4d b b d.td 2 t b b d.t 1 1 t 2 ad bc ln b d.t 4 bd 2 t b 2 bd ax b b d. 1 ax b cx d I . dx 2 ad bc ln cx d x b d    ÷ ⇒ = − + ∫ ∫  ÷ −  ÷ −       − −  ÷  ÷ = − − +  ÷  ÷ + + −         −  ÷ = − − −  ÷  ÷ + −     + − + + ⇒ = = − ∫ + + 3 ax b 1 1 cx d ax b ax b 4 bd 2 bd 2 b . cx d cx d   +  ÷   +  ÷ − −  ÷ +   +  ÷   −  ÷  ÷ +   +   1 x 1 * I .dx x x 1 − = ∫ + ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ' ' 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 t 1 t 1 t 1 t 1 x 1 x 1 1 t * I .dx dat t x , dx dt x x 1 x 1 1 t 1 t 2t 1 t 2t 1 t 4t.dt 4t .dt dt I 1 t 1 t 1 t 1 t 4t a b dat a 1 t b 1 t 4t 1 t 1 t 1 t 1 t a b 0, b a 4 b 2, a 2 4t .dt I 1 t 1 t + − − − + − − + = = ⇒ = = ∫ + + − − − + + = = ⇒ = ∫ + − − − = + ⇒ − + + = + − + − ⇔ + = − = ⇔ = = − ⇒ = = ∫ + − ( ) ( ) 2 2 2 2 t 1 ln 2arctan t C t 1 1 t 1 t x 1 1 1 x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 I .dx ln 2arctan ln 2arctan C x x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 1 x 1 − + + = − + ∫ ∫ − + − − +     − − − + + − + ⇒ = = − = − + ∫  ÷  ÷ + + + − − − +     − + 3/ 3 3 dx I x a = ∫ − ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 3 3 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 dx dx 1 m px q 1/ I x a x a x a x ax a x a x ax a x ax a m x ax a px q x a 1 x m p am.x ma ap.x q.x aq 1 1 1 a 2 Sai : Cho x a 3a m 1 m Cho x 0 m a q a 1 q 1 3 3a 3a 7 2a Cho x 2a 7a m 2ap q a 1 2a p 1 7 6 3 3 + = = = + ∫ ∫ − − − + + − + + + + ⇒ + + + + − = ⇔ + + + − + − = = ⇒ = ⇒ = = ⇒ + − = ⇒ = − = − = ⇒ + + = ⇒ + − = ⇒ + ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 a p 2a 3 6a p 2a 4 1 x m p x am ap q ma aq 1 m p 0 m p 2 am ap q 0 2am q 0 q 2am 3a 1 1 ma aq 1 ma 2ma 1 m , p m 3a 3a − = ⇒ = − ⇔ + + − + + − =   + = ⇒ = −   ⇒ − + = ⇒ + = ⇒ = − = −    − = ⇒ + = ⇒ = = − = −   7 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 x 2 d x a dx 1 3a 3a I dx x a 3a x a x ax a x ax a x 2a 2x a 3a dx ln x a ln x a 1 1 dx 3a 3a 3a 6a x ax a x ax a − − − ⇒ = = + ∫ ∫ ∫ − − + + + + + + + − − = − = − ∫ ∫ + + + + ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ' 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 x ax a dx x 2a ln x a ln x a 1 1 dx dx 3a 3a 3a 3a 6a x ax a x ax a x ax a a d x ln x a 1 1 2 ln x ax a 2a 3a 6a a a 3 x 2 2 2ln x a ln x ax a 1 2 a . .arctg x 2a 2 a 3 6a   + + + − −  ÷ = − = − + ∫ ∫ ∫  ÷ + + + + + +  ÷     +  ÷ −   = − + + − ∫        ÷ + +  ÷  ÷  ÷       − − + +   = − +   ( ) 2 2 2 2 2 2 3 3 2 2 2 2 2 . a 3 ln x a ln x ax a 1 2x a .arctg a 36a a 3 x a dx 1 1 2x a I ln .arctg a 3x a 6a x ax a a 3   ÷  ÷    − − + + +   = −  ÷   − +   ⇒ = = − ∫  ÷ − + +   4/ 3 3 dx I x a = ∫ + ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 3 3 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 dx dx 1 m px q 1/ I x a x a x a x ax a x a x ax a x ax a m x ax a px q x a 1 x m p am.x ma ap.x q.x aq 1 1 1 x m p x am ap q ma aq 1 m p 0 m p 2 am ap q 0 2am q 0 q 2am 3a 1 ma aq 1 ma 2ma 1 m , 3a + = = = + ∫ ∫ + + + − + + − + − + ⇒ − + + + + = ⇔ + − + + + + = ⇔ + + − + + + + = + = ⇒ = − ⇒ − + + = ⇒ − + = ⇒ = = + = ⇒ + = ⇒ = 2 1 p m 3a        = − = −   ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ' 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 x 2 d x a dx 1 3a 3a I dx x a 3a x a x ax a x ax a x 2a 2x a 3a dx ln x a ln x a 1 1 dx 3a 3a 3a 6a x ax a x ax a x ax a dx ln x a 1 dx 3a 3a 6a x ax a x ax a d x ln x a 1 1 ln x ax a 2a 3a 6a − + + ⇒ = = + ∫ ∫ ∫ + + − + − + − − − + + = − = − ∫ ∫ − + − +   − + +  ÷ = − − ∫ ∫  ÷ − + − +  ÷   − = − − + + 2 2 a 2 a a 3 x 2 2   −  ÷   ∫        ÷ − +  ÷  ÷  ÷       8 ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 3 3 2 2 2 2 2 3 3 2 2 2 2 2ln x a ln x ax a 1 2 a 2 . .arctg x . 2a 2 a 3 a 36a ln x a ln x ax a 1 2x a .arctg a 36a a 3 x a dx 1 1 2x a ln .arctg a 3x a 6a x ax a a 3 x a dx 1 1 2x a * ln .arctg a 3x a 6a x ax a a 3 + − − +     = + −  ÷  ÷     + − − + −   = +  ÷   + −   ⇒ = + ∫  ÷ + − +   − +   = − ∫  − + +   ÷ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 3 3 2 2 2 2 2 3 3 2 2 2 2 3 3 2 2 2 2 2 x a dx 1 1 2x a * ln .arctg a 3 x a 6a x ax a a 3 x a 2x a dx dx 1 1 * ln .arctg a 3 x a x a x a x a 6 a a 3 x a 1 1 2x a ln . arctg a 3 6a x ax a a 3 + −   = + ∫  ÷ + − +     − − + − = = − ∫ ∫  ÷  ÷ − + + − + − − − −   + −     = − −  ÷  ÷ − +     ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) [ ] ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 3 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 dx dx d x 1 * I x -1 x 1 x x 1 x 1 x 1 3 x 1 3 dt 1 t 3t 3 t 3t 1 dt t 3 dt dt 3 3 t t 3t 3 t t 3t 3 t t 3t 3 1 dt 1 2t 3 dt 3 dt 1 dt 1 d t 3t 3 3 dt 3 3 t 2 2 3 t 2 2 t 3t 3 t 3t 3 t 3t 3 3 t 2 4 − = = = ∫ ∫ ∫ − + + − − + − + + + − + +   = = = − ∫ ∫ ∫ ∫  ÷   + + + + + +   + + +   = − − = − − ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫  ÷  ÷   + + + + + +  ÷ + +   2 2 2 2 1 1 t 2t 3 1 x 2x 1 1 2x 1 ln 3arctg c ln arctg c 3 2 6 3 3 3t 3t 3 x x 1   + − + + = − + = − +  ÷ + + + +   ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) [ ] ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 3 3 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 dx dx d x 1 * I = x +1 x 1 x x 1 x 1 x 1 3 x 1 3 dt 1 t 3t 3 t 3t 1 dt t 3 dt dt 3 3 t t 3t 3 t t 3t 3 t t 3t 3 1 dt 1 2t 3 dt 3 dt 1 dt 1 d t 3t 3 3 dt 3 3 t 2 2 3 t 2 2 t 3t 3 t 3t 3 t 3t 3 3 t 2 4 + = = ∫ ∫ ∫ + − + + + − + + − + − − −   = = = − ∫ ∫ ∫ ∫  ÷   − + − + − +   − − +   = − + = − + ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫  ÷  ÷   − + − + − +  − +   2 2 2 2 1 1 t 2t 3 1 x 2x 1 1 2x 1 ln 3arctg c ln arctg c 3 2 6 3 3 3t 3t 3 x x 1 ÷   − + + − = + + = + +  ÷ − + − +   5/ 4 4 dx I x a = ∫ − ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 4 4 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 3 3 4 4 4 4 2 2 dx dx 1 Ax B C D 2 / I x a x a x a x a x a x a x a x a x a x a Dk : x a Ax B x a C x a x a D x a x a 1 1 1 1 ko the cho x a D.2a.2a 1 D , cho x a C 2a .2a 1 C sai vi x a 4a 4a 1 Ax B C D Ax B 1 x a x a x a x a x a + = = = + + ∫ ∫ + − − + + − + + − + ≠ ⇒ + − + − + + + + = = ⇒ = ⇒ = = − ⇒ − = ⇒ = − ≠ + + = + + ⇒ = − + − − + ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 C D f x x a x a x a    ÷ + + = + −  ÷ +   9 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 4 4 3 3 3 x a x a x a 4 4 3 3 3 x a x a x a 4 4 3 2 2 2 x i.a x i.a x i.a x i.a 2 D x a 1 lim f x lim lim 4x .D qui tac L'Hopital 4a .D 1 D x a 4a C x a 1 lim f x lim lim 4x .C 4a .C 1 C x a 4a Ax B x a Ax B .4x lim f x lim lim lim Ax B .2x 2x x a 2a Ai. → → → →− →− →− → → → → − ⇒ = = = = ⇒ = − − = = = − = ⇒ = − + + − + = = = + + = − ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 4 4 3 2 2 x i.a x i.a x i.a 2 2 2 x i.a Ax B x a Ax B .4x a B 1 lim f x lim lim 2x x a 1 lim Ax B .2x 2a Ai.a B 1 A 0, B 2a →− →− →− →− + − + + = = = + = + = − − + = ⇒ = = − ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 3 2 2 2 3 2 2 3 3 2 2 3 3 2 2 2 2 2 3 3 2 2 2 1 Ax Bx a Ax a B C x ax a x a D x ax a x a 1 x A C D x B aC aD x a A a C a D a B a C a D 1 a C D A 0 A C D A C D 0 A C D 0 2 C D 0 C D, A 0 B aC aD 0 B aC aD 0 B a C D A 0 a B aC aD 1 a 0 ⇔ + − − + − + − + + + + = ⇔ + + + − + + − + + − − + =  + − = ⇒ = +    + + = + + = ⇒ + = ⇒ = − =    − + =   − + = ⇒ ⇔ + − =   − − + =   ≠  ( ) ( ) ( ) 2 2 3 3 a C D , C D B 2aC a B aC aD 1 a 2aC aC aC 1 1 4a C 1 C 4a    ÷  ÷  ÷   ÷ = − = − ⇒ =   ÷   ÷ − − + = ⇒ − − − =   ÷   ÷  ⇒ − = ⇒ = −  ÷    ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 3 3 2 4 4 2 3 3 2 2 2 2 2 3 3 3 1 1 1 A 0, C , D , B 4a 4a 2a d x a d x a dx dx 1 dx 1 1 I x a x a x a 2a 4a 4a x a x a x a x a ln x a ln x a 1 1 x 1 x a 1 x . .arctg ln .arctg C a a x a a 2a 4a 4a 2a ⇒ = = − = = − + − ⇒ = = = − − + ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ + − − + + − + + + − − = − − = − + + ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 2 2 4 4 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 2 2 3 2 2 2 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 2 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 1 2 2 2 1 2 2 2 a x b a x b dx dx 1 I x a x a x a x a x a x a x a a x b x a a x b x a 1 x a a x b b x a a a a b a b a 1 1 1 a a 0, b b 0 b b , b a b a 1 2b a 1 b , b 2a 2a dx 1 a I x a a + + = = = + ∫ ∫ − − + − + − + ⇒ + + + + − = ⇔ + + + + − + − = ⇒ = = + = ⇒ = − − = ⇒ = ⇒ = = − = = ∫ + 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 3 3 .du arctgu 1 x dx 1 a x C arctg C I ln a a a 2a a x u 1 x a 1 dx 1 dx 1 a x 1 x I ln arctg C a x a 2a x a 2a x a 4a 2a − = + = + = = ∫ ∫ + + − − ⇒ = − = − + ∫ ∫ + − + ( ) 2 2 Ax B dx dx , ax bx c ax bx c + ∫ ∫ + + + + đưa tam thức bậc 2 về dạng tổng hoặc hiệu bình phương 10 [...]... = 3 tg 2 t + 1 = (u 2 +3 ) 3 3 cos t   ( x + 2) 3  sin t u 3 = = sin  arctg ÷ ÷ = sin  arctg  ÷ 3 3  3    dx với m, n, p là các số hữu tỉ Nhà toán học Nga Trebushep cm rằng tích phân trên ∫ x a + bx chỉ lấy được (tức là có thể biểu diễn ở dạng hàm sơ cấp) trong 3 trường hợp sau: 21 1/ p là so nguyen khi ay dat x = t s voi s là boi chung nho nhat cua m, n m +1 2/ là so nguyen dat a + bx s... +C x −1 1+ x dat x − 3 = t ⇒ x = t + 3 ⇒ dx = dt ( ) d 1− t2 3t.dt dt 3 dx = ∫ + 13∫ =− ∫ + 13arcsin t 2 2 2 2 1− t 1− t 1− t + 13arcsin t = −3 − x 2 + 6x − 8 + 13arcsin ( x − 3 ) + C 2 ) ( 2 Để tính tích phân ∫ R x, ax + bx + c ta có thể dùng phép đổi biến lượng giác: 2  b  c b2  ax + bx + c = a   x + ÷ + − 2 ÷  2a  a 4a ÷   2  b  b 2 − 4ac  2 2 = a x + ÷ − Neu b 2 − 4ac > 0, a > 0... x − x k x 2n + 1 lim =0 x →xk x − x k 0   ' dang , dùng LHospital ÷  0   ( do x k là ngiem cua x 2n + 1) 1 1 , Bk = voi k :1 n 2n −1 2n −1 2n.x k 2n ( x k ) Thế các hệ số vừa tìm được vào dạng phân tích, ta có: n  A Bk  n  A k ( x − x k ) + Bk ( x − x k )  1 k =∑ +  = ∑ 2n x − x k x − x k  k =1  ( x − xk ) ( x − xk ) 1+ x k =1     ⇒ Ak = x ( A k + Bk ) − ( A k x k + Bk x k ) =∑ 2kπ... ÷÷ 3 1 3 1  2 ÷  ÷÷  x + ÷ + ÷ x − ÷ + ÷    2   2  2 2  2   ( ) ( ) = arctg 2x + 3 + arctg 2x − 3 + C x 2 2 * I = ∫ 1 − u du = ∫ 1 − x dx 0 Ta có: I = Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = 1 − x 2 và trục Ox Mà y = 1 − x 2 ⇔ y 2 + x 2 = 1 ( lay phan y > 0 ) là một nửa hình tròn bán kính R = 1 Ta có hình vẽ như sau: π  Ta có: x = cos  − α ÷ = sin α ⇒ α = arcsin... tinh A k và Bk voi k :1 n, ta cho x → x k khi do : xn − an lim = n.x n −1 k x →xk x − x k 0   ' dang , dùng LHospital ÷  0   ⇒ Ak = 1 n.x n −1 k voi k :1 n The cac he so vua tim dc vào dang phan tích, ta có : n  A n   1 1 k  = ∑ ÷ ÷ = ∑  n −1 n n x − x k  k =1  n.x k ( x − x k ) ÷ x +a k =1    ⇒ 1 x k n −1   2kπ   2kπ   x k = a cos  + i.sin  ÷ ÷ n  n        ( 1 − n... x ) ax 2 + bx + c + p.∫ ( 1) ∫ 2 2 ax + bx + c ax + bx + c Pn ( x ) là da thuc bac n Q n −1 ( x ) là da thuc bac n − 1 voi cac he so chua xác dinh Để xác định p và các hệ số của Q n −1 ( x ) , ta đạo hàm (1) và cân bằng hệ số 2 vế để được hệ pt (Cm công thức này làm sao vậy?) * I=∫ x3 − x + 1 2 dx x + 2x + 2 x3 − x + 1 VD : I = ∫ dx = ax 2 + bx + c x 2 + 2x + 2 Lay dao ham 2 ve, ta dc : ( x3 − x +... ( 2n −1) ( 2kπ−π )  i. ÷ 2n   =e i ( 2kπ−π ) =1 xk  1  xk ÷= 1 = −1 − 1 = −2 ⇒ −  2n −1 + 2n −1 2  xk ( xk ) ÷    n  Do tổng xích ma  ∑ f ( x;k ) ÷này hữu hạn nên ta có thể đem dấu nguyên hàm ( ∫ dx ) vào trong dấu  k =1  xích ma và được: 15     ( 2k − 1) π ( 2k − 1) π − x.cos +1 − x.cos +1  n ÷ ÷ n  dx 2n 2n ÷dx = ∑  ∫ I=∫ = ∫ ∑ dx ÷ = 2n   2kπ − π   ÷ 1+ x k =1   k =1 . www.vietmaths.com Kinh Toán học www.vietmaths.com Kinh Toán học 1 Tích phân hàm vô tỉ: 2 1/ 3 2/ 6 7 3/ 7 4/ 8 5/ 9 6/ 11 7/ 11 8/ 11 9/ 12 * 12 10/ 14 11/ 16 6/ 18 7/ 19 . 36 36 36 37 37 * 37 38 38 39 39 39 40 40 41 41 41 43 43 44 44 45 45 1 Tích phân hàm vô tỉ: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) n n n n n n n n n ' ' n n n. 1 x x 1 1 A , B voi k :1 n 2n.x 2n x → − − + = + − ⇒ = = Thế các hệ số vừa tìm được vào dạng phân tích, ta có: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) n n k k k k k k 2n k 1 k 1 k k k k n k k k k k k 2 k 1 k