TÓM TẮT KIẾN THỨC Nguyªn hµm tÝch ph©n Hàm số f(x) Họ nguyên hàm F(x)+C Hàm số f(x) Họ nguyên hàm F(x)+C 1. x α 1 1 x C α+ + α + 2. ( ) ax b α + 1 a 1 1 ( ) ( ) ax b C α+ + + α + 3. 2 dx x ∫ x C + 4. 2 . dx a x b = + ∫ 2 . a x b C a + + 5. 1 x ln x C + 6. 1 ax b + 1 ln ax b C a + + 7. x a ln x a C a + 8. ax b e + 1 ax b e C a + + 9. x e x e C + 10. sin( ) ax b + 1 cos( ) ax b C a − + + 11. sin x cos x C − + 12. cos( ) ax b + 1 sin( ) ax b C a + + 13. cos x + C sin x 14. 2 1 cos ( ) ax b + 1 tan( ) ax b C a + + 15. 2 1 cos x tan x C + 16. 2 1 sin ( ) ax b + 1 cot( ) ax b C a − + + 17. 2 1 sin x cot x C − + 18. 2 2 1 x a − 1 2 ln x a C a x a − + + 19. ' ( ) ( ) u x u x ln ( ) u x C + 20. 2 2 1 a x − 0 2 2 ®Æt x= t sin ; ; ;a t t   π π ∈ − ≠     21. tan x ln cos x C − + 22. 2 2 1 x a − 0 2 2 ®Æt x= t ; ; sin a t t   π π ∈ − ≠     23. cot x ln sin x C + 24. 2 2 1 x a + 2 2 ®Æt x= tant; t ; a   π π ∈ −     25. hoÆc a x a x a x a x + − − + ®Æt x=a.cos 2t 26. 2 2 1 x a + 2 2 ln x x a C + + + 27. ( )( ) x a b x − − 2 §Æt x=a+(b-a).sin t 28. 1 ( )( ) x a b x − − theo dÊu cña x+a vµ x+b x a x b± ± + ± ± 2 2 1 HoÆc u a + 2 2 ®Æt u= tant; t ; a   π π ∈ −     2 2 1 HoÆc u a − 0 2 2 ®Æt u= t ; ; sin a t t   π π ∈ − ≠     29. 2 1 ax bx c + + BiÕn ®æi vÒ 2 2 1 HoÆc a u − 2 2 ®Æt u= tant; t ; a   π π ∈ −     phuocxuansang@gmail.com 1. ðịnh nghĩa: ( ) ( ) ( ) ( ) b b a a f x dx F x F b F a   = = −   ∫ ( Công thức NewTon - Leiptnitz) 2. Các tính chất của tích phân: 1 : : 0 ( ) a a f x dx = ∫ 2 : ( ) ( ) b a a b f x dx f x dx = − ∫ ∫ 3 : Nếu f ( x ) = c không ñổi trên ; a b     thì: ( ) b a cdx c b a = − ∫ 4 : Nếu f ( x ) liên tục trên ; a b     và 0 ( ) f x ≥ thì 0 ( ) b a f x dx ≥ ∫ 5 : Nếu hai hsố f ( x ) và g ( x ) liên tục trên ; a b     và x a;b ( ) ( ) f x g x   ≥ ∀ ∈   thì ( ) ( ) b b a a f x dx g x dx ≥ ∫ ∫ 6 : Nếu f ( x ) lt trên ; a b     và ( m,M lµ hai h»ng sè) ( ) m f x M ≤ ≤ ( ) ( ) ( ) b a m b a f x dx M b a − ≤ ≤ − ∫ 7 : Nếu hai hàm số f ( x ) và g ( x ) liên tục trên ; a b     thì ( ) ( ) ( ) ( ) b b b a a a f x g x dx f x dx g x dx   ± = ±   ∫ ∫ ∫ 8 : Nếu hàm số f ( x ) liên tục trên ; a b     và k là một hằng số thì . ( ) . ( ) b b a a k f x dx k f x dx = ∫ ∫ 9 : Nếu hàm số f ( x ) liên tục trên ; a b     và c là một hằng số thì ( ) ( ) ( ) b c b a a c f x dx f x dx f x dx = + ∫ ∫ ∫ 10 : Tích phân của hàm số trên ; a b     cho trước không phụ thuộc vào biến số , ( ) ( ) b b a a f x dx f t dt = ∫ ∫ 3.Công thức ñổi biến số dạng 1: ( ) ( ) ( ) . '( ) ( ) u b b a u a f u x u x dx f t dt   =   ∫ ∫ 4.Công thức ñổi biến số dạng 2: ( ) ( ) '( ) b a I f x dx f t t dt β α   = = φ φ   ∫ ∫ Bước 1: ðặt ' ( ) ( ) t u x dt u x dx = ⇒ = Bước 2 : ðổi cận : ( ) ( ) x b t u b x a t u a = = ⇒ = = Bước 3 : Chuyển tích phân ñã cho sang tích phân theo biến t ta ñược ( ) ( ) ( ) . '( ) ( ) u b b a u a I f u x u x dx f t dt   = =   ∫ ∫ Bước 1: ðặt ' ( ) ( ) x t dx t dt = φ ⇒ = φ Bước 2 : ðổi cận : x b t x a t = = β ⇒ = = α Bước 3 : Chuyển tích phân ñã cho sang tích phân theo biến t ta ñược ( ) ( ) '( ) b a I f x dx f t t dt β α   = = φ φ   ∫ ∫ 5.Công thức tích phân từng phần: : . b b b a a a udv u v vdu   = −   ∫ ∫ ( 1) Bước 1: ðặt ( ) '( ) '( ) ( ) u u x du u x dx dv v x dx v v x = = ⇒ = = Bước 2 :Thay vào công thức ( 1) : . b b b a a a udv u v vdu   = −   ∫ ∫ Bước 3 : Tính . b a u v     và b a vdu ∫